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A. दो अलग समूहों से कुल (r) वस्तुएं चुनना/Choosing total (r) objects from two separate groups
Explanation
Simple Explanation
पहले समूह से (k) और दूसरे से (r-k) चुनकर सभी cases जुड़ते हैं। परीक्षा में दो समूहों वाली selection में वेंडरमोंड पहचानें। / Choose (k) from the first group and (r-k) from the second, then add all cases. In exams identify Vandermonde in two-group selection.
B. दो (n)-आकार के समूहों से कुल (n) वस्तुएं चुनना/Choosing total (n) objects from two groups of size (n)
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समूह से (n-r) चुनना \({}^{n}C_{n-r}={}^{n}C_r\) के बराबर है। परीक्षा में square sum को दो समान समूहों से जोड़ें। / Choosing (n-r) from the second group equals \({}^{n}C_{n-r}={}^{n}C_r\). In exams connect square sums with two equal groups.
पहले (r) वस्तुएं चुनें, फिर चुनी और न चुनी दोनों सूचियों को क्रम में रखें। परीक्षा में factorial cancellation से भी यही तुरंत मिलता है। / Choose (r) objects first, then arrange both chosen and unchosen lists. In exams factorial cancellation also gives this quickly.
A. एक चुने हुए (r)-समूह में एक सदस्य को चिह्नित करना/Marking one member in a chosen (r)-group
Explanation
Simple Explanation
बाईं ओर समूह चुनकर mark करते हैं, दाईं ओर marked member पहले चुनते हैं। परीक्षा में (r) factor को marked choice मानें। / The left side chooses a group and marks one member, while the right side chooses the marked member first. In exams treat the factor (r) as a marked choice.
A. चुने हुए समूह में ordered दो marked सदस्य/Ordered two marked members in the selected group
Explanation
Simple Explanation
(r)-समूह में पहला और दूसरा marked member क्रम सहित चुने जाते हैं। परीक्षा में (r(r-1)) देखकर ordered marking सोचें। / In an (r)-group, the first and second marked members are chosen with order. In exams think of ordered marking when you see (r(r-1)).
A. marked member चुनने के बाद बाकी (n-1) members स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जाते हैं/After choosing the marked member, the remaining (n-1) members are freely chosen or left
Explanation
Simple Explanation
पहले marked member के (n) choices हैं और बाकी पर two choices हैं। परीक्षा में binomial sum में extra (r) को marking से जोड़ें। / There are (n) choices for the marked member and two choices for each remaining member. In exams connect the extra (r) in binomial sums with marking.
Ordered दो marked members चुनने के (n(n-1)) ways हैं और बाकी (n-2) freely चुने जाते हैं। परीक्षा में दो marks हों तो \(2^{n-2}\) आता है। / There are (n(n-1)) ways to choose two ordered marked members and the remaining (n-2) are chosen freely. In exams two marks lead to \(2^{n-2}\).
(r-2=r(r-1)+r) लिखकर दो standard sums जोड़ते हैं। परीक्षा में \(r^2\) को split करना तेज तरीका है। / Write (r-2=r(r-1)+r) and add two standard sums. In exams splitting \(r^2\) is the fastest method.
पहले (k) marked members चुनें, फिर बाकी (n-k) members subset में आएं या न आएं। परीक्षा में nested selection में marked set पहले चुनें। / Choose the (k) marked members first, then each of the remaining (n-k) members may or may not enter the subset. In exams choose the marked set first in nested selection.
पहले सबसे अंदर के (t) members चुनें, फिर (s-t), फिर (r-s) members जोड़ें। परीक्षा में nested choices को layers में उल्टा गिनें। / First choose the innermost (t) members, then add (s-t), then (r-s) members. In exams count nested choices backward by layers.
Labelled groups fixed हैं और हर group के अंदर order नहीं गिना जाता। परीक्षा में multinomial denominator में group-size factorials रखें। / Labelled groups are fixed and order inside each group is not counted. In exams put group-size factorials in the multinomial denominator.
तीनों groups equal size और unlabelled हैं, इसलिए groups की (3!) अदला-बदली भी हटती है। परीक्षा में समान unlabelled groups पर extra factorial divide करें। / All three groups have equal size and are unlabelled, so the (3!) interchange of groups is also removed. In exams divide extra by factorial for equal unlabelled groups.
पहले (a) चुनें, फिर बचे में से (b), और (c) अपने आप तय होता है। परीक्षा में sequential selection को factorial form से मिलाएं। / Choose (a) first, then (b) from the remaining, and (c) is automatically fixed. In exams match sequential selection with factorial form.
Total functions से empty boxes वाले cases inclusion-exclusion द्वारा हटते हैं। परीक्षा में onto का अर्थ हर box non-empty समझें। / Cases with empty boxes are removed from total functions by inclusion-exclusion. In exams read onto as every box being non-empty.
तीन empty choices घटती हैं, फिर दो empty boxes के over-subtraction को जोड़ा जाता है। परीक्षा में onto distribution में inclusion-exclusion सावधानी से लगाएं। / Three empty-box choices are subtracted, then over-subtraction of two empty boxes is added. In exams apply inclusion-exclusion carefully for onto distribution.
Total \(2^n\) assignments में दोनों all-in-one empty-box cases invalid हैं। परीक्षा में labelled boxes हों तो empty cases अलग से घटाएं। / From total \(2^n\) assignments, the two all-in-one empty-box cases are invalid. In exams subtract empty cases separately for labelled boxes.
Labelled count में दोनों groups की अदला-बदली दो बार गिनती है। परीक्षा में unlabelled दो groups के लिए (2) से divide करें। / In the labelled count, interchanging the two groups counts each division twice. In exams divide by (2) for two unlabelled groups.
