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पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। / The square root of a perfect square is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। / (9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
सबसे पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास प्राप्त करते हैं। / Finally, a common factor in numerator and denominator gives the contradiction.
(0.125) सांत है और \(\sqrt{169}=13\) है। पहले विकल्प की सभी संख्याएँ परिमेय हैं। / (0.125) is terminating and \(\sqrt{169}=13\). All numbers in the first option are rational.
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। / (14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें। / In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। / (15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें। / For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square.
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाकर अपरिमेयता सिद्ध करते हैं। / Finally, a common factor gives contradiction and proves irrationality.
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण विरोधाभास विधि से होते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) use contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / First assume rationality, write a lowest-form fraction, and square.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास मिलता है। / Finally, a common factor gives contradiction.
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Explanation
Simple Explanation
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें। / Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। / Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The sum can be rational or irrational
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
पहले विकल्प में कोई भी संख्या पूर्ण वर्ग की जड़ नहीं है। इसलिए सभी अपरिमेय हैं। / In the first option none is the root of a perfect square. So all are irrational.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ। / \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
पहले समूह की सभी संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखी जा सकती हैं। बाकी समूहों में अपरिमेय संख्या है। / All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है। लेकिन परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता। / The product of two rational numbers is rational. But the result is not always an integer.
दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। इसे परिमेय संख्याओं की बंदता कहा जाता है। / The sum of two rational numbers is rational. This is called closure of rational numbers.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
(\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) है जो परिमेय है। इससे पता चलता है कि योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0), which is rational. This shows the sum is not always irrational.
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं। / Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है। / Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। / Both numbers are individually irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें। / Check whether the product inside the square root becomes a perfect square.
A. (a) और (b) का गुणनफल (30) और वे सहाभाज्य होंगे/Product of (a) and (b) is (30) and they are coprime
Step 1
Concept
यदि महत्तम समापवर्तक (30) है, तो संख्याएँ (30a) और (30b) लिखी जा सकती हैं जहाँ (a) और (b) सहाभाज्य होते हैं। / If HCF is (30), the numbers can be written as (30a) and (30b), where (a) and (b) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य (30ab=900), इसलिए (ab=30)। / LCM becomes (30ab=900), so (ab=30).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर सोचें। / Factor out the HCF to simplify such problems.
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before trying pairs.
\(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। / In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है। / In pair questions, check both numbers, not just one.
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Explanation
Simple Explanation
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें। / (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें। / If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें। / \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें। / The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
A. \(8+2\sqrt{15}\), अपरिमेय/\(8+2\sqrt{15}\), irrational
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में ((a+b)2) का प्रयोग सावधानी से करें। / \(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), so it is irrational. In exams use ((a+b)2) carefully.
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें। / Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
(14) प्राकृतिक संख्या है और \(14=\frac{14}{1}\) भी है। इसलिए यह परिमेय भी है। / (14) is a natural number and \(14=\frac{14}{1}\). So it is also rational.
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) होता है। इससे याद रखें कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Remember that the sum of two irrational numbers can sometimes be rational.
\(\frac{3}{8}\) परिमेय है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्या \(0,1,2,\ldots\) होती हैं। / \(\frac{3}{8}\) is rational but not a whole number. Whole numbers are \(0,1,2,\ldots\).
\(-8=\frac{-8}{1}\) लिखा जा सकता है इसलिए यह परिमेय है। हर पूर्णांक वास्तविक भी होता है। / (-8) can be written as \(\frac{-8}{1}\) so it is rational. Every integer is also real.
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। केवल अनंत देखकर निर्णय न लें। / A non terminating and non recurring decimal is irrational. Do not decide only by seeing it is infinite.
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है। / \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
A. वह परिमेय संख्या होती है/It is a rational number
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव को \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए वह परिमेय और वास्तविक होता है। / A terminating decimal can be written in \(\frac{p}{q}\) form. So it is rational and real.
A. प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है/Every irrational number is real
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। लेकिन सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय नहीं होतीं। / Irrational numbers are a part of real numbers. But all real numbers are not irrational.
(9) गिनती की संख्या है और \(9=\frac{9}{1}\) भी है। इसलिए यह प्राकृतिक और परिमेय दोनों है। / (9) is a counting number and \(9=\frac{9}{1}\). So it is both natural and rational.
