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100 results found for "divisibility-test" in Class 10.

एक छात्र पहले टेस्ट में (40) अंक लाता है और हर अगले टेस्ट में (5) अंक अधिक लाता है। (6) टेस्टों में कुल अंक कितने होंगे?

A student scores (40) marks in the first test and (5) more marks in each next test. What are the total marks in (6) tests?

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Correct Answer

C. (315)

Explanation

Simple Explanation

अंकों की श्रेणी \(40,45,50,\ldots\) है। \(S_6=315\)। / The marks form \(40,45,50,\ldots\). \(S_6=315\).

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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (b) की विभाज्यता का सही आधार दिया गया है?

Which option gives the correct basis for divisibility of (b) in the proof for \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)

Step 1

Concept

(a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).

Step 3

Exam Tip

यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the final common factor.

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भारत का पहला परमाणु परीक्षण पोखरण में किस वर्ष हुआ था?

India's first nuclear test at Pokhran took place in which year?

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Correct Answer

C. 1974 ईस्वी1974 CE

Explanation

Simple Explanation

भारत का पहला परमाणु परीक्षण 1974 में पोखरण में हुआ। परीक्षा में पोखरण 1974 और पोखरण 1998 अलग याद रखें। / India's first nuclear test took place at Pokhran in 1974. For exams keep Pokhran 1974 and Pokhran 1998 separate.

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अंधेरे में रखे गए हरे पौधे में स्टार्च परीक्षण नकारात्मक आने का सबसे उचित कारण क्या है?

What is the most suitable reason for a negative starch test in a green plant kept in darkness?

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Correct Answer

A. पौधे ने प्रकाश के बिना भोजन नहीं बनायाThe plant did not make food without light

Step 1

Concept

प्रकाश संश्लेषण के लिए प्रकाश जरूरी है। / Light is necessary for photosynthesis.

Step 2

Why this answer is correct

अंधेरे में भोजन निर्माण बहुत कम या बंद हो जाता है। / In darkness food formation becomes very low or stops.

Step 3

Exam Tip

इसलिए पत्ती में स्टार्च जमा नहीं होगा। / Therefore starch will not accumulate in the leaf.

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एथेनॉल और एथेनोइक अम्ल में अंतर करने के लिए कौन सा परीक्षण उपयोगी है?

Which test is useful to distinguish ethanol and ethanoic acid?

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Correct Answer

A. सोडियम कार्बोनेट परीक्षणSodium carbonate test

Step 1

Concept

एथेनोइक अम्ल कार्बोनेट से कार्बन डाइऑक्साइड देता है। / Ethanoic acid gives carbon dioxide with carbonate.

Step 2

Why this answer is correct

एथेनॉल सामान्यतः ऐसा नहीं करता। / Ethanol generally does not do this.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सोडियम कार्बोनेट परीक्षण दोनों में अंतर कर सकता है। / So the sodium carbonate test can distinguish them.

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मैग्नीशियम रिबन को तनु सल्फ्यूरिक अम्ल में डालने पर गैस निकलती है। इस गैस की पहचान के लिए सबसे उपयुक्त परीक्षण कौन सा है?

A gas is evolved when magnesium ribbon is added to dilute sulphuric acid. Which test is most suitable to identify this gas?

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Correct Answer

C. जलती तीली के पास पॉप ध्वनि आती हैA burning splint gives a pop sound

Step 1

Concept

सक्रिय धातु अम्ल से अभिक्रिया करके लवण और हाइड्रोजन गैस बनाती है। / An active metal reacts with an acid to form salt and hydrogen gas.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन गैस जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देती है। / Hydrogen gas burns with a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में धातु और अम्ल की अभिक्रिया में निकली गैस की पहचान इसी परीक्षण से करें। / This is the standard test for hydrogen in metal-acid reactions.

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हाइड्रोजन गैस की पहचान किस परीक्षण से होती है?

Hydrogen gas is identified by which test?

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Correct Answer

C. जलती तीली के पास पॉप ध्वनिPop sound near a burning splint

Step 1

Concept

हाइड्रोजन गैस ज्वलनशील होती है। / Hydrogen gas is combustible.

Step 2

Why this answer is correct

जलती तीली के पास यह पॉप ध्वनि के साथ जलती है। / Near a burning splint it burns with a pop sound.

Step 3

Exam Tip

इसलिए पॉप ध्वनि हाइड्रोजन की पहचान है। / So the pop sound identifies hydrogen.

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कार्बन डाइऑक्साइड गैस की पहचान के लिए कौन सा परीक्षण किया जाता है?

Which test is used to identify carbon dioxide gas?

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Correct Answer

B. चूने के पानी का दूधिया होनाLime water turning milky

Step 1

Concept

कार्बन डाइऑक्साइड चूने के पानी से क्रिया करती है। / Carbon dioxide reacts with lime water.

Step 2

Why this answer is correct

इससे कैल्शियम कार्बोनेट बनता है जो दूधियापन देता है। / It forms calcium carbonate which causes milkiness.

Step 3

Exam Tip

इसलिए चूने के पानी का दूधिया होना कार्बन डाइऑक्साइड की पहचान है। / So lime water turning milky identifies carbon dioxide.

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हाइड्रोजन गैस की पहचान के लिए कौन सा परीक्षण उपयोग किया जाता है?

Which test is used to identify hydrogen gas?

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Correct Answer

B. जलती तीली के पास पॉप ध्वनिPop sound near a burning splint

Step 1

Concept

हाइड्रोजन गैस ज्वलनशील होती है। / Hydrogen gas is combustible.

Step 2

Why this answer is correct

जलती तीली के पास यह पॉप ध्वनि के साथ जलती है। / It burns with a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

इसलिए पॉप ध्वनि हाइड्रोजन की पहचान है। / Thus the pop sound identifies hydrogen.

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अम्ल और सक्रिय धातु की क्रिया में निकली गैस किस परीक्षण से पहचानी जाती है?

