Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इकाई स्थान पर (2) या (4) के लिए (2) विकल्प हैं और बाकी स्थानों के लिए \(4 \times 3 \times 2\) तरीके हैं। परीक्षा में अंतिम स्थान की शर्त पहले लगाएँ। / There are (2) choices for the units digit and \(4 \times 3 \times 2\) ways for the remaining places. In exams apply the last digit condition first.
इकाई स्थान (0) होने पर \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) और इकाई (5) होने पर पहले स्थान के लिए (4) विकल्प मिलते हैं। दोनों मामलों को जोड़ना मुख्य कदम है। / If the units digit is (0), there are \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) ways; if it is (5), the first digit has (4) choices. Add the two cases carefully.
किसी विद्यालय के प्रवेश कूट में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (3) अलग अंक लिखे जाते हैं। यदि अक्षर (A,B,C,D,E) से और अंक (1,2,3,4,5,6) से चुने जाएँ तो कुल कितने कूट बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। स्वतंत्र चरणों को गुणा करना मौलिक सिद्धांत है। / Letters can be chosen in \(5 \times 4\) ways and digits in \(6 \times 5 \times 4\) ways. Multiply independent stages by the fundamental principle.
एक परीक्षा में विद्यार्थी को (8) प्रश्नों में से (5) प्रश्न हल करने हैं। पहले (3) प्रश्नों में से कम से कम (2) प्रश्न हल करना अनिवार्य है। चयन कितने तरीकों से हो सकता है?
पहले (3) में से (2) या (3) प्रश्न चुनें और बाकी (5) प्रश्नों से शेष चुनें। कम से कम वाली शर्त में अलग-अलग मामले बनाएँ। / Choose (2) or (3) from the first (3), then choose the remaining questions from the other (5). For an at least condition, split into cases.
किसी पुस्तकालय में (6) गणित और (5) भौतिकी की पुस्तकों से (4) पुस्तकों का समूह बनाना है जिसमें दोनों विषयों की कम से कम एक पुस्तक हो। कुल कितने समूह बनेंगे?
कुल चयन \(\binom{11}{4}\) से केवल गणित और केवल भौतिकी वाले चयन घटाएँ। पूरक विधि ऐसे प्रश्नों में तेज होती है। / Subtract all-math and all-physics selections from \(\binom{11}{4}\). The complement method is faster for such restrictions.
ऐसे (4) अंकों के समूह चुनें जिनका योग (3) से विभाज्य हो और फिर अग्रणी शून्य हटाकर क्रम लगाएँ। विभाज्यता में पहले अंकों का योग जाँचें। / Choose (4)-digit sets whose sum is divisible by (3), then arrange them excluding leading zero. For divisibility, first check the digit sum.
(3) पुरुष (5) में से और (2) महिलाएँ (4) में से चुनी जाएँगी। ठीक वाली शर्त में केवल एक मामला बनता है। / Choose (3) men from (5) and (2) women from (4). An exactly condition usually gives one fixed case.
कुल (6!) क्रमों से उन क्रमों को घटाएँ जिनमें (A,I) साथ हों। साथ-साथ वाली शर्त में ब्लॉक बनाना उपयोगी है। / Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
एक मार्ग (P) से (Q) तक (4) रास्ते और (Q) से (R) तक (5) रास्ते हैं। (P) से (R) जाकर वापस (P) आना है लेकिन वापसी में वही (P) से (Q) वाला रास्ता और वही (Q) से (R) वाला रास्ता नहीं लेना है। कुल कितने तरीके हैं?
जाते समय \(4 \times 5\) तरीके और लौटते समय \(3 \times 4\) तरीके हैं। यात्रा के चरण स्वतंत्र हों तो गुणा करें। / Going has \(4 \times 5\) ways and returning has \(3 \times 4\) ways. Multiply independent journey stages.
ऊपर-मध्य-नीचे स्थानों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। जब क्रम महत्वपूर्ण हो तो क्रमचय जैसा गुणा करें। / The top, middle, and bottom positions have (7,6,5) choices respectively. When order matters, multiply as an arrangement.
