Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the common part is (58+49-96=11). Always remove double counting in a union.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (11). Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the common part is (58+49-96=11). Always remove double counting in a union.
Step 3
Exam Tip
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से साझा भाग (58+49-96=11) है। हमेशा संघ में दोहरी गिनती घटती है।
For complement, (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32). A complement is always taken with respect to the universal set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (32). For complement, (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32). A complement is always taken with respect to the universal set.
Step 3
Exam Tip
पूरक के लिए (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32)। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संबंधित होता है।
एक वेन आरेख में (n\(A\cap B\cap C\)=7), केवल \(A\cap B\) में (9), केवल \(B\cap C\) में (6), केवल \(C\cap A\) में (5) और केवल (A) में (18) है। (n(A)) कितना है?
Set (A) contains only (A), only \(A\cap B\), only \(C\cap A\), and the triple part, so (18+9+5+7=39). While adding regions, choose only parts inside (A).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (39). Set (A) contains only (A), only \(A\cap B\), only \(C\cap A\), and the triple part, so (18+9+5+7=39). While adding regions, choose only parts inside (A).
Step 3
Exam Tip
(A) में केवल (A), केवल \(A\cap B\), केवल \(C\cap A\) और तीनों साझा आते हैं, इसलिए (18+9+5+7=39)। क्षेत्र जोड़ते समय केवल (A) के अंदर वाले भाग चुनें।
None of them equals (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36). The outside region is found by subtracting the union from the universal set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (36). None of them equals (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36). The outside region is found by subtracting the union from the universal set.
Step 3
Exam Tip
किसी में भी नहीं (=n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36)। बाहरी क्षेत्र सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाने पर मिलता है।
यदि केवल (A), केवल (B), केवल (C), ठीक दो समुच्चयों में और तीनों समुच्चयों में क्रमशः (16), (19), (14), (27), (8) तत्व हैं, तो कम से कम एक समुच्चय में कुल कितने तत्व हैं?
The union is the sum of three separate regions, so (23+17+12=52). In a Venn diagram, add each separate region only once.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (52). The union is the sum of three separate regions, so (23+17+12=52). In a Venn diagram, add each separate region only once.
Step 3
Exam Tip
संघ तीन अलग क्षेत्रों का योग है, इसलिए (23+17+12=52)। वेन आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों को एक बार ही जोड़ें।
A. क्योंकि (A-B) में \(A\cap C\) का कुछ भाग आ सकता है/Because (A-B) may include a part of \(A\cap C\)
Step 1
Concept
In three sets, (A-B) means all parts of (A) not in (B), which can include only (A) and only \(A\cap C\). Always interpret the region before placing the number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (A-B) में \(A\cap C\) का कुछ भाग आ सकता है / Because (A-B) may include a part of \(A\cap C\). In three sets, (A-B) means all parts of (A) not in (B), which can include only (A) and only \(A\cap C\). Always interpret the region before placing the number.
Step 3
Exam Tip
तीन समुच्चयों में (A-B) का अर्थ (A) में वे सभी भाग हैं जो (B) में नहीं हैं, इसमें केवल (A) और केवल \(A\cap C\) आ सकते हैं। क्षेत्र का अर्थ पढ़कर ही संख्या रखें।
Union equals ((A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), so the common part is (70-24-31=15). A union has three separate regions in two sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (15). Union equals ((A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), so the common part is (70-24-31=15). A union has three separate regions in two sets.
Step 3
Exam Tip
संघ (=(A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), इसलिए साझा भाग (70-24-31=15) है। संघ में तीन अलग क्षेत्र होते हैं।
The symmetric difference \(A\Delta B\) gives the exactly-one regions, so the union is (54+19=73). The common region must be added separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (73). The symmetric difference \(A\Delta B\) gives the exactly-one regions, so the union is (54+19=73). The common region must be added separately.
