Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
fundamental-principle se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
एक पुस्तकालय कार्ड में पहले (6) अक्षरों से (2) अलग अक्षर, फिर (3) विभाजकों में से एक, और फिर (2) अंक हैं। अंतिम दो अंकों का योग विषम होना चाहिए और अंक दोहर सकते हैं, तो कार्ड कितने हैं?
अंकों का योग विषम होने के लिए एक सम और एक विषम अंक चाहिए, यानी (50) क्रम। इसलिए \(6\times5\times3\times50=4500\)। / For the digit sum to be odd, one digit must be even and the other odd, giving (50) ordered choices. Hence \(6\times5\times3\times50=4500\).
एक पासवर्ड में पहले (4) प्रतीकों में से एक प्रतीक, फिर (5) स्वरों में से एक स्वर, फिर (21) व्यंजनों में से (2) अलग व्यंजन और अंत में एक अंक है। यदि पहला प्रतीक विशेष प्रतीक हो तो अंक (0) नहीं हो सकता, तो पासवर्ड कितने हैं?
प्रतीक-अंक चयन \(1\times9+3\times10=39\) है और बाकी \(5\times21\times20\) है। प्रतिबंधित प्रतीक को अलग मामला बनाइए। / The symbol-digit selection is \(1\times9+3\times10=39\), and the rest is \(5\times21\times20\). Make the restricted symbol a separate case.
(1) से (9) तक अंकों से (4)-अंकीय कोड बनाना है, कोई अंक दोहराना नहीं है। पहले दो अंकों में पहला छोटा हो और अंतिम दो अंकों में तीसरा बड़ा हो, तो कोड कितने होंगे?
पहले दो अंकों के लिए \(\binom{9}{2}\) और बचे हुए में अंतिम जोड़ी के लिए \(\binom{7}{2}\) विकल्प हैं। असमानता क्रम तय कर देती है। / For the first two digits there are \(\binom{9}{2}\) choices, and from the remaining digits \(\binom{7}{2}\) choices for the last pair. The inequality fixes the order.
एक कूपन में (4) सूप, (3) ब्रेड, (5) करी और (6) पेय में से एक-एक चयन है। (2) जूस पेय के साथ केवल (3) करी उपलब्ध हैं, बाकी पेय के साथ (5), तो कुल कूपन कितने हैं?
सूप और ब्रेड के \(4\times3\) विकल्प हैं, फिर पेय-करी चयन \(2\times3+4\times5=26\) है। निर्भर जोड़ी को एक इकाई की तरह गिनें। / Soups and breads give \(4\times3\) choices, then drink-curry choices are \(2\times3+4\times5=26\). Count the dependent pair as one unit.
कैप्चा का रूप अंक-अक्षर-अंक-अक्षर-अंक है। अक्षर (21) व्यंजनों में से पुनरावृत्ति सहित चुने जाते हैं, अंक अलग-अलग हैं और बीच वाला अंक अंतिम अंक से बड़ा है। कुल कैप्चा कितने हैं?
बीच और अंतिम अंक के लिए (45) क्रम मिलते हैं और पहला अंक (8) तरीकों से आता है; अक्षर \(21^2\) हैं। असमानता वाले दो स्थानों को पहले गिनना आसान है। / For the middle and last digits there are (45) ordered choices and the first digit has (8) choices; letters give \(21^2\) choices. Counting the inequality-based positions first is easier.
चार खंडों से एक-एक प्रश्न चुनना है। खंडों में क्रम से (7,8,6,5) प्रश्न हैं। पहले खंड में (2) और तीसरे खंड में (3) तारांकित प्रश्न हैं, और दोनों चुने गए प्रश्न तारांकित नहीं हो सकते। कुल वैध पेपर कितने हैं?
कुल \(7\times8\times6\times5=1680\) हैं और अमान्य \(2\times8\times3\times5=240\) हैं। निषिद्ध साथ-साथ चयन को कुल से घटाएँ। / Total choices are \(7\times8\times6\times5=1680\), and invalid choices are \(2\times8\times3\times5=240\). Subtract forbidden simultaneous selections from the total.
अक्षरों के लिए \(26^2\) और अंकों के लिए \(5\times8\times8\times7\) विकल्प हैं। पहले और अंतिम अंक की शर्तों को सावधानी से गिनें। / For letters there are \(26^2\) choices and for digits \(5\times8\times8\times7\) choices. Count the first and last digit conditions carefully.
तीन क्लबों से एक-एक प्रतिनिधि चुनना है। वाद-विवाद में (5) लड़के (4) लड़कियाँ, विज्ञान में (6) लड़के (3) लड़कियाँ और कला में (4) लड़के (5) लड़कियाँ हैं। ठीक (2) लड़कियाँ चुनने के तरीके कितने हैं?
