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For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\beta=2\). For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
Step 3
Exam Tip
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है।
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Step 1
Concept
The second equation is (3) times the first. Therefore, both lines are coincident.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अनंत हल हैं / There are infinitely many solutions. The second equation is (3) times the first. Therefore, both lines are coincident.
Step 3
Exam Tip
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं।
The second equation is (3) times the first. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अनंत हल / Infinitely many solutions. The second equation is (3) times the first. Therefore, both lines are coincident and have infinitely many solutions.
Step 3
Exam Tip
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं।
For parallel lines, \(\frac{9}{27}=\frac{2}{m}\), so (m=6). Since \(\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}\), the lines are not coincident.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6). For parallel lines, \(\frac{9}{27}=\frac{2}{m}\), so (m=6). Since \(\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}\), the lines are not coincident.
Step 3
Exam Tip
समांतर के लिए \(\frac{9}{27}=\frac{2}{m}\), इसलिए (m=6)। क्योंकि \(\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}\), रेखाएं संपाती नहीं हैं।
We get (\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), so the power \(-\frac{1}{3}\) gives its reciprocal \(\frac{2xy^{2}}{3}\). In exams, treat the negative fractional power as a reciprocal after rooting.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2xy^{2}}{3}\). We get (\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), so the power \(-\frac{1}{3}\) gives its reciprocal \(\frac{2xy^{2}}{3}\). In exams, treat the negative fractional power as a reciprocal after rooting.
Step 3
Exam Tip
(\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), इसलिए \(-\frac{1}{3}\) घात देने पर उसका व्युत्क्रम \(\frac{2xy^{2}}{3}\) है। परीक्षा में भिन्न घात के बाद ऋणात्मक संकेत को व्युत्क्रम मानें।
\(\alpha+\beta=27\) and \(\alpha\beta=180\), so (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (369). \(\alpha+\beta=27\) and \(\alpha\beta=180\), so (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=27\) और \(\alpha\beta=180\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें।
The first equation has roots \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{3}{2}\). The first equation has roots \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\), and the second has roots \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
Step 3
Exam Tip
पहले समीकरण के मूल \(\frac{3}{2},\frac{5}{3}\) और दूसरे के मूल \(\frac{3}{2},\frac{6}{5}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें।
(18x-2-27x+10=(3x-2)(6x-5)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{5}{6}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{2}{3},\frac{5}{6}\). (18x-2-27x+10=(3x-2)(6x-5)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{5}{6}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
Step 3
Exam Tip
(18x-2-27x+10=(3x-2)(6x-5)), इसलिए मूल \(\frac{2}{3}\) और \(\frac{5}{6}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें।
Here (ac=180) and (-15+(-12)=-27), so the correct split is (-15x-12x). In exams, match both sum (b) and product (ac).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(18x^2-15x-12x+10=0\). Here (ac=180) and (-15+(-12)=-27), so the correct split is (-15x-12x). In exams, match both sum (b) and product (ac).
Step 3
Exam Tip
यहां (ac=180) और (-15+(-12)=-27), इसलिए सही विभाजन (-15x-12x) है। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (ac) दोनों मिलाएं।
\(9\div3=3\), \(6\div3=2\), and \(3\div3=1\), so the cube root is \(2^3\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
In a perfect cube, all exponents are multiples of (3). चरण 1: घनमूल लेते समय हर अभाज्य घात को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(9\div3=3\), \(6\div3=2\), और \(3\div3=1\), इसलिए घनमूल \(2^3\times3^2\times7\) है। चरण 3: पूर्ण घन में सभी घातें (3) की गुणज होती हैं।
Different values on faces make cube appear solid. Exam tip: keep face values different in cube.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सतह दिशा और आयतन / Plane direction and volume. Different values on faces make cube appear solid. Exam tip: keep face values different in cube.
Step 3
Exam Tip
अलग सतहों पर अलग मान घन को ठोस दिखाते हैं। परीक्षा में घन में सतहों का मान अलग रखें।
A. सतह दिशा और सामग्री दोनों असंगत लगेंगे/Surface direction and material will look inconsistent
Step 1
Concept
Texture follows surface direction. Exam tip: connect texture direction with form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सतह दिशा और सामग्री दोनों असंगत लगेंगे / Surface direction and material will look inconsistent. Texture follows surface direction. Exam tip: connect texture direction with form.
