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दो आयतों में प्रत्येक का क्षेत्रफल (5x) है इसलिए कुल (10x) होगा। परीक्षा में मध्य पद को दो बराबर आयतों का योग मानें। / Each rectangle has area (5x), so the total is (10x). Exam tip: treat the middle term as the sum of two equal rectangles.
यहां (a=7) और (b=3), इसलिए पूरा क्षेत्रफल ((7+3)2=100) है। परीक्षा में वर्गफल से भुजा पहचानें। / Here (a=7) and (b=3), so the whole area is ((7+3)2=100). Exam tip: identify the side from the square area.
\(49=7^2\) और \(14x=2\cdot7x\) है। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल लेकर छोटे वर्ग की भुजा पाएं। / \(49=7^2\) and \(14x=2\cdot7x\). Exam tip: take the square root of the constant term to find the small square side.
हटाए गए मॉडल से (p-2-q-2=(p-q)(p+q)) बनता है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को आयत के क्षेत्रफल से जोड़ें। / The removed-square model gives (p-2-q-2=(p-q)(p+q)). Exam tip: connect difference of squares with rectangle area.
\(16=4^2\) और \(-8x=-2\cdot4x\) है इसलिए भुजा (x-4) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद को घटाव वाला मॉडल समझें। / \(16=4^2\) and \(-8x=-2\cdot4x\), so the side is (x-4). Exam tip: read the negative middle term as a subtraction model.
दो हटे आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot40\cdot2=160\) है। परीक्षा में ((a-b)2) में (2ab) घटता है। / The total area of the two removed rectangles is \(2\cdot40\cdot2=160\). Exam tip: in ((a-b)2), (2ab) is subtracted.
((x+6)(x-2)=x-2-2x+6x-12=x-2+4x-12) है। परीक्षा में धन और ऋण क्षेत्रों के चिह्न संभालें। / ((x+6)(x-2)=x-2-2x+6x-12=x-2+4x-12). Exam tip: handle positive and negative area signs carefully.
ग्रिड में \(x\cdot x\), (x\cdot(-3)), \(7\cdot x\), और (7\cdot(-3)) मिलते हैं। परीक्षा में प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का गुणन करें। / The grid gives \(x\cdot x\), (x\cdot(-3)), \(7\cdot x\), and (7\cdot(-3)). Exam tip: multiply each row and column.
(4x-2=(2x)2), \(9=3^2\), और मध्य पद \(2\cdot2x\cdot3=12x\) है। परीक्षा में दोनों वर्ग पदों की भुजाएं मिलाएं। / (4x-2=(2x)2), \(9=3^2\), and the middle term is \(2\cdot2x\cdot3=12x\). Exam tip: combine the sides from both square terms.
(9a-2=(3a)2) और (16b-2=(4b)2), मध्य पद ऋण है इसलिए ((3a-4b)2) होगा। परीक्षा में संकेत से जोड़ या घटाव तय करें। / (9a-2=(3a)2) and (16b-2=(4b)2); the middle term is negative, so it is ((3a-4b)2). Exam tip: use the sign to decide addition or subtraction.
ग्रिड में (ab) और (ba) दो समान आयत होते हैं। इसलिए संबंधित कुल क्षेत्रफल (2ab) है। / The grid contains two equal rectangles (ab) and (ba). Therefore the related total area is (2ab).
दो बराबर आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot2x\cdot5=20x\) है। परीक्षा में मध्य पद में (2) का गुणक न भूलें। / The total area of two equal rectangles is \(2\cdot2x\cdot5=20x\). Exam tip: do not forget the factor (2) in the middle term.
(6x) को दो (3x) आयतों में बांटते हैं इसलिए कोना \(3^2=9\) होगा। परीक्षा में मध्य पद का आधा लेकर उसका वर्ग करें। / Split (6x) into two (3x) rectangles, so the corner is \(3^2=9\). Exam tip: take half of the middle coefficient and square it.
(-10x) का आधा (-5x) है और कोने का क्षेत्रफल \(5^2=25\) होगा। परीक्षा में चिह्न अलग रखें और वर्ग धनात्मक लें। / Half of (-10x) is (-5x), and the corner area is \(5^2=25\). Exam tip: keep the sign separate and take the square as positive.
