Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
fundamental-principle se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहले स्थान के लिए (3), अंतिम के लिए (4) और बीच के प्रत्येक स्थान के लिए (7) विकल्प हैं। स्वतंत्र स्थानों के विकल्पों को गुणा करें। / The first position has (3) choices, the last has (4), and each middle position has (7) choices. Multiply choices for independent positions.
पहले स्थान के लिए (8), दूसरे के लिए (7), तीसरे के लिए (6) विकल्प हैं। अलग स्थानों में क्रम महत्वपूर्ण होता है। / The first position has (8) choices, the second (7), and the third (6). Order matters for distinct positions.
एक मेनू में (5) प्रारंभिक व्यंजन, (6) मुख्य व्यंजन और (4) मिठाइयाँ हैं। ऐसा भोजन चुनना है जिसमें प्रत्येक प्रकार से एक वस्तु हो और मुख्य व्यंजन (2) विशेष वस्तुओं में से कोई एक न हो। कुल कितने भोजन बनेंगे?
मुख्य व्यंजन के लिए (6-2=4) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 4\) भोजन बनेंगे। प्रतिबंधित विकल्पों को पहले घटाएँ। / The main dish has (6-2=4) choices, so total meals are \(5 \times 4 \times 4\). Remove forbidden choices first.
एक मार्ग (P) से (Q) तक (4) रास्ते और (Q) से (R) तक (5) रास्ते हैं। (P) से (R) जाकर वापस (P) आना है लेकिन वापसी में वही (P) से (Q) वाला रास्ता और वही (Q) से (R) वाला रास्ता नहीं लेना है। कुल कितने तरीके हैं?
जाते समय \(4 \times 5\) तरीके और लौटते समय \(3 \times 4\) तरीके हैं। यात्रा के चरण स्वतंत्र हों तो गुणा करें। / Going has \(4 \times 5\) ways and returning has \(3 \times 4\) ways. Multiply independent journey stages.
किसी विद्यालय के प्रवेश कूट में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (3) अलग अंक लिखे जाते हैं। यदि अक्षर (A,B,C,D,E) से और अंक (1,2,3,4,5,6) से चुने जाएँ तो कुल कितने कूट बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। स्वतंत्र चरणों को गुणा करना मौलिक सिद्धांत है। / Letters can be chosen in \(5 \times 4\) ways and digits in \(6 \times 5 \times 4\) ways. Multiply independent stages by the fundamental principle.
एक वेबसाइट में मुख्य श्रेणी, उपश्रेणी, लेख और भाषा चुननी है। (8) मुख्य श्रेणियों में से (6) में (5) उपश्रेणियाँ और (2) में (3) उपश्रेणियाँ हैं; हर उपश्रेणी में (4) लेख और (2) भाषाएँ हैं। कुल पेज-पथ कितने हैं?
उपश्रेणी चयन \(6\times5+2\times3=36\) है और प्रत्येक के लिए \(4\times2\) विकल्प हैं। कुल \(36\times8=288\) है। / Subcategory choices are \(6\times5+2\times3=36\), and each has \(4\times2\) choices. The total is \(36\times8=288\).
दोहराया अंतिम अंक (0) हो तो \(9^4\) और गैर-शून्य हो तो \(9\times8\times9^3\) विकल्प हैं। दोनों मामलों का योग (59049) है। / If the repeated last digit is (0), choices are \(9^4\), and if it is non-zero, choices are \(9\times8\times9^3\). The sum of both cases is (59049).
एक विद्यार्थी सुबह (5), दोपहर (4) और शाम (6) कक्षाओं में से एक-एक चुनता है। सुबह की (2) लाइव कक्षाओं के साथ शाम की (3) रिकॉर्डेड कक्षाएँ नहीं चुनी जा सकतीं। कुल समय-सारिणी कितनी हैं?
सुबह-शाम चयन \(2\times3+3\times6=24\) है और दोपहर के (4) विकल्प हैं। कुल (96) समय-सारिणी हैं। / Morning-evening selections are \(2\times3+3\times6=24\), and there are (4) afternoon choices. The total is (96) timetables.
एक शब्द-रूप कोड में स्वर-व्यंजन-स्वर-व्यंजन क्रम है। (5) स्वर और (21) व्यंजन उपलब्ध हैं, स्वर दोहर नहीं सकते और व्यंजन दोहर नहीं सकते। कुल कोड कितने हैं?
