100 results found for "equivalent-factor" in Class 10.
Which equation is equivalent to \(x^2-6x+9=0\)?
A. ((x-3)2=0)
((x-3)2=x-2-6x+9) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानने से समय बचता है। / ((x-3)2=x-2-6x+9). Recognising perfect squares saves time.
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Which equation is equivalent to \(x^2+2x+1=0\)?
A. \((x+1)^2=0\)
((x+1)2=x-2+2x+1) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानना तेजी से हल कराने में मदद करता है। / ((x+1)2=x-2+2x+1). Recognising perfect squares helps solve faster.
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If (p(x)=x-3-4x-2-7x+10) and (x-1) is a factor, what is the remaining quadratic factor?
A. \(x^2-3x-10\)
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
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Which statement is correct about the equations (6x+3y=39) and (2x+y=13)?
D. पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना हैThe first equation is (3) times the second
(2x+y=13) को (3) से गुणा करने पर (6x+3y=39) मिलता है। समान समीकरणों को पहचानना भी परीक्षा में उपयोगी है। / Multiplying (2x+y=13) by (3) gives (6x+3y=39). Recognizing equivalent equations is also useful in exams.
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If (6x+2y=28) and (3x+y=14), which statement is correct?
A. पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना हैThe first equation is (2) times the second
(3x+y=14) को (2) से गुणा करने पर (6x+2y=28) मिलता है। गुणन से बने समान समीकरणों को पहचानें। / Multiplying (3x+y=14) by (2) gives (6x+2y=28). Recognize equivalent equations formed by multiplication.
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If (4x+ay=20) is coincident with the line (2x+3y=10), what will be the value of (a)?
A. (6)
(2x+3y=10) को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=20) मिलता है। इसलिए (a=6) होगा। / Multiplying (2x+3y=10) by (2) gives (4x+6y=20). Therefore (a=6).
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Which equation will give a coincident line with (2x+5y=13)?
A. (4x+10y=26)
(4x+10y=26) को (2) से भाग देने पर (2x+5y=13) मिलता है। इसलिए दोनों ग्राफ पर एक ही रेखा हैं। / Dividing (4x+10y=26) by (2) gives (2x+5y=13). Therefore both are the same line on the graph.
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Which equation will give a coincident line with (x+2y=9)?
A. (2x+4y=18)
(2x+4y=18) को (2) से भाग देने पर (x+2y=9) मिलता है। इसलिए दोनों ग्राफ पर एक ही रेखा हैं। / Dividing (2x+4y=18) by (2) gives (x+2y=9). Therefore both are the same line on the graph.
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If (A=-8.375), \(B=-\sqrt{70}\), and \(C=-\frac{67}{8}\), which two points are equal?
C. (A) और (C)(A) and (C)
\( -\frac{67}{8}=-8.375 \), इसलिए (A=C) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( -\frac{67}{8}=-8.375 \), so (A=C). Convert the fraction to a decimal for comparison.
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If (A=-7.125), \(B=-\sqrt{51}\), and \(C=-\frac{57}{8}\), which two points are equal?
C. (A) और (C)(A) and (C)
\( -\frac{57}{8}=-7.125 \), इसलिए (A=C) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( -\frac{57}{8}=-7.125 \), so (A=C). Convert the fraction to a decimal for comparison.
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A. (A) और (C)(A) and (C)
\( -\frac{25}{4}=-6.25 \), इसलिए (A=C) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( -\frac{25}{4}=-6.25 \), so (A=C). Convert the fraction to a decimal for comparison.
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On the number line, (0.125) is the same point as which fraction?
B. \(\frac{1}{8}\)
\(0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) है। दशमलव को हर (10), (100), या (1000) से शुरू करके सरल करें। / \(0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\). Start with denominator (10), (100), or (1000), then simplify.
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Which fraction shows the same point as (-1.25) on the number line?
B. \(-\frac{5}{4}\)
\(-1.25=-\frac{125}{100}=-\frac{5}{4}\) है। दशमलव को सरल भिन्न में बदलें। / \(-1.25=-\frac{125}{100}=-\frac{5}{4}\). Convert the decimal into a simplified fraction.
