49 results found for "4a 5b" in Class 10.
If (6a+5b=460) and (4a+7b=444), what is the value of (b)?
C. \(b=\frac{412}{11}\)
पहले समीकरण को (2) और दूसरे को (3) से गुणा कर घटाएं। इससे \(b=\frac{412}{11}\) मिलता है। / Multiply the first equation by (2) and the second by (3), then subtract. This gives \(b=\frac{412}{11}\).
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If (4a+3b=276) and (2a+5b=250), what is the value of (a)?
D. (a=45)
दूसरे समीकरण को (2) से गुणा कर पहले से घटाएं। (b=32) और फिर (a=45) मिलता है। / Multiply the second equation by (2) and subtract the first. This gives (b=32), then (a=45).
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What is the simplified form of \(24a^5b^3\div6a^2b^2\) if \(a\neq0\) and \(b\neq0\)?
A. \(4a^3b\)
गुणांक \(\frac{24}{6}=4\), \(a^{5-2}=a^3\) और \(b^{3-2}=b\) है। इसलिए उत्तर \(4a^3b\) है। / The coefficient is \(\frac{24}{6}=4\), \(a^{5-2}=a^3\), and \(b^{3-2}=b\). So the answer is \(4a^3b\).
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If \(a_8=45\) and \(a_{15}=4a_8-16\), what is \(a_{43}\)?
A. (721)
\(a_{15}=164\) और (7d=119), इसलिए (d=17)। \(a_{43}=45+35\times17=640\)। / \(a_{15}=164\) and (7d=119), so (d=17). \(a_{43}=45+35\times17=640\).
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In an AP \(a_{16}=4a_7+2\) and \(a_7=22\). What is \(a_{34}\)?
A. (224)
\(a_{16}=90\) और (9d=68) इसलिए \(d=\frac{68}{9}\)। \(a_{34}=a_{16}+18d=90+136=226\) नहीं बल्कि \(a_{34}=22+27\cdot\frac{68}{9}=226\) होगा। / \(a_{16}=90\) and (9d=68) so \(d=\frac{68}{9}\). \(a_{34}=22+27\cdot\frac{68}{9}=226\).
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If \(a_7=36\) and \(a_{13}=4a_7-12\), what is \(a_{37}\)?
D. (480)
\(a_{13}=132\) और (6d=96), इसलिए (d=16)। \(a_{37}=36+30\times16=516\), इसलिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / \(a_{13}=132\) and (6d=96), so (d=16). \(a_{37}=36+30\times16=516\), so the correct answer is not in the options.
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In an AP, \(a_{10}=4a_4+6\) and \(a_4=14\). What is \(a_{22}\)?
A. (138)
\(a_{10}=62\) और (6d=48), इसलिए (d=8)। \(a_{22}=a_4+18d=14+144=158\) नहीं, \(a_{22}=a_{10}+12d=62+96=158\); सही गणना में विकल्प नहीं है, इसलिए \(a_{22}\) के लिए प्रश्न जांचें। / \(a_{10}=62\) and (6d=48), so (d=8). Then \(a_{22}=62+12\times8=158\); if options mismatch, recheck the question data.
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In an AP, \(a_{15}=4a_7-10\) and \(a_7=26\). What is \(a_{31}\)?
B. (178)
\(a_{15}=94\) और (8d=68) इसलिए \(d=\frac{17}{2}\)। \(a_{31}=94+16\cdot\frac{17}{2}=230\)। / \(a_{15}=94\) and (8d=68), so \(d=\frac{17}{2}\). \(a_{31}=94+16\cdot\frac{17}{2}=230\).
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If \(a_{18}=4a_6\) and \(a_6=30\), what is \(a_{30}\)?
C. (210)
\(a_{18}=120\) इसलिए (12d=90) और \(d=\frac{15}{2}\)। \(a_{30}=120+12d=210\)। / \(a_{18}=120\), so (12d=90) and \(d=\frac{15}{2}\). \(a_{30}=120+12d=210\).