1.25 एक समाप्त दशमलव है और इसे \(\frac{5}{4}\) के रूप में लिखा जा सकता है (या \(\frac{125}{100}\) साधारण करके)। कोई भी संख्या जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सके परिमेय होती है; इसलिए 1.25 परिमेय है। निकटतम विचलन B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ समाप्त या आवर्त दशमलव रूप में नहीं आतीं। C गलत है क्योंकि 1.25 एक वास्तविक संख्या है। D भी गलत है क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ केवल पूर्ण धनात्मक पूर्णांक होती हैं और 1.25 उनमें से नहीं है। परीक्षा टिप: समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए दशमलव के स्थान के अनुसार हर और भाग लें — उदाहरण: \(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\)। / 1.25 is a terminating decimal and can be written as \(\frac{5}{4}\) (or \(\frac{125}{100}\) simplified). A number expressible as a ratio of two integers is rational, so 1.25 is rational. Distractor B (irrational) is incorrect because irrational numbers are non-terminating, non-repeating decimals. C is incorrect because 1.25 is a real number. D is incorrect because natural numbers are positive whole numbers and 1.25 is not an integer. Exam tip: convert a terminating decimal to a fraction by using place value (e.g. 1.25 = 125/100 = 5/4).
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल असिंप्लिफाइड रूप है, विकल्प C गलत है क्योंकि \(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{12}\) जो \(\sqrt{18}\) के बराबर नहीं है, और विकल्प D अधिक बड़ा है (\(6\sqrt{2}=2\times3\sqrt{2}\))। परीक्षा टिप: किसी भी वर्गमूल को सरल करने के लिए घटक को पूर्ण वर्ग और शेष भाग में बाँटें और पूर्ण वर्ग की जड़ बाहर निकालें। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option A is correct. Option B is just the unsimplified root. Option C is incorrect because \(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{12}\), not \(\sqrt{18}\). Option D is too large (\(6\sqrt{2}=2\times3\sqrt{2}\)). Exam tip: Factor the radicand into a perfect square times a remaining factor, then take the square root of the perfect square outside.
दो समान घनमूल पदों को जोड़ते समय सामान्य गुणनांक जोड़ा जाता है: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). अक्सर गलतियाँ इसलिए होती हैं क्योंकि विद्यार्थी समझते हैं कि \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\) — यह गलत है क्योंकि दो अलग घनमूलों को जोड़ने पर उन्हें अंदर जोड़कर एक घनमूल नहीं बनाया जा सकता। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प "2" इसी गलतियाँ दर्शाता है। परीक्षा टिप: समान घनमूलों को समूहित करके गुणांक बढ़ाएँ, यानी \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\). / When adding like surds, add their coefficients: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). A common mistake is to write \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\); this is wrong because you cannot combine terms under a single square root by simple addition. The closest distractor "2" comes from that error. Exam tip: factor common surds — for example \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\).
0 को \\(
\frac{0}{1}
\\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ 0 और 1 दोनों पूर्णांक हैं और हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। इसलिए 0 परिमेय और वास्तविक दोनों है। "अपरिमेय" विकल्प गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या को भिन्न \\((p/q)\\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; 0 को स्पष्ट रूप से \\((0/1)\\) लिखा जा सकता है। "केवल ऋणात्मक" भी गलत है क्योंकि 0 न तो धनात्मक है न ऋणात्मक। परीक्षात्मक सुझाव: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिए उसे \\((p/q,\;q\neq0)\\) के रूप में लिखने का प्रयास करें। / 0 can be written as \\(
\frac{0}{1}
\\), where numerator and denominator are integers with nonzero denominator, so 0 is rational. All rational numbers are real, hence 0 is also real. The "Irrational" option is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as \\(p/q\\) with integers p,q; 0 clearly can. "Negative only" is wrong since 0 is neither positive nor negative. Exam tip: to test rationality, try to express the number as \\((p/q)\\) with integer p and nonzero integer q.
\(\pi\) का दशमलव रूप लगभग 3.14159... है जो अनंत तक जाता है और किसी आवर्ती पैटर्न में नहीं लौटता। इसलिए इसे दो पूर्णांकों के अनुपात \(p/q\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता — यह अपरिमेय संख्या है। 'समाप्त दशमलव' विकल्प गलत है क्योंकि समाप्त दशमलव हमेशा परिमेय (rational) होती हैं और उन्हें \(p/q\) के रूप में लिखा जा सकता है। परीक्षा टिप: यदि किसी संख्या का दशमलव अनंत और अनावर्ती है तो वह अपरिमेय है। / The decimal expansion of \(\pi\) is approximately 3.14159... and continues without terminating or repeating, so it cannot be expressed as a ratio \(p/q\) of integers — therefore it is irrational. The 'terminating decimal' option is incorrect because terminating decimals are always rational (expressible as a fraction). Also, \(\pi\) is neither an integer nor a whole number. Exam tip: non-terminating, non-repeating decimal expansions indicate an irrational number.