Step 3
Exam Tip
बनावट सतह की दिशा का पालन करती है। परीक्षा में texture direction को form से जोड़ें।
C. प्रकाश दिशा और सतह विभाजन/Light direction and face separation
Step 1
Concept
Different cube faces become clear through different values. Exam tip: observe planes and light source in cube.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. प्रकाश दिशा और सतह विभाजन / Light direction and face separation. Different cube faces become clear through different values. Exam tip: observe planes and light source in cube.
Step 3
Exam Tip
घन की अलग सतहें अलग मान से स्पष्ट होती हैं। परीक्षा में cube में planes और light source देखें।
B. रूप का प्रकाश तर्क कमजोर होगा/Light logic of form will be weak
Step 1
Concept
Correct value is necessary along with correct edges. Exam tip: observe both structure and light in form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रूप का प्रकाश तर्क कमजोर होगा / Light logic of form will be weak. Correct value is necessary along with correct edges. Exam tip: observe both structure and light in form.
Step 3
Exam Tip
सही किनारे के साथ सही मान भी जरूरी है। परीक्षा में form में structure और light दोनों देखें।
C. सतहों की दिशा और गहराई स्पष्ट नहीं होगी/Direction of faces and depth will not be clear
Step 1
Concept
Different values on cube faces create three-dimensional effect. Exam tip: value variation is necessary in cube shading.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सतहों की दिशा और गहराई स्पष्ट नहीं होगी / Direction of faces and depth will not be clear. Different values on cube faces create three-dimensional effect. Exam tip: value variation is necessary in cube shading.
Step 3
Exam Tip
घन में अलग सतहों पर अलग मान से त्रि आयामी प्रभाव बनता है। परीक्षा में cube shading में value variation जरूरी है।
Cylinder has gradual value and cube has separate values on faces. Exam tip: shade according to surface type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मान बदलाव की शैली / Style of value change. Cylinder has gradual value and cube has separate values on faces. Exam tip: shade according to surface type.
Step 3
Exam Tip
बेलन में मान क्रमिक और घन में सतहों पर अलग अलग होता है। परीक्षा में surface type के अनुसार shading करें।
A. क्योंकि घन की सतहें सपाट और गोले की सतह वक्र होती है/Because cube has flat faces and sphere has curved surface
Step 1
Concept
Value changes according to surface type. Exam tip: remember difference between flat and curved surface.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि घन की सतहें सपाट और गोले की सतह वक्र होती है / Because cube has flat faces and sphere has curved surface. Value changes according to surface type. Exam tip: remember difference between flat and curved surface.
Step 3
Exam Tip
सतह के प्रकार के अनुसार मान बदलता है। परीक्षा में flat और curved surface का अंतर याद रखें।
A. सतहों की दिशा और प्रकाश दिखाने के लिए/To show direction of faces and light
Step 1
Concept
Different values separate the faces of a cube. Exam tip: remember light direction in cube shading.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सतहों की दिशा और प्रकाश दिखाने के लिए / To show direction of faces and light. Different values separate the faces of a cube. Exam tip: remember light direction in cube shading.
Step 3
Exam Tip
अलग मान घन की सतहों को अलग दिखाते हैं। परीक्षा में cube shading में प्रकाश दिशा याद रखें।
Perspective gives depth and value shows surfaces. Exam tip: remember both in cube drawing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिप्रेक्ष्य और मान / Perspective and value. Perspective gives depth and value shows surfaces. Exam tip: remember both in cube drawing.
Step 3
Exam Tip
परिप्रेक्ष्य गहराई देता है और मान सतहें दिखाता है। परीक्षा में cube drawing में दोनों याद रखें।
Different values show different faces of a cube. Exam tip: remember light side and dark side in cube.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. त्रि आयामी प्रभाव / Three-dimensional effect. Different values show different faces of a cube. Exam tip: remember light side and dark side in cube.
