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पहले (n\(A\cup B\)=180-38=142), फिर (n\(A\cap B\)=92+84-142=34)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=180-38=142), then (n\(A\cap B\)=92+84-142=34). If the outside region is given, find the union first.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (n\(A\cap B\)=126-47-39=40)। क्षेत्रीय विभाजन वाले प्रश्नों में अंदर के अलग भाग पहचानें। / The union is the sum of three separate parts, so (n\(A\cap B\)=126-47-39=40). In region-partition questions, identify separate inside regions.
ठीक एक (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) होता है, इसलिए (86=142-2x) से (x=28)। इस प्रकार उल्टे प्रश्न में समीकरण बनाएं। / Exactly one is (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (86=142-2x) gives (x=28). For inverse questions, form an equation.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=77+64-120=21) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=77+64-120=21). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
अधिकतम प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए मान (59) है। अधिकतम के लिए (\min(n(A),n(B))) देखें। / The maximum intersection cannot exceed the smaller set, so the value is (59). For maximum, check (\min(n(A),n(B))).
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (130-91=39)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जरूरी नहीं है, यह जाल हो सकता है। / \(B^c\) contains elements of (U) not in (B), so (130-91=39). The subset information is not needed here and can be a trap.
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=118-29=89)। nested वेन आरेख में जिस समुच्चय को हटाना हो केवल वही घटाएं। / Since (A) lies fully inside (C), (n(C-A)=118-29=89). In a nested Venn diagram, subtract only the set being removed.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=64), (n(B)=58), (n(C)=52), (n\(A\cap B\)=24), (n\(B\cap C\)=21), (n\(C\cap A\)=19) और (n\(A\cap B\cap C\)=8) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
तीन समुच्चयों का संघ (64+58+52-24-21-19+8=118) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (64+58+52-24-21-19+8=118). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
सूत्र में (140=70+65+60-28-24-22+x) होगा, इसलिए (x=19)। केंद्रीय भाग के लिए समावेशन-बहिष्करण को समीकरण की तरह लिखें। / In the formula (140=70+65+60-28-24-22+x), so (x=19). For the central part, write inclusion-exclusion as an equation.
ठीक दो (=(31-12)+(29-12)+(25-12)=49) है। प्रत्येक जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(31-12)+(29-12)+(25-12)=49). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
केवल (A=80-35-32+14=27) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए एक बार वापस जोड़ें। / Only (A=80-35-32+14=27). The central part is subtracted twice, so add it back once.
कम से कम दो (=(42-15)+(36-15)+(34-15)+15=82) होना चाहिए, इसलिए सही मान (82) है। पहले ठीक दो निकालें और फिर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two should be ((42-15)+(36-15)+(34-15)+15=82), so the correct value is (82). First find exactly two and then add the all-three part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=23), केवल (B=27), केवल (C=21), केवल \(A\cap B=13\), केवल \(B\cap C=11\), केवल \(C\cap A=9\) और \(A\cap B\cap C=7\) हैं। (n(\(A\cup B\cup C\)^c)) कितना होगा यदि (n(U)=130)?
अंदर का संघ (23+27+21+13+11+9+7=111), इसलिए बाहर (130-111=19)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The inside union is (23+27+21+13+11+9+7=111), so outside is (130-111=19). Add all seven inside regions only once.
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (18+12+10+6=46) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके पूरे वृत्त के भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (18+12+10+6=46). The total of a set comes from all regions of its circle.
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों शामिल हैं, इसलिए (119-82=37)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (119-82=37). The symmetric difference does not include the common part.
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (88=142-2x) से (x=27)। ठीक एक और साझा भाग में अंतर करें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (88=142-2x) gives (x=27). Distinguish exactly one from the common part.
संघ से साझा भाग हटाने पर केवल एक-एक समुच्चय वाले भाग बचते हैं। यही \(A\triangle B\) है। / Removing the common part from the union leaves the regions belonging to exactly one set. That is \(A\triangle B\).
प्रतिच्छेद का पूरक संघ में बदलता है, इसलिए (\(A\cap B\cap C\)^c=A^c\cup B^c\cup C^c)। पूरक लेते समय चिन्ह बदलना याद रखें। / The complement of an intersection changes into a union, so (\(A\cap B\cap C\)^c=A^c\cup B^c\cup C^c). Remember that the operation changes under complement.