दोनों छायांकित आयतों का क्षेत्रफल (ab+ab=2ab) है। परीक्षा में समान आयतों को गिनकर जोड़ें। / The two shaded rectangles have area (ab+ab=2ab). Exam tip: count equal rectangles and add them.
A. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अंतर लेकर चार (ab) आयत बचाना/Taking the difference of two square areas and leaving four (ab) rectangles
Explanation
Simple Explanation
दोनों वर्गों के क्षेत्रफल घटाने पर चार (ab) क्षेत्र बनते हैं। परीक्षा में अंतर वाले मॉडल में बचे भाग पहचानें। / Subtracting the two square areas leaves four (ab) regions. Exam tip: identify the remaining parts in a difference model.
((30-3)(30+3)=302-32=900-9=891) है। परीक्षा में निकट मध्य संख्या का वर्ग लें। / ((30-3)(30+3)=302-32=900-9=891). Exam tip: use the square of the nearby middle number.
यह ((2x+3)(2x-3)) है इसलिए \(4x^2-9\) मिलता है। परीक्षा में योग और अंतर का गुणन पहचानें। / This is ((2x+3)(2x-3)), so it gives \(4x^2-9\). Exam tip: identify the product of sum and difference.
मध्य भाग \(2\cdot3x\cdot2=12x\) है। परीक्षा में गुणांक सहित भुजा का प्रयोग करें। / The middle part is \(2\cdot3x\cdot2=12x\). Exam tip: use the side along with its coefficient.
(25x-2=(5x)2), \(9=3^2\), और मध्य पद \(-2\cdot5x\cdot3=-30x\) है। परीक्षा में वर्ग पदों की जड़ें लेकर संकेत मिलाएं। / (25x-2=(5x)2), \(9=3^2\), and the middle term is \(-2\cdot5x\cdot3=-30x\). Exam tip: take roots of square terms and match the sign.
क्रॉस क्षेत्र (ab,ba,ac,ca,bc,cb) हैं, कुल (6) आयत बनते हैं। परीक्षा में विकर्ण के बाहर के खंड गिनें। / The cross regions are (ab,ba,ac,ca,bc,cb), making (6) rectangles. Exam tip: count the off-diagonal sections.
तीन वर्ग और छह क्रॉस आयत मिलकर \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) देते हैं। परीक्षा में समान जोड़ों को (2) से गुणा करें। / Three squares and six cross rectangles give \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\). Exam tip: multiply equal pairs by (2).
((-5)+(-8)=-13) और ((-5)(-8)=40) है। परीक्षा में ऋण आयतों के साथ स्थिर पद धनात्मक हो सकता है। / ((-5)+(-8)=-13) and ((-5)(-8)=40). Exam tip: with negative rectangles, the constant term can be positive.
(-6+4=-2) और \(-6\cdot4=-24\) है। परीक्षा में स्थिर पद के विपरीत चिह्न वाले कारक खोजें। / (-6+4=-2) and \(-6\cdot4=-24\). Exam tip: find factors of the constant term with opposite signs.
(122-52=(12-5)(12+5)=7\cdot17) है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग के साथ योग और अंतर बनाएं। / (122-52=(12-5)(12+5)=7\cdot17). Exam tip: form sum and difference with the removed square.
(64x-2=(8x)2) और (81y-2=(9y)2) है। इसलिए अंतर का गुणनखंड ((8x-9y)(8x+9y)) है। / (64x-2=(8x)2) and (81y-2=(9y)2). So the factorisation is ((8x-9y)(8x+9y)).
(16a-2=(4a)2), (25b-2=(5b)2), और \(2\cdot4a\cdot5b=40ab\) है। परीक्षा में वर्ग पदों से भुजाएं बनाएं। / (16a-2=(4a)2), (25b-2=(5b)2), and \(2\cdot4a\cdot5b=40ab\). Exam tip: make sides from square terms.
स्थिर वर्ग की भुजा (4) है इसलिए उसका क्षेत्रफल \(4^2=16\) होगा। परीक्षा में छोटे कोने का वर्ग अलग देखें। / The constant square has side (4), so its area is \(4^2=16\). Exam tip: observe the small corner square separately.
पूरा क्षेत्रफल \(x^2+2xy+y^2\) है इसलिए (50+48=98) होगा। परीक्षा में सभी दृश्य भागों का योग करें। / The whole area is \(x^2+2xy+y^2\), so it is (50+48=98). Exam tip: add all visible parts.