पहले (2) और (4) सहित (4) अंक चुनें और उनके आधे क्रमों में (4), (2) के बाएँ होगा। सममिति का उपयोग ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Choose (4) digits including (2) and (4), and in half of their arrangements (4) is left of (2). Symmetry saves time here.
पद अलग-अलग हैं इसलिए \(7 \times 6 \times 5\) तरीके होंगे। पदों में क्रम महत्वपूर्ण हो तो संयोजन नहीं लगाएँ। / The posts are distinct, so the number of ways is \(7 \times 6 \times 5\). Use arrangements, not combinations, when positions are different.
एक शब्द बनाना है जिसमें (4) अलग व्यंजन और (2) अलग स्वर हों। (8) व्यंजनों और (5) स्वरों से अक्षर चुने जाते हैं और बने (6) अक्षरों को किसी भी क्रम में रखा जाता है। कुल कितने शब्द बनेंगे?
पहले \(\binom{8}{4}\binom{5}{2}\) चयन करें और फिर (6!) क्रम लगाएँ। चयन और क्रम को अलग-अलग संभालें। / First select in \(\binom{8}{4}\binom{5}{2}\) ways and then arrange in (6!) ways. Handle selection and arrangement separately.
बराबर रंगों के लिए (2) लाल और (2) नीली गेंदें चुननी होंगी। इसलिए \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}\) लगाएँ। / Equal colours mean choosing (2) red and (2) blue balls. So use \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}\).
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता जाँचें और हर सही जोड़े के लिए बाकी (3) स्थान भरें। अंत के दो स्थान पहले तय करें। / Check divisibility by (4) using the last two digits and fill the remaining (3) places for each valid ending pair. Fix the last two places first.
एक मेनू में (5) प्रारंभिक व्यंजन, (6) मुख्य व्यंजन और (4) मिठाइयाँ हैं। ऐसा भोजन चुनना है जिसमें प्रत्येक प्रकार से एक वस्तु हो और मुख्य व्यंजन (2) विशेष वस्तुओं में से कोई एक न हो। कुल कितने भोजन बनेंगे?
मुख्य व्यंजन के लिए (6-2=4) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 4\) भोजन बनेंगे। प्रतिबंधित विकल्पों को पहले घटाएँ। / The main dish has (6-2=4) choices, so total meals are \(5 \times 4 \times 4\). Remove forbidden choices first.
एक कोड में (2) बड़े अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षर (A,B,C,D) से और अंक (0,1,2,3,4) से चुने जाते हैं। अक्षर दोहराए नहीं जाते पर अंक दोहर सकते हैं। कुल कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के स्थानों के लिए \(4 \times 3\) तरीके और अंकों के लिए \(5 \times 5\) तरीके हैं। पुनरावृत्ति की अनुमति हर चरण में अलग देखें। / Letters have \(4 \times 3\) ways and digits have \(5 \times 5\) ways. Check repetition rules separately for each part.
कुल (6) चालों में (3) दाएँ और (3) नीचे चालें होंगी। इसलिए \(\binom{6}{3}\) मार्ग मिलते हैं। / There are (6) moves: (3) right and (3) down. Hence the number of paths is \(\binom{6}{3}\).
दो सिरों पर (N,R) को (2!) तरीकों से रखा जा सकता है और बीच के (4) अक्षर (4!) तरीकों से। स्थान निश्चित हों तो पहले उन्हें भरें। / The two ends can be filled by (N,R) in (2!) ways and the middle (4) letters in (4!) ways. Fill fixed positions first.
कुल \(^{9}P_{4}\) से उन व्यवस्थाओं को घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित व्यक्ति साथ हों। साथ आने पर उन्हें ब्लॉक मानें। / Subtract arrangements where the two particular persons are together from \(^{9}P_{4}\). Treat the pair as a block when they are together.
इकाई स्थान पर केवल (9) होगा, फिर पहला स्थान (0) छोड़कर (4) तरीकों से भरेगा। शून्य और विषम शर्त साथ में देखें। / The units digit must be (9), then the first digit has (4) choices excluding (0). Handle zero and odd-number conditions together.
