\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Step 1
Concept
Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो / When (a) is any rational number. Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 3
Exam Tip
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
(5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Non-perfect squares between two square numbers give such pairs. चरण 1: \(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। चरण 2: (5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। चरण 3: बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं।
(130) is not a perfect square, so \(\sqrt{130}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares to set the range. चरण 1: (121<130<144), इसलिए \(11<\sqrt{130}<12\)। चरण 2: (130) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{130}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्नों में पास के पूर्ण वर्गों से सीमा तय करें।
(85) is not a perfect square, so \(\sqrt{85}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares. चरण 1: (81<85<100), इसलिए \(9<\sqrt{85}<10\)। चरण 2: (85) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{85}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
(65) is not a perfect square, so \(\sqrt{65}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The square root of a number between two perfect squares lies between their roots. चरण 1: (64<65<81), इसलिए \(8<\sqrt{65}<9\)। चरण 2: (65) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{65}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल उनके मूलों के बीच होता है।
(5) is not a perfect square, so \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate a square root. चरण 1: (4<5<9), इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\)। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की स्थिति जानने के लिए पास के पूर्ण वर्ग देखें।
(45) is not a perfect square, so \(\sqrt{45}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares. चरण 1: (36<45<49), इसलिए \(6<\sqrt{45}<7\)। चरण 2: (45) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{45}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्नों में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
(17) is not a perfect square, so \(\sqrt{17}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares in interval questions. चरण 1: (16<17<25), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। चरण 2: (17) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
B. \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\)/\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In sum questions, identify whether like surds cancel or combine. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(3\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: योग वाले प्रश्नों में कटने वाले और जुड़ने वाले समान मूल अलग-अलग पहचानें।
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), \(\pi\). \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें।
An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें।
An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
In definition questions, always check the condition \(q\neq0\). चरण 1: परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। चरण 2: अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। चरण 3: परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें।
(20) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{20}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root inequalities, square the bounds to form the interval. चरण 1: \(4<\sqrt{n}<5\) का अर्थ है (16<n<25)। चरण 2: (20) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{20}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की असमानता में दोनों तरफ वर्ग लेकर अंतराल बनाएं।
Therefore \(2<\sqrt{5}<3\) and since (5) is not a perfect square \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use squares to locate irrational square roots between integers. चरण 1: (4<5<9) है। चरण 2: इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: बीच की संख्या खोजते समय वर्गों से सीमा बनाएं।
(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The product can be rational or irrational. \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है।
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The sum can be rational or irrational
Step 1
Concept
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The sum can be rational or irrational. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{12}}\). \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता।
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
\(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{17}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{17}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check both numbers, not just one. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है।
Hence \(1<\sqrt{2}<2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To locate an irrational number compare squares. चरण 1: (1<2<4) है। चरण 2: इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को स्थान देने के लिए वर्ग करके तुलना करें।
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। गैर शून्य परिमेय से भाग देने पर अपरिमेयता रहती है।
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। जड़ वाला भाग इसे अपरिमेय बनाता है।
(10) is not a perfect square and (9<10<16), so \(\sqrt{10}\) is an irrational number between (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
A non-perfect square between two square numbers helps find an irrational number between two integers. चरण 1: \(3=\sqrt{9}\) और \(4=\sqrt{16}\) हैं। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है और (9<10<16), इसलिए \(\sqrt{10}\) (3) और (4) के बीच अपरिमेय संख्या है। चरण 3: दो पूर्णांकों के बीच अपरिमेय खोजने में बीच का अपूर्ण वर्ग उपयोगी होता है।
(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{15}\). \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
(99) is not a perfect square, so \(\sqrt{99}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first separate the perfect squares. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (99) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{99}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्गों को अलग कर दें।
(52) is not a perfect square, so \(\sqrt{52}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, eliminate perfect squares first. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (52) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{52}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए गए मानों में पूर्ण वर्गों को पहले हटा दें।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational option.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{25}=5\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Be careful with negative wording in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय विकल्प खोजें। चरण 2: \(\sqrt{25}=5\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: नकारात्मक शब्दों वाले प्रश्नों में जल्दबाजी न करें।
(6) is not a perfect square, so \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, eliminate clear rational numbers first. चरण 1: दशमलव (0.75), भिन्न और पूर्णांक परिमेय होते हैं। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले साफ परिमेय संख्याएँ हटाने से उत्तर जल्दी मिलता है।
(150) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{150}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Square both bounds to handle square-root ranges. चरण 1: \(12<\sqrt{n}<13\) का अर्थ है (144<n<169)। चरण 2: (150) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{150}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए दोनों तरफ वर्ग करें।
(105) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{105}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Square both bounds to handle square-root ranges. चरण 1: \(10<\sqrt{n}<11\) का अर्थ है (100<n<121)। चरण 2: (105) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{105}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए दोनों तरफ वर्ग करें।
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है/(m) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है / (m) is not a perfect square. The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है।
A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 3
Exam Tip
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है।
\(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\sqrt{18}\). \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता।
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनंत और अनावर्ती / Non terminating and non repeating. The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या का दशमलव न खत्म होता है और न दोहराता है। यही सबसे आसान पहचान है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method. चरण 1: \(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। चरण 2: यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है।
A. क्या वह पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में बदल रही है/Whether it becomes the square root of a perfect square
Step 1
Concept
In square-root questions first check whether the number inside is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
A perfect square may give a rational square root while a non-perfect square often gives an irrational value.