लड़कियों वाले दो क्लबों के तीन मामले बनेंगे और योग \(4\times3\times4+4\times6\times5+5\times3\times5=243\) है। ठीक संख्या वाली शर्तों में मामले बनाइए। / There are three cases for the two clubs contributing girls, and the sum is \(4\times3\times4+4\times6\times5+5\times3\times5=243\). For exact-number conditions, make cases.
इकाई अंक (0) हो तो (72) संख्याएँ और गैर-शून्य सम हो तो (256) संख्याएँ मिलती हैं। अंतिम अंक की प्रकृति से मामले अलग करें। / If the unit digit is (0), there are (72) numbers, and if it is a non-zero even digit, there are (256) numbers. Split cases by the type of last digit.
एक लॉकर में (4) चाबियाँ, (6) कमरे और (5) डिब्बे हैं। पहली चाबी केवल (3) डिब्बे खोलती है, बाकी (3) चाबियाँ सभी (5) डिब्बे खोलती हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
कमरे स्वतंत्र हैं और चाबी-डिब्बा चयन \(1\times3+3\times5=18\) है, इसलिए \(6\times18=108\)। निर्भर विकल्पों को साथ गिनें। / Rooms are independent and key-box choices are \(1\times3+3\times5=18\), so \(6\times18=108\). Count dependent choices together.
अक्षर \(26\times25-5\times4=630\) तरीकों से और अंक \(\binom{10}{3}=120\) तरीकों से मिलते हैं। बढ़ते क्रम में क्रम अपने-आप तय हो जाता है। / Letters are possible in \(26\times25-5\times4=630\) ways and digits in \(\binom{10}{3}=120\) ways. In increasing order, the arrangement is automatically fixed.
(P) से (Q) तक यात्रा में ठीक एक मध्य केंद्र चुनना है। \(H_1\) से जाने पर (3) और (4) रास्ते मिलते हैं, जबकि \(H_2\) से जाने पर (5) और (2) रास्ते मिलते हैं। कुल यात्राएँ कितनी हैं?
दो अलग मार्ग-मामले हैं, इसलिए \(3\times4+5\times2=22\)। या तो-या स्थितियों में जोड़ और चरणों में गुणा करें। / There are two separate route cases, so \(3\times4+5\times2=22\). Use addition for either-or cases and multiplication within stages.
एक स्ट्रिंग के पहले (2) स्थान (5) अक्षरों से अलग-अलग और अंतिम (2) स्थान (1,2,3,4) अंकों से अलग-अलग भरने हैं। अंतिम दो अंकों में कम से कम एक सम अंक होना चाहिए, तो स्ट्रिंगों की संख्या कितनी है?
अक्षर \(5\times4=20\) तरीकों से और अंक \(4\times3-2=10\) तरीकों से चुने जाते हैं। कम से कम एक की शर्त में पूरक घटाना आसान रहता है। / Letters are chosen in \(5\times4=20\) ways and digits in \(4\times3-2=10\) ways. For at least one condition, subtracting the complement is often easier.
एक ऑनलाइन टेस्ट में (9) अध्याय हैं। (3) अध्यायों में (5) सेट और (6) अध्यायों में (4) सेट हैं, फिर (2) मोड और (2) भाषाएँ चुनी जाती हैं। कुल टेस्ट रूप कितने होंगे?
अध्याय-सेट चयन (\(3\times5\)+\(6\times4\)=39) है और फिर \(2\times2\) से गुणा होगा। असमान समूहों में पहले जोड़ और फिर गुणा करें। / The chapter-set choices are (\(3\times5\)+\(6\times4\)=39), then multiply by \(2\times2\). For unequal groups, add first and then multiply.
एक प्रवेश कोड में (6) उपलब्ध अक्षरों में से (2) अलग अक्षर, (5) प्रतीकों में से (2) प्रतीक और (5) विषम अंकों में से (1) अंक आता है। प्रतीक दोहर सकते हैं, तो कुल कोड कितने हैं?
अक्षरों के लिए \(6\times5\), प्रतीकों के लिए \(5\times5\) और अंक के लिए (5) विकल्प हैं। जिन स्थानों पर पुनरावृत्ति हो सकती है वहाँ विकल्प कम नहीं होते। / For letters \(6\times5\), for symbols \(5\times5\), and for the digit (5) choices are available. Where repetition is allowed, choices do not decrease.
टी-शर्ट के लिए (5) आकार, (7) रंग और (4) डिजाइन हैं। काले रंग के साथ केवल (2) डिजाइन उपलब्ध हैं, बाकी रंगों के साथ (4), तो कुल टी-शर्ट संयोजन कितने हैं?
रंग के अनुसार (5\(1\times2+6\times4\)=130) संयोजन मिलते हैं। जब एक विकल्प बाकी से अलग हो, उसे अलग मामला बनाइए। / By color cases, (5\(1\times2+6\times4\)=130) combinations are obtained. When one option behaves differently, make it a separate case.
