100 results found for "non-real-roots" in Class 10.
A. कथन और कारण दोनों सही हैंBoth assertion and reason are correct
यहाँ (D=32-4(1)(7)=-19) है। (D<0) होने से कथन सही है। / Here (D=32-4(1)(7)=-19). Since (D<0), the assertion is correct.
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A. \(0<\lambda<36\)
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
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B. \(0<\lambda<25\)
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-10) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(100-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<25\)। / For both roots to be negative, the sum (-10) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(100-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<25\).
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A. \(0<\lambda<1\)
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-2) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(4-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<1\)। / For both roots to be negative, the sum (-2) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(4-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<1\).
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If \(kx^2-12x+k=0\) has real reciprocal roots, what is the correct condition on (k)?
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
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If \(kx^2-10x+k=0\) has real reciprocal roots, which condition on (k) is correct?
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
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If the roots of \(kx^2-8x+k=0\) are real and reciprocal, what is the correct condition on (k)?
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
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If the roots of \(x^2-4x+k=0\) are real and reciprocal, what is (k)?
A. (1)
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
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A. 0
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
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If the roots of \(7x^2-6x+\lambda=0\) are not real, what is the correct condition on \(\lambda\)?
A. \(\lambda>\frac{9}{7}\)
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(36-28\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{9}{7}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(36-28\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{9}{7}\).
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If the roots of \(5x^2-4x+\lambda=0\) are not real, what is the correct condition on \(\lambda\)?
C. \(\lambda>\frac{4}{5}\)
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(16-20\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{4}{5}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(16-20\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{4}{5}\).
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If the roots of \(3x^2+2x+\lambda=0\) are not real, what is the correct condition on \(\lambda\)?
A. \(\lambda>\frac{1}{3}\)
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(4-12\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{1}{3}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(4-12\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{1}{3}\).
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If \(\alpha,\beta\) are roots of \(x^2-6x+c=0\) and \(\alpha^2+\beta^2=26\), what are the roots?
A. (1) और (5)(1) and (5)
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha^2+\beta^2=26\) है। \(36-2\alpha\beta=26\) से \(\alpha\beta=5\), इसलिए जड़ें (1) और (5) हैं। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha^2+\beta^2=26\). From \(36-2\alpha\beta=26\), \(\alpha\beta=5\), so the roots are (1) and (5).
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A. \(x^2-20x+99=0\)
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
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A. \(x^2-11x+30=0\)
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
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If \(\alpha,\beta\) are roots of \(x^2-5x+c=0\) and \(\alpha^2+\beta^2=17\), what are the roots?
A. (1) और (4)(1) and (4)
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha^2+\beta^2=17\) है। \(25-2\alpha\beta=17\) से \(\alpha\beta=4\), इसलिए जड़ें (1) और (4) हैं। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha^2+\beta^2=17\). From \(25-2\alpha\beta=17\), \(\alpha\beta=4\), so the roots are (1) and (4).
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A. \(x^2-3x-4=0\)
मूल जड़ें (2) और (7) हैं। नई जड़ें (-1) और (4) होंगी, इसलिए समीकरण \(x^2-3x-4=0\) है। / The original roots are (2) and (7). The new roots are (-1) and (4), so the equation is \(x^2-3x-4=0\).
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A. (1) और (3)(1) and (3)
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha^2+\beta^2=10\) है। \(16-2\alpha\beta=10\) से \(\alpha\beta=3\), इसलिए जड़ें (1) और (3) हैं। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha^2+\beta^2=10\). From \(16-2\alpha\beta=10\), \(\alpha\beta=3\), so the roots are (1) and (3).
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A. \(x^2-14x+13=0\)
मूल जड़ें (1) और (5) हैं, इसलिए नई जड़ें (1) और (13) हैं। उनका समीकरण \(x^2-14x+13=0\) है। / The original roots are (1) and (5), so the new roots are (1) and (13). Their equation is \(x^2-14x+13=0\).