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Which fraction represents the same point as (2.125) on the number line?
C. \(\frac{17}{8}\)
\(2.125=2+0.125=2+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर समान बिंदु पहचानें। / \(2.125=2+0.125=2+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\). Convert decimals to fractions to identify the same point.
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Which pair represents the same point on the number line?
B. \(\frac{3}{4}\) और (0.75)\(\frac{3}{4}\) and (0.75)
\(\frac{3}{4}=0.75\), इसलिए दोनों एक ही बिंदु हैं। समान बिंदु पहचानने के लिए रूप बदलें। / \(\frac{3}{4}=0.75\), so both are the same point. Convert forms to identify equal points.
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When (1.5) is compared with \(\frac{3}{2}\) on the number line, what do we get?
A. दोनों बराबर हैंboth are equal
\(\frac{3}{2}=1.5\), इसलिए दोनों एक ही बिंदु दिखाते हैं। दशमलव और भिन्न का समान मान पहचानें। / \(\frac{3}{2}=1.5\), so both show the same point. Identify equal values in decimal and fraction forms.
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What is \(0.00999\ldots\) equal to?
B. (0.01)
अंत में अनंत (9) आने पर संख्या अगले सांत दशमलव के बराबर होती है। इसलिए \(0.00999\ldots=0.01\)। / When (9)'s continue forever at the end, the number equals the next terminating decimal. Thus \(0.00999\ldots=0.01\).
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What is \(0.46999\ldots\) equal to?
B. (0.47)
अंत में अनंत (9) आने पर संख्या अगले सांत दशमलव के बराबर होती है। इसलिए \(0.46999\ldots=0.47\)। / When (9)'s continue forever at the end, the number equals the next terminating decimal. Thus \(0.46999\ldots=0.47\).
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What is \(0.37999\ldots\) equal to?
B. (0.38)
अंत में अनंत (9) आने पर संख्या अगले सांत दशमलव के बराबर होती है। इसलिए \(0.37999\ldots=0.38\)। / When (9)'s continue forever at the end, the number equals the next terminating decimal. Thus \(0.37999\ldots=0.38\).
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What is \(0.124999\ldots\) equal to?
B. (0.125)
अंत में अनंत (9) होने पर संख्या अगले सांत दशमलव के बराबर होती है। इसलिए \(0.124999\ldots=0.125\)। / When (9)'s continue forever at the end, the number equals the next terminating decimal. Thus \(0.124999\ldots=0.125\).
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What is \(0.24999\ldots\) equal to?
B. (0.25)
अंत में लगातार (9) आने पर संख्या अगले सांत दशमलव के बराबर हो सकती है। / When (9)'s continue forever at the end, the number may equal the next terminating decimal.
\(0.24999\ldots=0.25\) है। / \(0.24999\ldots=0.25\).
ऐसे दशमलवों में (9) की अनंत पुनरावृत्ति को साधारण सांत रूप में बदलें। / Convert infinite repeating (9)'s into the simpler terminating form.
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Which decimal is not equal to a terminating decimal?
A. \(0.\overline{12}\)
\(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार आता है और यह समाप्त नहीं होता। / In \(0.\overline{12}\), the block (12) repeats and the decimal does not end.
बाकी दशमलवों में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य हैं, इसलिए वे सांत दशमलव के बराबर हैं। / The other decimals have only zeros after some point, so they are equal to terminating decimals.
अंत के शून्य और आवर्ती गैर-शून्य अंकों में अंतर रखें। / Distinguish trailing zeros from repeating non-zero digits.
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Which statement is correct about \(0.0999\ldots\)?
A. यह \(\frac{1}{10}\) के बराबर हैIt is equal to \(\frac{1}{10}\)
\(0.0999\ldots=0.1\) होता है। / \(0.0999\ldots=0.1\).
\(0.1=\frac{1}{10}\), इसलिए यह परिमेय और सांत दशमलव के बराबर है। / \(0.1=\frac{1}{10}\), so it is rational and equal to a terminating decimal.