यह multiset selection है और answer \({}^{n+r-1}C_r\) होता है। परीक्षा में repetition with no order को bars method से करें। / This is multiset selection and the answer is \({}^{n+r-1}C_r\). In exams handle repetition with no order by the bars method.
चार variables को पहले (2) देने पर (17) बचता है। परीक्षा में lower bound घटाकर non-negative stars and bars लगाएं। / Give (2) first to the four variables, leaving (17). In exams subtract the lower bound and apply non-negative stars and bars.
Minimum (3+4+5=12) हटाने पर (8) बचता है। परीक्षा में unequal lower bounds को पहले shift करें। / Removing the minimum (3+4+5=12) leaves (8). In exams shift unequal lower bounds first.
पहले zero variables चुनें, फिर बाकी दो variables positive sum (18) बनाते हैं। परीक्षा में exactly zero cases में positive distribution लगाएं। / Choose the zero variables first, then the remaining two variables form a positive sum of (18). In exams use positive distribution for exactly-zero cases.
Upper bound तोड़ने पर \(x_i\geq7\) के cases घटते और double violations जुड़ते हैं। परीक्षा में bounded solutions में (7) shift करें। / Cases with \(x_i\geq7\) are subtracted and double violations are added. In exams shift by (7) for bounded solutions.
Violation \(x_i\geq5\) से शुरू होती है और inclusion-exclusion लागू होता है। परीक्षा में upper limit (4) हो तो (5) subtract shift लें। / A violation begins with \(x_i\geq5\), so inclusion-exclusion applies. In exams use a subtract shift of (5) for upper limit (4).
A. पहले letter की गलत position चुनने के लिए/To choose the wrong position of the first letter
Explanation
Simple Explanation
पहला letter अपनी original position छोड़कर (n-1) positions में जा सकता है। परीक्षा में derangement recurrence में first object की गलत choice देखें। / The first letter can go to (n-1) positions other than its original position. In exams watch the first object's wrong choice in derangement recurrence.
Fixed points वाले permutations को alternating तरीके से घटाया और जोड़ा जाता है। परीक्षा में कोई object सही स्थान पर न हो तो inclusion-exclusion सोचें। / Permutations with fixed points are subtracted and added alternately. In exams think of inclusion-exclusion when no object is in its correct place.
यह (5) objects का derangement है और \(D_5=44\) होता है। परीक्षा में letters-envelopes mismatch को derangement pattern मानें। / This is the derangement of (5) objects and \(D_5=44\). In exams treat letters-envelope mismatch as a derangement pattern.
पहले सही बैठे (k) people चुनें, फिर बाकी (n-k) का derangement करें। परीक्षा में exactly fixed points के लिए choose fixed plus derange rest करें। / First choose the (k) correctly seated people, then derange the remaining (n-k). In exams use choose fixed plus derange rest for exactly fixed points.
A. हर circular arrangement (n) rotations से linear arrangements में गिनी जाती है/Each circular arrangement is counted as (n) rotations in linear arrangements
Explanation
Simple Explanation
Linear (n!) count में rotations duplicate होते हैं। परीक्षा में circular arrangement में rotational overcount को (n) से divide करें। / Rotations are duplicates in the linear count (n!). In exams divide rotational overcount by (n) in circular arrangements.
A. जब rotations और reflections दोनों same माने जाएं/When both rotations and reflections are considered the same
Explanation
Simple Explanation
Bracelet में mirror images same मानी जाती हैं। परीक्षा में reflection same होने पर circular count को (2) से divide करें। / In a bracelet, mirror images are considered the same. In exams divide the circular count by (2) when reflection is the same.
तीन लोगों का one block और बाकी (5) people मिलकर (6) circular objects बनाते हैं, इसलिए (5!) arrangements हैं। परीक्षा में circular block count में objects minus one factorial लें। / The block of three people and the remaining (5) people form (6) circular objects, giving (5!) arrangements. In exams use one less factorial for circular block objects.
Total circular arrangements से (A,B) adjacent block के arrangements घटते हैं। परीक्षा में circular not adjacent को complement से करें। / Subtract adjacent block arrangements of (A,B) from total circular arrangements. In exams handle circular not-adjacent by complement.
पहले men को circle में ((n-1)!) ways से बैठाएं, फिर gaps में women को (n!) ways से रखें। परीक्षा में circular alternate में पहले एक group fix करें। / First seat men in a circle in ((n-1)!) ways, then place women in gaps in (n!) ways. In exams fix one group first for circular alternation.
Special objects के (k!) relative orders में केवल (1) allowed है। परीक्षा में fixed relative order में total arrangements को (k!) से divide करें। / Only (1) of the (k!) relative orders of the special objects is allowed. In exams divide total arrangements by (k!) for fixed relative order.
दो स्वतंत्र relative order restrictions में हर एक count को आधा करता है। परीक्षा में independent before-after pairs पर \(2^k\) से divide करें। / Each of the two independent relative-order restrictions halves the count. In exams divide by \(2^k\) for independent before-after pairs.
A. क्योंकि (0) last में valid है पर first में invalid है/Because (0) is valid at the last place but invalid at the first place
Explanation
Simple Explanation
Even number में (0) unit place पर आ सकता है लेकिन leading digit नहीं बन सकता। परीक्षा में digit problems में zero cases अलग रखें। / In an even number, (0) may be the unit digit but cannot be the leading digit. In exams keep zero cases separate in digit problems.
Last digit (0) या (5) हो सकता है, और (0) first digit पर restriction बदलता है। परीक्षा में divisibility by (5) में unit digit cases बनाएं। / The last digit can be (0) or (5), and (0) changes the first-digit restriction. In exams make unit-digit cases for divisibility by (5).