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A. (p=-3,\ q=2)
नई जड़ों का योग \(\alpha+\beta+2=5\) है, इसलिए (p=-3)। गुणनफल (q-p+1=6) से (q=2) मिलता है। / The sum of new roots is \(\alpha+\beta+2=5\), so (p=-3). From product (q-p+1=6), we get (q=2).
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If \(\alpha,\beta\) are the roots of \(x^2-3x-2=0\), which equation has roots \(\alpha^2,\beta^2\)?
A. \(x^2-13x+4=0\)
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
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The roots of \(x^2-5x+6=0\) are \(\alpha,\beta\). Which equation has roots \(\alpha+1,\beta+1\)?
A. \(x^2-7x+12=0\)
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
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A. \(3x^2-10x+3=0\)
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
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If the product of two real roots is positive and their sum is positive, how will both roots be?
A. दोनों धनात्मकBoth positive
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
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If the product of two real roots is positive and their sum is negative, how will both roots be?
B. दोनों ऋणात्मकBoth negative
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूलों का चिन्ह समान होता है। योग ऋणात्मक होने से दोनों मूल ऋणात्मक होंगे। / A positive product means both roots have the same sign. A negative sum means both roots are negative.
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What is the nature of the roots of (x-2-2x+\(a^2+3\)=0)?
A. हर वास्तविक (a) के लिए वास्तविक नहींNot real for every real (a)
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+3\)=-4a-2-8). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
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What is the nature of the roots of (x-2-2x+\(a^2+2\)=0)?
C. हर (a) के लिए वास्तविक नहींNot real for every (a)
विविक्तकर (D=4-4\(a^2+2\)=-4\(a^2+1\)) है। यह हर वास्तविक (a) के लिए ऋणात्मक है, इसलिए जड़ें वास्तविक नहीं हैं। / The discriminant is (D=4-4\(a^2+2\)=-4\(a^2+1\)). It is negative for every real (a), so the roots are not real.
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What is correct about the real roots of the equation \(x^2-6x+13=0\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
यहाँ (D=(-6)2-4(1)(13)=-16<0) है। इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-6)2-4(1)(13)=-16<0). Therefore there is no real root.
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What is the correct condition for (9x-2-6(a-1)x+a-2-4a-5=0) to have real roots?
A. \(a\ge-3\)
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
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For (9x-2-6(a-1)x+a-2-4a-5=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\ge-\frac{7}{2}\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), इसलिए \(a\ge-\frac{7}{2}\) नहीं बल्कि \(a\ge-3\) होगा। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), so the exact condition is \(a\ge-3\), not \(a\ge-\frac{7}{2}\).
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For (16x-2-8(a-2)x+a-2-6a=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\ge1\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), इसलिए \(a\ge-2\) होगा, अतः विकल्पों में सही शर्त नहीं है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=64(a-2)2-64\(a^2-6a\)=128(a+2)), so \(a\ge-2\); hence none of these options is exact.
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If (x-2-2mx+\(m^2-m\)=0) has real roots, what is the correct condition on (m)?
C. \(m\ge0\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4m), इसलिए \(m\ge0\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4m), so \(m\ge0\).
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For (9x-2-6(a+1)x+a-2-3a=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\ge-\frac{1}{5}\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(5a+1)), इसलिए \(a\ge-\frac{1}{5}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(5a+1)), so \(a\ge-\frac{1}{5}\).
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For (4x-2-4(a-1)x+a-2-4a=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\le1\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=16(1-a)), इसलिए \(a\le1\) है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=16(1-a)), so \(a\le1\).
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For (x-2-2x+(p+3)=0) to have no real roots, what is the correct condition on (p)?
A. (p>-2)
वास्तविक जड़ें न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=-4(p+2)), इसलिए (p>-2) है। / For no real roots, (D<0) is required. Here (D=-4(p+2)), so (p>-2).
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For \(kx^2+6x+9=0\) to have real roots with \(k\ne0\), which condition on (k) is correct?