संघ का पूरक प्रतिच्छेद में बदलता है, इसलिए (\(A\cup B\cup C\)^c=A^c\cap B^c\cap C^c)। वेन आरेख में यह तीनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The complement of a union changes into an intersection, so (\(A\cup B\cup C\)^c=A^c\cap B^c\cap C^c). In a Venn diagram, it is the outside of all three circles.
(\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c), इसलिए (128+72=200) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c), so (128+72=200) is true. Complementary regions together form the whole (U).
साझा तत्व (6) के गुणज होंगे, जो (6,12,18,24,30) हैं। इसलिए संख्या (5) है। / The common elements are multiples of (6), namely (6,12,18,24,30). Hence the count is (5).
(4) के गुणज (10), (5) के गुणज (8), और (20) के गुणज (2) हैं, इसलिए (10+8-2=16)। लघुत्तम समापवर्त्य से साझा भाग निकालें। / Multiples of (4) are (10), multiples of (5) are (8), and multiples of (20) are (2), so (10+8-2=16). Use the LCM to find the common part.
\((U={1,2,3,\ldots,60}), (A={x:x\) is divisible by \(2}), (B={x:x\) is divisible by \(3}) और (C={x:x\) is divisible by 5}) हैं। \((n(A\cap B\cap C)) कितना है\)?
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60)। इसलिए संख्या (2) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60). Hence the count is (2).
(10) से विभाज्य संख्या (2) और (5) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (10) is divisible by both (2) and (5), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common region.
A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता है/These determine (n\(A\cup B\cup C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल कुछ अंतरों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि प्रतिच्छेदों की जानकारी अधूरी है। ऐसे प्रश्नों में पर्याप्त डेटा की जांच करें। / A few differences alone do not determine the whole union because intersection information is incomplete. In such questions, check whether the data is sufficient.
संघ सूत्र में घटने वाला भाग (n\(A\cap B\)) है, जो यहां (0) होगा। इसलिए समुच्चय असंबद्ध हैं। / In the union formula, the subtracted part is (n\(A\cap B\)), which must be (0) here. Hence the sets are disjoint.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) से बड़ा क्षेत्र नहीं बन रहा, इसलिए (B) पहले से (A) में है। इसलिए \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) does not enlarge the region, so (B) is already inside (A). Therefore \(B\subseteq A\).
पूरा (A) प्रतिच्छेद में आ रहा है, इसलिए (A) का हर तत्व (B) में भी है। अतः \(A\subseteq B\)। / All of (A) is appearing in the intersection, so every element of (A) is also in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(A) से साझा भाग (55-20=35), लेकिन (B) से (50-18=32) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (55-20=35), but from (B), it is (50-18=32). Since these are not equal, the data are inconsistent.
एक सर्वे में (n(U)=200), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=40), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=29) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (96+88+74-40-31-29+12=170) है, इसलिए कोई नहीं (200-170=30)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (96+88+74-40-31-29+12=170), so none is (200-170=30). First find the three-set union.
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=150), केवल (A=32), केवल (B=28), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=18\), केवल \(B\cap C=16\) और केवल \(C\cap A=14\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (32+28+24+18+16+14=132) है, इसलिए केंद्रीय भाग (150-132=18)। संघ में सभी सात अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of six known inside regions is (32+28+24+18+16+14=132), so the central part is (150-132=18). The union contains all seven inside regions.
संघ में ठीक एक, ठीक दो और तीनों वाले सभी भाग आते हैं। इसलिए (71+46+15=132)। / The union includes the regions of exactly one, exactly two, and all three. Hence (71+46+15=132).
कुल सदस्यता (82+76+70=228) है। यह ठीक एक \(+2\times54+3\times18\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (228-108-54=66)। / Total memberships are (82+76+70=228). This equals exactly one \(+2\times54+3\times18\), so exactly one is (228-108-54=66).
पहले (n(B-A)=104-37-26=41), फिर (n(B)=41+26=67)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों जोड़ें। / First (n(B-A)=104-37-26=41), then (n(B)=41+26=67). Add only (B) and the common part to get (B).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (160-125=35)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (160-125=35). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (170-44=126) होना चाहिए। (146) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (170-44=126). Since (146) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (30+15=45)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (30+15=45). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (120-22=98)। साझा भाग का पूरक पूरे (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (120-22=98). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
(A) दो भागों में बंटता है, \(A\cap B\) और \(A\cap B^c\)। दोनों का संघ पूरा (A) बनाता है। / (A) splits into two parts, \(A\cap B\) and \(A\cap B^c\). Their union forms the whole of (A).