एक दिन के (6) पीरियड में (8) विषय बिना पुनरावृत्ति के लगाने हैं। अंतिम पीरियड (3) प्रयोगशाला विषयों में से होना चाहिए और पहला पीरियड दो गैर-प्रयोगशाला विषयों में से कोई नहीं हो सकता, तो समय-सारिणी कितनी बनेंगी?
अंतिम स्थान के (3), पहले स्थान के (5) और बीच के (4) स्थानों के लिए \(6\times5\times4\times3\) विकल्प हैं। पहले तय प्रतिबंधित स्थानों को भरें। / There are (3) choices for the last place, (5) for the first place, and \(6\times5\times4\times3\) choices for the middle (4) places. Fill restricted positions first.
यदि (7) पहले स्थान पर हो तो (3024) पिन और अन्य स्थानों पर हो तो (10752) पिन बनते हैं। स्थान आधारित मामले ऐसे प्रश्नों में सुरक्षित तरीका हैं। / If (7) is in the first place, (3024) PINs are possible, and in other places (10752) PINs are possible. Position-based cases are a safe method for such questions.
चार विषयों से एक-एक पुस्तक चुननी है। गणित में (5), भौतिकी में (4), रसायन में (6) और जीवविज्ञान में (3) पुस्तकें हैं। गणित की पहली पुस्तक और रसायन की दूसरी पुस्तक साथ नहीं चुनी जा सकतीं, तो कुल चयन कितने होंगे?
कुल चयन \(5\times4\times6\times3=360\) हैं और अमान्य चयन \(1\times4\times1\times3=12\) हैं। कुल में से प्रतिबंधित चयन घटाएँ। / Total selections are \(5\times4\times6\times3=360\), and invalid selections are \(1\times4\times1\times3=12\). Subtract the forbidden selections from the total.
(X) से (Y) तक (7) रास्ते, (Y) से (Z) तक (6) रास्ते और (Z) से (W) तक (4) रास्ते हैं। यदि (Y) से (Z) का पहला रास्ता चुना जाए तो आगे केवल (2) रास्ते मिलते हैं, तो कुल यात्राएँ कितनी हैं?
बीच के विशेष रास्ते के लिए (2) और बाकी (5) रास्तों के लिए (4) विकल्प हैं, इसलिए (7\(2+5\times4\)=154)। विशेष स्थिति को अलग गिनें। / For the special middle route there are (2) choices, and for the other (5) routes there are (4) choices, so (7\(2+5\times4\)=154). Count the special case separately.
एक पहचान संख्या में (2) अलग अक्षर और फिर (4) विषम अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और विषम अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, तो कुल पहचान संख्याएँ कितनी बनेंगी?
अक्षरों के लिए \(26\times25\) और विषम अंकों के लिए \(5^4\) विकल्प हैं। पुनरावृत्ति हो तो हर स्थान पर वही विकल्प बने रहते हैं। / For letters there are \(26\times25\) choices and for odd digits \(5^4\) choices. If repetition is allowed, each place keeps the same choices.
पासवर्ड का रूप अक्षर-अंक-अक्षर-अंक-अक्षर-अंक है। पहला अक्षर स्वर है, तीनों अक्षर अलग हैं, तीनों अंक अलग हैं और अंतिम अंक सम है, तो पासवर्डों की संख्या कितनी है?
अक्षरों के लिए \(5\times25\times24\) और अंकों के लिए \(9\times8\times5\) व्यवस्था मिलती है। अंतिम स्थान की शर्त को अलग चरण मानें। / For letters we get \(5\times25\times24\), and for digits \(9\times8\times5\). Treat the condition on the last position as a separate stage.
एक भोजन में (6) स्टार्टर, (8) मुख्य व्यंजन और (5) मिठाइयाँ हैं। (2) विशेष मुख्य व्यंजनों के साथ केवल (3) मिठाइयाँ मिलती हैं, बाकी के साथ (5), तो कुल भोजन संयोजन कितने हैं?
मुख्य व्यंजन के अनुसार मामले बनते हैं, इसलिए (6{\(6\times5\)+\(2\times3\)}=216)। प्रतिबंध दिखे तो पहले मामले अलग करें। / Cases depend on the main dish, so (6{\(6\times5\)+\(2\times3\)}=216). When a restriction appears, split cases first.
एक यात्री (A) से (B) तक (4) रास्तों से, (B) से (C) तक (3) रास्तों से और (C) से (D) तक (5) रास्तों से जा सकता है। (A) से (D) तक कुल यात्राएँ कितनी होंगी?
तीनों चरण स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times3\times5=60\)। क्रमिक चयन में सीधे गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The three stages are independent, so \(4\times3\times5=60\). For consecutive choices apply the multiplication principle directly.
एक कोड में पहले (3) अलग अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला से और फिर (2) अंक आते हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, तो कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(26\times25\times24\) और अंकों के लिए \(9\times10\) विकल्प हैं। परीक्षा में हर चरण के विकल्प गुणा करें। / For letters there are \(26\times25\times24\) choices and for digits \(9\times10\) choices. In exams multiply the choices at each stage.