छोटे वर्ग की भुजा (6) है इसलिए वापस जोड़ा क्षेत्रफल \(6^2=36\) है। परीक्षा में दो बार हटे कोने को एक बार जोड़ना याद रखें। / The small square has side (6), so the added-back area is \(6^2=36\). Exam tip: remember to add once the corner removed twice.
A. भुजा (x+y) वाले वर्ग से भुजा (z) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (z) from a square of side (x+y)
Explanation
Simple Explanation
पहले (x-2+2xy+y-2=(x+y)2) है और फिर \(z^2\) घटता है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / First (x-2+2xy+y-2=(x+y)2), then \(z^2\) is subtracted. Exam tip: identify the perfect square first.
(a-2+6a+9=(a+3)2) है और उससे \(b^2\) घटता है। इसलिए अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / (a-2+6a+9=(a+3)2) and \(b^2\) is subtracted from it. So use difference of squares.
((2x+3)(x+1)=2x-2+2x+3x+3=2x-2+5x+3) नहीं, लेकिन ((2x+1)(x+3)=2x-2+6x+x+3=2x-2+7x+3) है। परीक्षा में सभी विकल्प फैलाकर जांचें। / ((2x+3)(x+1)=2x-2+5x+3) is not correct, but ((2x+1)(x+3)=2x-2+7x+3) is correct. Exam tip: expand all options to check.
((2x+1)(x+3)=2x-2+6x+x+3=2x-2+7x+3) है। परीक्षा में मध्य पद को दो भागों में तोड़ें। / ((2x+1)(x+3)=2x-2+6x+x+3=2x-2+7x+3). Exam tip: split the middle term into two parts.
((2x+3)(3x+4)=6x-2+8x+9x+12=6x-2+17x+12) है। परीक्षा में क्रॉस क्षेत्र (8x) और (9x) जोड़ें। / ((2x+3)(3x+4)=6x-2+8x+9x+12=6x-2+17x+12). Exam tip: add the cross areas (8x) and (9x).
(7+(-5)=2) और (7\cdot(-5)=-35) है। परीक्षा में विपरीत चिह्न वाले कारकों का योग देखें। / (7+(-5)=2) and (7\cdot(-5)=-35). Exam tip: check the sum of opposite-sign factors.
((x+2)(x-2)=x-2-22=x-2-4) है। परीक्षा में \(b^2\) को संख्या के वर्ग से पहचानें। / ((x+2)(x-2)=x-2-22=x-2-4). Exam tip: identify \(b^2\) from the square of the number.
(81-18x+x-2=x-2-18x+81=(x-9)2), जो (9-x) के वर्ग के बराबर है। परीक्षा में पदों को क्रम में रखकर देखें। / (81-18x+x-2=x-2-18x+81=(x-9)2), equal to the square of (9-x). Exam tip: arrange terms in order first.
(4x-2=(2x)2) और \(49=7^2\), इसलिए मध्य पद \(2\cdot2x\cdot7=28x\) है। परीक्षा में दोनों भुजाओं का दुगुना गुणन करें। / (4x-2=(2x)2) and \(49=7^2\), so the middle term is \(2\cdot2x\cdot7=28x\). Exam tip: multiply twice the two sides.
मध्य क्षेत्रफल \(2\cdot2a\cdot3b=12ab\) है। परीक्षा में गुणांक को आयतों की भुजाओं में शामिल करें। / The middle area is \(2\cdot2a\cdot3b=12ab\). Exam tip: include coefficients in the rectangle sides.
((5a-2b)2=25a-2-2\cdot5a\cdot2b+4b-2) है। परीक्षा में मध्य पद में दुगुना गुणन करें। / ((5a-2b)2=25a-2-2\cdot5a\cdot2b+4b-2). Exam tip: multiply twice for the middle term.
B. भुजा (a) वाले वर्ग से भुजा (b) वाला वर्ग हटता है/A square of side (b) is removed from a square of side (a)
Explanation
Simple Explanation
वर्गों का अंतर हटाने वाले मॉडल से बनता है, जोड़ वाले पूरे वर्ग से नहीं। परीक्षा में हटाया गया भाग देखें। / Difference of squares comes from the removal model, not from the full addition square. Exam tip: look for the removed part.