Which test identifies the gas released in the reaction of an acid with an active metal?

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Correct Answer

A. जलती तीली के पास पॉप ध्वनिPop sound near a burning splint

Step 1

Concept

अम्ल सक्रिय धातु से क्रिया करके हाइड्रोजन गैस देते हैं। / Acids react with active metals to give hydrogen gas.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देती है। / Hydrogen gives a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह परीक्षण हाइड्रोजन की पहचान करता है। / Therefore this test identifies hydrogen.

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अम्ल और सक्रिय धातु की क्रिया में निकली गैस की पुष्टि के लिए कौन सा परीक्षण सही है?

Which test is correct to confirm the gas released in the reaction of an acid with an active metal?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

B. जलती तीली के पास पॉप ध्वनिPop sound near a burning splint

Step 1

Concept

अम्ल सक्रिय धातु से क्रिया करके हाइड्रोजन गैस देता है। / Acids react with active metals to give hydrogen gas.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देती है। / Hydrogen gives a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

इसलिए पॉप ध्वनि हाइड्रोजन की पुष्टि करती है। / Therefore the pop sound confirms hydrogen.

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यदि सोडियम कार्बोनेट और सोडियम हाइड्रोजन कार्बोनेट दोनों में पतला अम्ल मिलाया जाए तो कौन सा परीक्षण समान परिणाम देगा?

If dilute acid is added to both sodium carbonate and sodium hydrogen carbonate, which test will give the same result?

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Correct Answer

A. निकली गैस चूने के पानी को दूधिया करेगीThe evolved gas will turn lime water milky

Step 1

Concept

कार्बोनेट और हाइड्रोजन कार्बोनेट अम्ल से क्रिया करते हैं। / Carbonates and hydrogen carbonates react with acids.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों से कार्बन डाइऑक्साइड गैस निकलती है। / Both release carbon dioxide gas.

Step 3

Exam Tip

यह गैस चूने के पानी को दूधिया करती है। / This gas turns lime water milky.

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सफेद निर्जल कॉपर सल्फेट जल की उपस्थिति में नीला हो जाता है। यह किस परीक्षण में उपयोगी है?

White anhydrous copper sulphate turns blue in the presence of water. In which test is this useful?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. जल की उपस्थिति की पहचानTest for presence of water

Step 1

Concept

Anhydrous copper sulphate is white.

Step 2

Why this answer is correct

It turns blue when water is present.

Step 3

Exam Tip

Therefore, it is used to test the presence of water.

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किस प्रयोग में चूने के पानी का दूधिया होना सबसे उपयोगी पहचान है?

In which experiment is the milky appearance of lime water the most useful test?

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Correct Answer

C. कार्बन डाइऑक्साइड गैस की पहचानIdentification of carbon dioxide gas

Step 1

Concept

Carbon dioxide reacts with lime water.

Step 2

Why this answer is correct

Insoluble calcium carbonate is formed, making lime water milky.

Step 3

Exam Tip

This test identifies the gas released from acid-carbonate reactions.

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निम्न में से किस संख्या को \(2^3\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^4\times7\) दोनों से विभाजित किया जा सकता है?

Which of the following numbers is divisible by both \(2^3\times3^2\times5\) and \(2^2\times3^4\times7\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. \(2^3\times3^4\times5\times7\)

Step 1

Concept

जो संख्या दोनों से विभाजित हो, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य की गुणज होनी चाहिए। / A number divisible by both must be a multiple of their LCM.

Step 2

Why this answer is correct

लघुत्तम समापवर्त्य में \(2^3\), \(3^4\), (5) और (7) आएँगे। / The LCM contains \(2^3\), \(3^4\), (5), and (7).

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता जाँचते समय हर अभाज्य की पर्याप्त घात होनी चाहिए। / For divisibility, every required prime power must be present.

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यदि चित्र का धूसर परीक्षण कमजोर है तो इसका अर्थ क्या है?

If the grey test of a picture is weak what does it mean?

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Correct Answer

A. मान संबंध पर्याप्त स्पष्ट नहीं हैंValue relations are not clear enough

Explanation

Simple Explanation

धूसर परीक्षण मान की ताकत दिखाता है। परीक्षा में रंगीन चित्र को मान में भी सोचें। / Grey test shows strength of value. Exam tip: think coloured picture also in value.

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अखंडता की शर्त किसी प्राकृतिक विश्व धरोहर स्थल में किस बात को परखती है?

What does the condition of integrity test in a natural World Heritage Site?

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Correct Answer

B. पारिस्थितिक तंत्र की पूर्णता और संरक्षण स्थितिWholeness and protection status of ecosystem

Explanation

Simple Explanation

अखंडता देखती है कि प्राकृतिक मूल्य पर्याप्त और सुरक्षित रूप में मौजूद हैं या नहीं। परीक्षा में पूर्णता और संरक्षण याद रखें। / Integrity checks whether natural values exist in adequate and protected form. For exams remember wholeness and protection.

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कांगो संकट को संसाधन राष्ट्रवाद की असफल परीक्षा क्यों कहा जा सकता है?

Why can the Congo Crisis be called a failed test of resource nationalism?

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Correct Answer

A. नए राज्य को खनिज संपदा पर स्थिर नियंत्रण और बाहरी दबाव से संघर्ष करना पड़ाThe new state struggled for stable control over mineral wealth and against outside pressure

Explanation

Simple Explanation

कांगो संकट ने संसाधन नियंत्रण और राज्य निर्माण की कठिनाई दिखायी। परीक्षा में बाहरी हस्तक्षेप याद रखें। / The Congo Crisis showed difficulty of resource control and state building. For exams remember outside intervention.

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अल्पसंख्यक अधिकारों की सुरक्षा को लोकतांत्रिक राज्य की परीक्षा क्यों माना जाता है?