वितरण नियम से (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A)। क्योंकि \(B\cap B^c=\varnothing\)। / By distributive law, (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A). This is because \(B\cap B^c=\varnothing\).
तीन अंदरूनी भागों का योग (33+27+18=78) है, इसलिए बाहर (110-78=32)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (33+27+18=78), so outside is (110-78=32). The four regions together form the whole (U).
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (44+36=80) होना चाहिए। (92) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (44+36=80). Since (92) is given, the data are inconsistent.
पहले (n\(A\cap B\)=73+67-115=25)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-25=125), अतः दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=73+67-115=25). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-25=125), hence none of the given options is correct.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों होता है। इसलिए ठीक एक (180-70-20=90)। / The union equals exactly one plus exactly two plus all three. Therefore exactly one is (180-70-20=90).
संघ के भागों से (x+2x+15=75), इसलिए (3x=60) और (x=20)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+2x+15=75), so (3x=60) and (x=20). Solve unknown regions by forming an equation.
पहले (n\(A\cup B\)=210-58=152), फिर (n\(A\cap B\)=96+88-152=32)। बाहर का भाग मिले तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=210-58=152), then (n\(A\cap B\)=96+88-152=32). If the outside part is given, find the union first.
पहले (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), इसलिए पूरक (190-144=46) है। बाहर का भाग निकालने से पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), so the complement is (190-144=46). Find the union before finding the outside region.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=148-52-43=53)। अलग क्षेत्रों को केवल एक बार गिनें। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=148-52-43=53). Count each separate region only once.
संघ में सममित अंतर और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (112+39=151)। \(A\triangle B\) में साझा भाग शामिल नहीं होता। / The union contains both the symmetric difference and the common part, so (112+39=151). \(A\triangle B\) does not include the common part.
तीन समुच्चयों का संघ (90+84+78-36-32-30+13=167) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग जोड़ें। / The union of three sets is (90+84+78-36-32-30+13=167). After subtracting pairwise intersections, add the central part.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15) है। कुल संख्या (U) से अधिक हो तो अतिरिक्त भाग साझा होना जरूरी है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15). If the total exceeds (U), the extra part must be common.
ठीक दो (=(45-16)+(38-16)+(35-16)=70) होना चाहिए, इसलिए विकल्पों में सही मान (70) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two should be ((45-16)+(38-16)+(35-16)=70), so the correct option is (70). Subtract the all-three part from each pair.
प्रतिच्छेद किसी भी समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम मान (74) है। अधिकतम के लिए छोटे समुच्चय का मान देखें। / The intersection cannot be larger than either set, so the maximum value is (74). For maximum, use the smaller set.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (105+96-180=21) है। जब दोनों कुल मिलकर (U) से अधिक हों, तो अतिरिक्त भाग साझा होता है। / The minimum intersection is (105+96-180=21). When the two totals exceed (U), the extra part must be common.
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (150-108=42)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जाल है। / \(B^c\) contains elements of (U) that are not in (B), so (150-108=42). The subset information is a trap here.
पहले (n(B-A)=136-49-31=56), फिर (n(B)=56+31=87)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=136-49-31=56), then (n(B)=56+31=87). (B) contains only (B) and the common part.
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=132-37=95)। हटाए गए समुच्चय को ही घटाएं। / Since (A) lies completely inside (C), (n(C-A)=132-37=95). Subtract only the set being removed.
(4) के गुणज (24), (6) के गुणज (16), और (12) के गुणज (8) हैं, इसलिए (24+16-8=32)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (4) are (24), multiples of (6) are (16), and multiples of (12) are (8), so (24+16-8=32). Use the LCM for the common part.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=72), (n(B)=66), (n(C)=59), (n\(A\cap B\)=28), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=22) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
तीन समुच्चयों का संघ (72+66+59-28-24-22+9=132) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (72+66+59-28-24-22+9=132). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
तीन अंदरूनी भागों का योग (48+44+28=120) है, इसलिए बाहर (160-120=40)। चारों क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (48+44+28=120), so outside is (160-120=40). The four regions together form the whole (U).