Even positions चुनें, उन पर (3) even choices और बाकी पर (4) odd choices हैं। परीक्षा में exactly condition में positions first चुनें। / Choose the even positions, then each has (3) even choices and the rest have (4) odd choices. In exams choose positions first in exactly conditions.
Total repeated-allowed strings से all distinct strings घटाएं। परीक्षा में at least repeat को complement no repeat से करें। / Subtract all-distinct strings from total repetition-allowed strings. In exams solve at least repeat by the no-repeat complement.
पहले (s) symbols चुनें, फिर (r) positions को उन (s) symbols पर onto map करें। परीक्षा में exactly distinct symbols में onto idea उपयोग करें। / First choose (s) symbols, then map the (r) positions onto those (s) symbols. In exams use the onto idea for exactly distinct symbols.
(p) brackets से (a), (q) से (b), और (r) से (c) चुनने का multinomial count है। परीक्षा में multinomial coefficient को repeated arrangement जैसा समझें। / It is the multinomial count of choosing (a) from (p) brackets, (b) from (q), and (c) from (r). In exams treat multinomial coefficients like repeated arrangements.
Exponents का sum (8) है और coefficient multinomial form से मिलता है। परीक्षा में powers को group sizes मानें। / The exponents sum to (8), and the coefficient comes from the multinomial form. In exams treat powers as group sizes.
A. ((1+1)^n) और ((1-1)^n) को जोड़कर/By adding ((1+1)^n) and ((1-1)^n)
Explanation
Simple Explanation
जोड़ने पर odd-index terms cancel हो जाते हैं। परीक्षा में even-odd binomial sums में (x=1) और (x=-1) साथ प्रयोग करें। / On adding, odd-index terms cancel out. In exams use (x=1) and (x=-1) together for even-odd binomial sums.
Indices modulo (3) अलग करने के लिए unity roots filter प्रयोग किया जाता है। परीक्षा में ऐसी sums को सामान्य even-odd method से अलग पहचानें। / The roots of unity filter separates indices modulo (3). In exams recognize that such sums differ from the usual even-odd method.
A. \(\frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_{r-2}}=\frac{n-r+2}{r-1}\)
Explanation
Simple Explanation
Consecutive combinations में factorial cancellation से यह ratio मिलता है। परीक्षा में लंबी values निकालने के बजाय adjacent ratio लगाएं। / Factorial cancellation in consecutive combinations gives this ratio. In exams use adjacent ratios instead of calculating long values.
A. Ratio (1) से अधिक होने पर sequence बढ़ती है और (1) से कम होने पर घटती है/The sequence increases when the ratio is greater than (1) and decreases when it is less than (1)
Explanation
Simple Explanation
Maximum के पास increasing से decreasing transition होता है। परीक्षा में binomial coefficient peak को ratio से locate करें। / Near the maximum, the sequence transitions from increasing to decreasing. In exams locate the binomial coefficient peak by ratios.
Even (n) में middle index single होता है। परीक्षा में symmetry और ratio से central term पहचानें। / For even (n), the middle index is single. In exams identify the central term by symmetry and ratio.
A. \({}^{n}C_{\frac{n-1}{2}}\) और \({}^{n}C_{\frac{n+1}{2}}\)/\({}^{n}C_{\frac{n-1}{2}}\) and \({}^{n}C_{\frac{n+1}{2}}\)
Explanation
Simple Explanation
Odd (n) में दो central complementary indices बराबर maximum देते हैं। परीक्षा में odd case में दो middle terms याद रखें। / For odd (n), the two central complementary indices give equal maxima. In exams remember two middle terms in the odd case.
Unequal equal-combination indices complementary होते हैं, इसलिए (3r-1+r+5=20)। परीक्षा में lower indices का sum upper index के बराबर करें। / Unequal equal-combination indices are complementary, so (3r-1+r+5=20). In exams set the sum of lower indices equal to the upper index.
({}^{n}P_3=(n-2){}^{n}P_2), इसलिए (n-2=10)। परीक्षा में consecutive permutation relation से जल्दी solve करें। / ({}^{n}P_3=(n-2){}^{n}P_2), so (n-2=10). In exams solve quickly using consecutive permutation relations.
Ratio \(\frac{n-r}{r+1}=\frac{2}{3}\) से (3n-3r=2r+2) मिलता है। परीक्षा में consecutive combination ratios को cross multiply करें। / The ratio \(\frac{n-r}{r+1}=\frac{2}{3}\) gives (3n-3r=2r+2). In exams cross-multiply consecutive combination ratios.
पहले (m) विशेष सदस्यों को दूसरे भाग में रखिए और बाकी (n-m) सदस्यों को स्वतंत्र विकल्प दीजिए। परीक्षा में ऐसे sums में fixed marked set पहले चुनें। / First place the (m) special members in the second part and give free choices to the remaining (n-m) members. In exams choose the fixed marked set first in such sums.
पहले (3) चिह्नित सदस्य चुनें और बाकी (n-3) सदस्य subset में आएं या न आएं। परीक्षा में अंदर वाले चयन को पहले गिनना तेज होता है। / Choose the (3) marked members first and let each of the remaining (n-3) members enter the subset or not. In exams count the inner selection first.
((1+x)^n) को differentiate करके (x) से multiply करने पर यह sum मिलता है। परीक्षा में (r) factor दिखे तो derivative method सोचें। / Differentiate ((1+x)^n) and multiply by (x) to obtain this sum. In exams think of the derivative method when a factor (r) appears.