Why is protection of minority rights considered a test of democratic state?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह दिखाता है कि विविध समूहों को बराबर सुरक्षा मिलती है या नहींBecause it shows whether diverse groups receive equal protection

Explanation

Simple Explanation

अल्पसंख्यक अधिकार लोकतांत्रिक वैधता और स्थिरता से जुड़े हैं। परीक्षा में समान नागरिकता लिखें। / Minority rights are linked with democratic legitimacy and stability. For exams write equal citizenship.

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अल्पसंख्यक अधिकारों को लोकतांत्रिक राष्ट्र निर्माण की कसौटी क्यों माना जाता है?

Why are minority rights considered a test of democratic nation building?

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Correct Answer

A. वे दिखाते हैं कि राज्य विविध समूहों को बराबर सुरक्षा देता है या नहींThey show whether the state gives equal protection to diverse groups

Explanation

Simple Explanation

अल्पसंख्यक अधिकार लोकतांत्रिक वैधता और स्थिरता से जुड़े हैं। परीक्षा में समान नागरिकता लिखें। / Minority rights are linked with democratic legitimacy and stability. For exams write equal citizenship.

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हैती क्रांति ने फ्रांसीसी क्रांति के आदर्शों की कौन सी परीक्षा ली?

Which test of French Revolutionary ideals was posed by the Haitian Revolution?

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Correct Answer

A. क्या स्वतंत्रता और समानता दास लोगों पर भी लागू होगीWhether liberty and equality would apply to enslaved people too

Explanation

Simple Explanation

हैती क्रांति ने स्वतंत्रता के सार्वभौमिक दावे को दासता के विरुद्ध परखा। परीक्षा में इसे अटलांटिक क्रांतियों से जोड़ें। / The Haitian Revolution tested universal claims of liberty against slavery. Exam tip: connect it with Atlantic revolutions.

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भारतीय स्वतंत्रता अधिनियम के बाद रियासतों का प्रश्न राष्ट्रीय एकीकरण की परीक्षा क्यों बना?

Why did the question of princely states become a test of national integration after the Indian Independence Act?

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Correct Answer

A. ब्रिटिश सर्वोच्चता समाप्त हो गई और रियासतों को नए संबंध तय करने थेBritish paramountcy ended and states had to decide new relations

Explanation

Simple Explanation

स्वतंत्रता के बाद एकीकरण में कूटनीति और दृढ़ता दोनों चाहिए थे। परीक्षा में पटेल और वी पी मेनन याद रखें। / After independence integration needed both diplomacy and firmness. Exam tip: remember Patel and V P Menon.

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इल्बर्ट बिल विवाद को औपनिवेशिक समानता की परीक्षा क्यों माना जाता है?

Why is the Ilbert Bill controversy considered a test of colonial equality?

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Correct Answer

A. क्योंकि यूरोपीय समुदाय भारतीय न्यायाधीशों के अधिकार से असहज थाBecause the European community was uncomfortable with the authority of Indian judges

Explanation

Simple Explanation

इस विवाद ने नस्ली न्यायिक असमानता उजागर की। परीक्षा में इसे राजनीतिक जागरण की घटना मानें। / This controversy exposed racial judicial inequality. Exam tip is to treat it as an event of political awakening.

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एक परीक्षण में पहले चरण पर मान (1250) इकाई है और हर अगले चरण में (55) इकाई घटता है। किस चरण में मान (260) इकाई होगा?

In a test, the value is (1250) units at the first stage and decreases by (55) units at each next stage. At which stage will the value be (260) units?

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Correct Answer

C. (19)वां(19)th

Explanation

Simple Explanation

(260=1250+(n-1)(-55)) से (990=55(n-1)), इसलिए (n=19)। घटती स्थिति में (d) ऋणात्मक लें। / From (260=1250+(n-1)(-55)), (990=55(n-1)), so (n=19). In a decreasing situation, take (d) as negative.

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एक लिफ्ट परीक्षण में पहले चक्र में (240) किग्रा भार है और हर अगले चक्र में (15) किग्रा घटाया जाता है। कौन-से चक्र में भार (75) किग्रा होगा?

In an elevator test, the first cycle has (240) kg load and (15) kg is reduced in each next cycle. In which cycle will the load be (75) kg?

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Correct Answer

C. (12)वां(12)th

Explanation

Simple Explanation

(75=240+(n-1)(-15)) से (165=15(n-1)) इसलिए (n=12)। शब्द-प्रश्न में घटाव को ऋणात्मक (d) लें। / From (75=240+(n-1)(-15)), (165=15(n-1)), so (n=12). In word problems, take decrease as negative (d).

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एक परीक्षा में सही उत्तर पर (4) अंक और गलत उत्तर पर (-1) अंक मिलते हैं। (20) प्रश्नों में कुल (55) अंक आए, तो सही उत्तरों की संख्या क्या है?

In a test, a correct answer gives (4) marks and a wrong answer gives (-1) mark. Out of (20) questions, the total score is (55). How many answers are correct?

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Correct Answer

C. (15)

Explanation

Simple Explanation

यदि सही उत्तर (c) और गलत (w) हों तो (c+w=20) और (4c-w=55)। जोड़ने पर (5c=75), इसलिए (c=15)। / Let correct answers be (c) and wrong answers be (w), so (c+w=20) and (4c-w=55). Adding gives (5c=75), so (c=15).

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यदि (x) संख्या रेखा पर (2.6) और (2.7) के बीच है, तो \(x=\sqrt{7}\) के लिए कौन-सा परीक्षण सही है?

If (x) lies between (2.6) and (2.7), which test is correct for \(x=\sqrt{7}\)?

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Correct Answer

A. \(2.6^2<7<2.7^2\)

Explanation

Simple Explanation

\(2.6^2=6.76\) और \(2.7^2=7.29\), इसलिए \(\sqrt{7}\) इनके बीच है। अनुमान को वर्ग करके जाँचें। / \(2.6^2=6.76\) and \(2.7^2=7.29\), so \(\sqrt{7}\) lies between them. Check an estimate by squaring.