सूत्र में (162=82+76+70-34-30-27+x) होगा, इसलिए (x=15)। अज्ञात केंद्रीय भाग के लिए समीकरण बनाएं। / In the formula (162=82+76+70-34-30-27+x), so (x=15). Form an equation for the unknown central part.
ठीक दो (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58) है। हर जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
केवल (A=94-40-37+16=33) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए उसे एक बार जोड़ें। / Only (A=94-40-37+16=33). The central part is subtracted twice, so add it once.
कम से कम दो (=(48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94) है। ठीक दो निकालकर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two is ((48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94). Find exactly two and then add the all-three part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=31), केवल (B=26), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=15\), केवल \(B\cap C=13\), केवल \(C\cap A=11\) और \(A\cap B\cap C=8\) हैं। यदि (n(U)=160), तो (n(\(A\cup B\cup C\)^c)) कितना होगा?
अंदर का संघ (31+26+24+15+13+11+8=128), इसलिए बाहर (160-128=32)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / The inside union is (31+26+24+15+13+11+8=128), so outside is (160-128=32). Add all seven inside regions.
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (25+14+12+9=60) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके वृत्त के सभी भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (25+14+12+9=60). The total of a set is found from all regions inside its circle.
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग होते हैं, इसलिए (137-96=41)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (137-96=41). The symmetric difference excludes the common part.
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (104=170-2x) से (x=33)। ठीक एक और साझा भाग अलग रखें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (104=170-2x) gives (x=33). Keep exactly one and common parts separate.
क्योंकि (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (157+83=240) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / Since (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), (157+83=240) is true. Complementary regions together form the whole (U).
साझा तत्व (6) के गुणज होंगे, यानी (6,12,18,24,30,36)। इसलिए संख्या (6) है। / The common elements are multiples of (6), namely (6,12,18,24,30,36). Hence the count is (6).
(6) के गुणज (12), (8) के गुणज (9) और (24) के गुणज (3) हैं, इसलिए (12+9-3=18)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (6) are (12), multiples of (8) are (9), and multiples of (24) are (3), so (12+9-3=18). Use the LCM for the common part.
\((U={1,2,3,\ldots,90}), (A={x:x\) 2 से विभाज्य है\(}), (B={x:x\) 3 से विभाज्य है\(}) और (C={x:x\) 5 से विभाज्य है}) हैं। \((n(A\cap B\cap C)) कितना है\)?
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60,90)। इसलिए संख्या (3) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60,90). Hence the count is (3).
(12) से विभाज्य संख्या (3) और (4) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (12) is divisible by both (3) and (4), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common part.
A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता है/These determine (n\(A\cup B\cup C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल कुछ अंतर क्षेत्रों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि कई साझा भाग अज्ञात रहते हैं। डेटा पर्याप्त है या नहीं, पहले जांचें। / A few difference regions alone do not determine the whole union because many common regions remain unknown. First check whether the data is sufficient.
(n\(A\cap B\)=56-19=37) है और (61-24=37) से पुष्टि होती है। दोनों तरफ से समान साझा भाग मिलना चाहिए। / (n\(A\cap B\)=56-19=37), and (61-24=37) confirms it. The same common part should be obtained from both sides.
(A) से साझा भाग (64-22=42), लेकिन (B) से (59-20=39) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (64-22=42), but from (B), it is (59-20=39). Since these are not equal, the data are inconsistent.
एक सर्वे में (n(U)=260), (n(A)=118), (n(B)=104), (n(C)=92), (n\(A\cap B\)=48), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (118+104+92-48-41-37+16=204) है, इसलिए कोई नहीं (260-204=56)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (118+104+92-48-41-37+16=204), so none is (260-204=56). First find the three-set union.
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=172), केवल (A=38), केवल (B=34), केवल (C=29), केवल \(A\cap B=21\), केवल \(B\cap C=18\) और केवल \(C\cap A=16\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (38+34+29+21+18+16=156) है, इसलिए केंद्रीय भाग (172-156=16)। संघ में सातों अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of the six known inside regions is (38+34+29+21+18+16=156), so the central part is (172-156=16). The union contains all seven inside regions.
संघ में ठीक एक, ठीक दो और तीनों वाले सभी भाग आते हैं। इसलिए (84+63+18=165)। / The union includes exactly one, exactly two, and all-three regions. Hence (84+63+18=165).