Step 3
Exam Tip
सममित अंतर \(A\Delta B\) ठीक एक समुच्चय के क्षेत्र देता है, इसलिए संघ (54+19=73) है। साझा क्षेत्र अलग से जोड़ना होता है।
A. (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)-3n\(A\cap B\cap C\))
Step 1
Concept
Each pairwise intersection includes the triple intersection, counted three times, so (3n\(A\cap B\cap C\)) is subtracted. Exactly two does not include the triple part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)-3n\(A\cap B\cap C\)). Each pairwise intersection includes the triple intersection, counted three times, so (3n\(A\cap B\cap C\)) is subtracted. Exactly two does not include the triple part.
Step 3
Exam Tip
हर युग्म छेदन में त्रिक छेदन शामिल होता है, जो तीन बार गिना जाता है, इसलिए (3n\(A\cap B\cap C\)) घटता है। ठीक दो में त्रिक भाग शामिल नहीं होता।
एक सर्वेक्षण में (45) लोग (A), (50) लोग (B), (42) लोग (C), (18) लोग \(A\cap B\), (20) लोग \(B\cap C\), (16) लोग \(C\cap A\), और (7) लोग तीनों में हैं। केवल (A) में कितने लोग हैं?
यदि (n(A)=70), (n(B)=62), (n(C)=58), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26), (n\(A\cap B\cap C\)=12), और (n(U)=130) है, तो किसी में भी नहीं कितने हैं?
A. नहीं, (A) और (C) कट सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Step 1
Concept
The two conditions only separate (B) from (A) and (C); (A) and (C) can still overlap. A Venn diagram quickly shows the counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. नहीं, (A) और (C) कट सकते हैं / No, (A) and (C) may overlap. The two conditions only separate (B) from (A) and (C); (A) and (C) can still overlap. A Venn diagram quickly shows the counterexample.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तें केवल (B) को (A) और (C) से अलग करती हैं, (A) और (C) आपस में कट सकते हैं। वेन आरेख से प्रतिउदाहरण जल्दी दिखता है।
Add the three union parts: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), so (4x+3=45) and (x=10.5), not an integer; hence the given options show inconsistency.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10). Add the three union parts: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), so (4x+3=45) and (x=10.5), not an integer; hence the given options show inconsistency.
Step 3
Exam Tip
संघ के तीन भाग जोड़ें: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), इसलिए (4x+3=45) और (x=10.5) नहीं आता, अतः सही समीकरण में त्रुटि है।
Using the formula, ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), so (4x+20=70) and (x=12.5); therefore none of the listed options is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10). Using the formula, ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), so (4x+20=70) and (x=12.5); therefore none of the listed options is correct.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), इसलिए (4x+20=70) और (x=12.5) आता है, अतः विकल्पों में कोई सही नहीं।
At least one is (68+57-31=94), so the percentage is \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\). Find the count first, then convert to percentage.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (78.33%). At least one is (68+57-31=94), so the percentage is \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\). Find the count first, then convert to percentage.
Step 3
Exam Tip
कम से कम एक (=68+57-31=94), इसलिए प्रतिशत \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\) है। पहले संख्या निकालें फिर प्रतिशत लें।
In the general formula, the intersection is subtracted, so equality holds only when (n\(A\cap B\)=0). This means the sets are disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\cap B=\varnothing\). In the general formula, the intersection is subtracted, so equality holds only when (n\(A\cap B\)=0). This means the sets are disjoint.
Step 3
Exam Tip
सामान्य सूत्र में छेदन घटता है, इसलिए बराबरी तभी होगी जब (n\(A\cap B\)=0)। इसका अर्थ असंबद्ध समुच्चय है।
When \(A\subseteq B\), the union is (B) and the common part is (A). This is immediate from the subset Venn diagram.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (B) और (A) / (B) and (A). When \(A\subseteq B\), the union is (B) and the common part is (A). This is immediate from the subset Venn diagram.
Step 3
Exam Tip
जब \(A\subseteq B\), तब मिलाकर (B) और साझा भाग (A) होता है। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में यह तुरंत दिखता है।
A. तीन अलग-अलग असंबद्ध क्षेत्र/Three separate disjoint regions
Step 1
Concept
In partial overlap, (A-B), \(A\cap B\), and (B-A) are separate disjoint regions. Their sum gives \(A\cup B\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तीन अलग-अलग असंबद्ध क्षेत्र / Three separate disjoint regions. In partial overlap, (A-B), \(A\cap B\), and (B-A) are separate disjoint regions. Their sum gives \(A\cup B\).
