Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/Because \(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer itself is even, so (p=2k) can be written.
Step 3
Exam Tip
In exams, give the reason for evenness before writing (p=2k). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में (p=2k) लिखने से पहले सम होने का कारण जरूर दें।
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा/Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore lowest form must be stated at the beginning. चरण 1: विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। चरण 2: यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। चरण 3: इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है।
Multiplying both sides by \(y^2\) gives \(x^2=5y^2\).
Step 3
Exam Tip
Remember the condition \(y\neq0\) while removing the denominator. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) को वर्ग करने पर \(5=\frac{x^2}{y^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करने पर \(x^2=5y^2\) बनता है। चरण 3: हर हटाते समय \(y\neq0\) की शर्त ध्यान में रखें।
If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction. चरण 1: \(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। चरण 3: अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है।
A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत/Principle of prime factor
Step 1
Concept
(3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This principle plays the main role in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) एक अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि कोई अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग देती है, तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। चरण 3: यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य भूमिका निभाता है।
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
If \(p^2\) is even, then (p) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
In proofs, a small logical error can change the whole argument. चरण 1: \(p^2\) सम होने पर (p) सम होना चाहिए। चरण 2: (p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में छोटी तार्किक गलती पूरी दलील बदल सकती है।
Squaring the coefficient correctly is necessary for the next conclusion. चरण 1: (a=3m) का वर्ग \(a^2=9m^2\) होगा। चरण 2: इसे \(a^2=3b^2\) में रखने पर \(9m^2=3b^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग सही रखना आगे के निष्कर्ष के लिए जरूरी है।
A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता/A finite decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
(2.236) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not write a decimal approximation in place of proof. चरण 1: (2.236) केवल अनुमानित मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में दशमलव अनुमान को प्रमाण की जगह न लिखें।
A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता, फिर विरोधाभास/Rational assumption, squaring, prime divisibility, then contradiction
Step 1
Concept
In all three, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then squaring and prime divisibility give a common factor.
Step 3
Exam Tip
This common factor contradicts coprimality. चरण 1: तीनों में पहले वर्गमूल को परिमेय माना जाता है। चरण 2: फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य संख्या की विभाज्यता से साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही साझा गुणनखंड सहअभाज्यता से टकराता है।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=rq^2\).
Step 3
Exam Tip
This general equation applies to (2,3,5). चरण 1: \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(r=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=rq^2\) मिलता है। चरण 3: यही सामान्य समीकरण (2,3,5) पर लागू होता है।
This shows (3) common to both (a) and (b). चरण 1: \(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। चरण 3: यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है।
In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25). चरण 1: \(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। चरण 2: इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This breaks the rational assumption. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से परिमेय मान्यता टूटती है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
So \(5\mid y^2\), and by the prime rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
Then (5) becomes common to both (x) and (y). चरण 1: (x=5n) रखने से \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(5\mid y^2\), और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) निकलता है। चरण 3: तब (x) और (y) दोनों में (5) साझा हो जाता है।
A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है/The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality
Step 1
Concept
A decimal approximation of \(\sqrt{2}\) does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, give priority to logical proof. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: परीक्षा में तार्किक प्रमाण को प्राथमिकता दें।
A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं/We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
Step 1
Concept
From \(3\mid a^2\), we get \(3\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
So (a=3k) is correct, where (k) is an integer; it is not necessary that (k=b).
Step 3
Exam Tip
Using a new helper variable is safer. चरण 1: \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (a=3k) लिखना सही है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है; (k) को (b) मानना जरूरी नहीं। चरण 3: नए सहायक चर का प्रयोग सुरक्षित रहता है।
A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\)/If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule gives the divisibility of (x) and later (y). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग दे तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। चरण 3: इसी नियम से (x) और बाद में (y) की विभाज्यता मिलती है।
Therefore this fact is used twice in an important way. चरण 1: पहले \(p^2\) सम होने से (p) सम सिद्ध होता है। चरण 2: फिर \(q^2\) सम होने से (q) सम सिद्ध होता है। चरण 3: इसलिए यह नियम प्रमाण में दो बार महत्वपूर्ण रूप से आता है।
For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\), so (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\), so (5) is used.
Step 3
Exam Tip
Identify the related prime in each proof. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है, इसलिए (3) काम करता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) बनता है, इसलिए (5) काम करता है। चरण 3: हर प्रमाण में संबंधित अभाज्य संख्या पहचानें।
A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\neq0\)/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the ratio should be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This complete opening sentence sets the proof correctly. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लेना चाहिए। चरण 3: यह पूरा प्रारंभिक वाक्य प्रमाण को सही दिशा देता है।
Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
This goes against the condition of being coprime. चरण 1: (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
So write the fraction in lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। चरण 2: सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें।
A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) mean both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This conflict is the decisive point of the proof. चरण 1: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) का अर्थ है दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही टकराव प्रमाण का निर्णायक बिंदु है।
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write these two small steps clearly. चरण 1: पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। चरण 3: प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें।
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime nature of (3) gives the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The same method can be applied to any prime (r).