Step 3
Exam Tip
अलग मान घन की अलग सतहें दिखाते हैं। परीक्षा में घन में उजले और गहरे भाग याद रखें।
C. क्योंकि उसमें लंबाई चौड़ाई और गहराई होती है/Because it has length width and depth
Step 1
Concept
A cube is a three-dimensional form because it has depth. Exam tip: remember three dimensions of form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि उसमें लंबाई चौड़ाई और गहराई होती है / Because it has length width and depth. A cube is a three-dimensional form because it has depth. Exam tip: remember three dimensions of form.
Step 3
Exam Tip
घन त्रि आयामी रूप है क्योंकि उसमें गहराई होती है। परीक्षा में form के तीन आयाम याद रखें।
Sphere and cube are three-dimensional forms. Exam tip: call objects with volume forms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में गहराई होती है / Both have depth. Sphere and cube are three-dimensional forms. Exam tip: call objects with volume forms.
Step 3
Exam Tip
गोला और घन त्रि आयामी रूप हैं। परीक्षा में आयतन वाली वस्तु को रूप कहें।
In cube roots, bases stay the same and only exponents change. चरण 1: घनमूल में अभाज्य घातों को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(2^9\) से \(2^3\) और \(3^3\) से (3) मिलेगा। चरण 3: घनमूल में आधार वही रहता है, केवल घात बदलती है।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) needs one (2) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs one (3) to become \(3^3\). So the multiplier is \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
Raise each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2 \times 3=6\) है। चरण 3: हर घात को अगली (3) की गुणज तक पहुंचाएं।
In cube roots, bases remain the same and only exponents change. चरण 1: घनमूल में अभाज्य घातों को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(2^6\) से \(2^2\) और \(3^3\) से (3) मिलेगा। चरण 3: घनमूल में आधार वही रहता है, केवल घात बदलती है।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) needs \(2^2\) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs (3) to become \(3^3\). The least multiplier is (12).
Step 3
Exam Tip
Since (12) is not in the options, the listed choices contain an error. चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) को \(2^6\) बनाने के लिए \(2^2\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2^2 \times 3=12\) होना चाहिए। चरण 3: दिए विकल्पों में (12) नहीं है, इसलिए यदि विकल्पों को सही मानना हो तो प्रश्न त्रुटिपूर्ण होगा।
In a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^2\) into \(2^3\) and \(3^2\) into \(3^3\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a cube, exponents should be like (3,6,9). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) को \(2^3\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण घन में घातें (3,6,9) जैसी होनी चाहिए।
In a perfect cube, exponents must be multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) must become \(2^3\), and \(3^5\) must become \(3^6\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest cube multiple, move each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) को \(2^3\) और \(3^5\) को \(3^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा पूर्ण घन गुणज पाने के लिए अगली (3) की गुणज घात लें।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^6\) is fine, but \(3^2\) needs one more (3) to become \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
For cubes, make exponents multiples of (3). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^6\) ठीक है क्योंकि (6), (3) की गुणज है; \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए एक (3) और चाहिए। चरण 3: पूर्ण घन के लिए घातों को (3,6,9) जैसे गुणज बनाएं।
After division, remaining exponents must be multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Remove \(2^2\), remove (3) from \(3^4\), and remove \(5^2\) from \(5^5\).