ठीक दो (156-74-17=65) हैं। संघ को ठीक एक, ठीक दो और तीनों में बांटकर हल करें। / Exactly two is (156-74-17=65). Solve by dividing the union into exactly one, exactly two, and all three.
कुल सदस्यता (96+88+82=266) है। यह ठीक एक \(+2\times69+3\times21\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (266-138-63=65)। / Total memberships are (96+88+82=266). This equals exactly one \(+2\times69+3\times21\), so exactly one is (266-138-63=65).
पहले (n(B-A)=128-45-32=51), फिर (n(B)=51+32=83)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=128-45-32=51), then (n(B)=51+32=83). (B) contains only (B) and the common part.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (190-143=47)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (190-143=47). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (210-52=158) होना चाहिए। (170) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (210-52=158). Since (170) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (37+18=55)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (37+18=55). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-29=121)। साझा भाग का पूरक (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-29=121). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
तीन अंदरूनी भागों का योग (41+34+26=101) है, इसलिए बाहर (130-101=29)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (41+34+26=101), so outside is (130-101=29). The four regions together form the whole (U).
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (52+39=91) होना चाहिए। (100) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (52+39=91). Since (100) is given, the data are inconsistent.
पहले (n\(A\cap B\)=82+76-139=19)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (190-19=171)। दिए गए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=82+76-139=19). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (190-19=171). None of the given options is correct.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों होता है। इसलिए ठीक एक (205-83-24=98)। / The union equals exactly one plus exactly two plus all three. Therefore exactly one is (205-83-24=98).
संघ के भागों से (x+3x+24=120), इसलिए (4x=96) और (x=24)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+3x+24=120), so (4x=96) and (x=24). Solve unknown regions by forming an equation.
केवल (A) के लिए (n(A)-n\(A\cap B\)=72-38=34)। परीक्षा में पहले साझा भाग घटाएं। / Only (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=72-38=34). In exams, subtract the common part first.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से साझा भाग (58+49-96=11) है। हमेशा संघ में दोहरी गिनती घटती है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the common part is (58+49-96=11). Always remove double counting in a union.
पहले (n\(A\cup B\)=52+47-24=75), इसलिए बाहर (90-75=15) है। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र अंत में निकालें। / First (n\(A\cup B\)=52+47-24=75), so outside is (90-75=15). In a Venn diagram, find the outside region at the end.
पूरक के लिए (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32)। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संबंधित होता है। / For complement, (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32). A complement is always taken with respect to the universal set.
तीन समुच्चयों का सूत्र (40+38+35-14-12-10+5=82) देता है। तीनों के साझा भाग को अंत में फिर जोड़ना जरूरी है। / The three-set formula gives (40+38+35-14-12-10+5=82). The common part of all three must be added back at the end.
सूत्र में (100=50+45+40-18-15-12+x), इसलिए (x=10)। अज्ञात त्रिक छेदन को (x) मानकर हल करें। / In the formula, (100=50+45+40-18-15-12+x), so (x=10). Take the unknown triple intersection as (x) and solve.
एक वेन आरेख में (n\(A\cap B\cap C\)=7), केवल \(A\cap B\) में (9), केवल \(B\cap C\) में (6), केवल \(C\cap A\) में (5) और केवल (A) में (18) है। (n(A)) कितना है?
(A) में केवल (A), केवल \(A\cap B\), केवल \(C\cap A\) और तीनों साझा आते हैं, इसलिए (18+9+5+7=39)। क्षेत्र जोड़ते समय केवल (A) के अंदर वाले भाग चुनें। / Set (A) contains only (A), only \(A\cap B\), only \(C\cap A\), and the triple part, so (18+9+5+7=39). While adding regions, choose only parts inside (A).
किसी में भी नहीं (=n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36)। बाहरी क्षेत्र सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाने पर मिलता है। / None of them equals (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36). The outside region is found by subtracting the union from the universal set.
यदि केवल (A), केवल (B), केवल (C), ठीक दो समुच्चयों में और तीनों समुच्चयों में क्रमशः (16), (19), (14), (27), (8) तत्व हैं, तो कम से कम एक समुच्चय में कुल कितने तत्व हैं?
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (16+19+14+27+8=84)। वेन आरेख में सभी अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / At least one means the union, so (16+19+14+27+8=84). In a Venn diagram, add all inside regions.