दो बार differentiation करने पर (r(r-1)) factor आता है और \(x^2\) से power restore होती है। परीक्षा में (r(r-1)) के लिए second derivative लगाएं। / Two differentiations produce the factor (r(r-1)), and \(x^2\) restores the power. In exams use the second derivative for (r(r-1)).
Powers को falling factorials में तोड़ने से standard binomial sums लगते हैं। परीक्षा में \(r^3\) को सीधे expand करने के बजाय falling form लिखें। / Breaking powers into falling factorials allows standard binomial sums. In exams write \(r^3\) in falling form instead of expanding directly.
A. पहले बड़ा समूह चुनना या पहले marked (s)-समूह चुनना एक ही कार्य है/Choosing the large group first or choosing the marked (s)-group first is the same task
Explanation
Simple Explanation
दोनों तरफ (r)-समूह के भीतर (s) विशेष सदस्यों वाला same selection गिना जाता है। परीक्षा में nested selection को order बदलकर देखें। / Both sides count the same selection with (s) special members inside an (r)-group. In exams change the order of nested selection.
Sequential selection में हर selected block का internal order हटता है। परीक्षा में कई labelled groups दिखें तो multinomial denominator बनाएं। / In sequential selection the internal order of each selected block is removed. In exams form a multinomial denominator when many labelled groups appear.
दो size (2) groups और दो size (4) groups की अदला-बदली duplicate देती है। परीक्षा में equal-size unlabelled groups के factorials से extra divide करें। / Interchanging the two size (2) groups and the two size (4) groups gives duplicates. In exams divide extra by factorials of equal-size unlabelled groups.
तीनों groups same size और unlabelled हैं इसलिए group order (3!) भी हटता है। परीक्षा में equal unlabelled groups में extra (3!) याद रखें। / All three groups have the same size and are unlabelled, so group order (3!) is also removed. In exams remember the extra (3!) for equal unlabelled groups.
A. (^{r}C_k\sum_{i=0}^{r-k}(-1)^i{}^{r-k}C_i(r-k-i)^n)
Explanation
Simple Explanation
पहले empty boxes चुनें, फिर बाकी boxes में onto distribution करें। परीक्षा में exactly empty boxes में selection plus inclusion-exclusion लगाएं। / First choose the empty boxes, then distribute onto the remaining boxes. In exams use selection plus inclusion-exclusion for exactly empty boxes.
Empty boxes को inclusion-exclusion से घटाया और जोड़ा जाता है। परीक्षा में onto का मतलब हर labelled box non-empty समझें। / Empty boxes are subtracted and added by inclusion-exclusion. In exams interpret onto as every labelled box being non-empty.
पहले (3) labelled non-empty groups गिनते हैं, फिर labels की (3!) अदला-बदली हटाते हैं। परीक्षा में unlabelled groups के लिए labelled count divide करें। / First count (3) labelled non-empty groups, then remove the (3!) label permutations. In exams divide the labelled count for unlabelled groups.
Minimum sum (14) हटाने पर (16) बचता है, इसलिए \({}^{16+4-1}C_{3}\) मिलता है। परीक्षा में unequal lower bounds पहले subtract करें। / After removing the minimum sum (14), (16) remains, so \({}^{16+4-1}C_{3}\) is obtained. In exams subtract unequal lower bounds first.
कुल (24) और तीन variables की maximum (8) होने से केवल ((8,8,8)) संभव है। परीक्षा में inclusion-exclusion से पहले extreme feasibility देखें। / Since the total is (24) and the maximum of each of the three variables is (8), only ((8,8,8)) is possible. In exams check extreme feasibility before inclusion-exclusion.
Violation \(x_i\geq6\) से शुरू होती है और inclusion-exclusion लागू होता है। परीक्षा में upper bound (5) हो तो shift (6) लें। / A violation starts at \(x_i\geq6\), so inclusion-exclusion applies. In exams use shift (6) for upper bound (5).
पहले (3) positive variables चुनें, फिर (12) को (3) positive parts में बांटें। परीक्षा में exactly positive variables में choose variables plus positive stars-bars करें। / Choose the (3) positive variables first, then split (12) into (3) positive parts. In exams use choose variables plus positive stars and bars for exactly positive variables.
पहले empty boxes चुनें, फिर बाकी (3) boxes में positive distribution करें। परीक्षा में exactly empty को boxes selection और positive distribution में तोड़ें। / First choose the empty boxes, then distribute positively into the remaining (3) boxes. In exams split exactly empty into box selection and positive distribution.
Derangement के alternating factorial expression को compare करने से यह recurrence मिलता है। परीक्षा में derangement recurrence के लिए inclusion-exclusion form याद रखें। / Comparing the alternating factorial expression for derangements gives this recurrence. In exams remember the inclusion-exclusion form for derangement recurrence.
पहले सही रहने वाले (2) objects चुनें और बाकी (5) objects derange करें। परीक्षा में exactly fixed points के लिए choose fixed plus derange rest लगाएं। / First choose the (2) objects that stay fixed and derange the remaining (5). In exams use choose fixed plus derange rest for exactly fixed points.
यह (6) objects का derangement है और \(D_6=265\) होता है। परीक्षा में letters-envelope mismatch को derangement समझें। / This is a derangement of (6) objects and \(D_6=265\). In exams treat letter-envelope mismatch as derangement.
(A,B) की positions distance (k+1) पर होती हैं और order के (2) choices हैं। परीक्षा में fixed gap problems में positions first count करें। / The positions of (A,B) are at distance (k+1), and there are (2) choices for order. In exams count positions first in fixed-gap problems.
Positions के (10-3-1=6) choices और (A,B) order के (2) choices हैं। परीक्षा में between condition में position pairs गिनें। / There are (10-3-1=6) position choices and (2) choices for the order of (A,B). In exams count position pairs for between conditions.