A. \(k\le 1,\ k\ne0\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
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What is the correct condition on (a) so that (x-2-2(a+1)x+a-2+3=0) has real roots?
B. \(a\ge 1\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge 0\) चाहिए। यहाँ (D=8(a-1)), इसलिए \(a\ge 1\) सही है। / For real roots, \(D\ge 0\) is required. Here (D=8(a-1)), so \(a\ge 1\) is correct.
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A. (4)
यहाँ समीकरण ((x-(a+1))(x-(a+5))=0) बनता है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+5) हैं, अतः धनात्मक अंतर (4) है। / The equation becomes ((x-(a+1))(x-(a+5))=0). So the roots are (a+1) and (a+5), hence the positive difference is (4).
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If both roots of \(x^2-12x+m=0\) are prime numbers, what is the value of (m)?
B. (35)
योग (12) वाली अभाज्य जड़ें (5) और (7) हैं। उनका गुणनफल (35) है, इसलिए (m=35)। / The prime roots with sum (12) are (5) and (7). Their product is (35), so (m=35).
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A. (1)
दिए गए समीकरण में जड़ों का योग (2r+5) और गुणनफल (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)) है। इसलिए जड़ें (r+2) और (r+3) हैं, अतः धनात्मक अंतर (1) है। / In the given equation, the sum of roots is (2r+5) and the product is (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)). Hence the roots are (r+2) and (r+3), so the positive difference is (1).
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The roots of \(x^2-10x+k=0\) are distinct prime numbers. What is (k)?
A. (21)
योग (10) वाली भिन्न अभाज्य जड़ें (3) और (7) हैं। उनका गुणनफल (21) है, इसलिए (k=21)। / The distinct prime roots with sum (10) are (3) and (7). Their product is (21), so (k=21).
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If the roots of \(x^2+bx+c=0\) are opposites of each other, which condition is necessary?
A. (b=0)
विपरीत जड़ों का योग (0) होता है। यहाँ योग (-b) है, इसलिए (b=0)। / Opposite roots have sum (0). Here the sum is (-b), so (b=0).
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The roots of \(x^2-px+36=0\) are positive integers and their difference is (5). What is (p)?
C. (13)
गुणनफल (36) और अंतर (5) वाली धनात्मक जड़ें (4) और (9) हैं। उनका योग (13) है, इसलिए (p=13)। / The positive roots with product (36) and difference (5) are (4) and (9). Their sum is (13), so (p=13).
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If the roots of \(x^2-7x+k=0\) are reciprocals of each other, what is the value of (k)?
A. (1)
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
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If the product of roots of \(4x^2-3x+k=0\) equals the sum of roots, what is (k)?
A. (3)
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) और गुणनफल \(\frac{k}{4}\) है। \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\) से (k=3) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) and the product is \(\frac{k}{4}\). From \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\), (k=3).
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If the sum of roots is (6) and the sum of their squares is (52), what is the product of roots?
A. (-8)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
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A. \(x^2-12x+27=0\)
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
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If the product of roots of \(3x^2-2x+k=0\) equals the sum of roots, what is (k)?
A. (2)
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) और गुणनफल \(\frac{k}{3}\) है। \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\) से (k=2) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) and the product is \(\frac{k}{3}\). From \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\), (k=2).
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If the sum of roots is (4) and the sum of their squares is (20), what is the product of roots?
A. (-2)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(20=16-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-2\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(20=16-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-2\).
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A. \(x^2-6x+8=0\)
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
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If the sum of roots of a quadratic equation is (0), which statement about the roots can be correct?
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैंThe roots are opposites of each other
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं। / If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
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A. (12)
नए मूलों का योग (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The sum of new roots is (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
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A. (12)
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
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If \(2\alpha\) and \(2\beta\) are roots and \(\alpha+\beta=5\), what is the sum of the new roots?
A. (10)
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
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Which monic quadratic equation has sum of roots (10) and product of roots (21)?
B. \(x^2-10x+21=0\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-10x+21=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-10x+21=0) is correct.\)
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Which monic quadratic equation has sum of roots (-9) and product of roots (20)?
