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(a<b) होने पर (b<a) नहीं होता, इसलिए सममितता नहीं है और विरोधी सममितता नहीं टूटती। / If (a<b), then (b<a) is false, so symmetry fails and antisymmetry is not violated.
प्रतिवर्तीता से सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए संख्या \(3^{10}\) है। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory. Each off-diagonal unordered pair has (3) choices, so the count is \(3^{10}\).
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। / Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.
Step 2
Why this answer is correct
इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। / Among these, only the identity relation is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे। / Therefore the required number is \(2^6-1\).
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जा सकते हैं। / Being both symmetric and antisymmetric allows only diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^3\) संबंध बनते हैं। / With (3) diagonal pairs, there are \(2^3\) such relations.
Step 3
Exam Tip
इनमें एक संबंध पूरा पहचान संबंध है, जो प्रतिवर्ती है; उसे हटाने पर \(2^3-1\) बचते हैं। / One of them is the full identity relation, which is reflexive; removing it gives \(2^3-1\).
स्वपरकता के कारण सभी (4) स्वयं युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes all (4) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग तत्वों की \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) जोड़ियों में हर जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं। / For each of the \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs, there are three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(3^6\) होगी। / Therefore, the count is \(3^6\).
स्वपरकता के कारण तीन स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक अलग तत्वों की जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं: पहला दिशा युग्म, दूसरा दिशा युग्म, या कोई नहीं। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the other direction, or none.
Step 3
Exam Tip
ऐसी जोड़ियां (3) हैं, इसलिए संख्या \(3^3\) है। / There are (3) such pairs, so the number is \(3^3\).
परावर्तकता में सभी ((a,a)) युग्म चाहिए। / Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। ये अलग शर्तें हैं। / Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present. These are different conditions.
Step 3
Exam Tip
परावर्तक देखकर संक्रामी मान लेना परीक्षा में सामान्य गलती है। / Assuming transitivity from reflexivity is a common exam mistake.
A. हाँ, क्योंकि कोई distinct reverse pair साथ में नहीं है/Yes, because no distinct reverse pair appears together
Explanation
Simple Explanation
Antisymmetry को diagonal pairs से समस्या नहीं होती। समस्या तभी होती है जब \(a\neq b\) पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। / Antisymmetry is not affected by diagonal pairs. It fails only when ((a,b)) and ((b,a)) both occur for \(a\neq b\).
यदि ((a,b)) और \(a\neq b\) हो, तो symmetry से ((b,a)) भी होगा, जो antisymmetry का विरोध करेगा। इसलिए केवल diagonal pairs संभव हैं। / If ((a,b)) with \(a\neq b\) occurs, symmetry forces ((b,a)), contradicting antisymmetry. Hence only diagonal pairs can occur.
A. नहीं, संक्रामिता अलग से जांचनी पड़ती है/No, transitivity must be checked separately
Explanation
Simple Explanation
प्रतिवर्तीता और प्रतिसममिति से संक्रामिता स्वतः नहीं मिलती। परीक्षा में हर गुण को उसकी परिभाषा से अलग जांचें। / Reflexivity and antisymmetry do not automatically imply transitivity. In exams, check each property separately from its definition.
स्ववाचीता से (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the (3) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर अलग अवयवों की जोड़ी के लिए तीन विकल्प हैं: कोई दिशा नहीं, पहली दिशा, या उल्टी दिशा। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: no direction, one direction, or the opposite direction.
Step 3
Exam Tip
\({3 \choose 2}=3\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(3^3=27\) है। / Since there are \({3 \choose 2}=3\) such pairs, the count is \(3^3=27\).
प्रतिवर्ती होने के कारण सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े पर प्रतिसममितता के कारण तीन चुनाव हैं। ऐसे जोड़े \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) हैं। / For every pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices. There are \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(3^{10}\) होंगे। / Therefore the number of relations is \(3^{10}\).
B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। / \(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। / New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती। / Subset information alone does not guarantee transitivity.