स्वर \(5\times4\) और व्यंजन \(21\times20\) तरीकों से चुने जाते हैं। कुल \(5\times21\times4\times20=8400\) है। / Vowels are chosen in \(5\times4\) ways and consonants in \(21\times20\) ways. The total is \(5\times21\times4\times20=8400\).
एक सम्मेलन में ट्रैक, सत्र, कार्यशाला और प्रमाणपत्र चुनना है। सामान्य (3) ट्रैक में (6) सत्र, (5) कार्यशालाएँ और (2) प्रमाणपत्र विकल्प हैं; चौथे ट्रैक में (3) सत्र, (5) कार्यशालाएँ और प्रमाणपत्र विकल्प नहीं है। कुल चयन कितने हैं?
सामान्य ट्रैक से \(3\times6\times5\times2=180\) और चौथे ट्रैक से (15) चयन हैं। कुल (195) होगा। / Normal tracks give \(3\times6\times5\times2=180\) selections, and the fourth track gives (15). The total is (195).
(5)-अक्षरीय बैज में पहले (2) स्थान अंक हैं और अगले (3) स्थान (8) अक्षरों से बनते हैं। अंकों का योग सम है, अंक अलग हैं, और अक्षरों में ठीक एक बार (X) आता है। कुल बैज कितने हैं?
अंक (40) तरीकों से और अक्षर \(3\times7\times6=126\) तरीकों से चुने जाते हैं। इसलिए कुल \(40\times126=5040\) है। / Digits are chosen in (40) ways and letters in \(3\times7\times6=126\) ways. Hence the total is \(40\times126=5040\).
चार चरणों वाली मशीन-श्रृंखला में क्रम से (3,4,5,6) विकल्प हैं। दूसरे चरण की एक मशीन के बाद तीसरे चरण की (2) मशीनें नहीं चुनी जा सकतीं। कुल वैध श्रृंखलाएँ कितनी हैं?
दूसरा-तीसरा चरण \(1\times3+3\times5=18\) तरीकों से बनता है। फिर पहले और चौथे चरण के \(3\times6\) विकल्पों से गुणा करें। / The second-third stages can be formed in \(1\times3+3\times5=18\) ways. Then multiply by \(3\times6\) choices for the first and fourth stages.
एक सर्वे में (6) प्रश्न हैं। पहले (2) प्रश्नों में (4) विकल्प, अगले (3) में (5) विकल्प और अंतिम में (3) विकल्प हैं। यदि पहले प्रश्न में विकल्प (D) चुना जाए तो अंतिम प्रश्न में केवल (2) विकल्प रह जाते हैं। कुल उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
पहले प्रश्न में (D) हो तो (1000) और न हो तो (4500) पैटर्न बनते हैं। कुल (5500) है। / If the first answer is (D), (1000) patterns are possible, and otherwise (4500) patterns are possible. The total is (5500).
एक पासा फेंककर कार्ड-बॉक्स चुना जाता है। अभाज्य परिणाम पर (5) कार्डों वाला बॉक्स और गैर-अभाज्य परिणाम पर (7) कार्डों वाला बॉक्स मिलता है, फिर (4) रंगों में से एक चुना जाता है। कुल परिणाम कितने हैं?
पासे पर (3) अभाज्य और (3) गैर-अभाज्य परिणाम हैं, इसलिए (\(3\times5+3\times7\)\times4=144)। पहले परिणाम के प्रकार गिनें। / The die has (3) prime and (3) non-prime outcomes, so (\(3\times5+3\times7\)\times4=144). Count the type of outcome first.
वैध पृष्ठभूमि-फॉन्ट जोड़े \(5\times4-2=18\) हैं। फिर \(6\times3\) से गुणा करने पर (324) मिलता है। / Valid background-font pairs are \(5\times4-2=18\). Multiplying by \(6\times3\) gives (324).
एक कोड में पहले (2) बड़े अक्षर अलग-अलग हैं और फिर (2) स्वर तथा (1) अंक है। यदि दोनों स्वर समान हों तो अंक सम होना चाहिए, और यदि स्वर अलग हों तो कोई भी अंक हो सकता है। कुल कोड कितने हैं?
अक्षरों के \(26\times25\) विकल्प हैं और स्वर-अंक भाग \(5\times5+5\times4\times10=225\) तरीकों से बनता है। निर्भर शर्त को स्वर के मामलों से हल करें। / Letters have \(26\times25\) choices, and the vowel-digit part is formed in \(5\times5+5\times4\times10=225\) ways. Handle the dependent condition by vowel cases.