अंत में लगातार (9) आने पर बराबर सांत दशमलव की संभावना देखें। / When (9)'s continue at the end, check for an equivalent terminating decimal.
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Which number is equal to \(7\sqrt{2}\)?
A. \(\sqrt{98}\)
\(7\sqrt{2}=\sqrt{49}\sqrt{2}\)। / \(7\sqrt{2}=\sqrt{49}\sqrt{2}\).
यह \(\sqrt{98}\) के बराबर है। / This equals \(\sqrt{98}\).
बाहर का गुणांक अंदर ले जाने के लिए उसका वर्ग अंदर गुणा करें। / To move the outside coefficient inside, multiply by its square.
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Which of the following is equal to \(3+\sqrt{5}\)?
A. \(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\)
\(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\) को परिमेय करने के लिए \(3+\sqrt{5}\) से गुणा करें। / Rationalise \(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\) by multiplying by \(3+\sqrt{5}\).
हर (9-5=4) बनता है, इसलिए मान \(3+\sqrt{5}\) है। / The denominator becomes (9-5=4), so the value is \(3+\sqrt{5}\).
बराबर रूप पहचानने के लिए परिमेयकरण करें। / Use rationalisation to identify equivalent forms.
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Which number is equal to \(5\sqrt{3}\)?
A. \(\sqrt{75}\)
\(5\sqrt{3}=\sqrt{25}\sqrt{3}\)। / \(5\sqrt{3}=\sqrt{25}\sqrt{3}\).
यह \(\sqrt{75}\) के बराबर है। / This equals \(\sqrt{75}\).
बाहर के गुणांक को अंदर ले जाते समय उसका वर्ग अंदर गुणा करें। / When moving an outside coefficient inside the root, multiply by its square.
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Which number is equal to \(6\sqrt{2}\)?
A. \(\sqrt{72}\)
\(6\sqrt{2}=\sqrt{36}\sqrt{2}\)। / \(6\sqrt{2}=\sqrt{36}\sqrt{2}\).
यह \(\sqrt{72}\) के बराबर है। / This equals \(\sqrt{72}\).
बाहर का गुणांक अंदर ले जाने के लिए उसका वर्ग अंदर गुणा करें। / To move the outside coefficient inside, multiply by its square.
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Which of the following is equal to \(2+\sqrt{3}\)?
A. \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) का हर परिमेय करने के लिए \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। / Rationalise \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) by multiplying by \(2+\sqrt{3}\).
हर (4-3=1) बनता है, इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। / The denominator becomes (4-3=1), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
बराबर रूप पहचानने के लिए परिमेयकरण करें। / Use rationalisation to identify equivalent forms.
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Which number is equal to \(4\sqrt{3}\)?
A. \(\sqrt{48}\)
\(4\sqrt{3}=\sqrt{16}\sqrt{3}\)। / \(4\sqrt{3}=\sqrt{16}\sqrt{3}\).
यह \(\sqrt{48}\) के बराबर है। / This equals \(\sqrt{48}\).
बाहर के गुणांक को अंदर ले जाते समय उसका वर्ग गुणा करें। / When moving an outside coefficient inside the root, multiply by its square.
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Which number is equal to \(3\sqrt{5}\)?
A. \(\sqrt{45}\)
\(3\sqrt{5}=\sqrt{9}\sqrt{5}\)। / \(3\sqrt{5}=\sqrt{9}\sqrt{5}\).
यह \(\sqrt{45}\) के बराबर है। / This equals \(\sqrt{45}\).
बाहर के गुणांक को वर्ग करके अंदर ले जा सकते हैं। / An outside coefficient can be moved inside by squaring it.
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Which of the following is not equal to \(3+\sqrt{2}\)?
B. \(\frac{7}{3-\sqrt{2}}\)
पहले विकल्प में \(3-\sqrt{2}\) कटकर \(3+\sqrt{2}\) देता है। / The first option cancels to \(3+\sqrt{2}\).