A. \(x^2+9x+20=0\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2+9x+20=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2+9x+20=0) is correct.\)
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Which quadratic equation has sum of roots (6) and product of roots (8)?
B. \(x^2-6x+8=0\)
\(मानक रूप (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है इसलिए \(x^2-6x+8=0\)। योग वाले पद का चिन्ह बदलता है। \(/ The standard form is (x^2-(\)sum)x+product\(=0) so (x^2-6x+8=0). The sign of the sum term changes.\)
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What will be the value of (r) for real and equal roots of ((r+2)x-2-2(r+5)x+(r+2)=0)?
A. \(r=-\frac{7}{2}\)
समान मूलों के लिए (D=0) चाहिए। यहाँ (D=12(2r+7)), इसलिए \(r=-\frac{7}{2}\)। / For equal roots, (D=0) is required. Here (D=12(2r+7)), so \(r=-\frac{7}{2}\).
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If \(a\neq0\) in \(ax^2+bx+c=0\) and the roots are real and equal, which condition is correct?
A. \(b^2=4ac\)
समान वास्तविक मूलों के लिए \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। इसलिए \(b^2=4ac\) सही शर्त है। / For equal real roots, \(D=b^2-4ac=0\) is required. Hence \(b^2=4ac\) is the correct condition.
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If both roots of \(x^2-6x+c=0\) are real and positive, what is the correct condition on (c)?
A. \(0<c\le9\)
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
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If ((m-1)x-2+2(m+1)x+(m-1)=0) has real reciprocal roots, what is the correct condition on (m)?
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
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If both roots of \(x^2-5x+c=0\) are real and positive, what is the correct condition on (c)?
B. \(0<c\le\frac{25}{4}\)
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
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If both roots of \(x^2+4x+c=0\) are real and negative, which condition is necessary and sufficient?
A. \(0<c\le4\)
योग (-4) पहले से ऋणात्मक है और गुणनफल धनात्मक चाहिए, इसलिए (c>0)। वास्तविक जड़ों के लिए \(16-4c\ge0\), अतः \(0<c\le4\)। / The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
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For (x-2-2(k+1)x+k-2=0) to have real and distinct roots, what is the correct condition on (k)?
A. \(k>-\frac{1}{2}\)
वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए (D>0) चाहिए। यहाँ (D=4(2k+1)), इसलिए \(k>-\frac{1}{2}\)। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. Here (D=4(2k+1)), so \(k>-\frac{1}{2}\).
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C. एक धनात्मक और एक ऋणात्मकOne positive and one negative
ऋणात्मक गुणनफल तभी मिलता है जब एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो। \(\alpha\beta<0\) संकेतों की जांच का छोटा संकेत है। / A negative product occurs when one root is positive and the other is negative. \(\alpha\beta<0\) is a quick sign check.
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What was the main reason for emphasizing non-violence in the Non-Cooperation Movement?
A. आंदोलन को नैतिक और अनुशासित बनाए रखनाTo keep the movement moral and disciplined
गांधीजी का संघर्ष सत्य और अहिंसा पर आधारित था। / Gandhi’s struggle was based on truth and non-violence.
बड़ी जनता को जोड़ने के लिए अनुशासन जरूरी था। / Discipline was necessary to involve large numbers of people.
इसलिए अहिंसा आंदोलन का मुख्य आधार बनी। / Therefore non-violence became the main basis of the movement.
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What was the place of non-violence in the Non-Cooperation Movement?
A. यह आंदोलन का मुख्य आधार थीIt was the main basis of the movement
गांधीजी अहिंसक संघर्ष में विश्वास करते थे। / Gandhi believed in non-violent struggle.
असहयोग आंदोलन अहिंसा पर आधारित था। / The Non-Cooperation Movement was based on non-violence.
हिंसा से आंदोलन की दिशा बिगड़ सकती थी। / Violence could disturb the direction of the movement.