ठीक एक (=(60-25)+(55-25)=65)। दोनों में आने वालों को दोनों समुच्चयों से अलग-अलग घटाएं। / Exactly one is ((60-25)+(55-25)=65). Subtract the common elements separately from both sets.
केवल भौतिकी (=39-22=17)। केवल वाले क्षेत्र के लिए कुल से साझा क्षेत्र घटाएं। / Only Physics is (39-22=17). For an only-region, subtract the common region from the set total.
जब \(A\subseteq B\), तब (B-A) में (64-28=36) तत्व होते हैं। उपसमुच्चय का पूरा वृत्त बड़े समुच्चय के अंदर होता है। / When \(A\subseteq B\), (B-A) has (64-28=36) elements. The subset circle lies completely inside the larger set.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (31+44=75)। असंबद्ध वृत्त वेन आरेख में नहीं कटते। / For disjoint sets, the common part is (0), so (31+44=75). Disjoint circles do not overlap in a Venn diagram.
संघ तीन अलग क्षेत्रों का योग है, इसलिए (23+17+12=52)। वेन आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों को एक बार ही जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (23+17+12=52). In a Venn diagram, add each separate region only once.
(B) में (B-A) और \(A\cap B\) आते हैं, इसलिए (B-A=47-15=32)। दिए गए (A-B) से भ्रमित न हों। / Set (B) contains (B-A) and \(A\cap B\), so (B-A=47-15=32). Do not get confused by the given (A-B).
A. क्योंकि (A-B) में \(A\cap C\) का कुछ भाग आ सकता है/Because (A-B) may include a part of \(A\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
तीन समुच्चयों में (A-B) का अर्थ (A) में वे सभी भाग हैं जो (B) में नहीं हैं, इसमें केवल (A) और केवल \(A\cap C\) आ सकते हैं। क्षेत्र का अर्थ पढ़कर ही संख्या रखें। / In three sets, (A-B) means all parts of (A) not in (B), which can include only (A) and only \(A\cap C\). Always interpret the region before placing the number.
\(A'\cap B'\) का अर्थ दोनों से बाहर है, इसलिए (n\(A\cup B\)=100-18=82)। अब (48+52-n\(A\cap B\)=82), अतः (18)। / \(A'\cap B'\) means outside both, so (n\(A\cup B\)=100-18=82). Now (48+52-n\(A\cap B\)=82), hence (18).
(n(A)=45) और (n(B)=38), इसलिए (n\(A\cup B\)=45+38-25=58)। बाहर का भाग (80-58=22) है। / (n(A)=45) and (n(B)=38), so (n\(A\cup B\)=45+38-25=58). The outside part is (80-58=22).
संघ (=(A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), इसलिए साझा भाग (70-24-31=15) है। संघ में तीन अलग क्षेत्र होते हैं। / Union equals ((A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), so the common part is (70-24-31=15). A union has three separate regions in two sets.
सममित अंतर \(A\Delta B\) ठीक एक समुच्चय के क्षेत्र देता है, इसलिए संघ (54+19=73) है। साझा क्षेत्र अलग से जोड़ना होता है। / The symmetric difference \(A\Delta B\) gives the exactly-one regions, so the union is (54+19=73). The common region must be added separately.
A. (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)-3n\(A\cap B\cap C\))
Explanation
Simple Explanation
हर युग्म छेदन में त्रिक छेदन शामिल होता है, जो तीन बार गिना जाता है, इसलिए (3n\(A\cap B\cap C\)) घटता है। ठीक दो में त्रिक भाग शामिल नहीं होता। / Each pairwise intersection includes the triple intersection, counted three times, so (3n\(A\cap B\cap C\)) is subtracted. Exactly two does not include the triple part.
ठीक दो \(=20+18+16-3\cdot6=36\)। युग्म छेदनों में त्रिक भाग बार-बार गिना जाता है। / Exactly two is \(20+18+16-3\cdot6=36\). The triple part is counted repeatedly in pairwise intersections.
सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर सभी क्षेत्र आते हैं, इसलिए (12+15+10+33+9+21=100)। कोई भी क्षेत्र न छोड़ें। / The universal set contains all inside and outside regions, so (12+15+10+33+9+21=100). Do not skip any region.
एक सर्वेक्षण में (45) लोग (A), (50) लोग (B), (42) लोग (C), (18) लोग \(A\cap B\), (20) लोग \(B\cap C\), (16) लोग \(C\cap A\), और (7) लोग तीनों में हैं। केवल (A) में कितने लोग हैं?