(\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7\(3+\sqrt{2}\)}{9-2}=3+\sqrt{2}), इसलिए यह भी बराबर है; अतः कोई गलत विकल्प नहीं? फिर प्रश्न दोषपूर्ण होगा। / (\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7\(3+\sqrt{2}\)}{9-2}=3+\sqrt{2}), so it is also equal; hence there is no incorrect option.
बराबर रूप वाले प्रश्न में हर विकल्प को सरल करना जरूरी है। / In equivalent-form questions, simplify every option.
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Which number is equal to \(\sqrt{50}\)?
A. \(5\sqrt{2}\)
\(50=25\times2\) लिखें। / Write \(50=25\times2\).
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\).
बराबर रूप पहचानने के लिए सबसे पहले वर्गमूल को सरल करें। / To identify an equivalent form, simplify the square root first.
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Which number is equal to \(\sqrt{75}\)?
B. \(5\sqrt{3}\)
\(75=25 \times 3\) है। / \(75=25 \times 3\).
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).
बराबर रूप पहचानने के लिए पहले वर्गमूल को सरल करें। / To identify an equivalent form, simplify the square root first.
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Which number is equal to \(\sqrt{12}\)?
A. \(2\sqrt{3}\)
\(12=4 \times 3\) है। / \(12=4 \times 3\).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
बराबर रूप पहचानने के लिए वर्गमूल को सरल करना जरूरी है। / To identify an equivalent form, simplify the square root first.
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If (x-3) is a factor of (p(x)=x-3-5x-2+ax+12), what is the value of (a)?
A. (2)
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
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If (p(x)=x-3-7x+6), which of the following is not a factor of (p(x))?
A. (x+3)
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
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If (p(x)=x-3+3x-2-4x-12), which of the following is a factor?
A. (x+3)
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
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If (x-2) is a factor of (p(x)=x-3+kx-2-4x-4), what is the value of (k)?
A. (1)
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
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What is obtained by taking the common factor from \(4x^5+12x^4\)?
A. (4x-4(x+3))
दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड \(4x^4\) है। इसलिए रूप (4x-4(x+3)) है। / The common factor in both terms is \(4x^4\). Hence the form is (4x-4(x+3)).
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What is obtained by taking the common factor from \(3x^4+9x^3\)?
A. (3x-3(x+3))
दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड \(3x^3\) है। इसलिए रूप (3x-3(x+3)) है। / The common factor in both terms is \(3x^3\). Hence the form is (3x-3(x+3)).
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What is obtained by taking the common factor from \(2x^3+6x^2\)?
A. (2x-2(x+3))
दोनों पदों में सामान्य गुणनखंड \(2x^2\) है। इसलिए रूप (2x-2(x+3)) है। / The common factor in both terms is \(2x^2\). Hence the form is (2x-2(x+3)).
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By taking common factor, how will \(4x^2+28x=0\) be written?
A. (4x(x+7)=0)
(4x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (4x(x+7)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (4x) is the common factor, so (4x(x+7)=0). In exams, take out the greatest common factor.
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By taking common factor, how will \(5x^2+15x=0\) be written?
A. (5x(x+3)=0)
(5x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (5x(x+3)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (5x) is the common factor, so (5x(x+3)=0). In exams, take out the greatest common factor.
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Which factor form can represent \(x^2+11x+30=0\)?
A. ((x+5)(x+6)=0)
\(5\cdot6=30\) और (5+6=11) है। इसलिए सही गुणनखंड ((x+5)(x+6)) हैं। / \(5\cdot6=30\) and (5+6=11). Therefore the correct factors are ((x+5)(x+6)).
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Which factor form can represent \(x^2+9x+20=0\)?
A. ((x+4)(x+5)=0)
\(4\cdot5=20\) और (4+5=9) है। इसलिए सही गुणनखंड ((x+4)(x+5)) हैं। / \(4\cdot5=20\) and (4+5=9). Therefore the correct factors are ((x+4)(x+5)).
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Which factor form can represent \(x^2+7x+12=0\)?
A. ((x+3)(x+4)=0)
(3) और (4) का गुणनफल (12) और योग (7) है। इसलिए ((x+3)(x+4)=0) सही है। / The product of (3) and (4) is (12), and their sum is (7). Therefore ((x+3)(x+4)=0) is correct.