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A. \(s^2\ge4\)
दोनों जड़ों का गुणनफल (1) है, इसलिए समीकरण का गुणनफल सही है। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / The product of the two roots is (1), so the product condition is satisfied. For real roots, the discriminant \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
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C. \(s^2\ge4\)
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
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Which statement is correct about the roots of \(5x^2-2x+1=0\)?
C. वास्तविक जड़ें नहींNo real roots
यहाँ (D=(-2)2-4(5)(1)=-16<0) है। इसलिए इस समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं। / Here (D=(-2)2-4(5)(1)=-16<0). Therefore the equation has no real roots.
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If a quadratic equation has discriminant (D=(r-2)2-9), which interval of (r) gives no real roots?
A. (-1<r<5)
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((r-2)2<9) से (-1<r<5) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. From ((r-2)2<9), we get (-1<r<5).
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If (x-2-2(a+1)x+\(a^2+4a+5\)=0) has no real roots, which condition on (a) is correct?
A. (a>-2)
यहाँ (D=4(a+1)2-4\(a^2+4a+5\)=-8(a+2)) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (a>-2)। / Here (D=4(a+1)2-4\(a^2+4a+5\)=-8(a+2)). For no real roots (D<0), so (a>-2).
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If (D=(z-9)(z+1)), which interval of (z) gives no real roots?
A. (-1<z<9)
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((z-9)(z+1)<0) से (-1<z<9) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. ((z-9)(z+1)<0) gives (-1<z<9).
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If (x-2+2(m-5)x+\(m^2-9m+24\)=0) has no real roots, which condition on (m) is correct?
A. (m>2)
इसी समीकरण में (D=4(2-m)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए (m>2)। / In this equation (D=4(2-m)). For no real roots (D<0), so (m>2).
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The equation (x-2-2(4t+1)x+\(7t^2+2t+5\)=0) has no real roots. What is the correct interval for (t)?
A. \(-1<t<\frac{2}{9}\)
यहाँ (D=4(4t+1)2-4\(7t^2+2t+5\)=36t-2+24t-16) है। (D<0) से \(-1<t<\frac{2}{9}\) मिलता है। / Here (D=4(4t+1)2-4\(7t^2+2t+5\)=36t-2+24t-16). From (D<0), \(-1<t<\frac{2}{9}\).
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Which condition is correct for real roots of (x-2-2(a-2b)x+(a+2b)2=0)?
A. \(ab\leq0\)
यहाँ (D=4(a-2b)2-4(a+2b)2=-32ab) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(ab\leq0\)। / Here (D=4(a-2b)2-4(a+2b)2=-32ab). For real roots \(D\geq0\), so \(ab\leq0\).
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If (x-2-2(a+b)x+3ab=0) has real roots, which statement is correct for (a) and (b)?
A. \(a^2-ab+b^2\geq0\) होने से मूल हमेशा वास्तविक हैंRoots are always real because \(a^2-ab+b^2\geq0\)
यहाँ (D=4(a+b)2-12ab=4\(a^2-ab+b^2\)) है। यह हमेशा ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(a+b)2-12ab=4\(a^2-ab+b^2\)). It is never negative, so real roots exist.
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What is the correct condition for (x-2+2(v+2)x+(4v+11)=0) to have no real roots?
A. \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\)
यहाँ (D=4(v+2)2-4(4v+11)=4\(v^2-7\)) है। (D<0) से \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\)। / Here (D=4(v+2)2-4(4v+11)=4\(v^2-7\)). From (D<0), \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\).
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If (x-2+2(v+2)x+(4v+11)=0) has no real roots, in which interval will (v) lie?
A. (-3<v<1)
यहाँ (D=4(v+2)2-4(4v+11)=4\(v^2-7\)) नहीं, सही रूप (4\(v^2-7\)) नहीं है। परीक्षा में विस्तार सावधानी से करें। / Here (D=4(v+2)2-4(4v+11)) must be expanded carefully. Always verify the middle term before solving the interval.
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If \(p\neq2\) in ((p-2)x-2-2(p+2)x+(p+6)=0), what is the condition on (p) for real roots?