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यदि किसी पत्ती को प्रकाश मिला लेकिन आसपास से कार्बन डाइऑक्साइड हटा दी गई तो स्टार्च परीक्षण का परिणाम क्या होगा?

If a leaf receives light but carbon dioxide is removed from its surroundings, what will be the result of the starch test?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. नीला काला रंग नहीं आएगाBlue-black color will not appear

Step 1

Concept

प्रकाश संश्लेषण में कार्बन डाइऑक्साइड कच्चा पदार्थ है। / Carbon dioxide is a raw material for photosynthesis.

Step 2

Why this answer is correct

कार्बन डाइऑक्साइड न मिलने पर ग्लूकोज और स्टार्च नहीं बनेंगे। / Without carbon dioxide, glucose and starch will not form.

Step 3

Exam Tip

इसलिए आयोडीन डालने पर नीला काला रंग नहीं आएगा। / Therefore, iodine will not give a blue-black color.

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यदि पत्ती के केवल एक भाग को प्रकाश मिला और बाकी भाग ढका रहा तो आयोडीन परीक्षण में कौन सा निष्कर्ष सही होगा?

If only one part of a leaf receives light and the rest remains covered what conclusion is correct in the iodine test?

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Correct Answer

A. केवल प्रकाश पाने वाला भाग स्टार्च दिखाएगाOnly the light receiving part will show starch

Step 1

Concept

प्रकाश संश्लेषण के लिए प्रकाश आवश्यक है। / Light is necessary for photosynthesis.

Step 2

Why this answer is correct

प्रकाश पाने वाला भाग ही भोजन बना सकेगा। / Only the part receiving light can make food.

Step 3

Exam Tip

इसलिए आयोडीन परीक्षण में उसी भाग में स्टार्च स्पष्ट होगा। / Therefore starch will be seen clearly in that part with iodine.

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यदि किसी पत्ती को पहले अंधेरे में रखा गया और फिर प्रकाश में रखकर कार्बन डाइऑक्साइड नहीं दी गई तो स्टार्च परीक्षण में क्या अपेक्षित है?

If a leaf is first kept in darkness and then placed in light without carbon dioxide what is expected in the starch test?

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Correct Answer

B. स्टार्च बहुत कम या नहीं बनेगाStarch will form very little or not at all

Step 1

Concept

अंधेरे में पहले से जमा स्टार्च घट सकता है। / Stored starch can decrease in darkness.

Step 2

Why this answer is correct

प्रकाश मिलने पर भी कार्बन डाइऑक्साइड न होने से नया भोजन नहीं बनेगा। / Even in light new food will not form properly without carbon dioxide.

Step 3

Exam Tip

इसलिए स्टार्च परीक्षण नकारात्मक या बहुत कमजोर हो सकता है। / Therefore the starch test may be negative or very weak.

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यदि किसी अप्रभावी लक्षण वाला जीव किसी प्रभावी लक्षण वाले अज्ञात जीन रूप वाले जीव से संकरण करे तो इस जाँच को क्या कहते हैं?

If an organism with a recessive trait is crossed with an organism having a dominant trait but unknown genotype, what is this test called?

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Correct Answer

B. परीक्षण संकरणTest cross

Step 1

Concept

अज्ञात प्रभावी जीव शुद्ध भी हो सकता है और विषमयुग्मजी भी। / The unknown dominant organism may be pure or heterozygous.

Step 2

Why this answer is correct

अप्रभावी जीव से संकरण करने पर संतानों से जीन रूप का पता चल सकता है। / Crossing it with a recessive organism can reveal its genotype through offspring.

Step 3

Exam Tip

इस विधि को परीक्षण संकरण कहा जाता है। / This method is called a test cross.

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फ्रैंकफर्ट संसद को उदारवादी राष्ट्रवाद की परीक्षा क्यों कहा जा सकता है?

Why can the Frankfurt Parliament be called a test of liberal nationalism?

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Correct Answer

A. क्योंकि इसने जनता के प्रतिनिधियों द्वारा जर्मन संविधान बनाने का प्रयास कियाBecause it tried to make a German constitution through people's representatives

Step 1

Concept

फ्रैंकफर्ट संसद निर्वाचित प्रतिनिधियों से बनी। / The Frankfurt Parliament was formed by elected representatives.

Step 2

Why this answer is correct

इसका लक्ष्य जर्मन एकता के लिए संविधान बनाना था। / Its aim was to make a constitution for German unity.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह उदारवादी राष्ट्रवाद का बड़ा प्रयोग था। / Therefore it was a major experiment in liberal nationalism.

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एक विलयन का पीएच सात से कम है लेकिन वह धातु कार्बोनेट से अभिक्रिया कर गैस देता है। यह गैस किस परीक्षण से पहचानी जाएगी?

A solution has pH less than 7 and reacts with a metal carbonate to release a gas. By which test will this gas be identified?

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Correct Answer

A. चूने के पानी को दूधिया करनाTurning lime water milky

Step 1

Concept

पीएच सात से कम होना अम्लीय प्रकृति बताता है। / pH less than 7 indicates acidic nature.

Step 2

Why this answer is correct

अम्ल धातु कार्बोनेट से कार्बन डाइऑक्साइड गैस बनाते हैं। / Acids react with metal carbonates to produce carbon dioxide.

Step 3

Exam Tip

कार्बन डाइऑक्साइड चूने के पानी को दूधिया करती है। / Carbon dioxide is identified by turning lime water milky.

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एक परखनली में जिंक के टुकड़े पर पतला सल्फ्यूरिक अम्ल डाला गया। निकली गैस जलती तीली के पास फटने जैसी आवाज देती है। सही रासायनिक कारण क्या है?

Dilute sulphuric acid is added to zinc pieces in a test tube. The evolved gas burns with a pop sound near a burning splint. What is the correct chemical reason?