पहले (3) उत्तरों के \(2^3-2=6\) विकल्प हैं, बीच के (6) उत्तरों के \(2^6\) विकल्प हैं। निश्चित अंतिम उत्तर के लिए (1) से गुणा करें। / The first (3) answers have \(2^3-2=6\) choices, and the middle (6) answers have \(2^6\) choices. Multiply by (1) for the fixed last answer.
तीन काउंटरों से एक-एक नाश्ता चुनना है। काउंटरों में (6,7,8) वस्तुएँ हैं और उनमें प्रीमियम वस्तुएँ क्रम से (2,3,1) हैं। ठीक एक प्रीमियम वस्तु चुनने के तरीके कितने हैं?
प्रीमियम वस्तु किस काउंटर से आएगी, इसके तीन मामले हैं और योग (56+84+16=156) है। ठीक एक जैसी शर्त में हर संभव स्रोत अलग गिनें। / There are three cases depending on which counter gives the premium item, and the sum is (56+84+16=156). For exactly one condition, count each possible source separately.
(5)-स्थान वाले कोड में पहले (2) स्थान (7) अक्षरों से अलग-अलग और अंतिम (3) स्थान अंकों से अलग-अलग भरते हैं। चौथा अंक पाँचवें अंक से बड़ा होना चाहिए। कुल कोड कितने हैं?
अक्षर \(7\times6\) तरीकों से और अंक \(45\times8\) तरीकों से चुने जाते हैं। तुलना वाली जोड़ी को पहले चुनें। / Letters are chosen in \(7\times6\) ways and digits in \(45\times8\) ways. Choose the comparison-based pair first.
दो दिन की यात्रा में हर दिन अलग शहर चुनना है। (5) शहर और प्रत्येक दिन (3) होटल श्रेणियाँ हैं। यदि दूसरे दिन राजधानी चुनी जाए तो दूसरे दिन (2) होटल श्रेणियाँ ही मिलती हैं। कुल योजनाएँ कितनी हैं?
दूसरे दिन राजधानी हो तो (24) योजनाएँ और न हो तो (144) योजनाएँ बनती हैं। कुल (168) है। / If day two is the capital, (24) plans are possible, and otherwise (144) plans are possible. The total is (168).
एक स्तरित नेटवर्क में पहले स्तर से (3) नोड, दूसरे से (4) नोड और तीसरे से (5) नोड चुनने हैं। दूसरे स्तर के साथ पहले स्तर की एक विशेष जोड़ी अवरुद्ध है। कुल वैध मार्ग कितने हैं?
पहले दो स्तरों के \(3\times4-1=11\) वैध जोड़े हैं और तीसरे स्तर के (5) विकल्प हैं। अवरुद्ध जोड़ी को घटाकर आगे गुणा करें। / The first two layers have \(3\times4-1=11\) valid pairs, and the third layer has (5) choices. Subtract the blocked pair and then multiply.
एक उपहार पैक में (4) डिब्बे, (6) रिबन, (5) कार्ड और (7) स्टिकर विकल्प हैं। एक विशेष डिब्बा और एक विशेष रिबन साथ चुने जाएँ तो स्टिकर विकल्प (7) की जगह (3) रह जाते हैं। कुल पैक कितने हैं?
बिना शर्त कुल \(4\times6\times5\times7=3360\) हैं और विशेष जोड़ी में \(4\times5=20\) अतिरिक्त गिने गए। अतः (3340) सही है। / Without the condition, total choices are \(4\times6\times5\times7=3360\), and \(4\times5=20\) choices are overcounted for the special pair. Hence (3340) is correct.
पहला अंक सम हो तो (960) और विषम हो तो (1200) एक्सटेंशन मिलते हैं। पहले अंक पर (0) की शर्त के कारण मामले जरूरी हैं। / If the first digit is even, there are (960) extensions, and if it is odd, there are (1200). Cases are necessary because of the (0) restriction on the first digit.
एक परीक्षा पेपर कोड में (2) माध्यम, (7) विषय, (4) सेट और (3) संस्करण हैं। गणित विषय में केवल (2) संस्करण उपलब्ध हैं, बाकी विषयों में (3), तो कुल कोड कितने हैं?