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In an AP, \(a_{11}=4a_3\) and \(a_3=18\). What is \(a_{15}\)?
C. (99)
\(a_{11}=72\) और (8d=54) इसलिए \(d=\frac{27}{4}\)। \(a_{15}=72+4d=99\)। / \(a_{11}=72\) and (8d=54), so \(d=\frac{27}{4}\). \(a_{15}=72+4d=99\).
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If (2a-5, a+4, 4a-7) are in an arithmetic progression, what will be the value of (a)?
B. (3)
(2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)) से (2a+8=6a-12), इसलिए (a=5)। मध्य पद को पहचानकर समीकरण बनाएं। / From (2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)), (2a+8=6a-12), so (a=5). Identify the middle term and form the equation.
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What is the simplified form of \(\frac{4b^{-2}+6b^{-2}}{5b^{-3}}\), where \(b\neq0\)?
A. (2b)
ऊपर \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\) है। \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\) मिलता है। / The numerator is \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\). Thus \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\).
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What is the product of (\(-4a^2b^{-3}\)\(3a^{-1}b^5\))?
A. \(,-12ab^2,\)
गुणांक (-4) और (3) का गुणनफल (-12) है, और \(a^{2-1}b^{-3+5}=ab^2\) है। परीक्षा में गुणांक और घातांक अलग-अलग संभालें। / The product of coefficients (-4) and (3) is (-12), and \(a^{2-1}b^{-3+5}=ab^2\). In exams, handle coefficients and exponents separately.
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If (x-2-2(a+1)x+\(a^2+4a+5\)=0) has no real roots, which condition on (a) is correct?
A. (a>-2)
यहाँ (D=4(a+1)2-4\(a^2+4a+5\)=-8(a+2)) है। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (a>-2)। / Here (D=4(a+1)2-4\(a^2+4a+5\)=-8(a+2)). For no real roots (D<0), so (a>-2).
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A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमानTwo real irrational and distinct
धनात्मक (D) दो असमान वास्तविक मूल देता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं। / Positive (D) gives two distinct real roots. If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
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A. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और वास्तविक मूल नहीं होतेThe graph does not cut the (x)-axis and there are no real roots
ऋणात्मक (D) होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। ग्राफीय रूप में परवलय (x)-अक्ष को नहीं काटता। / When (D) is negative, no real root exists. Graphically, the parabola does not cut the (x)-axis.
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A. दो वास्तविक परिमेय और असमानTwo real rational and distinct
धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर से दो अलग परिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में केवल (D>0) नहीं, (D) का पूर्ण वर्ग होना भी देखें। / A positive perfect-square discriminant gives two distinct rational real roots. In exams check not only (D>0) but also whether (D) is a perfect square.
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If \(b^2=4ac\) in a quadratic equation, what will be the nature of its roots?
A. दो बराबर वास्तविक मूलTwo equal real roots
\(b^2=4ac\) होने पर \(D=b^2-4ac=0\), इसलिए मूल बराबर वास्तविक होते हैं। परीक्षा में इसे discriminant zero condition मानें। / When \(b^2=4ac\), \(D=b^2-4ac=0\), so the roots are equal and real. In exams, treat this as the discriminant zero condition.
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Statement: If \(b^2-4ac<0\), then \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots. How is this statement?
A. सत्यTrue
\(b^2-4ac<0\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं होते। परीक्षा में यह मूलों की प्रकृति का मानक नियम है। / When \(b^2-4ac<0\), the discriminant is negative, so real roots do not exist. In exams, this is the standard rule for nature of roots.
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If \(a\neq b\), what will be the nature of roots of (x-2-2(a+b)x+4ab=0)?
A. वास्तविक और भिन्नReal and distinct
यहाँ (D=4(a-b)2) है। \(a\neq b\) होने पर (D>0), इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। / Here (D=4(a-b)2). When \(a\neq b\), (D>0), so roots are real and distinct.