एक पुस्तक शेल्फ में (4) अलग गणित, (3) अलग रसायन और (2) अलग जीवविज्ञान की पुस्तकें हैं। यदि हर विषय की पुस्तकें साथ-साथ रखनी हों तो कुल व्यवस्थाएँ कितनी होंगी?
तीन विषयों के ब्लॉक (3!) तरीकों से और ब्लॉकों के भीतर पुस्तकें (4!3!2!) तरीकों से सजेंगी। साथ रखने में ब्लॉक विधि लगाएँ। / The three subject blocks can be arranged in (3!) ways and books inside blocks in (4!3!2!) ways. Use the block method for together conditions.
लगातार न होने वाले (4) दिनों का चयन \(\binom{10-4+1}{4}\) से मिलेगा। गैर-लगातार चयन में अंतर विधि याद रखें। / The number of ways to choose (4) non-consecutive days is \(\binom{10-4+1}{4}\). Remember the gap method for non-consecutive selections.
एक ताले में (4) स्थान हैं। प्रत्येक स्थान पर (0) से (9) तक कोई भी अंक आ सकता है, पर ठीक (2) स्थानों पर अंक (7) होना चाहिए। कुल कितने ताले के कूट बनेंगे?
पहले (7) के (2) स्थान \(\binom{4}{2}\) तरीकों से चुनें, बाकी स्थानों पर (9) विकल्प होंगे। ठीक वाली शर्त में शेष स्थानों पर वही अंक न आने दें। / Choose the (2) positions for (7) in \(\binom{4}{2}\) ways, and each remaining position has (9) choices. For exactly conditions, exclude the fixed digit from remaining places.
संभव मामले (3) लड़कियाँ (2) लड़के, (4) लड़कियाँ (1) लड़का और (5) लड़कियाँ हैं। अधिक वाली शर्त में सभी वैध मामलों को जोड़ें। / The valid cases are (3) girls (2) boys, (4) girls (1) boy, and (5) girls. Add all cases satisfying the greater-than condition.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो बार आया है, इसलिए संख्या \(\frac{6!}{2!}\) होगी। समान अक्षरों पर विभाजन करना न भूलें। / There are (6) letters with (O) repeated twice, so the count is \(\frac{6!}{2!}\). Do not forget to divide by repeated letters.
पहले गणित की पुस्तकें (4!) तरीकों से रखें और बने (5) खाली स्थानों में (3) अंग्रेजी पुस्तकें क्रम सहित रखें। अलग-अलग रखने में खाली स्थान विधि उपयोगी है। / First arrange the mathematics books in (4!) ways, then place the (3) English books in (5) gaps with order. The gap method is useful for separation restrictions.
कोई भी (3) अंक चुनने पर उनका केवल एक बढ़ता क्रम बनेगा। जब क्रम पहले से निश्चित हो तो संयोजन पर्याप्त है। / Any (3) chosen digits give exactly one increasing order. When order is predetermined, combinations are enough.
निश्चित खिलाड़ी के साथ बाकी (3) खिलाड़ी (7) में से चुनें और कप्तान उन (3) में से चुनें। पहले अनिवार्य सदस्य को स्थिर मानें। / Choose the remaining (3) players from (7), and choose the captain from those (3) players. Treat the compulsory member as fixed first.
एक (5) अंकों का कूट (0,1,2,3,4,5) से बनता है। पुनरावृत्ति नहीं है और पहला अंक (0) नहीं हो सकता। यदि कूट में (1) और (2) दोनों होने चाहिए, तो कुल कितने कूट बनेंगे?
पहले (1,2) के साथ अन्य (3) अंक चुनें और शून्य शामिल होने पर अग्रणी शून्य वाले क्रम घटाएँ। शून्य की स्थिति अलग से जाँचें। / Choose the other (3) digits along with (1,2), then subtract arrangements with leading zero when zero is included. Check the zero-position restriction separately.