Step 3
Exam Tip
While generalizing, do not forget the condition that (r) is prime. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 2: यही तरीका किसी अभाज्य (r) पर भी लागू किया जा सकता है। चरण 3: सामान्यीकरण करते समय अभाज्य होने की शर्त न भूलें।
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
A simplification error can spoil the proof. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है।
If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यही सरलतम रूप के विरुद्ध है।
A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\)/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
Step 1
Concept
The rational assumption begins with a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=3q^2\), and then (3) divides first (p), then (q).
Step 3
Exam Tip
This order makes the answer organized. चरण 1: परिमेय मान्यता सरलतम भिन्न से शुरू होती है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और फिर (3) पहले (p), फिर (q) को भाग देता है। चरण 3: यही क्रम उत्तर को व्यवस्थित बनाता है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This conflicts with the starting condition of coprimality. चरण 1: (a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 2: इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है।
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
That is why the contradiction proof is written. चरण 1: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। चरण 2: पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
We initially assumed that \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption led to a common factor in a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Therefore the initial rational assumption is proved false. चरण 1: हमने शुरुआत में \(\sqrt{2}\) को परिमेय माना था। चरण 2: उसी मान्यता से सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड आ गया। चरण 3: इसलिए प्रारंभिक परिमेय मान्यता झूठी सिद्ध होती है।
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is the second divisibility step. चरण 1: (p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही दूसरा विभाज्यता कदम है।
A. सम होना अकेले कारण नहीं है; प्रमाण में सरलतम भिन्न का विरोधाभास चाहिए/Being even alone is not the reason; the proof needs contradiction of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
The fact that (2) is even is not enough by itself.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof assumes \(\sqrt{2}\) rational and shows numerator and denominator both even.
Step 3
Exam Tip
Write the full reason, not a short guess. चरण 1: केवल (2) का सम होना पर्याप्त कारण नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: कारण को पूरा लिखें, छोटा अनुमान नहीं।
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है/It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। चरण 3: शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
A. यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है/If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
When the square is even, the original number cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
This idea proves both (p) and (q) even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: जब वर्ग सम मिला, तो मूल संख्या विषम नहीं हो सकती। चरण 3: इस विचार से (p) और (q) दोनों के सम होने का प्रमाण बनता है।
The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
Without mentioning primality, this step looks incomplete. चरण 1: \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। चरण 3: बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा।
A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है/Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
Step 1
Concept
In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives divisibility of (a). चरण 1: \(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है।
A. जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं/When both (p) and (q) are proved even
Step 1
Concept
Coprimality means there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
When both (p) and (q) are proved even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
At this point, coprimality gives the decisive contradiction. चरण 1: सहअभाज्यता का अर्थ है साझा गुणनखंड न होना। चरण 2: (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने पर (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: इसी समय सहअभाज्यता निर्णायक विरोधाभास देती है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। चरण 3: अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है/\(b^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In \(b^2=3k^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Then use \(3\mid b\) to complete the contradiction. चरण 1: \(b^2=3k^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: फिर \(3\mid b\) लेकर विरोधाभास पूरा करें।
A. क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय पूर्णांक है/Because \(\sqrt{4}=2\) is a rational integer
Step 1
Concept
(4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), which is rational and an integer.
Step 3
Exam Tip
The irrationality contradiction proof is not applied to perfect squares. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय और पूर्णांक है। चरण 3: अपरिमेयता का विरोधाभास प्रमाण पूर्ण वर्गों पर नहीं लगाया जाता।
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं/(x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime is proved false. चरण 1: दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है/(3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। चरण 2: फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। चरण 3: यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
(p=2m) shows \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) shows \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they make (2) a common factor. चरण 1: (p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। चरण 2: (q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। चरण 3: दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं।
A. (x) अवश्य (25) से विभाज्य है/(x) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
From \(x^2=5y^2\), we get \(5\mid x^2\) and then \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
This does not necessarily mean that (x) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
Write only what is proved. चरण 1: \(x^2=5y^2\) से \(5\mid x^2\) और फिर \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: इससे (x) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। चरण 3: जितना निष्कर्ष सिद्ध हो, उतना ही लिखें।
A. सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें/Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
First write \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use the related prime factor to show divisibility of both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Finally state the contradiction with coprimality clearly. चरण 1: पहले \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिखें। चरण 2: फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य गुणनखंड से अंश और हर दोनों की विभाज्यता दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास साफ लिखें।
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना/To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