(4+5=9) और \(4\cdot5=20\) है। परीक्षा में योग मध्य पद और गुणन स्थिर पद से मिलाएं। / (4+5=9) and \(4\cdot5=20\). Exam tip: match the sum with the middle term and the product with the constant term.
यह ((x-6)2) है और दो हटे आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot6x=12x\) है। परीक्षा में घटाया गया मध्य क्षेत्र पहचानें। / This is ((x-6)2), and the total area of the two removed rectangles is \(2\cdot6x=12x\). Exam tip: identify the subtracted middle area.
दोनों आयतों का क्षेत्र \(2x\times3=6x\) है इसलिए कुल (12x) होगा। परीक्षा में बीच का पद दो समान आयतों से आता है। / Each rectangle has area \(2x\times3=6x\), so the total is (12x). Exam tip: the middle term comes from two equal rectangles.
(9x-2=(3x)2) और \(4=2^2\), इसलिए भुजा (3x+2) है। परीक्षा में वर्ग पदों की वर्गमूल से बाहरी भुजा पहचानें। / Since (9x-2=(3x)2) and \(4=2^2\), the side is (3x+2). Exam tip: use square roots of square terms to identify the outer side.
A. क्योंकि \(b^2\) दो बार हट गया होता है/Because \(b^2\) has been removed twice
Explanation
Simple Explanation
दो पट्टियां हटाते समय कोने का \(b^2\) भाग दो बार घट जाता है। परीक्षा में अधिक घटे भाग को वापस जोड़ने का विचार याद रखें। / While removing two strips, the corner \(b^2\) part is subtracted twice. Exam tip: remember to add back the over-subtracted part.
B. भुजा (a) के वर्ग से भुजा (b) का वर्ग हटाकर बचा भाग आयत बनाना/Removing a square of side (b) from a square of side (a) and making a rectangle
Explanation
Simple Explanation
बड़े वर्ग से छोटा वर्ग हटाने पर बचा क्षेत्र पुनर्व्यवस्थित होकर ((a+b)(a-b)) आयत बनता है। परीक्षा में अंतर के वर्गों को आयत मॉडल से जोड़ें। / After removing the smaller square from the larger square, the remaining area rearranges into the rectangle ((a+b)(a-b)). Exam tip: link difference of squares with the rectangle model.
C. वे (2xy) और (-2xy) बनकर कट जाते हैं/They become (2xy) and (-2xy) and cancel
Explanation
Simple Explanation
एक आयत (2xy) और दूसरा (-2xy) होता है इसलिए बीच के पद रद्द हो जाते हैं। परीक्षा में संयुग्म गुणन में बीच के पदों का कटना पहचानें। / One rectangle is (2xy) and the other is (-2xy), so the middle terms cancel. Exam tip: identify cancellation in conjugate products.
बीच का कुल पद (10x) है इसलिए प्रत्येक समान आयत (5x) का होगा। परीक्षा में बीच के पद को दो बराबर भागों में बांटें। / The total middle term is (10x), so each equal rectangle has area (5x). Exam tip: split the middle term into two equal parts.
((3p-4)2=(3p)2-2\times3p\times4+42) होता है। परीक्षा में गुणांक सहित वर्ग करें। / ((3p-4)2=(3p)2-2\times3p\times4+42). Exam tip: square the coefficient along with the variable.
(16x-2=(4x)2) और \(25=5^2\), इसलिए आयाम (4x+5) और (4x-5) होंगे। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों की भुजा निकालें। / Since (16x-2=(4x)2) and \(25=5^2\), the dimensions are (4x+5) and (4x-5). Exam tip: first find the side of both squares.
छोटा वर्ग \(a^2=49\) देता है इसलिए (a=7), और (2ax=14x) भी यही बताता है। परीक्षा में दोनों संकेतों से उत्तर मिलाएं। / The small square gives \(a^2=49\), so (a=7), and (2ax=14x) confirms it. Exam tip: match the answer with both clues.
आयत के भाग \(x\times x\), \(x\times8\), \(3\times x\) और \(3\times8\) से बनते हैं। परीक्षा में हर बाहरी भाग का गुणन करें। / The rectangle parts come from \(x\times x\), \(x\times8\), \(3\times x\), and \(3\times8\). Exam tip: multiply each outside part.
