तीन समुच्चयों A, B, C के लिए n(A)=84, n(B)=78, n(C)=72 हैं। ठीक एक समुच्चय में 96 तत्व हैं और तीनों में 12 तत्व हैं। ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्व होंगे?

Correct Answer: B. 51. Explanation: कुल सदस्यता (membership) का योग है \(84+78+72=234\)। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्वों की संख्या हो तो सदस्यता योग को समूहों के योगदान के रूप में लिखा जा सकता है: ठीक एक समुच्चय के तत्व एक-एक बार गिने जाते हैं, ठीक दो समुच्चयों के तत्व प्रत्येक दो बार गिने जाते हैं, और तीनों में के तत्व तीन बार गिने जाते हैं। इसलिए \(234 = 96 + 2x + 3\times12\). इससे \(2x = 234-96-36 = 102\) और \(x = 51\)। गलत विकल्पों की जाँच: यदि x=60 होता तो \(96+2\times60+3\times12=252\) जो 234 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र की multiplicity याद रखें — ठीक दो वाले हिस्से को दो बार गिनना होता है और तीनों में वाले को तीन बार। / Total membership count is \(84+78+72=234\). Let x be the number of elements in exactly two sets. In the sum of memberships each element in exactly one is counted once, each element in exactly two is counted twice, and each element in all three is counted three times. Thus \(234 = 96 + 2x + 3\times12\). So \(2x = 234-96-36 = 102\) and \(x = 51\). Why the nearest distractor is wrong: plugging x=60 gives \(96+2\times60+3\times12=252\neq234\). Exam tip: draw the three-set Venn diagram and write the total-membership equation \(\text{sum}=\text{one}+2\times\text{two}+3\times\text{three}\) before solving.