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Which option is the factor form of \(x^2+x-12=0\)?
A. ((x+4)(x-3)=0)
((x+4)(x-3)) फैलाने पर \(x^2+x-12\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x+4)(x-3)) gives \(x^2+x-12\). To check factors, expand them.
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How do we write \(x^2-49=0\) in factor form?
A. ((x-7)(x+7)=0)
\(x^2-49\) वर्गों का अंतर है। इसलिए यह ((x-7)(x+7)) बनता है। / \(x^2-49\) is a difference of squares. Hence it becomes ((x-7)(x+7)).
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Which option shows \(x^2+10x+25=0\) in factor form?
A. ((x+5)2=0)
\(x^2+10x+25\) पूर्ण वर्ग है। यह ((x+5)2) के बराबर है। / \(x^2+10x+25\) is a perfect square. It equals ((x+5)2).
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Which option is the factor form of \(x^2-2x-15=0\)?
A. \((x-5)(x+3)=0\)
((x-5)(x+3)) फैलाने पर \(x^2-2x-15\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x-5)(x+3)) gives \(x^2-2x-15\). To check factors, expand them.
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How do we write \(x^2-16=0\) in factor form?
A. \((x-4)(x+4)=0\)
\(x^2-16\) वर्गों का अंतर है। इसलिए यह ((x-4)(x+4)) बनता है। / \(x^2-16\) is a difference of squares. Hence it becomes ((x-4)(x+4)).
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Which option shows \(x^2+6x+9=0\) in factor form?
A. \((x+3)^2=0\)
\(x^2+6x+9\) एक पूर्ण वर्ग है। यह ((x+3)2) के बराबर है। / \(x^2+6x+9\) is a perfect square. It equals ((x+3)2).
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A. (x-\(2-\sqrt{3}\))
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
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B. (273)
सरलतम हर से (3), (7) और (13) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 13=273\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
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B. (1539)
सरलतम हर से \(3^4\) और (19) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(81\cdot 19=1539\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
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B. (621)
सरलतम हर से \(3^3\) और (23) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(27\cdot 23=621\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
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A. (153)
सरलतम हर से \(3^2\) और (17) हटने चाहिए, इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3^2\cdot 17=153\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
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B. (57)
हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। / The denominator contains (2), (5), (3), and (19).
सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। / For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / Only (2) and (5) may remain in the denominator.
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If \(\frac{x}{540}\) has a terminating decimal expansion, what factor must (x) contain at minimum?
B. (27)
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
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C. (231)
\(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\) है। / \(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\).
सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। / For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं। / (2) and (5) may remain, but other prime factors must not.
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If \(\frac{m}{735}\) has a terminating decimal expansion, what factor must (m) contain at minimum?
C. (147)
\(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। / \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
(5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए। / The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel.
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If \(\frac{m}{56}\) has a terminating decimal expansion, which factor must (m) contain?
C. (7)
\(56=2^3\cdot 7\) है। / \(56=2^3\cdot 7\).
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (7) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (m) में (7) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (7) must not remain in the reduced denominator. Therefore (m) must contain (7).
हर से (2) और (5) के अलावा बाकी अभाज्य गुणनखंड कटवाएँ। / Cancel all denominator primes other than (2) and (5).
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If the reduced denominator contains the factor (17), what type of decimal expansion will occur?
B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
(17) एक ऐसा अभाज्य है जो (2) या (5) नहीं है। / (17) is a prime other than (2) and (5).
सरलतम हर में (17) होने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा। / If (17) remains in the reduced denominator, the decimal will not terminate.
परिमेय संख्या का ऐसा असमाप्त दशमलव आवर्ती होता है। / Such a non-terminating decimal of a rational number is recurring.
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B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
सरलतम हर में (3) एक ऐसा अभाज्य है जो (2) या (5) नहीं है। / In the reduced denominator, (3) is a prime other than (2) and (5).
इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, पर दोहराव आएगा। / So the decimal will not terminate but will repeat.