A. जब इसे भुजा (x+3) वाले पूर्ण वर्ग में बदला जाए/When it is changed into a complete square of side (x+3)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग मॉडल में (6x) दो बराबर (3x) आयतों में बांटा जाता है। परीक्षा में बीच के पद को दो समान आयतों में देखें। / In a complete square model, (6x) is split into two equal (3x) rectangles. Exam tip: see the middle term as two equal rectangles.
बीच का पद \(2\times5x\times2y=20xy\) है। परीक्षा में दोनों भुजा भागों का दोगुना गुणन करें। / The middle term is \(2\times5x\times2y=20xy\). Exam tip: double the product of the two side parts.
पूर्ण वर्ग को भरने के लिए दो (ab) आयत आवश्यक हैं। परीक्षा में केवल वर्ग पदों से पूरा वर्ग नहीं बनता। / Two (ab) rectangles are needed to complete the square. Exam tip: square terms alone do not form the whole square.
संख्या भाग (-4) और (3) हैं, जिनका गुणन (-12) और (x) पदों का योग (-x) देता है। परीक्षा में चिन्हों के साथ आयत भाग पढ़ें। / The number parts are (-4) and (3), whose product is (-12) and whose (x)-terms sum to (-x). Exam tip: read rectangle parts with signs.
घटाव मॉडल में (b) वाला छोटा वर्ग \(b^2\) धनात्मक रूप से जुड़ता है। परीक्षा में किसी भी पद का वर्ग धनात्मक होता है। / In the subtraction model, the small square from (b) is added positively as \(b^2\). Exam tip: the square of any term is positive.
(81x-2=(9x)2) और (49y-2=(7y)2) है। परीक्षा में वर्गमूल निकालकर ((A+B)(A-B)) लगाएं। / Here (81x-2=(9x)2) and (49y-2=(7y)2). Exam tip: take square roots and use ((A+B)(A-B)).
(x) और (y) के जोड़े से दो समान आयत (xy) बनते हैं। परीक्षा में प्रत्येक अलग जोड़ी के लिए दो आयत गिनें। / The pair (x) and (y) forms two equal (xy) rectangles. Exam tip: count two rectangles for each different pair.
(a) और (b) से बने दो समान आयत होते हैं इसलिए कुल (2ab) है। परीक्षा में जोड़ीदार आयतों को दोगुना करें। / There are two equal rectangles made from (a) and (b), so the total is (2ab). Exam tip: double the paired rectangles.
\(2x\times4=8x\) और \(1\times3x=3x\), इसलिए कुल (11x) है। परीक्षा में क्रॉस आयतों को जोड़ें। / Here \(2x\times4=8x\) and \(1\times3x=3x\), so the total is (11x). Exam tip: add the cross rectangles.
दोनों आयतों का कुल क्षेत्र \(2\times2x\times5=20x\) है। परीक्षा में दोनों आयतों को मिलाकर बीच का पद बनाएं। / The total area of the two rectangles is \(2\times2x\times5=20x\). Exam tip: combine the two rectangles to form the middle term.
A. दो घटाए गए (6x) आयतों से/From two subtracted (6x) rectangles
Explanation
Simple Explanation
दोनों हटाई गई पट्टियों का कुल क्षेत्र (6x+6x=12x) है। परीक्षा में ऋणात्मक बीच का पद हटाए गए आयतों से जोड़ें। / The total area of the two removed strips is (6x+6x=12x). Exam tip: connect the negative middle term with removed rectangles.
A. भुजा (a+b) वाले वर्ग में दो (ab) आयत दिखाई देना/Seeing two (ab) rectangles in a square of side (a+b)
Explanation
Simple Explanation
भुजा (a+b) वाले वर्ग में \(a^2\) और \(b^2\) के साथ दो (ab) भाग भी होते हैं। परीक्षा में बीच का (2ab) कभी न छोड़ें। / A square of side (a+b) has two (ab) parts along with \(a^2\) and \(b^2\). Exam tip: never omit the middle (2ab).
(x-2-16=x-2-42=(x+4)(x-4)) है। परीक्षा में घटे हुए वर्ग की भुजा (4) पहचानें। / (x-2-16=x-2-42=(x+4)(x-4)). Exam tip: identify the side (4) of the removed square.
(18x) को दो (9x) आयतों में बांटते हैं इसलिए \(9^2=81\) जोड़ा जाता है। परीक्षा में (x) के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग करें। / Split (18x) into two (9x) rectangles, so \(9^2=81\) is added. Exam tip: take half the coefficient of (x) and square it.