A. \(p\leq5\) और \(p\neq2\)\(p\leq5\) and \(p\neq2\)
यहाँ (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq5\) और द्विघात के लिए \(p\neq2\)। / Here (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p). For real roots \(p\leq5\), and for a quadratic \(p\neq2\).
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If (x-2-2(k-4)x+\(k^2-10k+27\)=0) has no real roots, which condition on (k) is correct?
A. \(k<\frac{11}{2}\)
यहाँ (D=4(k-4)2-4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए \(k<\frac{11}{2}\)। / Here (D=4(k-4)2-4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)). For no real roots (D<0), so \(k<\frac{11}{2}\).
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If (x-2-2(k+3)x+\(k^2+5k+12\)=0) has real roots, which condition on (k) is correct?
A. \(k\geq3\)
यहाँ (D=4(k+3)2-4\(k^2+5k+12\)=4(k-3)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\geq3\)। / Here (D=4(k+3)2-4\(k^2+5k+12\)=4(k-3)). For real roots \(D\geq0\), so \(k\geq3\).
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If (x-2-2(a+2)x+\(a^2+6a+8\)=0) has no real roots, which condition on (a) is correct?
A. (a>-2)
यहाँ (D=4(a+2)2-4\(a^2+6a+8\)=-8(a+2)) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (a>-2)। / Here (D=4(a+2)2-4\(a^2+6a+8\)=-8(a+2)). For no real roots (D<0), so (a>-2).
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If (D=(z-4)(z+6)), which interval of (z) gives no real roots?
A. (-6<z<4)
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((z-4)(z+6)<0) से (-6<z<4) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. ((z-4)(z+6)<0) gives (-6<z<4).
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If (x-2+2(m-4)x+\(m^2-7m+14\)=0) has real roots, which condition on (m) is correct?
A. \(m\leq2\)
पिछले विविक्तकर से (D=4(2-m)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(m\leq2\)। / From the discriminant, (D=4(2-m)). For real roots \(D\geq0\), so \(m\leq2\).
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The equation (x-2-2(3t+1)x+\(5t^2+2t+4\)=0) has no real roots. What is the correct interval for (t)?
A. (-2<t<1)
यहाँ (D=4(3t+1)2-4\(5t^2+2t+4\)=16(t-1)(t+2)) है। (D<0) से (-2<t<1)। / Here (D=4(3t+1)2-4\(5t^2+2t+4\)=16(t-1)(t+2)). From (D<0), (-2<t<1).
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What is the correct condition for real roots of (x-2-2(a-b)x+(a+b)2=0)?
A. \(ab\leq0\)
यहाँ (D=4(a-b)2-4(a+b)2=-16ab) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(ab\leq0\)। / Here (D=4(a-b)2-4(a+b)2=-16ab). For real roots \(D\geq0\), so \(ab\leq0\).
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If (x-2-2(a+b)x+2ab=0) has real roots, which statement is always true for (a) and (b)?
A. \(a^2+b^2\geq0\) के कारण मूल हमेशा वास्तविक हैंRoots are always real because \(a^2+b^2\geq0\)
यहाँ (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)) है। यह हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)). It is always zero or positive, so real roots exist.
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What is the correct condition for (x-2+2(t+1)x+(3t+7)=0) to have no real roots?
A. (-2<t<3)
यहाँ (D=4\(t^2-t-6\)=4(t-3)(t+2)) है। (D<0) से (-2<t<3) मिलता है। / Here (D=4\(t^2-t-6\)=4(t-3)(t+2)). From (D<0), we get (-2<t<3).
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If (x-2+2(t+1)x+(3t+7)=0) has no real roots, in which interval will (t) lie?
A. (-4<t<1)
यहाँ (D=4(t+1)2-4(3t+7)=4\(t^2-t-6\)) है। (D<0) से (-2<t<3) नहीं, गुणनखंड फिर से जाँचें। / Here (D=4(t+1)2-4(3t+7)=4\(t^2-t-6\)). For (D<0), factor again carefully before selecting the interval.