Step 3
Exam Tip
Reduce each exponent to the nearest lower multiple of (3). चरण 1: भाग देने के बाद बची घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) को हटाना होगा, \(3^4\) से (3) हटाकर \(3^3\) रहेगा, और \(5^5\) से \(5^2\) हटाकर \(5^3\) रहेगा। चरण 3: नीचे की नजदीकी (3) की गुणज तक घात घटाएं।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
Powers of 5 and 7 are 1, so multiply by \(5^2\times7^2=1225\). चरण 1: \(60480=2^6\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 और 7 की घात 1 है, इसलिए \(5^2\times7^2=1225\) से गुणा करना होगा।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 3
Exam Tip
We need (2), \(5^2\), and \(7^2\), so the smallest multiplier is \(2\times25\times49=2450\). चरण 1: \(30240=2^5\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 3: (2), \(5^2\) और \(7^2\) चाहिए; इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times25\times49=2450\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2^2\times5^2\times7^2=2450\) makes the powers 6, 3, 3, and 3. चरण 1: \(15120=2^4\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 3: \(2^2\times5^2\times7^2=2450\) से गुणा करने पर घातें 6, 3, 3 और 3 हो जाएंगी।
For a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
The powers of 5 and 7 are 1, so multiply by \(5^2\times7^2=1225\). चरण 1: \(7560=2^3\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 और 7 की घात 1 है, इसलिए \(5^2\times7^2=1225\) से गुणा करना होगा।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
The exponent of 5 is 2, so one more 5 is needed; the smallest number is 5. चरण 1: \(5400=54\times100=2^3\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 की घात 2 है, इसलिए एक 5 और चाहिए; सबसे छोटी संख्या 5 है।
For a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
The exponent of 5 is 2, so one more 5 is needed; the smallest number is 5. चरण 1: \(5400=54\times100=2^3\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर अभाज्य घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 की घात 2 है, इसलिए एक 5 और चाहिए; सबसे छोटी संख्या 5 है।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(6^3=216\) देखें। चरण 2: \(216=13\times16+8\), इसलिए शेषफल 8 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
In power questions, reduce remainders repeatedly to keep the calculation simple. चरण 1: घन के लिए \(11^3=1331\) देखें। चरण 2: \(1331=18\times73+17\), इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को बार-बार छोटा करके गणना सरल रखें।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=11\times11+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
In power questions, reduce remainders along the way to keep calculations short. चरण 1: घन के लिए \(7^3=343\) देखें। चरण 2: \(343=15\times22+13\), इसलिए शेषफल 13 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना छोटी रखें।
In powers, working with the small remainder avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(4^3=64\) देखें। चरण 2: \(64=9\times7+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
In power questions, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=12\times10+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
In higher powers, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=7\times17+6\), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: बड़ी घात में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
In power questions, use the smaller remainder instead of the full number. चरण 1: घन के लिए \(3^3=27\) लें। चरण 2: 27 को 10 से भाग देने पर शेषफल 7 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में संख्या की जगह उसके छोटे शेषफल का उपयोग करें।
In powers, first raise the small remainder to the power. चरण 1: घन के लिए \(2^3=8\) देखें। चरण 2: \(8=5\times1+3\), इसलिए घन का शेषफल 3 है। चरण 3: घातों में पहले छोटे शेषफल की घात निकालें।
In power questions, keep the calculation small by using the remainder. चरण 1: घन का शेषफल \(3^3=27\) से मिलेगा। चरण 2: \(27=8\times3+3\), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें।
In powers, keep the calculation small by using the remainder. चरण 1: घन के लिए शेषफल \(2^3=8\) पर काम करें। चरण 2: \(8=6\times1+2\), इसलिए घन का शेषफल 2 है। चरण 3: घातों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें।
(9) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{9}\) is irrational. Identifying perfect cubes is important in cube roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अपरिमेय है / It is irrational. (9) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{9}\) is irrational. Identifying perfect cubes is important in cube roots.
Step 3
Exam Tip
(9) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{9}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानना जरूरी है।
(4) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{4}\) is irrational. Identify perfect cubes in cube roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अपरिमेय है / It is irrational. (4) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{4}\) is irrational. Identify perfect cubes in cube roots.