परिमेय संख्या का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता हैBoth assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है। / The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct.
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B. असमाप्त आवर्तीNon-terminating recurring
समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
(3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। / If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं। / The remaining factors in lowest form decide the result.
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A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\)First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a\).
(a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)। / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\).
अब (5) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है। / Now (5) becomes a common factor and gives the contradiction.
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Which statement correctly tells the role of factor (2) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता हैIt becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
\(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। / From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। / Later factor (2) also appears in (q).
दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Common factor (2) contradicts the coprime condition.
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Which statement correctly states the prime factor rule?
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती हैIf a prime divides a square, it also divides the original number
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
यदि कोई अभाज्य \(p^2\) को विभाजित करता है, तो वह (p) को भी विभाजित करेगा। / If a prime divides \(p^2\), it also divides (p).
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह नियम जरूरी है। / This rule is needed in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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Which prime factor plays the main role in proving \(\sqrt{3}\) irrational?
C. (3)
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(p^2=3q^2\).
यहां (3) का गुणनखंड ही (p) और (q) में साझा रूप से आता है। / The factor (3) appears commonly in (p) and (q).
जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही मुख्य गुणनखंड बनती है। / The number under the square root becomes the key factor.
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In which proof is the prime factor (5) used mainly?
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण मेंIn the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\).
यहां (5) अभाज्य गुणनखंड मुख्य है। / Here prime factor (5) is the key.
इसी से दोनों संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / It leads to common factor (5) in both numbers.
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In which proof is the prime factor (3) used mainly?
A. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण मेंIn the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(a^2=3b^2\).
इसलिए (3) का गुणनखंड प्रमाण का मुख्य आधार बनता है। / So factor (3) becomes the main base of the proof.
इसी से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / It shows both (a) and (b) divisible by (3).
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In which proof is the prime factor (2) used mainly?
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण मेंIn the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(a^2=2b^2\).
इसलिए (2) का गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है। / So the factor (2) plays the main role.
जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही गुणनखंड प्रमाण में आता है। / The number under the square root appears as the key factor in the proof.
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A. (2)
सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। / An even number is always divisible by (2).
दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। / Both are even, so (2) is their common factor.
साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है। / Finding a common factor contradicts the lowest-form condition.
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Two numbers are (180) and (252). What is their HCF in prime factor form?
A. \(2^2\times3^2\)
पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। / Write both numbers in prime factor form.
\(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। / \(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें। / Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF.
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What will be the greatest odd factor of \(2^3 \times 3^2 \times 5^2\)?
C. 225
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
\(2^3\) हटाने पर \(3^2 \times 5^2=9 \times 25=225\) बचता है। / Removing \(2^3\) leaves \(3^2 \times 5^2=9 \times 25=225\).
सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें। / To get the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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What is the greatest prime factor of \(2^2 \times 3^3 \times 11\)?
D. 11
अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। / Prime factors are the base numbers.
यहां अभाज्य आधार (2,3,11) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (11) है। / The prime bases here are (2,3,11), and the greatest is (11).
(9) जैसे संयुक्त मान को अभाज्य गुणनखंड न मानें। / Do not treat a composite value like (9) as a prime factor.
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What will be the greatest odd factor of \(2^2 \times 3^3 \times 5\)?
C. 135
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
\(2^2\) हटाने पर \(3^3 \times 5=27 \times 5=135\) बचता है। / After removing \(2^2\), we get \(3^3 \times 5=27 \times 5=135\).
सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें। / To get the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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What is the greatest prime factor of \(2^3 \times 3^2 \times 5\)?
C. 5
अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। / Prime factors are the base numbers.
यहां अभाज्य आधार (2,3,5) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (5) है। / The prime bases here are (2,3,5), and the greatest is (5).
(9) जैसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड न मानें। / Do not treat a number like (9) as a prime factor.
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What is the greatest prime factor of \(2^3 \times 3 \times 5\)?
C. 5
अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। / The prime factors are the base numbers.
यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। / Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें। / When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number.
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What is the smallest prime factor of \(2^3 \times 3^2\)?
A. 2
अभाज्य गुणनखंडन में आधार संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। / The bases in prime factorisation are the prime factors.
यहां आधार (2) और (3) हैं, इनमें सबसे छोटा (2) है। / Here the bases are (2) and (3), and the smallest is (2).
सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड खोजते समय घातों को न देखें। / To find the smallest prime factor, do not focus on exponents.
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What is the greatest odd factor of \(2^5 \times 3\)?
A. 3
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
\(2^5\) को हटाने पर केवल (3) बचता है, इसलिए सबसे बड़ा विषम गुणनखंड (3) है। / Removing \(2^5\) leaves only (3), so the greatest odd factor is (3).
सबसे बड़े विषम गुणनखंड के लिए सभी (2) हटा दें। / For the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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What is the greatest odd factor of \(2^3 \times 3^2 \times 5\)?
A. 45
विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain (2).
सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए \(2^3\) हटाकर \(3^2 \times 5=9 \times 5=45\) लें। / Remove \(2^3\) and keep \(3^2 \times 5=45\).
विषम गुणनखंडों में सभी (2) हटा दें। / For the greatest odd factor, remove all powers of (2).
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If \(N=2^4 \times 3^3 \times 7\), what is the smallest prime factor of (N)?
A. (2)
अभाज्य गुणनखंडन में लिखी सभी संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। / The bases in prime factorisation are the prime factors.
(2,3,7) में सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) है। / Among (2,3,7), the smallest prime number is (2).
सबसे छोटे गुणनखंड के लिए घात नहीं, आधार संख्या देखें। / For the smallest prime factor, look at the base, not the exponent.
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Which of the following was not a factor that increased conflict in the Balkans?
D. सभी समुदायों का एक ही राष्ट्रीय लक्ष्य पर पूर्ण सहमत होनाComplete agreement of all communities on one national goal
जातीय राष्ट्रवाद, ओटोमन पतन और बड़ी शक्तियों की होड़ ने संघर्ष बढ़ाया। / Ethnic nationalism, Ottoman decline, and great power rivalry increased conflict.
सभी समुदायों की पूर्ण सहमति होती तो संघर्ष कम होता। / Complete agreement among all communities would have reduced conflict.
इसलिए चौथा विकल्प संघर्ष बढ़ाने वाला कारण नहीं है। / Therefore, the fourth option was not a factor increasing conflict.
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Which factor mainly contributes to the broken nature of the Eastern Ghats?
A. प्रायद्वीपीय नदियों द्वारा कटावCutting by peninsular rivers
पूर्वी घाट महानदी गोदावरी कृष्णा और कावेरी जैसी नदियों से कटते हैं। परीक्षा में पूर्वी घाट को असतत पर्वत श्रृंखला मानें। / The Eastern Ghats are cut by rivers such as Mahanadi, Godavari, Krishna, and Cauvery. For exams, consider the Eastern Ghats a discontinuous range.
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What decisive factor separates Narmada and Tapi from east flowing Peninsular rivers?
A. दरार घाटियों से पश्चिम की ओर अरब सागर तक बहनाFlowing westward through rift valleys to the Arabian Sea
नर्मदा और तापी पश्चिममुखी और दरार घाटी से जुड़ी नदियां हैं। परीक्षा में इन्हें अपवाद के रूप में याद रखें। / Narmada and Tapi are west flowing rivers linked with rift valleys. For exams remember them as exceptions.
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Agricultural usefulness of doabs is most linked with which physical factor?
A. दो नदियों के बीच जलोढ़ मिट्टीAlluvial soil between two rivers
दोआब दो नदियों के बीच की उपजाऊ जलोढ़ भूमि है। परीक्षा में गंगा यमुना दोआब को उदाहरण मानें। / A doab is fertile alluvial land between two rivers. For exams take Ganga Yamuna Doab as an example.
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Which factor along with rock cut architecture increases Petra's historical importance?