Step 3
Exam Tip
Simplifying is the safest first step in identification questions. चरण 1: वर्गमूल वाले प्रश्नों में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। चरण 2: पूर्ण वर्ग हो तो वर्गमूल परिमेय हो सकता है और पूर्ण वर्ग न हो तो अक्सर अपरिमेय होता है। चरण 3: पहचान वाले प्रश्नों में सरल करना सबसे सुरक्षित शुरुआत है।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
C. अनंत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-recurring decimal
Step 1
Concept
Rational numbers have terminating or recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
Irrational numbers have non-terminating and non-recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
If a repeating block is visible the number may be rational. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्याओं का दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव में बार-बार आने वाला समूह दिखाई दे तो वह परिमेय हो सकता है।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
Multiplying it by \(\sqrt{13}\) gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
In products check first whether square roots combine to a perfect square. चरण 1: \(\frac{3}{5}\) शून्य रहित परिमेय है। चरण 2: शून्य रहित परिमेय संख्या से \(\sqrt{13}\) को गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: गुणनफल में पहले देखें कि वर्गमूल मिलकर पूर्ण वर्ग तो नहीं बना रहे।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
\(1.01001000100001\ldots\) is non-terminating and has no fixed repeating block.
Step 3
Exam Tip
To identify an irrational decimal, check both non-termination and non-repetition. चरण 1: सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(1.01001000100001\ldots\) असांत है और इसमें कोई स्थिर आवर्तन नहीं है। चरण 3: अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए असांत और अनावर्ती दोनों बातें देखें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
\(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), and \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{7}\) is a non-zero rational multiple of an irrational number, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify multiplication by zero as rational. चरण 1: \(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), और \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) परिमेय हैं। चरण 2: \(4\sqrt{7}\) में अशून्य परिमेय गुणक और अपरिमेय मूल है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: शून्य से गुणा वाले विकल्प को जल्दी परिमेय पहचानें।
\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
Subtracting a rational number from an irrational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=(q-p)+p) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=(q-p)+p) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
The first three give (400), (900), and (784), which are perfect squares; the fourth gives \(\sqrt{30}\).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, check whether the resulting number is a perfect square. चरण 1: पहले गुणनफल में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। चरण 2: पहले तीन में (400), (900), और (784) मिलते हैं, जो पूर्ण वर्ग हैं; चौथा \(\sqrt{30}\) है। चरण 3: गुणन के बाद बनी संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह जरूर जांचें।
When asked for not irrational, carefully check perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{225}=15\) है। चरण 2: \(\sqrt{225}-8=7\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं पूछे जाने पर पूर्ण वर्ग वाले विकल्प ध्यान से देखें।
Multiplying a square root by itself gives the number inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), which is rational if (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational square root can be rational. चरण 1: किसी वर्गमूल को उसी वर्गमूल से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। चरण 2: \(\sqrt{k}\times\sqrt{k}=k\), जो पूर्णांक होने पर परिमेय होता है। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल का वर्ग परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
Adding the rational number (5) to an irrational number keeps the result irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify options before deciding the nature of the number. चरण 1: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपरिमेय संख्या में परिमेय संख्या (5) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 3: विकल्पों को सरल करके ही संख्या की प्रकृति तय करें।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