Step 3
Exam Tip
(4) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{4}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानें।
Reducing 10 to 9, 8 to 6, 5 to 3, and 4 to 3 is the smallest way.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the divisor is \(2\times3^2\times5^2\times11\). चरण 1: पूर्ण घन में घातें 3 के गुणज होती हैं। चरण 2: 10 को 9, 8 को 6, 5 को 3 और 4 को 3 तक घटाना सबसे छोटा तरीका है। चरण 3: इसलिए भाजक \(2\times3^2\times5^2\times11\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 4, 2, and 7 must become 6, 6, 3, and 9.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 4 को 6, 2 को 3 और 7 को 9 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\times7^2\) है।
For a perfect cube, exponents should be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reducing 10 to 9, 8 to 6, 5 to 3, and 4 to 3 is the smallest way.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the divisor is \(2\times3^2\times5^2\times7\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज चाहिए। चरण 2: 10 को 9, 8 को 6, 5 को 3 और 4 को 3 तक घटाना सबसे छोटा तरीका है। चरण 3: इसलिए भाजक \(2\times3^2\times5^2\times7\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 7, 4, and 2 must become 6, 9, 6, and 3.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\times13\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 7 को 9, 4 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\times13\) है।
Division reduces exponents, and a perfect cube needs remaining exponents as multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Divide \(2^4\) by (2), \(3^5\) by \(3^2\), and \(11^2\) by \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
In division questions, reduce each exponent to the nearest lower multiple of (3). चरण 1: भाग देने पर घातें घटती हैं और पूर्ण घन के लिए बची घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) से \(2^3\) बचाने के लिए (2), \(3^5\) से \(3^3\) बचाने के लिए \(3^2\), और \(11^2\) से \(11^0\) बचाने के लिए \(11^2\) से भाग दें। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में घात को नीचे की (3) की गुणज तक घटाएं।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) needs one more (2), \(3^2\) needs one more (3), and \(7^1\) needs \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2), \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3), और \(7^1\) को \(7^3\) बनाने के लिए \(7^2\) चाहिए। चरण 3: घातों को अगली (3) की गुणज तक पूरा करें।
For a perfect cube, exponents should be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reducing 8 to 6, 7 to 6, and 4 to 3 is the smallest way.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the divisor is \(2^2\times3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज चाहिए। चरण 2: 8 को 6, 7 को 6 और 4 को 3 तक घटाना सबसे छोटा तरीका है। चरण 3: इसलिए भाजक \(2^2\times3\times5\) होगा।
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन में घातें 3 के गुणज होती हैं। चरण 2: 2 की घात 5 को 6, 3 की घात 4 को 6, 5 की घात 2 को 3 और 7 की घात 1 को 3 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\times7^2\) है।
For a perfect cube, exponents should be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce 8 to 6, 5 to 3, 4 to 3, and 2 to 0 for the smallest divisor.
Step 3
Exam Tip
So the divisor is \(2^2\times3^2\times5\times11^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज चाहिए। चरण 2: 8 को 6, 5 को 3, 4 को 3 और 2 को 0 तक घटाना सबसे छोटा तरीका है। चरण 3: इसलिए भाजक \(2^2\times3^2\times5\times11^2\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 4, 2, and 1 must become 6, 3, and 3 respectively.
Step 3
Exam Tip
The multiplier is \(2^2\times3\times7^2=588\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 4 को 6, 3 की घात 2 को 3 और 7 की घात 1 को 3 बनाना होगा। चरण 3: गुणक \(2^2\times3\times7^2=588\) होगा।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^{12}\) is suitable, while \(3^{11}\) and \(5^8\) must be reduced to \(3^9\) and \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(3^2\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{12}\) ठीक है, \(3^{11}\) को \(3^9\) और \(5^8\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(3^2\times5^2\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^{12}\) is already suitable, while \(3^8\) and \(5^5\) must become \(3^9\) and \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{12}\) पहले से ठीक है, \(3^8\) को \(3^9\) और \(5^5\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(3\times5\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make 11 to 12, 8 to 9, 5 to 6, and 2 to 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the smallest multiplier is \(2\times3\times5\times7\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 11 को 12, 8 को 9, 5 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times3\times5\times7\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^{11}\) to \(2^9\), \(3^{10}\) to \(3^9\), and \(5^7\) to \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(2^2\times3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{11}\) को \(2^9\), \(3^{10}\) को \(3^9\), और \(5^7\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(2^2\times3\times5\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Make \(2^{11}\), \(3^7\), and \(5^4\) into powers 12, 9, and 6.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{11}\) को \(2^{12}\), \(3^7\) को \(3^9\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\) है।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make 10 to 12, 8 to 9, 5 to 6, and 1 to 3.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 10 को 12, 8 को 9, 5 को 6 और 1 को 3 बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5\times7^2\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^{10}\) to \(2^9\) by dividing by 2, and \(3^8\) to \(3^6\) by dividing by \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