विषय-सेट-संस्करण चयन \(1\times4\times2+6\times4\times3=80\) है, फिर माध्यम के (2) विकल्प हैं। अलग विषय को अलग मामला लें। / Subject-set-version choices are \(1\times4\times2+6\times4\times3=80\), then there are (2) media choices. Treat the exceptional subject separately.
तीन अंकों का लॉक कोड बनाकर उसके बाद एक अक्षर जोड़ना है। अंक अलग हैं, संख्या (5) से विभाज्य है और यदि अंतिम अंक (0) हो तो अक्षर स्वर नहीं हो सकता। कुल कोड कितने बनेंगे?
अंतिम अंक (0) होने पर \(9\times8\times21\) और (5) होने पर \(8\times8\times26\) विकल्प हैं। विभाज्यता की शर्त अंतिम अंक से शुरू करें। / When the last digit is (0), choices are \(9\times8\times21\), and when it is (5), choices are \(8\times8\times26\). Start divisibility conditions from the last digit.
एक विद्यार्थी विज्ञान से (1), कला से (1) और कौशल से (1) वैकल्पिक पाठ्यक्रम चुनता है। विज्ञान के (4) पाठ्यक्रमों में से एक पाठ्यक्रम केवल (2) कौशल पाठ्यक्रमों के साथ लिया जा सकता है, बाकी (3) विज्ञान पाठ्यक्रम (6) कौशल पाठ्यक्रमों के साथ लिए जा सकते हैं। कला में (5) विकल्प हैं। कुल चयन कितने हैं?
विज्ञान-कौशल चयन \(1\times2+3\times6=20\) है और कला के (5) विकल्प हैं। निर्भर विषयों को पहले साथ जोड़ें। / Science-Skill selections are \(1\times2+3\times6=20\), and Arts has (5) choices. Add dependent subjects together first.
एक कोड में पहला और अंतिम स्थान (5) अक्षरों से अलग-अलग भरते हैं और बीच के दो स्थान (0,1,2,3) से भरते हैं। बीच के दोनों अंक अभाज्य नहीं हो सकते, तो कोड कितने हैं?
अक्षरों के \(5\times4=20\) विकल्प हैं और बीच के अंक \(4^2-2^2=12\) तरीकों से आते हैं। पूरक विधि ऐसे प्रतिबंधों में तेज होती है। / Letters have \(5\times4=20\) choices and the middle digits can be chosen in \(4^2-2^2=12\) ways. The complement method is fast for such restrictions.
एक परियोजना में नेता (6) वरिष्ठों में से, कोडर (8) कनिष्ठों में से और डिजाइनर (5) कलाकारों में से चुनना है। नेता और कोडर एक ही सदन से नहीं हो सकते; वरिष्ठों में सदनवार संख्या (2,4) और कनिष्ठों में (3,5) है। कुल टीमें कितनी हैं?
नेता-कोडर के वैध जोड़े (6\times8-\(2\times3+4\times5\)=22) हैं। फिर डिजाइनर के (5) विकल्पों से गुणा करें। / Valid leader-coder pairs are (6\times8-\(2\times3+4\times5\)=22). Then multiply by the (5) choices for designer.
एक पोर्टल में (4) क्षेत्रों में से क्षेत्र चुनना है। (3) क्षेत्रों में (3) विद्यालय हैं और एक क्षेत्र में केवल (2) विद्यालय हैं; हर विद्यालय में (5) अनुभाग और हर अनुभाग में (2) मॉनिटर हैं। कुल मॉनिटर चयन कितने हैं?
विद्यालय चयन \(3\times3+1\times2=11\) है और आगे \(5\times2\) विकल्प हैं। असमान क्षेत्रों के कारण पहले कुल विद्यालय गिनें। / School choices are \(3\times3+1\times2=11\), and then there are \(5\times2\) choices. Because regions are unequal, count total schools first.
एक ट्रेन (A) से (D) तक (B) और (C) होते हुए जाती है। बाहर जाते समय क्रम से (4,5,6) ट्रेन विकल्प हैं और वापसी में किसी भी समान खंड पर वही ट्रेन दोबारा नहीं ली जा सकती। कुल आना-जाना कितने तरीकों से होगा?
बाहर जाने के लिए \(4\times5\times6\) और वापसी के लिए \(3\times4\times5\) विकल्प हैं। प्रत्येक खंड पर बचे विकल्प अलग से गुणा करें। / For the outward journey there are \(4\times5\times6\) choices and for return \(3\times4\times5\) choices. Multiply remaining choices segment by segment.