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If \(p\neq1\) in ((p-1)x-2-2(p+1)x+(p+3)=0), what is the condition on (p) for real roots?
A. \(p\leq2\) और \(p\neq1\)\(p\leq2\) and \(p\neq1\)
यहाँ (D=4(p+1)2-4(p-1)(p+3)=16-4p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq2\) और द्विघात के लिए \(p\neq1\)। / Here (D=4(p+1)2-4(p-1)(p+3)=16-4p). For real roots \(p\leq2\), and for a quadratic \(p\neq1\).
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If (x-2-2(k-3)x+\(k^2-8k+20\)=0) has no real roots, what is the correct condition on (k)?
A. \(k<\frac{11}{2}\)
यहाँ (D=4(k-3)2-4\(k^2-8k+20\)=4(2k-11)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए \(k<\frac{11}{2}\)। / Here (D=4(k-3)2-4\(k^2-8k+20\)=4(2k-11)). For no real roots (D<0), so \(k<\frac{11}{2}\).
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If (x-2-2(k+2)x+\(k^2+3k+7\)=0) has real roots, which condition on (k) is correct?
A. \(k\geq3\)
यहाँ (D=4(k+2)2-4\(k^2+3k+7\)=4(k-3)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\geq3\)। / Here (D=4(k+2)2-4\(k^2+3k+7\)=4(k-3)). For real roots \(D\geq0\), so \(k\geq3\).
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If (x-2-2(a-1)x+\(a^2+1\)=0) has no real roots, which condition on (a) is correct?
A. (a>0)
यहाँ (D=4(a-1)2-4\(a^2+1\)=-8a) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (a>0)। / Here (D=4(a-1)2-4\(a^2+1\)=-8a). For no real roots (D<0), so (a>0).
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If a quadratic has discriminant (D=8m-24), what condition on (m) gives real roots?
A. \(m\geq3\)
वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) चाहिए। \(8m-24\geq0\) से \(m\geq3\) मिलता है। / For real roots \(D\geq0\) is needed. \(8m-24\geq0\) gives \(m\geq3\).
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If (D=(u+1)(u-5)), which interval of (u) gives no real roots?
A. (-1<u<5)
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। ((u+1)(u-5)<0) से (-1<u<5) मिलता है। / For no real roots (D<0) is needed. ((u+1)(u-5)<0) gives (-1<u<5).
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If (x-2+2(m-2)x+\(m^2-3m+4\)=0) has no real roots, what is the condition on (m)?
A. (m>0)
पिछले विविक्तकर से (D=-4m) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (m>0)। / From the discriminant, (D=-4m). For no real roots (D<0), so (m>0).
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The equation (x-2-2(2t-1)x+\(t^2+2\)=0) has no real roots. Choose the correct interval for (t).
A. \(\frac{4-2\sqrt{6}}{3}<t<\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\)
यहाँ (D=4(2t-1)2-4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)) है। (D<0) से दिए गए दोनों मूलों के बीच का अंतराल मिलता है। / Here (D=4(2t-1)2-4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)). From (D<0), the interval between the two boundary roots is obtained.
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Which relation is necessary for real roots of (x-2-2(a+b)x+\(a^2+b^2\)=0)?
A. \(2ab\geq0\)
यहाँ (D=4(a+b)2-4\(a^2+b^2\)=8ab) है। वास्तविक मूलों के लिए \(ab\geq0\) चाहिए। / Here (D=4(a+b)2-4\(a^2+b^2\)=8ab). For real roots \(ab\geq0\) is needed.
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Which condition is correct for real roots of ((k-2)x-2+2kx+(k+3)=0), if \(k\neq2\)?
A. \(k\leq6\) और \(k\neq2\)\(k\leq6\) and \(k\neq2\)
यहाँ (D=4k-2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\leq6\) और \(k\neq2\)। / Here (D=4k-2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)). For real roots \(D\geq0\), so \(k\leq6\) and \(k\neq2\).
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