एक थाली में (7) प्रकार की मिठाइयाँ हैं। (5) मिठाइयाँ चुननी हैं जिनमें कम से कम (2) विशेष मिठाइयाँ शामिल हों। यदि विशेष मिठाइयाँ (3) हैं, तो चयन कितने तरीकों से होगा?
विशेष मिठाइयों में से (2) या (3) चुनें और शेष सामान्य मिठाइयों से भरें। कम से कम के लिए वैध मामलों का योग करें। / Choose (2) or (3) of the special sweets and fill the rest from ordinary sweets. Add valid cases for an at least condition.
सही पत्र के लिए (6) विकल्प हैं और बाकी (5) पत्रों की पूर्ण अव्यवस्था (!5=44) तरीकों से होगी। ठीक सही की शर्त में अव्यवस्था का विचार आता है। / There are (6) choices for the correct letter and the remaining (5) letters must be deranged in (!5=44) ways. Exactly-correct conditions often use derangements.
(A) के साथ (C,D,E,F) में से (3) अक्षर चुनें और (4!) क्रम लगाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तों को पहले लागू करें। / Choose (3) letters from (C,D,E,F) along with (A), then arrange the (4) letters in (4!) ways. Apply inclusion and exclusion restrictions first.
हर दो रंगों की जोड़ी के लिए कुल (4) चयन से एक ही रंग वाले चयन घटाएँ और तीनों जोड़ें। ठीक (2) रंग का अर्थ दोनों चुने रंगों से कम से कम एक गेंद है। / For each pair of colours, take all (4)-selections and subtract single-colour selections, then add the three pairs. Exactly (2) colours means at least one ball from each chosen colour.
एक कूट में (3) अक्षर और (2) अंक हैं। सभी (5) स्थानों में अक्षर और अंक किसी भी क्रम में आ सकते हैं। (5) अक्षरों और (4) अंकों से बिना पुनरावृत्ति कुल कितने कूट बनेंगे?
पहले अक्षरों के (3) स्थान चुनें, फिर अक्षर और अंक क्रम सहित भरें। स्थान-प्रकार तय करना ऐसे मिश्रित कूटों में पहला कदम है। / First choose the (3) positions for letters, then fill letters and digits in order. Deciding position types is the first step in mixed-code questions.
कुल \(\binom{10}{3}\) त्रिभुजों से वे त्रिभुज घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित बिंदु हों। प्रतिबंधित युग्म के साथ तीसरा बिंदु (8) तरीकों से चुना जाता है। / Subtract triangles containing both particular points from total \(\binom{10}{3}\). With the forbidden pair, the third point has (8) choices.
दोनों (A) को एक ब्लॉक मानने पर कुल (6) अलग वस्तुएँ मिलती हैं। अतः क्रम (6!) होंगे। / Treat the two (A)'s as one block, giving (6) distinct objects. Hence the number of arrangements is (6!).
हजारों के स्थान पर (3,4,5,6) में से (4) विकल्प हैं और बाकी (3) स्थान \(5 \times 4 \times 3\) तरीकों से भरते हैं। असमानता में पहला स्थान निर्णायक होता है। / The thousands digit has (4) choices from (3,4,5,6), and the remaining (3) places are filled in \(5 \times 4 \times 3\) ways. For inequalities, the first place is decisive.
संभव मामले (1) अध्यापक (3) विद्यार्थी और (2) अध्यापक (2) विद्यार्थी हैं। दोनों कम से कम शर्तों को साथ मिलाकर मामले बनाएँ। / The valid cases are (1) teacher (3) students and (2) teachers (2) students. Form cases satisfying both at least conditions.
पहले स्थान के लिए (8), दूसरे के लिए (7), तीसरे के लिए (6) विकल्प हैं। अलग स्थानों में क्रम महत्वपूर्ण होता है। / The first position has (8) choices, the second (7), and the third (6). Order matters for distinct positions.