यह संयुग्म गुणन है इसलिए बीच के पद कटकर ((3x)2-22=9x-2-4) बचता है। परीक्षा में ((A+B)(A-B)) पहचानें। / This is conjugate multiplication, so middle terms cancel and ((3x)2-22=9x-2-4) remains. Exam tip: identify ((A+B)(A-B)).
स्थिर कोना \(5\times(-2)=-10\) से बनता है। परीक्षा में चिन्ह सहित स्थिर भाग गुणा करें। / The constant corner is formed by \(5\times(-2)=-10\). Exam tip: multiply the constant parts with signs.
A. भुजा (2a-3b) वाला वर्ग/Square with side (2a-3b)
Explanation
Simple Explanation
(4a-2=(2a)2), (9b-2=(3b)2) और बीच का पद \(-2\times2a\times3b\) है। परीक्षा में तीनों पदों को पूर्ण वर्ग पैटर्न से मिलाएं। / Here (4a-2=(2a)2), (9b-2=(3b)2), and the middle term is \(-2\times2a\times3b\). Exam tip: match all three terms with the perfect square pattern.
एक (ab) छूटने से बीच का पद (2ab) की जगह (ab) रह जाएगा। परीक्षा में दोनों समान आयत गिनना जरूरी है। / If one (ab) is missed, the middle term becomes (ab) instead of (2ab). Exam tip: count both equal rectangles.
(49x-2=(7x)2), \(4=2^2\) और \(28x=2\times7x\times2\) है। परीक्षा में बीच के पद से पुष्टि करें। / Here (49x-2=(7x)2), \(4=2^2\), and \(28x=2\times7x\times2\). Exam tip: confirm using the middle term.
भाग \(4x^2\), (8x), (3x) और (6) हैं, जिनसे \(4x^2+11x+6\) मिलता है। परीक्षा में समान (x) पद जोड़ें। / The parts are \(4x^2\), (8x), (3x), and (6), giving \(4x^2+11x+6\). Exam tip: add like (x)-terms.
एक ही आकृति का क्षेत्र दो तरीकों से लिखा गया है इसलिए दोनों अभिव्यक्तियां बराबर हैं। परीक्षा में दृश्य प्रमाण में समान क्षेत्र का सिद्धांत याद रखें। / The area of the same figure is written in two ways, so the expressions are equal. Exam tip: remember the same-area principle in visual proofs.
\(9=3^2\) और \(-6x=-2\times x\times3\), इसलिए यह ((x-3)2) है। परीक्षा में ऋणात्मक बीच के पद से घटाव वर्ग पहचानें। / Since \(9=3^2\) and \(-6x=-2\times x\times3\), it is ((x-3)2). Exam tip: identify a subtraction square from the negative middle term.
A. भुजा (x+6) वाले वर्ग का मॉडल/Model of a square with side (x+6)
Explanation
Simple Explanation
(12x) दो (6x) आयतों में बंटता है और कोना \(6^2=36\) होता है। परीक्षा में छोटे वर्ग की भुजा आधे बीच पद से मिलती है। / The (12x) term splits into two (6x) rectangles, and the corner is \(6^2=36\). Exam tip: the small square side comes from half the middle coefficient.
क्षेत्र ((12+5)(12-5)=17\times7=119) है। परीक्षा में सीधे \(12^2-25\) की जगह अंतर के वर्गों का उपयोग करें। / The area is ((12+5)(12-5)=17\times7=119). Exam tip: use difference of squares instead of direct subtraction.
A. क्योंकि बीच की दो (6x) आयतें गायब हैं/Because the two middle (6x) rectangles are missing
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+36\) में \(2\times x\times6\) वाले दो आयत नहीं हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के लिए दोनों बीच आयत जरूरी मानें। / In \(x^2+36\), the two rectangles of \(2\times x\times6\) are missing. Exam tip: both middle rectangles are necessary for a complete square.
स्थिर कोना \((-3)\times(-7)=21\) होता है। परीक्षा में दो ऋणात्मक स्थिर भागों का गुणन धनात्मक होता है। / The constant corner is \((-3)\times(-7)=21\). Exam tip: the product of two negative constant parts is positive.
(25a-2=(5a)2), (9b-2=(3b)2) और \(-30ab=-2\times5a\times3b\) है। परीक्षा में घटाव वाले पूर्ण वर्ग को पहचानें। / Here (25a-2=(5a)2), (9b-2=(3b)2), and \(-30ab=-2\times5a\times3b\). Exam tip: identify the subtraction perfect square.