\(\sqrt{49}=7\) है। 7 एक पूर्णांक है और इसे \(7/1\) के रूप में लिखा जा सकता है, अतः यह परिमेय संख्या है। पूर्ण वर्ग (49) का वर्गमूल हमेशा एक पूर्णांक होगा और इसलिए परिमेय होता है। विकल्प B और C (अपरिमेय) गलत हैं क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-आवर्ती व गैर-नियत दशमलव होती हैं जैसे \(\sqrt{2}\)। विकल्प D गलत है क्योंकि व्यंजक का मान निश्चित और परिभाषित है। परीक्षा-सूत्र: यदि अंदर का संख्या एक पूर्ण वर्ग है तो उसका वर्गमूल एक पूर्णांक (और इसलिए परिमेय) होगा। / \(\sqrt{49}=7\). The number 7 is an integer and can be written as \(7/1\), so it is rational. The square root of a perfect square is an integer (hence rational). Options B and C (irrational) are incorrect because irrational numbers have non-repeating, non-terminating decimals (for example \(\sqrt{2}\)). Option D is incorrect because the expression has a well-defined real value. Exam tip: whenever the radicand is a perfect square, its principal square root is an integer and therefore rational.
कोर विचार: यदि दशमलव अनअवरोधक (non-terminating) और अनावर्ती (non-repeating) है तो वह संख्या अपरिमेय होती है। 0.1010010001... जैसा दशमलव किसी भी साधारण भिन्न p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय है।
क्यों अन्य उत्तर गलत हैं: परिमेय संख्या की दशमलव रूपांतरण या तो समाप्त होता है या कोई आवर्ती पैटर्न दिखाता है—यहाँ ऐसा नहीं है, अतः B गलत। पूर्णांक और पूर्ण संख्या केवल शून्य या धनात्मक पूर्ण संख्याएँ (या पूर्णांकों के लिए पूरे अक्षांश) हैं; दिए गए दशमलव 0 और 1 के बीच है और न ही पूर्णांक है, इसलिए C और D गलत हैं।
परीक्षा टिप: किसी दशमलव में तुरंत आवृति (repeating block) या समाप्ति न दिखे तो उसे अपरिमेय मानने से पहले आवर्ती पैटर्न खोजें; यदि कोई आवृति नहीं मिले तो अपरिमेय है। / Core idea: A non-terminating, non-repeating decimal represents an irrational number. The decimal 0.1010010001... has no fixed repeating block and cannot be written as a fraction p/q, so it is irrational.
Why other options are wrong: Rational decimals either terminate or repeat, so option B is incorrect. Integers and whole numbers are discrete whole values (and the given number lies between 0 and 1), so options C and D are not applicable.
Exam tip: Look for a repeating block or termination first—if neither exists, the number is irrational.
0.333... एक आवर्ती (repeating) दशमलव है जिसे भिन्न के रूप में लिखकर व्यक्त किया जा सकता है। वास्तव में 0.333... = \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ अनियमित, गैर-आवर्ती दशमलव होती हैं (जैसे \(\sqrt{2}\) या π)। विकल्प C गलत है क्योंकि 0.333... एक वास्तविक संख्या है, न कि अवास्तविक। विकल्प D गलत है क्योंकि हर वास्तविक संख्या या तो परिमेय है या अपरिमेय; आवर्ती दशमलव स्पष्ट रूप से परिमेय है। परीक्षा टिप: किसी दशमलव का आवर्ती स्वरूप दिखे तो तुरंत यह परिमेय समझें और अक्सर उसे सामान्य भिन्न में बदलकर पुष्टि कर लें। / 0.333... is a repeating decimal and can be expressed as a fraction: 0.333... = \(\frac{1}{3}\). Therefore it is a rational number. Choice B is wrong because irrational numbers have non-repeating, non-terminating decimal expansions (e.g. \(\sqrt{2}\), π). Choice C is wrong because 0.333... is a real number. Choice D is incorrect because every real number is either rational or irrational, and a repeating decimal is rational. Exam tip: A repeating decimal always represents a rational number; convert it to a fraction to verify.
