तीन समुच्चयों A, B, C के लिए n(A)=72, n(B)=66, n(C)=60 दिए हैं; ठीक एक समुच्चय में 84 तत्त्व हैं और तीनों में 10 तत्त्व हैं। ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्त्व हैं?

Correct Answer: B. 42. Explanation: तीन समुच्चयों के समुच्च्यक योग से कुल सदस्यताएँ मिलती हैं: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्त्वों की संख्या हो, तो प्रत्येक ऐसा तत्त्व दो बार कुल योग में गिना जाता है और जो तत्त्व तीनों में हैं वे तीन बार गिने जाते हैं। अतः \(198 = 84 + 2x + 3\times10\). इसके से \(198=84+2x+30=114+2x\) और \(2x=84\) इसलिए \(x=42\)। भ्रष्ट विकल्प का कारण: विकल्प C (52) तब आ सकता है जब तीन-समुच्चय के योगदान का गलत उपयोग कर के केवल एक बार घटाया जाए — लेकिन ठीक-दो के सदस्य कुल योग में दो-दो बार गिने जाते हैं। परीक्षा-सूत्र: Venn आरेख बनाकर या inclusion–exclusion के रूप में "कुल सदस्यताएँ = ठीक एक + 2×(ठीक दो) + 3×(ठीक तीन)" याद रखें। / Sum of memberships gives total counts: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198. Let x be the number of elements in exactly two sets. Elements in exactly one set contribute once, those in exactly two sets contribute twice to the sum of sizes, and those in all three contribute three times. Thus \(198 = 84 + 2x + 3\times10\). So \(198=84+2x+30=114+2x\), hence \(2x=84\) and \(x=42\). Why a common wrong answer appears: option C (52) can result from mishandling the triple intersection (for example subtracting it only once instead of accounting for how many times it's counted). Remember that exactly-two elements are counted twice in the sum of individual set sizes. Exam tip: Draw a three-circle Venn or use the equation "total memberships = exactly one + 2×(exactly two) + 3×(exactly three)" to avoid double-counting errors.