कुल वैध संख्याएँ \(5 \times 5!\) हैं और (0,5) साथ होने वाले मामलों को सावधानी से घटाएँ। अग्रणी शून्य के कारण ब्लॉक मामलों में अलग जाँच करें। / Total valid numbers are \(5 \times 5!\), and subtract the cases where (0,5) are together. Check block cases carefully because of leading zero.
कलम \(\binom{4}{2}\) तरीकों से और कॉपी \(\binom{3}{2}\) तरीकों से चुनी जाएँगी। स्वतंत्र चयन में परिणामों को गुणा करें। / Pens are chosen in \(\binom{4}{2}\) ways and notebooks in \(\binom{3}{2}\) ways. Multiply independent selections.
अलग पुरस्कारों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। अलग पुरस्कारों में क्रम का महत्व होता है। / The distinct prizes have (7,6,5) choices respectively. Order matters when prizes are different.
कुल \(\binom{6}{3}\) चयन से वे चयन घटाएँ जिनमें प्रश्न (1) और प्रश्न (2) दोनों हैं। प्रतिबंधित जोड़ी के साथ तीसरा प्रश्न (4) तरीकों से चुना जाता है। / Subtract selections containing both question (1) and question (2) from total \(\binom{6}{3}\). With the forbidden pair, the third question has (4) choices.
दो निश्चित अक्षरों के स्थान ((1,4)) या ((2,5)) हो सकते हैं और उनका आपसी क्रम (2!) तरीकों से होगा। शेष (3) अक्षर (3!) तरीकों से सजेंगे। / The two particular letters can occupy positions ((1,4)) or ((2,5)), and their internal order has (2!) ways. The remaining (3) letters are arranged in (3!) ways.
पहले और अंतिम रंग (R,B) या (B,R) हो सकते हैं, फिर बीच के दो स्थान शेष (7) कार्डों से क्रम सहित भरते हैं। रंग-आधारित सिरों को पहले तय करें। / The first and last colours can be (R,B) or (B,R), then the two middle positions are filled from the remaining (7) cards in order. Fix colour-based end positions first.
मित्रों में से \(\binom{3}{2}\) और बाकी (6) लोगों में से \(\binom{6}{3}\) चयन होंगे। ठीक (2) का अर्थ तीसरा मित्र बाहर रहेगा। / Choose \(\binom{3}{2}\) friends and \(\binom{6}{3}\) others. Exactly (2) means the third friend is excluded.
सैकड़ों और इकाई के दो अलग अंकों में बड़ा अंक सैकड़ों में होना चाहिए और सैकड़ों अंक (0) नहीं हो सकता। फिर दहाई स्थान शेष (6) अंकों से भरता है। / For two distinct hundreds and units digits, the larger must be in the hundreds place and it cannot be (0). Then the tens place has (6) remaining choices.
एक प्रश्नपत्र में खंड (A) में (5) प्रश्न और खंड (B) में (6) प्रश्न हैं। विद्यार्थी को (6) प्रश्न हल करने हैं, जिनमें खंड (A) से कम से कम (2) और खंड (B) से कम से कम (3) प्रश्न हों। चयन कितने तरीकों से होगा?
वैध मामले ((2,4)) और ((3,3)) हैं। दोनों खंडों की कम से कम शर्तों को एक साथ मिलाकर ही मामले बनाएँ। / The valid cases are ((2,4)) and ((3,3)). Form cases only after combining the at least conditions of both sections.
एक मंच पर (6) वक्ताओं को क्रम में बोलना है। दो निश्चित वक्ताओं में से एक को पहले तीन स्थानों में और दूसरे को अंतिम तीन स्थानों में होना चाहिए। कुल कितने बोलने के क्रम बनेंगे?
कौन सा वक्ता पहले भाग में जाएगा इसके (2) तरीके हैं, फिर स्थान \(3 \times 3\) तरीकों से और शेष (4) वक्ता (4!) तरीकों से सजेंगे। पहले भागों और निश्चित व्यक्तियों को तय करें। / There are (2) ways to decide which particular speaker goes in the first half, \(3 \times 3\) ways for their positions, and (4!) ways for the rest. Fix the sections and particular persons first.