पहचान जोड़ियां केवल ((a,a)) जैसी कमी भरती हैं। / Identity pairs only fill self-pair gaps like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि गुम जोड़ी ((1,3)) जैसी हो, तो \(\Delta\) उसे नहीं जोड़ेगा। जैसे ({(1,2),(2,3)}) में ((1,3)) अब भी नहीं आएगा। / If the missing pair is like ((1,3)), \(\Delta\) will not add it. For example, ({(1,2),(2,3)}) still lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
हर कमी समान तत्व वाली नहीं होती। / Not every missing pair is a self-pair.
अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। / Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। / It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है। / The union must be checked separately.
दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। / The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें। / Always check transitivity of a union separately.
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर कोई अविकर्ण युग्म नहीं आ सकता। केवल (5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can occur. Only the (5) diagonal pairs are free, so the count is \(2^5\).
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र हैं। हर अविकर्ण अनियोजित जोड़े के लिए तीन विकल्प होते हैं, इसलिए \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)। / The (n) diagonal pairs are free. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so the count is \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र रूप से लिए या छोड़े जा सकते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए तीन विकल्प हैं, इसलिए \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\)। / The (4) diagonal pairs may be included or excluded freely. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\).
आत्म युग्मों के लिए \(2^3\) चुनाव और हर अलग जोड़े के लिए (3) चुनाव हैं। इसलिए संख्या \(2^3\cdot 3^3\) है। / Self-pairs give \(2^3\) choices and each distinct unordered pair gives (3) choices. Hence the number is \(2^3\cdot 3^3\).
A. क्योंकि \((2,1) \notin R\)/Because \((2,1) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
अलग तत्वों के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं है। प्रत्यासममित में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों तो (a=b) होना चाहिए। / The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता/\((5,3)\in R\) cannot occur
Explanation
Simple Explanation
प्रतिसममित संबंध में अलग-अलग (a) और (b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) साथ नहीं हो सकते। क्योंकि \(3\ne5\), ((5,3)) नहीं हो सकता। / In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
सममित और विरोधी-सममित दोनों होने पर कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can be present.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (4) विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / Only the (4) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^4\) है। / Therefore, the number of such relations is \(2^4\).
A. कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता/No off-diagonal pair can occur
Step 1
Concept
सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी-सममितता कहती है कि यदि दोनों दिशाएँ हों तो (a=b) होना चाहिए। इसलिए \(a\ne b\) वाले युग्म संभव नहीं। / Antisymmetry says that if both directions are present, then (a=b). Hence off-diagonal pairs with \(a\ne b\) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुण साथ आएँ तो विकर्ण और गैर-विकर्ण का अलग विश्लेषण करें। / When both properties appear together, separate diagonal and off-diagonal cases.
केवल अपने युग्मों वाला संबंध सममित होता है, क्योंकि उल्टा युग्म वही रहता है। / A relation with only self-pairs is symmetric because each reverse is the same pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें असमान अवयवों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / It has no reverse pairs between unequal elements, so it is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ मिलते ही विरोधी सममितता टूटती है। / Antisymmetry fails when reverse pairs of unequal elements occur together.
विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। / In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। / So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें। / Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry.
सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair can be included.
Step 2
Why this answer is correct
केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / Only diagonal pairs may be chosen freely.
Step 3
Exam Tip
(4) विकर्ण युग्मों से \(2^4\) संबंध बनते हैं। / With (4) diagonal pairs, the count is \(2^4\).
(5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (5) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements, each gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^5\cdot3^{10}\) होगी। / Hence the total number is \(2^5\cdot3^{10}\).
कुल संबंध \(2^9\) हैं और सममित संबंध \(2^6\) हैं। / Total relations are \(2^9\), and symmetric relations are \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममित संबंध \(2^3\cdot3^3\) हैं। दोनों गुण साथ होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जाते हैं, इसलिए \(2^3\) संबंध हैं। / Antisymmetric relations are \(2^3\cdot3^3\), and relations having both properties are \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
समावेशन-बहिष्करण से उत्तर \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\) है। / By inclusion-exclusion, the answer is \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\).
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pairs of distinct elements, each pair gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(2^3\cdot3^3\) होंगे। / Hence the number of relations is \(2^3\cdot3^3\).
सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair between distinct elements can be included.
Step 2
Why this answer is correct
केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / Only diagonal pairs are independently optional.