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If (x-2-2(a+b)x+4ab=0) has equal roots, which relation is correct?
A. (a=b)
(D=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2) है। (D=0) से (a=b) मिलता है। / (D=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2). From (D=0), (a=b).
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What is the nature of roots of (2x-2-4ax+\(2a^2-3\)=0)?
A. हमेशा वास्तविक और भिन्नAlways real and distinct
यहाँ (D=(-4a)2-4(2)\(2a^2-3\)=24>0) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=(-4a)2-4(2)\(2a^2-3\)=24>0). Thus roots are always real and distinct.
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A student uses \(D=b^2+4ac\). What is the correct (D) for \(x^2+2x+3=0\)?
A. (-8)
सही सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ (D=22-4(1)(3)=-8)। / The correct formula is \(D=b^2-4ac\). Here (D=22-4(1)(3)=-8).
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If a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has \(D=b^2-4ac\), what is the nature of roots when (D>0)?
A. दो वास्तविक और असमान ((D>0))Two real and distinct ((D>0))
क्योंकि (D>0) होने पर दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में पहले (D) निकालें। / Because (D>0) gives two different real roots. In exams first find (D).
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If \(b^2-4ac=0\), how many different real roots will a quadratic equation have?
A. (1) अलग वास्तविक मूल(1) different real root
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें। / When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
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If \(b^2-4ac=-7\), which conclusion is correct?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
(-7<0) है इसलिए (D<0) होगा। ऐसे में वास्तविक मूल नहीं मिलते। / Since (-7<0), we have (D<0). In this case real roots are not obtained.
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If \(b^2-4ac=9\) in a quadratic equation, what will be the nature of roots?
A. वास्तविक और भिन्नReal and distinct
क्योंकि (9>0) है इसलिए (D>0) होगा। अतः मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। / Since (9>0), we have (D>0). Therefore the roots are real and distinct.
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After simplifying (4x-2-4(a+b)x+4ab=0), what will be the roots?
A. (x=a,b)
पूरे समीकरण को (4) से भाग देने पर (x-2-(a+b)x+ab=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना आसान रहता है। / Dividing the whole equation by (4) gives (x-2-(a+b)x+ab=0). In exams, removing the common factor first is easier.
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In which method is \(b^2-4ac\) found first?
A. द्विघात सूत्र विधिQuadratic formula method
द्विघात सूत्र में \(b^2-4ac\) विविक्तकर के रूप में प्रयोग होता है। परीक्षा में सूत्र विधि लगाने से पहले (a), (b), (c) पहचानें। / In the quadratic formula, \(b^2-4ac\) is used as the discriminant. In exams, identify (a), (b), and (c) before using the formula method.
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What is \(b^2-4ac\) called in the quadratic formula?
A. विविक्तकरDiscriminant
\(b^2-4ac\) को विविक्तकर कहते हैं और यह मूलों की प्रकृति बताता है। परीक्षा में इसे (D) से भी लिखा जाता है। / \(b^2-4ac\) is called the discriminant and it tells the nature of roots. In exams, it is also written as (D).
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What are the roots of (x-2-2(a+2)x+a-2+4a=0)?
A. (a) और (a+4)(a) and (a+4)
जड़ों का योग (2a+4) और गुणनफल \(a^2+4a\) है। ये (a) और (a+4) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+4) and the product is \(a^2+4a\). These match (a) and (a+4).
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What is the correct condition for (9x-2-6(a-1)x+a-2-4a-5=0) to have real roots?
A. \(a\ge-3\)
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
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For (9x-2-6(a-1)x+a-2-4a-5=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\ge-\frac{7}{2}\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), इसलिए \(a\ge-\frac{7}{2}\) नहीं बल्कि \(a\ge-3\) होगा। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72a+216), so the exact condition is \(a\ge-3\), not \(a\ge-\frac{7}{2}\).