B. नबातियन जल प्रबंधन और व्यापार मार्गNabataean water management and trade routes
पेट्रा रेगिस्तान में जल प्रबंधन और व्यापार नियंत्रण का उत्कृष्ट उदाहरण है। परीक्षा में नबातियन और जॉर्डन याद रखें। / Petra is an outstanding example of desert water management and trade control. For exams remember Nabataean and Jordan.
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Which factor was very important in opposition to the Pahlavi regime during the Iranian Revolution?
B. राजनीतिक दमन सांस्कृतिक असंतोष और धार्मिक नेतृत्व का गठबंधनCombination of political repression cultural discontent and religious leadership
ईरानी क्रांति कई असंतोषों और धार्मिक नेतृत्व के संगठित प्रभाव से बढ़ी। परीक्षा में इसे एक बहुकारक क्रांति के रूप में समझें। / The Iranian Revolution grew through many discontents and organized religious leadership. In exams, understand it as a multi-causal revolution.
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Why can civilian morale in the Battle of Britain be treated as a military factor?
A. क्योंकि मनोबल ने सरकार की लड़ाई जारी रखने की क्षमता को सहारा दियाBecause morale supported the government's ability to continue fighting
आधुनिक युद्ध में नागरिक मनोबल राज्य की युद्ध क्षमता से जुड़ जाता है। परीक्षा में गृह मोर्चे को रणनीति से जोड़ें। / In modern war civilian morale becomes linked with the state's war capacity. For exams connect the home front with strategy.
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Which geographical factor was important in the rise of Magadha?
A. लोहे और उपजाऊ भूमि की उपलब्धताAvailability of iron and fertile land
मगध को लोहे और उपजाऊ गंगा मैदान का लाभ मिला। परीक्षा में भूगोल को राजनीतिक शक्ति से जोड़ें। / Magadha benefited from iron and the fertile Ganga plains. For exams, connect geography with political power.
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If (p(x)=x-3-1), which of the following is a linear factor?
A. (x-1)
(x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)) है। इसलिए (x-1) रैखिक गुणनखंड है। / (x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)). Therefore (x-1) is a linear factor.
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If (p(x)=x-3-3x-2-4x+12), what is the complete factor form?
A. ((x-3)(x-2)(x+2))
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
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If (p(x)=x-2+2x-24), which is a factor of (p(x))?
A. (x-4)
(x-2+2x-24=(x-4)(x+6)) है। इसलिए (x-4) एक गुणनखंड है। / (x-2+2x-24=(x-4)(x+6)). Therefore (x-4) is a factor.
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If (p(x)=x-3+x-2-10x+8) and (x=1) is a zero, what is the remaining quadratic factor?
A. \(x^2+2x-8\)
(x=1) शून्यक होने से (x-1) गुणनखंड है। भाग देने पर \(x^2+2x-8\) मिलता है। / Since (x=1) is a zero, (x-1) is a factor. Division gives \(x^2+2x-8\).
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If (x+2) is a factor of (p(x)=x-3+mx-2-4x-4), what is (m)?
A. (1)
(p(-2)=0) रखने पर (-8+4m+8-4=0) मिलता है। इससे (4m-4=0) और (m=1) है। / Putting (p(-2)=0) gives (-8+4m+8-4=0). Thus (4m-4=0), so (m=1).
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Which is a factor of \(2x^3-9x^2+13x-6\)?
A. (x-1)
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
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Which one is not a linear factor of \(x^4-1\)?
C. \(x^2+1\)
\(x^2+1\) रैखिक नहीं है क्योंकि उसकी घात (2) है। वास्तविक संख्याओं में इसे रैखिक गुणनखंड नहीं माना जाता। / \(x^2+1\) is not linear because its degree is (2). Over real numbers, it is not a linear factor.
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If (x+1) is a factor of \(2x^3+kx^2-5x+2\), what is the correct value of (k)?
A. (-5)
(p(-1)=0) रखने पर (-2+k+5+2=0) मिलता है। इसलिए (k=-5) सही है। / Putting (p(-1)=0) gives (-2+k+5+2=0). Therefore, (k=-5) is correct.
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