उन (3) books के (3!) relative orders में केवल (1) allowed है। परीक्षा में fixed relative order में total को (k!) से divide करें। / Only (1) of the (3!) relative orders of those (3) books is allowed. In exams divide total by (k!) for fixed relative order.
तीन स्वतंत्र before-after restrictions count को \(2^3\) से divide करती हैं। परीक्षा में independent pairs पर (2) की power से divide करें। / Three independent before-after restrictions divide the count by \(2^3\). In exams divide by a power of (2) for independent pairs.
A. (A) को fix करके (B) की two possible circular positions देखें/Fix (A) and check the two possible circular positions of (B)
Explanation
Simple Explanation
Circular rotation हटाने के बाद fixed distance वाली positions गिनी जाती हैं। परीक्षा में circular distance में पहले one object fix करें। / After removing circular rotation, positions with fixed distance are counted. In exams fix one object first for circular distance.
Total circular arrangements (7!) हैं और adjacent block \(2\cdot6!\) ways में आता है। परीक्षा में circular not adjacent को complement से करें। / Total circular arrangements are (7!), and the adjacent block occurs in \(2\cdot6!\) ways. In exams handle circular not-adjacent by complement.
(7) couple-blocks की circular arrangement (6!) है और हर block में (2) internal orders हैं। परीक्षा में circular block count में blocks minus one factorial लें। / The circular arrangement of (7) couple-blocks is (6!), and each block has (2) internal orders. In exams use blocks minus one factorial for circular block count.
पहले men को circle में (5!) ways से बैठाएं, फिर (6) gaps में women को (6!) ways से रखें। परीक्षा में circular alternate में starting factor (2) न लगाएं। / Seat the men in a circle in (5!) ways, then place the women in the (6) gaps in (6!) ways. In exams do not add a starting factor (2) in circular alternation.
Bracelet में rotations और reflections same माने जाते हैं। परीक्षा में bracelet count के लिए (\frac{(n-1)!}{2}) लगाएं। / In a bracelet, rotations and reflections are considered the same. In exams use (\frac{(n-1)!}{2}) for bracelet count.
Last digit (0) fix होने पर बाकी (4) places में (8) non-zero digits से ordered selection होता है। परीक्षा में zero-last case leading restriction हटाता है। / When the last digit is fixed as (0), the remaining (4) places use ordered selection from (8) non-zero digits. In exams the zero-last case removes the leading restriction.
Last digit के (4) choices हैं, first digit के (7) non-zero choices बचते हैं, फिर (3) places fill होती हैं। परीक्षा में zero और non-zero even cases अलग करें। / There are (4) choices for the last digit, (7) remaining non-zero choices for the first digit, and then (3) places are filled. In exams separate zero and non-zero even cases.
Exactly (2) odd positions चुनें, फिर odd और even digits के choices multiply करें। परीक्षा में exactly type digit questions में positions first चुनें। / Choose exactly (2) odd positions, then multiply choices of odd and even digits. In exams choose positions first in exactly-type digit questions.
हर symbol का आना onto condition है, इसलिए missing symbols को inclusion-exclusion से हटाते हैं। परीक्षा में at least once को onto mapping समझें। / Every symbol appearing is an onto condition, so missing symbols are removed by inclusion-exclusion. In exams treat at least once as onto mapping.
पहले (3) symbols चुनें, फिर (7) positions पर onto strings बनाएं। परीक्षा में exactly distinct symbols के लिए choose set plus onto count करें। / First choose (3) symbols, then form onto strings on (7) positions. In exams use choose set plus onto count for exactly distinct symbols.
Repeated symbol चुनें, बाकी (r-2) distinct symbols चुनें, फिर multiset arrange करें। परीक्षा में exactly one repeat में repeated item पहले fix करें। / Choose the repeated symbol, choose the remaining (r-2) distinct symbols, then arrange the multiset. In exams fix the repeated item first for exactly one repeat.
यह (n) brackets को (p,q,r,s) sizes में बांटने का multinomial count है। परीक्षा में exponents को group sizes मानें। / This is the multinomial count of dividing (n) brackets into sizes (p,q,r,s). In exams treat exponents as group sizes.
Powers का sum (9) है और coefficient multinomial form से मिलता है। परीक्षा में multinomial term में repeated arrangements जैसा denominator रखें। / The powers sum to (9), and the coefficient comes from the multinomial form. In exams use a repeated-arrangement style denominator in multinomial terms.
A. एक bracket से \(x^2\) या दो brackets से (x) चुनना/Choose \(x^2\) from one bracket or (x) from two brackets
Explanation
Simple Explanation
\(x^2\) बनने के दो disjoint cases हैं। परीक्षा में polynomial expansion coefficients में exponent-sum cases बनाएं। / There are two disjoint cases to form \(x^2\). In exams make exponent-sum cases for polynomial expansion coefficients.
Case (1): एक \(x^2\) चुनें, case (2): दो (x) चुनें। परीक्षा में same power पाने वाले सभी cases जोड़ें। / Case (1): choose one \(x^2\), case (2): choose two (x)'s. In exams add all cases that produce the same power.
Modulo (3) classes अलग करने के लिए cube roots of unity का filter उपयोग होता है। परीक्षा में (3)-step coefficient sums को even-odd से अलग पहचानें। / The cube roots of unity filter is used to separate modulo (3) classes. In exams distinguish (3)-step coefficient sums from even-odd sums.
A. \(\frac{{}^{n}C_{r+1}}{{}^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)
Explanation
Simple Explanation
Consecutive binomial coefficients में यह ratio बढ़ने और घटने की दिशा बताता है। परीक्षा में peak खोजने के लिए ratio को (1) से compare करें। / This ratio shows the direction of increase and decrease in consecutive binomial coefficients. In exams compare the ratio with (1) to locate the peak.