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Correct Answer

A. धातु अम्ल से अभिक्रिया करके हाइड्रोजन गैस बनाती हैMetal reacts with acid to produce hydrogen gas

Step 1

Concept

सक्रिय धातु अम्ल से अभिक्रिया करके लवण और हाइड्रोजन गैस बनाती है। / An active metal reacts with an acid to form a salt and hydrogen gas.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन गैस जलती तीली के पास फटने जैसी आवाज देती है। / Hydrogen burns with a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

धातु और अम्ल के प्रश्न में गैस की पहचान ध्वनि परीक्षण से करें। / In metal-acid questions, identify the gas using its flame test.

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जब जस्ता धातु तनु सल्फ्यूरिक अम्ल से अभिक्रिया करती है तो गैस की पहचान के लिए सबसे उपयुक्त परीक्षण कौन सा है?

When zinc metal reacts with dilute sulphuric acid, which test is most suitable to identify the evolved gas?

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Correct Answer

A. जलती तीली के पास पॉप ध्वनिPop sound near a burning splint

Step 1

Concept

धातु और तनु अम्ल की अभिक्रिया में हाइड्रोजन गैस बनती है। / A metal reacting with a dilute acid usually produces hydrogen gas.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन जलती तीली के पास पॉप ध्वनि के साथ जलती है। / Hydrogen burns with a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में गैस पहचान प्रश्नों में परीक्षण को उत्पाद से जोड़ें। / In exams, match the gas with its confirmatory test.

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अम्ल और धातु की क्रिया में मिली गैस जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देती है। इस परीक्षण का निष्कर्ष क्या है?

The gas obtained from an acid-metal reaction gives a pop sound near a burning splint. What is the conclusion of this test?

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Correct Answer

A. गैस हाइड्रोजन हैThe gas is hydrogen

Step 1

Concept

अम्ल सक्रिय धातु से क्रिया करके हाइड्रोजन गैस दे सकते हैं। / Acids can react with active metals to give hydrogen gas.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देती है। / Hydrogen gives a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

इसलिए गैस की पहचान हाइड्रोजन के रूप में होती है। / Therefore the gas is identified as hydrogen.

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क्लोर क्षार प्रक्रिया में कैथोड पर बनने वाली गैस को किस परीक्षण से पहचाना जा सकता है?

By which test can the gas formed at the cathode in the chlor-alkali process be identified?

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Correct Answer

B. जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देकरBy giving a pop sound near a burning splint

Step 1

Concept

क्लोर क्षार प्रक्रिया में कैथोड पर हाइड्रोजन गैस बनती है। / Hydrogen gas is formed at the cathode in the chlor-alkali process.

Step 2

Why this answer is correct

हाइड्रोजन गैस जलती तीली के पास पॉप ध्वनि देती है। / Hydrogen gives a pop sound near a burning splint.

Step 3

Exam Tip

इसलिए इस परीक्षण से कैथोड की गैस पहचानी जाती है। / Thus this test identifies the cathode gas.

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यदि किसी विलयन में लाल और नीले लिटमस दोनों का रंग न बदले, तो आगे कौन सा परीक्षण अधिक स्पष्टता दे सकता है?

If a solution does not change either red or blue litmus, which test can give more clarity?

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Correct Answer

A. सार्वत्रिक सूचक से पीएच जाँचनाChecking pH with universal indicator

Step 1

Concept

Litmus gives only a general acidic or basic indication.

Step 2

Why this answer is correct

Universal indicator gives a clearer idea of pH.

Step 3

Exam Tip

Tasting or touching unknown substances is unsafe.

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(50) और (250) के बीच उन संख्याओं का योग कितना है जो (4) से विभाज्य हैं लेकिन (8) से विभाज्य नहीं हैं?

What is the sum of numbers between (50) and (250) that are divisible by (4) but not divisible by (8)?

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Correct Answer

B. (3700)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.

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चार अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (37) से विभाज्य हैं।

Find the sum of all four-digit numbers divisible by (37).

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Correct Answer

A. (1339659)

Explanation

Simple Explanation

पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.

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तीन अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (19) से विभाज्य हैं।

Find the sum of all three-digit numbers divisible by (19).

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Correct Answer

A. (25897)

Explanation

Simple Explanation

पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.

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(150) से (750) तक (17) से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of all numbers divisible by (17) from (150) to (750).

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Correct Answer

B. (16218)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(153,170,\ldots,748\) हैं और उनका योग (16218) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.

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तीन अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (17) से विभाज्य हैं।

Find the sum of all three-digit numbers divisible by (17).

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Correct Answer

B. (28832)

Explanation

Simple Explanation

पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.

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(200) से (800) तक (14) से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of all numbers divisible by (14) from (200) to (800).

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Correct Answer

D. (21672)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(210,224,\ldots,798\) हैं और उनका योग (21672) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.

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तीन अंकों वाली उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (13) से विभाज्य हैं।

Find the sum of all three-digit numbers that are divisible by (13).

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Correct Answer

B. (37674)

Explanation

Simple Explanation

पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.

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(100) से (200) के बीच (5) से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of all numbers divisible by (5) between (100) and (200).

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Correct Answer

A. (3150)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.

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(3) अंकों वाली उन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो (9) से विभाज्य हैं।

Find the sum of all (3)-digit numbers that are divisible by (9).

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Correct Answer

A. (60984)

Explanation

Simple Explanation

श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.

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दो अंकों की (4) से विभाज्य सभी धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of all two-digit positive numbers divisible by (4).

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Correct Answer

D. (1188)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.

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(200) और (500) के बीच (16) से विभाज्य संख्याओं का योग कितना होगा?

What will be the sum of the numbers divisible by (16) between (200) and (500)?

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Correct Answer

B. (6688)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें। / The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.

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(50) और (250) के बीच (15) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of the numbers divisible by (15) between (50) and (250).

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Correct Answer

D. (1950)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ। / The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.

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(100) और (350) के बीच (14) से विभाज्य संख्याओं का योग कितना है?