Step 3
Exam Tip
(4) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^4\) संबंध बनेंगे। / With (4) diagonal pairs, the total number is \(2^4\).
(4) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (4) diagonal pairs can be chosen or not chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए तीन चुनाव होते हैं: पहला युग्म, उल्टा युग्म या कोई नहीं। ऐसे जोड़े \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) हैं। / For each pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the reverse direction, or none. There are \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^4\cdot 3^6\) होगी। / Hence the total number is \(2^4\cdot 3^6\).
सममितता अलग युग्म के उल्टे युग्म को चाहती है। / Symmetry asks for reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए केवल स्वयं युग्म चुने जा सकते हैं। / Antisymmetry forbids two-way pairs between distinct elements, so only self-pairs may be chosen.
Step 3
Exam Tip
(4) स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / There are (4) free self-pairs, so the count is \(2^4\).
प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म हों। / Antisymmetry fails when both directions exist for distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती। / So antisymmetry is not violated.
सममितता अलग तत्वों के उल्टे युग्म मांगती है। / Symmetry asks for reverse pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म नहीं लिए जा सकते। / Antisymmetry forbids both directions between distinct elements, so no non-self pair can be included.
Step 3
Exam Tip
केवल तीन स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है। / Only the three self-pairs are free, giving \(2^3\) relations.
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry.
B. विकर्ण से बाहर कोई विपरीत युग्म साथ नहीं हो सकता/no reverse pair can occur off the diagonal
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता कहती है कि अलग (a,b) के लिए दोनों साथ नहीं हो सकते। / Antisymmetry says that for \(a\ne b\), both cannot be present together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग अवयवों के बीच युग्म लेना हो तो सावधानी से केवल एक दिशा ली जा सकती है। / Therefore, for distinct elements, no two-way off-diagonal pair can occur.
A. क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं/Because ((1,2)) and ((2,1)) are both present while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
प्रतिसममितता में अलग तत्वों के बीच दोनों दिशाओं के युग्म नहीं होने चाहिए। / In antisymmetry, pairs in both directions should not occur between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (1) और (2) अलग हैं फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। / Here (1) and (2) are distinct, yet both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण प्रतिसममितता टूट जाती है। / Therefore, antisymmetry fails.
प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग (a,b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) हों। / Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) exist for distinct (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती और संबंध प्रतिसममित है। / So antisymmetry is not violated, and the relation is antisymmetric.
प्रतिवर्तीता सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य करती है। सममिति और प्रतिसममिति साथ होने से कोई अविकर्ण युग्म नहीं रह सकता, इसलिए केवल पहचान संबंध संभव है। / Reflexivity makes all diagonal pairs compulsory. Symmetry and antisymmetry together forbid off-diagonal pairs, so only the identity relation is possible.
प्रतिवर्तिता सभी विकर्ण युग्मों को अनिवार्य बनाती है। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। / Symmetry together with antisymmetry allows no pair between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
केवल पहचान संबंध संभव है, इसलिए संख्या (1) है। / Only the identity relation is possible, so the number is (1).
स्वपरकता से तीन स्वयं युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity requires three self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। / Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) होंगे, यानी (3) युग्म। / So only ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) remain, giving (3) pairs.
स्वपरकता के कारण सभी स्वयं युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity makes all self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। / Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल स्वयं युग्मों वाला सर्वसम संबंध ही संभव है। / Therefore, only the identity relation is possible.
छोटे संबंध (R) में (S) की जरूरी सीधी जोड़ी हट सकती है। / The smaller relation (R) may lose a required direct pair from (S).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) संक्रमण है, पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) संक्रमण नहीं है। / For example, \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) is transitive, but \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) is not.
Step 3
Exam Tip
उपसंबंध की जांच अलग से करनी पड़ती है। / A subrelation must be checked separately.
(S) में अतिरिक्त जोड़ियां आने से नई श्रृंखलाएं बन सकती हैं। / Extra pairs in (S) can create new chains.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उन नई श्रृंखलाओं की जरूरी सीधी जोड़ी (S) में न हो, तो (S) संक्रमण नहीं रहेगा। / If the required direct pair for a new chain is missing in (S), then (S) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय होने से गुण अपने-आप बड़े संबंध में नहीं जाता। / A property does not automatically pass from a subset relation to a larger relation.
संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। / In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें। / Do not treat union like intersection for transitivity.
((1,3)) और ((3,2)) में बीच का तत्व (3) समान है। / The common middle element in ((1,3)) and ((3,2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता के लिए ((1,2)) जरूरी है। / Transitivity requires ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लेकर जरूरी युग्म बनता है। / The required pair is formed from the first element of the first pair and the second element of the second pair.
सममितता और संक्रामीता अलग गुण हैं। / Symmetry and transitivity are different properties.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए ({(1,2),(2,1)}) सममित है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) न होने से संक्रामी नहीं है। / For example, ({(1,2),(2,1)}) is symmetric, but it is not transitive because ((1,1)) and ((2,2)) are missing.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Always check each property separately.
((1,2)) और ((2,4)) जुड़े हुए हैं क्योंकि बीच वाला तत्व (2) समान है। / ((1,2)) and ((2,4)) are connected because the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((1,4)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ने वाले युग्म में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व रखें। / The required pair uses the first element of the first pair and the second element of the second pair.
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
दी गई जोड़ियों में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / The given pairs include both ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, पर वह नहीं दिया गया है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not given.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी बीच की श्रृंखला की कमी संबंध को असंक्रामक बना सकती है। / Even with all self-pairs present, a missing chain pair can make the relation non-transitive.
((1,2)) के साथ ((2,2)) होने पर ((1,2)) ही चाहिए, जो मौजूद है। / With ((1,2)) and ((2,2)), transitivity requires ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) के साथ ((1,2)) होने पर भी ((1,2)) मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं है। / With ((1,1)) and ((1,2)), it again requires ((1,2)), which is present. So no required pair is missing.
Step 3
Exam Tip
हर अतिरिक्त परावर्ती जोड़ी संक्रमण को नहीं तोड़ती। / Extra reflexive pairs do not break transitivity.
((2,3)) और ((3,2)) दोनों (R) में हैं। / ((2,3)) and ((3,2)) are both in (R).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((2,2)) होना चाहिए। यह युग्म (R) में नहीं है, इसलिए सम्बन्ध संक्रामी नहीं है। / They require ((2,2)), which is not in (R). Hence the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टे जुड़े युग्म आत्म युग्म की मांग करते हैं। / Opposite connected pairs often demand reflexive pairs.
A. \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
Step 1
Concept
स्वयुग्म उलटने पर वही रहते हैं, इसलिए \(R^{-1}\) परावर्ती रहेगा। / Self-pairs remain the same after reversal, so \(R^{-1}\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (R) में उल्टी दिशा की शृंखला संक्रामक है, तो विलोम में भी शृंखला का परिणाम मिलेगा। / Transitive chains in (R) reverse into transitive chains in the inverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्तन और संक्रामकता दोनों विलोम में सुरक्षित रहते हैं। / Therefore reflexivity and transitivity are both preserved in the inverse.
विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / Option A misses ((3,3)), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी आवश्यक युग्म मौजूद हैं और (3) अलग है, इसलिए संक्रामकता है। / All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is separate, so transitivity holds.
A. नहीं, \(A=\{1,2,3\}\) पर ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) प्रति-उदाहरण है/No, on \(A=\{1,2,3\}\), ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) is a counterexample
Step 1
Concept
परावर्ती और सममित होना पर्याप्त नहीं है। / Reflexive and symmetric together are not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए उदाहरण में ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। / In the given example, ((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध साबित करने के लिए तीनों गुण अलग-अलग जांचना जरूरी है। / To prove an equivalence relation, all three properties must be checked separately.
A. नहीं, उदाहरण के लिए \(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/No, for example on \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
सममित और संक्रामक होना अपने आप सभी स्वयुग्म नहीं देता। / Being symmetric and transitive does not automatically give all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। / On \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) misses ((2,2)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में एक छोटा प्रति-उदाहरण सबसे तेज तरीका होता है। / For such theory questions, a small counterexample is the fastest method.
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है/The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