The smallest divisor is \(2\times3^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{10}\) को \(2^9\) बनाने के लिए 2 से और \(3^8\) को \(3^6\) बनाने के लिए \(3^2\) से भाग दें। चरण 3: सबसे छोटा भाजक \(2\times3^2\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Make \(2^{10}\), \(3^5\), and \(5^4\) into powers 12, 6, and 6.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2^2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^{10}\) को \(2^{12}\), \(3^5\) को \(3^6\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5^2\) है।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make 8 to 9, 7 to 9, 4 to 6, and 2 to 3.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\times7\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 8 को 9, 7 को 9, 4 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\times7\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^8\) to \(2^6\) by dividing by \(2^2\), and reduce \(3^5\) to \(3^3\) by dividing by \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(2^2\times3^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^8\) को \(2^6\) बनाने के लिए \(2^2\) से और \(3^5\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(3^2\) से भाग देना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(2^2\times3^2\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make \(2^8\), \(3^4\), and \(5^2\) into powers 9, 6, and 3.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^8\) को \(2^9\), \(3^4\) को \(3^6\), और \(5^2\) को \(5^3\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\) है।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make \(2^7\), \(3^5\), and \(5^4\) into powers 9, 6, and 6.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^7\) को \(2^9\), \(3^5\) को \(3^6\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5^2\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^5\) to \(2^3\) by dividing by \(2^2\), and reduce \(3^4\) to \(3^3\) by dividing by 3.
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(2^2\times3\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^3\) बनाने के लिए \(2^2\) से और \(3^4\) को \(3^3\) बनाने के लिए 3 से भाग देना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(2^2\times3\) है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make \(2^7\), \(3^5\), and \(5^4\) into powers 9, 6, and 6.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^7\) को \(2^9\), \(3^5\) को \(3^6\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5^2\) है।
For a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We need (2), \(3^2\), and (5) to make the powers 6, 9, and 3.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 5 को 6 बनाने के लिए 2, 3 की घात 7 को 9 बनाने के लिए \(3^2\), और 5 की घात 2 को 3 बनाने के लिए 5 चाहिए। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\) है।
In a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) and \(3^5\) cause the issue; reduce them to 0 and 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2^2\times3^2\) gives exponents (0,3,3). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) और \(3^5\) समस्या देते हैं; इन्हें घटाकर क्रमशः 0 और 3 करना होगा। चरण 3: इसलिए \(2^2\times3^2\) से भाग देने पर घातें (0,3,3) बनेंगी।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We need (2), (3), and \(5^2\) to make the powers (6,3,6).
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए 2, \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए 3, और \(5^4\) को \(5^6\) बनाने के लिए \(5^2\) चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3\times5^2\) है।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
To make powers (4,5,2) into (6,6,3), we need \(2^2\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 4 को 6 बनाने के लिए \(2^2\), 3 की घात 5 को 6 बनाने के लिए (3), और 5 की घात 2 को 3 बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5\) है।
Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\). Thus \(\alpha^3+\beta^3=27-\frac{45}{4}=\frac{63}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{63}{4}\). Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\). Thus \(\alpha^3+\beta^3=27-\frac{45}{4}=\frac{63}{4}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\) है। \(\alpha^3+\beta^3=27-\frac{45}{4}=\frac{63}{4}\)।
Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{63}{4}\), so none of the options is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{81}{8}\). Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{63}{4}\), so none of the options is correct.
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=\frac{5}{4}\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=\frac{63}{4}), इसलिए विकल्पों में कोई सही नहीं है।
Here \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{224}{27}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{224}{27}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{224}{27}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{8}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{4}{3}\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) से \(\frac{224}{27}\) मिलता है।
Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{35}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{35}{8}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get \(\frac{35}{8}\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) से \(\frac{35}{8}\) मिलता है।
Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=m\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get (m=8).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=m\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get (m=8).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=m\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) से (m=8) मिलता है।