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For (4x-2-4(a-1)x+a-2-4a=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\le1\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=16(1-a)), इसलिए \(a\le1\) है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=16(1-a)), so \(a\le1\).
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Which statement is always true for (x-2-(a+4)x+4a=0)?
A. (4) हमेशा एक जड़ है(4) is always a root
(x=4) रखने पर (16-4(a+4)+4a=0) मिलता है। अतः (4) हमेशा एक जड़ है और दूसरी जड़ (a) होती है। / Putting (x=4) gives (16-4(a+4)+4a=0). Hence (4) is always one root and the other root is (a).
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A. 0
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
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B. \(5\mid a\)
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), we get \(5\mid a^2\).
(5) अभाज्य होने से \(5\mid a\) निष्कर्ष मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid a\).
फिर (a=5k) लिखा जा सकता है। / Then (a=5k) can be written.
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In the proof for \(\sqrt{5}\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\). What will \(b^2\) be?
B. \(5k^2\)
\(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। / Divide both sides of \(25k^2=5b^2\) by (5).
\(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। / We get \(5k^2=b^2\), that is \(b^2=5k^2\).
यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है। / This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\).
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If assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\), which statement about \(a^2\) is correct?
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है\(a^2\) is divisible by (5)
\(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। / In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है। / Then the prime rule gives \(5\mid a\).
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A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\)First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a\).
(a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)। / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\).
अब (5) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है। / Now (5) becomes a common factor and gives the contradiction.
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C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है(a) is necessarily divisible by (25)
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) और इसलिए \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\).
इससे (a) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। / This does not necessarily mean (a) is divisible by (25).
जितना सिद्ध हो, केवल उतना ही निष्कर्ष लिखें। / Write only the conclusion that is actually proved.
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B. (a) (5) का गुणज है(a) is a multiple of (5)
\(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। / \(5\mid a\) means (a) is divisible by (5).
विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। / Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है। / This form helps prove divisibility of (b) next.
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A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
\(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
(5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। / Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें। / Apply the prime-factor rule carefully.
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A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).
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In the proof of \(\sqrt{5}\), what correct conclusion follows from \(25k^2=5b^2\)?
A. \(b^2=5k^2\)
\(25k^2=5b^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। / Divide both sides of \(25k^2=5b^2\) by (5).
\(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\) मिलेगा। / We get \(5k^2=b^2\), that is \(b^2=5k^2\).
इससे (b) के (5) से विभाज्य होने की राह मिलती है। / This helps show that (b) is divisible by (5).
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In the proof of \(\sqrt{5}\), what is the correct first conclusion from \(a^2=5b^2\)?
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है\(a^2\) is divisible by (5)
समीकरण में दाईं ओर \(5b^2\) है। / The right side of the equation is \(5b^2\).
इसलिए बाईं ओर \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Therefore the left side \(a^2\) is also divisible by (5).
पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / First write divisibility of the square, then of the original number.
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If \(a^2=5b^2\), in which form can (a) be written?
A. (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है(a=5k), where (k) is an integer
\(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है और (a=5k) लिखा जा सकता है। / Therefore (a) is also divisible by (5), so (a=5k).
विभाज्यता मिलने पर संख्या को उसी गुणनखंड के रूप में लिखें। / After divisibility, write the number using that factor.
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C. 18
(6a+5b) में शेषफल \(6\times14+5\times19=179\) होगा। / In (6a+5b), the remainder part is \(6\times14+5\times19=179\).
\(179=23\times7+18\), इसलिए शेषफल 18 है। / \(179=23\times7+18\), so the remainder is 18.
कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें। / In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately.
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C. 7
(4a+3b) में शेषफल \(4\times9+3\times13=75\) होगा। / In (4a+3b), the remainder part is \(4\times9+3\times13=75\).
\(75=17\times4+7\), इसलिए शेषफल 7 है। / \(75=17\times4+7\), so the remainder is 7.
कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें। / In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately.
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