What is the sum of the numbers divisible by (14) between (100) and (350)?

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Correct Answer

A. (3808)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें। / The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.

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(120) और (300) के बीच (9) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of the numbers divisible by (9) between (120) and (300).

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Correct Answer

C. (4230)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.

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(200) और (400) के बीच (12) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of the numbers divisible by (12) between (200) and (400).

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Correct Answer

B. (5100)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(204,216,\ldots,396\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (5100) है। सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.

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(100) से (250) के बीच (8) से विभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Find the sum of the numbers divisible by (8) between (100) and (250).

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Correct Answer

A. (3192)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.

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(50) और (150) के बीच (7) से विभाज्य संख्याओं का योग कितना है?

What is the sum of the numbers divisible by (7) between (50) and (150)?

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Correct Answer

B. (1407)

Explanation

Simple Explanation

संख्याएँ \(56,63,\ldots,147\) हैं और (14) पद हैं, इसलिए योग (1407) है। बीच की सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.

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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a=5k) लिखने के लिए बीच का सही निष्कर्ष कौन-सा है?

In the proof for \(\sqrt{5}\), what is the correct intermediate conclusion needed to write (a=5k) from \(a^2=5b^2\)?

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Correct Answer

B. \(5\mid a\)

Step 1

Concept

\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), we get \(5\mid a^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(5) अभाज्य होने से \(5\mid a\) निष्कर्ष मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid a\).

Step 3

Exam Tip

फिर (a=5k) लिखा जा सकता है। / Then (a=5k) can be written.

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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने का सरल कारण क्या है?

If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), what is the simple reason that \(p^2\) is divisible by (3)?

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Correct Answer

C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज हैBecause the right side is a multiple of (3)

Step 1

Concept

\(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। / In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.

Step 2

Why this answer is correct

\(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। / Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).

Step 3

Exam Tip

इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें। / Then use the prime rule to write \(3\mid p\).

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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिला, तो \(a^2\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\), which statement about \(a^2\) is correct?

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Correct Answer

A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है\(a^2\) is divisible by (5)

Step 1

Concept

\(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। / In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है। / Then the prime rule gives \(5\mid a\).

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यदि \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) मिला, तो (p=3k) लिखते समय (k) के बारे में क्या सही है?

If \(3\mid p\) is obtained from \(p^2=3q^2\), what is correct about (k) when writing (p=3k)?

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Correct Answer

A. (k) कोई पूर्णांक है(k) is some integer

Step 1

Concept

\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है। / Therefore (p=3k), where (k) is some integer.

Step 3

Exam Tip

(k) को बिना कारण (q) के बराबर न मानें। / Do not assume (k=q) without reason.

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यदि (r) एक अभाज्य संख्या है और \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए, तो \(p^2=rq^2\) से कौन-सा पहला सामान्य निष्कर्ष निकलेगा?

If (r) is a prime number and \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what is the first general conclusion from \(p^2=rq^2\)?

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Correct Answer

B. \(r\mid p\)

Step 1

Concept

\(p^2=rq^2\) से \(r\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=rq^2\), we get \(r\mid p^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(r) अभाज्य है, इसलिए \(r\mid p\) होगा। / Since (r) is prime, \(r\mid p\).

Step 3

Exam Tip

इसके बाद (p=rk) रखकर \(r\mid q\) दिखाया जाता है। / After this, put (p=rk) to show \(r\mid q\).

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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में (p=3r) सिद्ध हो चुका है, तो आगे (q) पर निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कदम सही है?

If (p=3r) has been proved in the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which step is correct to conclude about (q)?

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Correct Answer

A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पानाSubstitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)

Step 1

Concept

(p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। / Substitute (p=3r) in the original equation.

Step 2

Why this answer is correct

\(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। / From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).

Step 3

Exam Tip

बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें। / Do not conclude about (q) without substitution.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लिखते समय कौन-सा तर्क सबसे मजबूत माना जाएगा?

In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which reasoning is strongest while writing \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)?

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Correct Answer

B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता हैBecause (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। / Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.

Step 3

Exam Tip

केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें। / Do not say only odd; mention primality for a complete proof.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?

If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?

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Correct Answer

A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखानाTo show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction

Step 1

Concept

\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.

Step 2

Why this answer is correct

प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.

Step 3

Exam Tip

सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.

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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलने से क्या साफ होता है?

In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), what becomes clear from \(b^2=3k^2\)?

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Correct Answer

A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है\(b^2\) is divisible by (3)

Step 1

Concept

\(b^2=3k^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(b^2=3k^2\), the right side is a multiple of (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(b^2\) भी (3) से विभाज्य है। / Therefore \(b^2\) is divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

फिर \(3\mid b\) लेकर विरोधाभास पूरा करें। / Then use \(3\mid b\) to complete the contradiction.

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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(a^2=3b^2\) मिला, तो \(a^2\) को (3) का गुणज कहना क्यों सही है?

If \(a^2=3b^2\) is obtained in proving \(\sqrt{3}\) irrational, why is it correct to say \(a^2\) is a multiple of (3)?

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Correct Answer

A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल हैBecause the right side is the product of (3) and \(b^2\)

Step 1

Concept

\(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। / In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। / Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).

Step 3

Exam Tip

फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है। / Then the prime rule gives divisibility of (a).

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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर पहुँचने की सही दलील है?

Which option gives the correct reasoning to reach (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)

Step 1

Concept

(p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। / Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। / Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).

Step 3

Exam Tip

यही दूसरा विभाज्यता कदम है। / This is the second divisibility step.

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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन (5) के अभाज्य होने का सही उपयोग है?

Which statement correctly uses the primality of (5) in the proof for \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\)If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)

Step 1

Concept

(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.

Step 2

Why this answer is correct

अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग दे तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। / If a prime number divides a square, it also divides the original number.