Ratio \(\frac{n-r}{r+1}>1\) होना चाहिए। परीक्षा में monotonicity के लिए consecutive ratio को (1) से compare करें। / The ratio \(\frac{n-r}{r+1}>1\) must hold. In exams compare consecutive ratios with (1) for monotonicity.
Unequal equal-combination indices complementary होते हैं। परीक्षा में lower indices का sum upper index के बराबर करें। / Unequal equal-combination indices are complementary. In exams set the sum of lower indices equal to the upper index.
Complementary indices से (2r-1+r+8=24), इसलिए (r=6)। परीक्षा में equal combinations में same-index case और complement case अलग देखें। / Complementary indices give (2r-1+r+8=24), so (r=6). In exams check same-index and complement cases separately in equal combinations.
({}^{n}P_4=(n-3){}^{n}P_3), इसलिए (n-3=12)। परीक्षा में consecutive permutation relation सीधे लगाएं। / ({}^{n}P_4=(n-3){}^{n}P_3), so (n-3=12). In exams apply the consecutive permutation relation directly.
\(\frac{n-r}{r+1}=\frac{3}{4}\) से (4n-4r=3r+3) मिलता है। परीक्षा में ratio equations को cross multiply करें। / From \(\frac{n-r}{r+1}=\frac{3}{4}\), we get (4n-4r=3r+3). In exams cross-multiply ratio equations.
Ratio \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है। परीक्षा में consecutive combination ratio का सही direction रखें। / The ratio is \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\). In exams keep the direction of consecutive combination ratios correct.
At least (2) special का complement (0) special या exactly (1) special है। परीक्षा में complement में सभी unwanted cases घटाएं। / The complement of at least (2) special is (0) special or exactly (1) special. In exams subtract all unwanted cases in the complement.
Case (1): दोनों शामिल हों, case (2): दोनों बाहर हों। परीक्षा में paired restriction को दो disjoint cases में तोड़ें। / Case (1): both are included, case (2): both are excluded. In exams split paired restrictions into two disjoint cases.
Total selections से (A,B) दोनों वाले selections घटते हैं। परीक्षा में not together selection में complement सबसे छोटा route है। / Subtract selections containing both (A,B) from total selections. In exams complement is the shortest route for not-together selection.
A. सबसे बड़े चुने हुए element को fix करना/Fixing the largest chosen element
Explanation
Simple Explanation
यह hockey-stick identity है और सबसे बड़ा selected element cases बनाता है। परीक्षा में ऐसी staircase sums में last element method लगाएं। / This is the hockey-stick identity and the largest selected element creates cases. In exams use the last-element method for such staircase sums.
B. इसे hockey-stick identity का shifted रूप मानना/Treat it as a shifted form of the hockey-stick identity
Explanation
Simple Explanation
Upper और lower indices साथ बढ़ रहे हैं इसलिए यह diagonal sum है। परीक्षा में diagonal combination sum दिखे तो hockey-stick सोचें। / The upper and lower indices increase together so it is a diagonal sum. In exams think of hockey-stick when a diagonal combination sum appears.
B. एक subset चुनकर उसमें unordered marked pair चुनना/Choosing a subset and selecting an unordered marked pair inside it
Explanation
Simple Explanation
पहले marked pair चुनें और बाकी elements freely choose करें। परीक्षा में \({}^{r}C_2\) दिखे तो pair marking सोचें। / Choose the marked pair first and choose the remaining elements freely. In exams think of pair marking when \({}^{r}C_2\) appears.
पहले (3) marked members चुनते हैं और बाकी (n-3) members freely चुने जाते हैं। परीक्षा में inner combination को पहले count करें। / Choose the (3) marked members first and freely choose the remaining (n-3) members. In exams count the inner combination first.
पहले pair mark हो और फिर एक member mark हो तो cases pair के अंदर या बाहर बनते हैं। परीक्षा में product of marks को cases में तोड़ें। / If a pair is marked and then one member is marked, cases occur inside or outside the pair. In exams split products of marks into cases.
सबसे अंदर के (c) elements पहले चुनें और फिर layers जोड़ें। परीक्षा में nested choices को अंदर से बाहर count करें। / Choose the innermost (c) elements first and then add layers. In exams count nested choices from inside to outside.
छोटा selected set बड़े selected set के अंदर होना चाहिए। परीक्षा में nested combination में valid index order पहले check करें। / The smaller selected set must lie inside the larger selected set. In exams first check valid index order in nested combinations.
((1+x)^n) को differentiate करके (x=-1) रखने पर यह zero मिलता है। परीक्षा में alternating weighted sums में derivative plus (x=-1) लगाएं। / Differentiate ((1+x)^n) and put (x=-1) to get zero. In exams use derivative plus (x=-1) for alternating weighted sums.
Second derivative के बाद (x=-1) रखने पर ((1-1)^{n-2}) आता है। परीक्षा में degree से कम falling factor हो तो zero check करें। / After the second derivative and putting (x=-1), ((1-1)^{n-2}) appears. In exams check zero when the falling factor is below the degree.
यह split standard first और second weighted sums जोड़ देता है। परीक्षा में powers को falling factorials में बदलें। / This split connects first and second weighted sums. In exams convert powers into falling factorials.
(r-2=r(r-1)+r) लगाने पर दोनों standard sums जुड़ते हैं। परीक्षा में final form को (n(n+1)2^{n-2}) तक simplify करें। / Using (r-2=r(r-1)+r) adds two standard sums. In exams simplify the final form to (n(n+1)2^{n-2}).