केवल (A=45-(18-7)-(16-7)-7=18)। युग्म छेदनों से त्रिक भाग अलग करके घटाएं। / Only (A=45-(18-7)-(16-7)-7=18). Separate the triple part from pairwise intersections before subtracting.
यदि (n(A)=70), (n(B)=62), (n(C)=58), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26), (n\(A\cap B\cap C\)=12), और (n(U)=130) है, तो किसी में भी नहीं कितने हैं?
संघ (70+62+58-30-24-26+12=122) है, इसलिए बाहर (130-122=8)। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / The union is (70+62+58-30-24-26+12=122), so outside is (130-122=8). Find the union first and then take its complement.
पूरा (A) यदि (B) के अंदर है, तो \(A\subseteq B\) है। वेन आरेख में वृत्तों की स्थिति समुच्चय संबंध बताती है। / If all of (A) is inside (B), then \(A\subseteq B\). In Venn diagrams, circle placement shows set relations.
A. नहीं, (A) और (C) कट सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तें केवल (B) को (A) और (C) से अलग करती हैं, (A) और (C) आपस में कट सकते हैं। वेन आरेख से प्रतिउदाहरण जल्दी दिखता है। / The two conditions only separate (B) from (A) and (C); (A) and (C) can still overlap. A Venn diagram quickly shows the counterexample.
(A) के अंदर और (B) के बाहर का क्षेत्र (A-B) है। भाषा को क्षेत्रीय अर्थ में बदलना सीखें। / The region inside (A) and outside (B) is (A-B). Learn to translate words into region meanings.
दोनों के बाहर का भाग \(A'\cap B'\) है, जो (\(A\cup B\)') के बराबर है। डी मॉर्गन नियम याद रखें। / The part outside both is \(A'\cap B'\), which equals (\(A\cup B\)'). Remember De Morgan's law.
संघ के तीन भाग जोड़ें: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), इसलिए (4x+3=45) और (x=10.5) नहीं आता, अतः सही समीकरण में त्रुटि है। / Add the three union parts: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), so (4x+3=45) and (x=10.5), not an integer; hence the given options show inconsistency.
((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46) से (4x+6=46), इसलिए (x=10)। अलग क्षेत्रों का योग संघ होता है। / From ((x+4)+(2x-1)+(x+3)=46), (4x+6=46), so (x=10). The sum of disjoint regions is the union.
सूत्र से ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), इसलिए (4x+20=70) और (x=12.5) आता है, अतः विकल्पों में कोई सही नहीं। / Using the formula, ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), so (4x+20=70) and (x=12.5); therefore none of the listed options is correct.
((4x+6)+(3x+9)-(2x+5)=80) से (5x+10=80), इसलिए (x=14)। सूत्र लगाते समय छेदन घटाना न भूलें। / From ((4x+6)+(3x+9)-(2x+5)=80), (5x+10=80), so (x=14). Do not forget to subtract the intersection.
कम से कम एक (=68+57-31=94), इसलिए प्रतिशत \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\) है। पहले संख्या निकालें फिर प्रतिशत लें। / At least one is (68+57-31=94), so the percentage is \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\). Find the count first, then convert to percentage.
संघ प्रतिशत (35%+48%-20%=63%) है। प्रतिशतों पर भी वही समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगता है। / The union percentage is (35%+48%-20%=63%). The same inclusion-exclusion formula works for percentages.
ठीक एक (=(60%-25%)+(50%-25%)=60%) है। ठीक एक में साझा भाग नहीं लिया जाता। / Exactly one is ((60%-25%)+(50%-25%)=60%). The common part is not included in exactly one.
सामान्य सूत्र में छेदन घटता है, इसलिए बराबरी तभी होगी जब (n\(A\cap B\)=0)। इसका अर्थ असंबद्ध समुच्चय है। / In the general formula, the intersection is subtracted, so equality holds only when (n\(A\cap B\)=0). This means the sets are disjoint.
जब \(A\subseteq B\), तब मिलाकर (B) और साझा भाग (A) होता है। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में यह तुरंत दिखता है। / When \(A\subseteq B\), the union is (B) and the common part is (A). This is immediate from the subset Venn diagram.