Step 3
Exam Tip
आंशिक कटान में (A-B), \(A\cap B\), और (B-A) एक-दूसरे से असंबद्ध अलग क्षेत्र हैं। इन्हीं का योग \(A\cup B\) देता है।
यदि (A), (B), (C) के वेन आरेख में केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9), और तीनों में (4) हैं, तो (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)) कितना है?
Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (95-46-33=16). These region categories are disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (16). Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (95-46-33=16). These region categories are disjoint.
Step 3
Exam Tip
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (95-46-33=16)। क्षेत्र श्रेणियां अलग-अलग होती हैं।
Using the formula, (120=55+60+65-78+x), so (x=18). The sum of pairwise intersections is subtracted directly in the formula.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (18). Using the formula, (120=55+60+65-78+x), so (x=18). The sum of pairwise intersections is subtracted directly in the formula.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से (120=55+60+65-78+x), इसलिए (x=18)। युग्म छेदन का योग सीधे सूत्र में घटता है।
Exactly one equals (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (82=140-2x) and (x=29). The common part is removed twice for exactly one.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (29). Exactly one equals (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (82=140-2x) and (x=29). The common part is removed twice for exactly one.
Step 3
Exam Tip
ठीक एक (=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (82=140-2x) और (x=29)। ठीक एक में साझा भाग दो बार घटता है।
A. क्योंकि कई अंदरूनी क्षेत्र अभी अज्ञात हैं/Because several inner regions are still unknown
Step 1
Concept
In a three-set Venn diagram, these differences describe only some regions, not all seven inner regions. To know the union, all inner regions are needed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि कई अंदरूनी क्षेत्र अभी अज्ञात हैं / Because several inner regions are still unknown. In a three-set Venn diagram, these differences describe only some regions, not all seven inner regions. To know the union, all inner regions are needed.
Step 3
Exam Tip
तीन-समुच्चय वेन आरेख में केवल ये अंतर कुछ क्षेत्रों को ही बताते हैं, सभी सात अंदरूनी क्षेत्र नहीं। संघ जानने के लिए सभी अंदरूनी क्षेत्र चाहिए।
A. क्योंकि खाली न होने वाले सदस्यता प्रकार \(2^3-1=7\) होते हैं/Because the non-empty membership types are \(2^3-1=7\)
Step 1
Concept
For three sets, there are \(2^3\) membership types, one of which is outside, so inner regions are \(2^3-1=7\). Keep the outside region separate while counting.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि खाली न होने वाले सदस्यता प्रकार \(2^3-1=7\) होते हैं / Because the non-empty membership types are \(2^3-1=7\). For three sets, there are \(2^3\) membership types, one of which is outside, so inner regions are \(2^3-1=7\). Keep the outside region separate while counting.
Step 3
Exam Tip
तीन समुच्चयों के लिए कुल सदस्यता प्रकार \(2^3\) हैं, जिनमें एक बाहर का क्षेत्र है, इसलिए अंदर \(2^3-1=7\) क्षेत्र हैं। क्षेत्र गिनने में बाहर वाला अलग रखें।
यदि (n(U)=250), (n(A)=120), (n(B)=110), (n(C)=95), (n\(A\cap B\)=52), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37), (n\(A\cap B\cap C\)=19) है, तो कम से कम एक में नहीं होने वालों की संख्या क्या है?
The union for at least one is (120+110+95-52-41-37+19=214), so outside is (250-214=36). With large numbers, write the formula in order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (36). The union for at least one is (120+110+95-52-41-37+19=214), so outside is (250-214=36). With large numbers, write the formula in order.
Step 3
Exam Tip
कम से कम एक का संघ (120+110+95-52-41-37+19=214) है, इसलिए बाहर (250-214=36)। लंबी संख्याओं में सूत्र क्रम से लिखें।
एक कक्षा में (100) विद्यार्थियों में (72) ने (A) या (B) में से कम से कम एक चुना। यदि केवल (A) में (28) और केवल (B) में (34) हैं, तो दोनों में कितने हैं?