Step 3

Exam Tip

इसी नियम से (x) और बाद में (y) की विभाज्यता मिलती है। / This rule gives the divisibility of (x) and later (y).

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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(b^2=3m^2\) मिलने पर (b) के बारे में क्या निष्कर्ष सही है?

In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(b^2=3m^2\), what conclusion about (b) is correct?

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Correct Answer

A. (b) (3) से विभाज्य है(b) is divisible by (3)

Step 1

Concept

\(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। / From \(b^2=3m^2\), we get \(3\mid b^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid b\).

Step 3

Exam Tip

यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है। / This shows (3) common to both (a) and (b).

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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) निष्कर्ष निकालना किस सिद्धांत पर आधारित है?

In the proof for \(\sqrt{3}\), the conclusion \(3\mid a\) from \(3\mid a^2\) is based on which principle?

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Correct Answer

A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांतPrinciple of prime factor

Step 1

Concept

(3) एक अभाज्य संख्या है। / (3) is a prime number.

Step 2

Why this answer is correct

यदि कोई अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग देती है, तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। / If a prime number divides a square, it also divides the original number.

Step 3

Exam Tip

यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य भूमिका निभाता है। / This principle plays the main role in the proof for \(\sqrt{3}\).

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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन सही नहीं है?

Which statement is not correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगाFrom \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)

Step 1

Concept

\(5\mid p^2\) से केवल \(5\mid p\) मिलता है। / From \(5\mid p^2\), we only get \(5\mid p\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (p=5k) लिखा जाता है, (p=5q) जरूरी नहीं। / This allows (p=5k), not necessarily (p=5q).

Step 3

Exam Tip

चर बदलते समय मन से संबंध न बना दें। / Do not create an unsupported relation between variables.

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यदि \(3\mid p\), तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?

If \(3\mid p\), in which form is it proper to write (p)?

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Correct Answer

A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है(p=3k), where (k) is an integer

Step 1

Concept

\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। / So we write (p=3k), where (k) is an integer.

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है। / Converting divisibility into a multiple form helps in the proof.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) किस कारण (3) से विभाज्य है?

In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), why is \(p^2\) divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?

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Correct Answer

A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में हैBecause (3) appears as a factor on the right side

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। / Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).

Step 3

Exam Tip

पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की। / Understand divisibility of the square first, then of the original number.

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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3r) लिखने का सही आधार है?

Which option gives the correct basis for writing (p=3r) in the proof for \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है\(3\mid p\) has been proved

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).

Step 2

Why this answer is correct

अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। / By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.

Step 3

Exam Tip

कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें। / Give the reason before writing such a form.

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\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिला। इससे (p) के बारे में सही निष्कर्ष कौन-सा है?

After assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring, \(p^2=3q^2\) is obtained. What is the correct conclusion about (p)?

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Correct Answer

A. (p) (3) से विभाज्य है(p) is divisible by (3)

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid p\).

Step 3

Exam Tip

यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है। / Here divisibility by (3), not evenness, is the main point.

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यदि \(5\mid x^2\) है, तो \(5\mid x\) क्यों माना जाता है?

If \(5\mid x^2\), why is \(5\mid x\) concluded?

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Correct Answer

A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या हैBecause (5) is a prime number

Step 1

Concept

किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। / If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.

Step 2

Why this answer is correct

(5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).

Step 3

Exam Tip

यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है। / This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\).

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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानकर \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो (p) के सम होने का सबसे सटीक कारण क्या है?

If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, what is the most precise reason that (p) is even?

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Correct Answer

A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है\(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime

Step 1

Concept

\(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).

Step 2

Why this answer is correct

(2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। / Since (2) is prime, \(2\mid p\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए। / In such proofs, state the prime-factor rule clearly.

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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) क्यों निष्कर्षित किया जाता है?

Why is \(5\mid b\) concluded from \(5\mid b^2\) in the proof for \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या हैBecause (5) is a prime number

Step 1

Concept

अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। / If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। / Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).

Step 3

Exam Tip

इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें। / Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime.

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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर अंतिम निष्कर्ष देता है?

Which statement gives the final conclusion about (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)

Step 1

Concept

\(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / \(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the common factor in (p) and (q).

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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा गुण सीधे (2) के अभाज्य होने से जुड़ा है?

Which property in the proof of \(\sqrt{2}\) is directly connected with (2) being prime?

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Correct Answer

A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\)If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)

Step 1

Concept

(2) अभाज्य संख्या है। / (2) is a prime number.

Step 2

Why this answer is correct

अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। / If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).

Step 3

Exam Tip

इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है। / Writing this rule makes the proof logical.

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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही होगा?

If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), in what form should (p) be correctly written?

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Correct Answer

A. (p=3k)

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। / Therefore \(3\mid p\), so (p=3k) can be written.

Step 3

Exam Tip

किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें। / Write the form according to the prime divisor involved.

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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{r}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा निष्कर्ष लिया जाता है?

If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what conclusion is used in proving the irrationality of \(\sqrt{r}\)?

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Correct Answer

A. \(r\mid x\)

Step 1

Concept

अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the base.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। / Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).

Step 3

Exam Tip

यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है। / This general rule works for the proofs of (2,3,5).

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यदि \(a^2\) (5) से विभाज्य है, तो (a) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?

If \(a^2\) is divisible by (5), what conclusion about (a) is correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. (a) (5) से विभाज्य है(a) is divisible by (5)

Step 1

Concept

(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। / If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.

Step 3

Exam Tip

यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है। / This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\).

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यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?

If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) and (a,b) are coprime, what is the first correct conclusion from \(a^2=5b^2\)?

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Correct Answer

A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)

Step 1

Concept

समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).

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किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?

Which statement is most essential in proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

B. यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगाIf (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)

Step 1

Concept

\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। / The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).

Step 3

Exam Tip

अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है। / Writing this prime-number property clearly helps in scoring well.