(r-3=r(r-1)(r-2)+3r(r-1)+r) से यह form मिलता है। परीक्षा में cubic sums में falling factorial decomposition लगाएं। / Using (r-3=r(r-1)(r-2)+3r(r-1)+r) gives this form. In exams use falling factorial decomposition for cubic sums.
दो groups का size (a) समान है इसलिए उनकी अदला-बदली duplicate देती है। परीक्षा में equal-size unlabelled groups पर extra factorial divide करें। / Two groups have the same size (a), so interchanging them gives duplicates. In exams divide extra by factorial for equal-size unlabelled groups.
Internal orders और equal-size group swaps दोनों हटते हैं। परीक्षा में denominator में group sizes और equal-group factorials दोनों लिखें। / Both internal orders and equal-size group swaps are removed. In exams write both group sizes and equal-group factorials in the denominator.
A. (^{r}C_1\left((r-1)^n-{}^{r-1}C_1(r-2)^n+\cdots\right))
Explanation
Simple Explanation
पहले empty box चुनें और बाकी (r-1) boxes में onto distribution करें। परीक्षा में exactly non-empty boxes में choose empty plus onto count करें। / Choose the empty box first and then distribute onto the remaining (r-1) boxes. In exams use choose empty plus onto count for exactly non-empty boxes.
पहले empty boxes चुनें फिर बाकी दो boxes दोनों non-empty होने चाहिए। परीक्षा में exactly empty में remaining boxes पर onto लगाएं। / Choose the empty boxes first and then the remaining two boxes must both be non-empty. In exams apply onto to the remaining boxes in exactly-empty cases.
Inclusion-exclusion से empty box cases हटते हैं। परीक्षा में non-empty labelled boxes को onto functions की तरह गिनें। / Empty-box cases are removed by inclusion-exclusion. In exams count non-empty labelled boxes like onto functions.
Minimum sum (10) हटाने पर (12) बचता है और (4) variables में distribute होता है। परीक्षा में lower bounds subtract करके stars and bars लगाएं। / After removing the minimum sum (10), (12) remains and is distributed among (4) variables. In exams subtract lower bounds and use stars and bars.
Upper violation \(x_i\geq8\) है और inclusion-exclusion applied होता है। परीक्षा में upper bound (7) के लिए shift (8) लें। / The upper violation is \(x_i\geq8\) and inclusion-exclusion is applied. In exams use shift (8) for upper bound (7).
Zero variable चुनें और बाकी (3) variables में positive sum (16) बांटें। परीक्षा में exactly zero cases को positive distribution में बदलें। / Choose the zero variable and split positive sum (16) among the remaining (3) variables. In exams convert exactly-zero cases into positive distribution.
पहले (3) non-empty boxes चुनें फिर (18) balls को (3) positive parts में बांटें। परीक्षा में exactly non-empty को choose boxes plus positive stars-bars करें। / First choose the (3) non-empty boxes and then split (18) balls into (3) positive parts. In exams use choose boxes plus positive stars and bars for exactly non-empty.
B. जब पहला object और उसका target object एक दूसरे की जगह बदल लें/When the first object and its target object swap places
Explanation
Simple Explanation
यदि दो objects आपस में swap करते हैं तो बाकी (n-2) objects derange होते हैं। परीक्षा में derangement recurrence में swap और non-swap cases अलग करें। / If two objects swap with each other, the remaining (n-2) objects are deranged. In exams separate swap and non-swap cases in derangement recurrence.
Derangement recurrence से (D_7=6\(D_6+D_5\)=1854) मिलता है। परीक्षा में छोटे \(D_n\) values recurrence से याद रखें। / Using the derangement recurrence, (D_7=6\(D_6+D_5\)=1854). In exams remember small \(D_n\) values through recurrence.
पहले fixed (3) objects चुनें और बाकी (5) objects derange करें। परीक्षा में exactly fixed points के लिए choose fixed plus derange rest लगाएं। / First choose the (3) fixed objects and derange the remaining (5) objects. In exams use choose fixed plus derange rest for exactly fixed points.
सही letters चुनें और बाकी letters को wrong envelopes में derange करें। परीक्षा में exactly correct letters को fixed-point formula से करें। / Choose the correct letters and derange the remaining letters into wrong envelopes. In exams solve exactly correct letters using the fixed-point formula.
(A,B) के position pairs (n-k-1) हैं और order के (2) choices हैं। परीक्षा में fixed gap में positions पहले गिनें। / There are (n-k-1) position pairs for (A,B) and (2) choices for their order. In exams count positions first in fixed-gap problems.
Position pairs (11-4-1=6) हैं और (A,B) का order (2) तरीकों से हो सकता है। परीक्षा में बीच वाले people को अलग चुनने की जरूरत नहीं होती। / There are (11-4-1=6) position pairs and (A,B) can be ordered in (2) ways. In exams there is no need to separately choose the people between them.
(A) को fix करने पर (B) की position fixed हो जाती है और बाकी (8) people arrange होते हैं। परीक्षा में one-direction circular gap में one person fix करें। / After fixing (A), the position of (B) is fixed and the remaining (8) people are arranged. In exams fix one person in one-direction circular gap problems.
Total circular arrangements (8!) हैं और adjacent block \(2\cdot7!\) ways देता है। परीक्षा में circular not-adjacent को complement से करें। / Total circular arrangements are (8!) and the adjacent block gives \(2\cdot7!\) ways. In exams handle circular not-adjacent by complement.
पहले men को circularly (7!) ways में बैठाएं और gaps में women को (8!) ways में रखें। परीक्षा में circular alternate में extra (2) factor न लगाएं। / Seat the men circularly in (7!) ways and place the women in the gaps in (8!) ways. In exams do not add an extra factor (2) in circular alternation.