A. तीन अलग-अलग असंबद्ध क्षेत्र/Three separate disjoint regions
Explanation
Simple Explanation
आंशिक कटान में (A-B), \(A\cap B\), और (B-A) एक-दूसरे से असंबद्ध अलग क्षेत्र हैं। इन्हीं का योग \(A\cup B\) देता है। / In partial overlap, (A-B), \(A\cap B\), and (B-A) are separate disjoint regions. Their sum gives \(A\cup B\).
ये तीनों \(A\cup B\) के अलग-अलग क्षेत्र हैं, इसलिए (29+34+21=84)। पूरक चिह्न से क्षेत्र पहचानें। / These three are separate regions of \(A\cup B\), so (29+34+21=84). Use the complement symbol to identify the region.
संघ (18+22+16=56) है, इसलिए दोनों के बाहर (75-56=19)। चार क्षेत्रों का कुल योग (U) होता है। / The union is (18+22+16=56), so outside both is (75-56=19). The four regions together make (U).
यदि (A), (B), (C) के वेन आरेख में केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9), और तीनों में (4) हैं, तो (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)) कितना है?
युग्म छेदन योग (=(11+4)+(13+4)+(9+4)=45)। तीनों वाला भाग हर युग्म छेदन में शामिल होता है। / The pairwise intersection sum is ((11+4)+(13+4)+(9+4)=45). The triple part is included in every pairwise intersection.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (95-46-33=16)। क्षेत्र श्रेणियां अलग-अलग होती हैं। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (95-46-33=16). These region categories are disjoint.
सूत्र से (120=55+60+65-78+x), इसलिए (x=18)। युग्म छेदन का योग सीधे सूत्र में घटता है। / Using the formula, (120=55+60+65-78+x), so (x=18). The sum of pairwise intersections is subtracted directly in the formula.
पहले (B-A=88-35-26=27)। फिर (n(B)=27+26=53)। क्षेत्रवार काम करने से गलती कम होती है। / First (B-A=88-35-26=27). Then (n(B)=27+26=53). Working region by region reduces mistakes.
ठीक एक (=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (82=140-2x) और (x=29)। ठीक एक में साझा भाग दो बार घटता है। / Exactly one equals (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (82=140-2x) and (x=29). The common part is removed twice for exactly one.
A. क्योंकि कई अंदरूनी क्षेत्र अभी अज्ञात हैं/Because several inner regions are still unknown
Explanation
Simple Explanation
तीन-समुच्चय वेन आरेख में केवल ये अंतर कुछ क्षेत्रों को ही बताते हैं, सभी सात अंदरूनी क्षेत्र नहीं। संघ जानने के लिए सभी अंदरूनी क्षेत्र चाहिए। / In a three-set Venn diagram, these differences describe only some regions, not all seven inner regions. To know the union, all inner regions are needed.
A. क्योंकि खाली न होने वाले सदस्यता प्रकार \(2^3-1=7\) होते हैं/Because the non-empty membership types are \(2^3-1=7\)
Explanation
Simple Explanation
तीन समुच्चयों के लिए कुल सदस्यता प्रकार \(2^3\) हैं, जिनमें एक बाहर का क्षेत्र है, इसलिए अंदर \(2^3-1=7\) क्षेत्र हैं। क्षेत्र गिनने में बाहर वाला अलग रखें। / For three sets, there are \(2^3\) membership types, one of which is outside, so inner regions are \(2^3-1=7\). Keep the outside region separate while counting.
यदि (n(U)=250), (n(A)=120), (n(B)=110), (n(C)=95), (n\(A\cap B\)=52), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37), (n\(A\cap B\cap C\)=19) है, तो कम से कम एक में नहीं होने वालों की संख्या क्या है?
कम से कम एक का संघ (120+110+95-52-41-37+19=214) है, इसलिए बाहर (250-214=36)। लंबी संख्याओं में सूत्र क्रम से लिखें। / The union for at least one is (120+110+95-52-41-37+19=214), so outside is (250-214=36). With large numbers, write the formula in order.
एक कक्षा में (100) विद्यार्थियों में (72) ने (A) या (B) में से कम से कम एक चुना। यदि केवल (A) में (28) और केवल (B) में (34) हैं, तो दोनों में कितने हैं?
संघ (=) केवल (A) (+) केवल (B) (+) दोनों, इसलिए दोनों (72-28-34=10)। कम से कम एक का अर्थ संघ है। / Union equals only (A) plus only (B) plus both, so both is (72-28-34=10). At least one means union.