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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में इसका उपयोग कैसे होता है?

If (r) is prime and \(r\mid x^2\), how is it used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने मेंTo conclude \(r\mid x\)

Step 1

Concept

अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{3}\) में यह (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए उपयोग होता है। / In \(\sqrt{3}\), this is used for (3); in \(\sqrt{5}\), it is used for (5).

Step 3

Exam Tip

इससे अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.

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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) लिखने का आधार क्या है?

In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the basis for writing (q=3r) after getting \(q^2=3k^2\)?

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Correct Answer

A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

Step 1

Concept

\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है। / Therefore (q=3r) is written.

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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। \(p^2=3q^2\) से (p) के बारे में सही तर्क कौन सा है?

Assume \(\sqrt{3}\) is rational and write \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\). What is the correct reasoning about (p) from \(p^2=3q^2\)?

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Correct Answer

B. (p) (3) से विभाज्य है(p) is divisible by (3)

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं। / Use the prime rule to move from square to original number.

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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) क्यों लिखा जा सकता है?

In the proof of \(\sqrt{3}\), after getting \(q^2=3k^2\), why can (q=3r) be written?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य हैBecause \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

Step 1

Concept

\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य होने से (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (q=3r) लिखना सही है। / Therefore writing (q=3r) is correct.

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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में इसका सही उपयोग क्या है?

If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what is its correct use in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालनाTo conclude \(r\mid x\)

Step 1

Concept

अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{3}\) में यह नियम (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए लगता है। / In \(\sqrt{3}\), this rule is used for (3), and in \(\sqrt{5}\), for (5).

Step 3

Exam Tip

इसी से अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / This helps get a common factor in numerator and denominator.

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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) लिखने का उचित आधार क्या है?

In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the proper basis for writing (p=3k) from \(p^2=3q^2\)?

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Correct Answer

A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, if \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

तब (p=3k) लिखना सही है। / Then writing (p=3k) is valid.

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यदि (r) अभाज्य है और (r) किसी पूर्णांक (x) के वर्ग \(x^2\) को विभाजित करता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?

If (r) is prime and divides the square \(x^2\) of an integer (x), what is the correct conclusion?

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Correct Answer

A. (r), (x) को भी विभाजित करता है(r) also divides (x)

Step 1

Concept

वर्ग में अभाज्य गुणनखंड जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.

Step 2

Why this answer is correct

यदि अभाज्य संख्या \(x^2\) को विभाजित करे, तो वह (x) को भी विभाजित करती है। / If a prime divides \(x^2\), it also divides (x).

Step 3

Exam Tip

\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यह नियम जरूरी है। / This rule is essential in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).

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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने पर \(p^2=5q^2\) से \(q^2\) का कौन सा रूप मिलेगा?

In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (p=5k), what form of \(q^2\) follows from \(p^2=5q^2\)?

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Correct Answer

A. \(q^2=5k^2\)

Step 1

Concept

(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। / From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\).

Step 3

Exam Tip

इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5).

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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) और \(m^2=5n^2\) है, तो \(m^2\) के बारे में पहला सही निष्कर्ष क्या होगा?

If \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) and \(m^2=5n^2\), what is the first correct conclusion about \(m^2\)?

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Correct Answer

C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है\(m^2\) is divisible by (5)

Step 1

Concept

\(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। / Therefore \(m^2\) is divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें। / First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m).

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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिल जाए, तो (q) के लिए सही निष्कर्ष कौन सा है?

If \(q^2=3k^2\) is obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the correct conclusion for (q)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. (q) (3) से विभाज्य है(q) is divisible by (3)

Step 1

Concept

\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows a common factor in (p) and (q).

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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (5) के अभाज्य होने का उपयोग कहां होता है?

Where is the fact that (5) is prime used in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने मेंIn saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)

Step 1

Concept

\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है। / The prime-number rule is the backbone of the proof.

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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने के बाद \(9k^2=3q^2\) मिला। इससे \(q^2\) का सही रूप कौन सा है?

In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), \(9k^2=3q^2\) is obtained. What is the correct form of \(q^2\)?

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Correct Answer

A. \(q^2=3k^2\)

Step 1

Concept

\(9k^2=3q^2\) के दोनों पक्षों को (3) से भाग दें। / Divide both sides of \(9k^2=3q^2\) by (3).

Step 2

Why this answer is correct

\(3k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलेगा। / We get \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).

Step 3

Exam Tip

इसी से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता बनता है। / This leads to (q) being divisible by (3).

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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और \(p^2=5q^2\) मिले, तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?

If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=5q^2\) is obtained, in which form should (p) be written?

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Correct Answer

C. (p=5k)

Step 1

Concept

\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

(5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (p) is divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है। / After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(p^2=3q^2\) मिला। यहां (p) के लिए सही कारण सहित निष्कर्ष कौन सा है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) is obtained. Which conclusion about (p) with reason is correct?

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Correct Answer

B. (p) (3) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है(p) is divisible by (3) because \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को सही संख्या पर लगाएं। / Apply the prime factor rule to the correct number.

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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है। यह किस नियम पर आधारित है?

In the proof of \(\sqrt{3}\), from \(p^2=3q^2\), (p) is divisible by (3). This is based on which rule?

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Correct Answer

A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती हैIf a prime divides a square, it divides the original number

Step 1

Concept

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अभाज्य है और अभाज्य विभाज्यता का नियम लागू होता है। / (3) is prime, so the prime divisibility rule applies.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Therefore (p) is also divisible by (3).

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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (b) के बारे में अंतिम निष्कर्ष को सही बताता है?

Which statement correctly tells the final conclusion about (b) in the proof of \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

A. (b) (3) से विभाज्य है(b) is divisible by (3)

Step 1

Concept

(a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। / After substituting (a=3k), we get \(b^2=3k^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। / Hence \(b^2\) is divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा। / By the prime rule, (b) is also divisible by (3).

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