केवल rotations duplicate हैं इसलिए circular count ((10-1)!) है। परीक्षा में reflection condition पढ़कर ही (2) से divide करें। / Only rotations are duplicates, so the circular count is ((10-1)!). In exams divide by (2) only after reading the reflection condition.
Bracelet में rotations और reflections दोनों same मानी जाती हैं। परीक्षा में bracelet के लिए (\frac{(n-1)!}{2}) use करें। / In a bracelet, both rotations and reflections are considered the same. In exams use (\frac{(n-1)!}{2}) for bracelets.
Last digit (0) fix होने पर first place पर zero issue नहीं रहता और (9) non-zero digits से (5) places भरते हैं। परीक्षा में zero-last case अलग करें। / When the last digit is fixed as (0), there is no leading-zero issue and (5) places are filled from (9) non-zero digits. In exams separate the zero-last case.
Last digit के (4) non-zero even choices हैं और first digit के (8) non-zero choices बचते हैं। परीक्षा में first और last restrictions को साथ संभालें। / There are (4) non-zero even choices for the last digit and (8) remaining non-zero choices for the first digit. In exams handle first and last restrictions together.
Even positions चुनें और फिर even तथा odd choices independently multiply करें। परीक्षा में exactly digit type में positions first choose करें। / Choose the even positions and then multiply even and odd choices independently. In exams choose positions first in exactly digit-type problems.
हर symbol का आना onto condition है और missing symbols हटते हैं। परीक्षा में at least once को inclusion-exclusion से करें। / Every symbol appearing is an onto condition and missing symbols are removed. In exams solve at least once by inclusion-exclusion.
पहले (4) symbols चुनें और फिर उन पर onto strings बनाएं। परीक्षा में exactly distinct symbols में choose set plus onto count करें। / First choose (4) symbols and then form onto strings on them. In exams use choose set plus onto count for exactly distinct symbols.
A. (r) positions से selected (s) symbols पर onto assignments/Onto assignments from (r) positions to selected (s) symbols
Explanation
Simple Explanation
Stirling part positions को non-empty groups में बांटता है और (s!) groups को symbols assign करता है। परीक्षा में exactly used symbols को onto mapping समझें। / The Stirling part partitions positions into non-empty groups and (s!) assigns groups to symbols. In exams treat exactly used symbols as onto mapping.
Exponents का sum (10) है और coefficient multinomial form से मिलता है। परीक्षा में powers को group sizes मानें। / The exponents sum to (10) and the coefficient comes from the multinomial form. In exams treat powers as group sizes.
Cases हैं: तीन (x) चुनें या एक \(x^2\) और एक (x) चुनें। परीक्षा में same power बनाने वाले all cases जोड़ें। / The cases are: choose three (x)'s or choose one \(x^2\) and one (x). In exams add all cases that form the same power.
A. चार (x), या दो (x) और एक \(x^2\), या दो \(x^2\)/Four (x)'s, or two (x)'s and one \(x^2\), or two \(x^2\)'s
Explanation
Simple Explanation
Exponent (4) बनाने वाले सभी disjoint choices जोड़ने पड़ते हैं। परीक्षा में polynomial coefficient में exponent partitions बनाएं। / All disjoint choices that form exponent (4) must be added. In exams make exponent partitions for polynomial coefficients.
Modulo (3) classes अलग करने के लिए cube roots of unity filter उपयोगी है। परीक्षा में three-step coefficient sums को advanced filter से पहचानें। / The cube roots of unity filter is useful for separating modulo (3) classes. In exams identify three-step coefficient sums with an advanced filter.
Ratio \(\frac{n-r}{r+1}\) को (1) से बड़ा होना चाहिए। परीक्षा में increasing region ratio से identify करें। / The ratio \(\frac{n-r}{r+1}\) must be greater than (1). In exams identify the increasing region by ratio.
Consecutive ratio (1) से कम होने पर coefficients घटने लगते हैं। परीक्षा में peak के बाद inequality उलटी हो जाती है। / When the consecutive ratio is less than (1), the coefficients start decreasing. In exams the inequality reverses after the peak.
Unequal equal-combination indices complementary होते हैं। परीक्षा में lower indices का sum upper index के बराबर करें। / Unequal equal-combination indices are complementary. In exams set the sum of lower indices equal to the upper index.
Complementary condition से (3r-2+r+8=30), इसलिए (r=6)। परीक्षा में same-index और complement cases अलग solve करें। / The complementary condition gives (3r-2+r+8=30), so (r=6). In exams solve same-index and complement cases separately.
({}^{n}P_5=(n-4){}^{n}P_4), इसलिए (n-4=15)। परीक्षा में consecutive permutation relation सीधे लगाएं। / ({}^{n}P_5=(n-4){}^{n}P_4), so (n-4=15). In exams apply the consecutive permutation relation directly.
Ratio \(\frac{n-r}{r+1}=\frac{4}{5}\) से (5n-5r=4r+4) मिलता है। परीक्षा में combination ratio को cross multiply करें। / The ratio \(\frac{n-r}{r+1}=\frac{4}{5}\) gives (5n-5r=4r+4). In exams cross-multiply combination ratios.
\(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) होता है और cross multiplication से relation मिलता है। परीक्षा में ratio direction सही रखें। / \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\), and cross multiplication gives the relation. In exams keep the ratio direction correct.
At least (2) special के cases exactly (2) और exactly (3) हैं। परीक्षा में small special group में direct cases साफ रहते हैं। / The cases for at least (2) special are exactly (2) and exactly (3). In exams direct cases are clear for a small special group.