तीन जोड़े (ab), (bc), (ca) होते हैं और हर जोड़े के दो आयत होते हैं। परीक्षा में (3) जोड़ों को (2) से गुणा करें। / There are three pairs (ab), (bc), (ca), and each pair has two rectangles. Exam tip: multiply (3) pairs by (2).
(4) और (-3) का गुणन (-12) और योग (1) है। परीक्षा में आयत के दो संख्यात्मक भागों का योग और गुणनफल जांचें। / The product of (4) and (-3) is (-12), and their sum is (1). Exam tip: check the sum and product of the two number parts.
((2x+3)(3x+5)) में \(2x\times5=10x\), \(3\times3x=9x\) होता है इसलिए यह नहीं; सही मिलान ((2x+5)(3x+3)) भी कोना (15) देता है पर (6x) और (15x) देता है। इसलिए कोई विकल्प पूर्ण नहीं है। / In ((2x+3)(3x+5)), \(2x\times5=10x\) and \(3\times3x=9x\), so it does not match; ((2x+5)(3x+3)) also gives corner (15) but cross terms (6x) and (15x). Thus no option fully matches.
(4+10=14) और \(4\times10=40\), इसलिए आयाम (x+4) और (x+10) बनते हैं। परीक्षा में योग और गुणनफल दोनों जांचें। / Since (4+10=14) and \(4\times10=40\), the dimensions are (x+4) and (x+10). Exam tip: check both sum and product.
क्रॉस आयत (9x) और (-5x) हैं, जिनका योग (4x) है। परीक्षा में चिन्ह सहित समान पद जोड़ें। / The cross rectangles are (9x) and (-5x), whose sum is (4x). Exam tip: add like terms with signs.
(64x-2=(8x)2), (25y-2=(5y)2) और बीच का पद \(-2\times8x\times5y\) है। परीक्षा में दृश्य वर्ग के दोनों मुख्य भाग पहचानें। / Here (64x-2=(8x)2), (25y-2=(5y)2), and the middle term is \(-2\times8x\times5y\). Exam tip: identify both main side parts of the visual square.
A. दो वर्ग जिनकी भुजाएं (x+4) और (x-4) हैं/Two squares with sides (x+4) and (x-4)
Explanation
Simple Explanation
दो अलग भुजाओं वाले वर्गों के क्षेत्रों का अंतर दिया गया है। परीक्षा में (\(A^2-B^2\)) को ((A+B)(A-B)) से भी देख सकते हैं। / The expression gives the difference between areas of two squares with different sides. Exam tip: also view (\(A^2-B^2\)) as ((A+B)(A-B)).
यह (((x+4)+(x-4))((x+4)-(x-4))=2x\times8=16x) है। परीक्षा में (A+B) और (A-B) अलग-अलग निकालें। / It is (((x+4)+(x-4))((x+4)-(x-4))=2x\times8=16x). Exam tip: find (A+B) and (A-B) separately.
दोनों समान आयतों में प्रत्येक का क्षेत्र (ax) है इसलिए कुल (2ax) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में बीच का पद दोगुना गुणन होता है। / Each of the two equal rectangles has area (ax), so the total is (2ax). Exam tip: the middle term in a perfect square is double product.
वर्ग पद धनात्मक रहते हैं और केवल बीच का \(2\times2x\times3y=12xy\) पद चिन्ह बदलता है। परीक्षा में वर्ग पदों के चिन्ह स्थिर रखें। / The square terms remain positive, and only the middle term \(2\times2x\times3y=12xy\) changes sign. Exam tip: keep square term signs fixed.
(36x-2=(6x)2) और \(1=1^2\), इसलिए आयाम (6x+1) और (6x-1) होंगे। परीक्षा में दोनों वर्गों की भुजाएं पहचानें। / Since (36x-2=(6x)2) and \(1=1^2\), the dimensions are (6x+1) and (6x-1). Exam tip: identify the sides of both squares.
B. उसने दो (2x) आयत छोड़ दिए/The student omitted two (2x) rectangles
Explanation
Simple Explanation
((x+2)2) में \(x^2\), दो (2x) आयत और (4) होते हैं। परीक्षा में दृश्य भागों को पूरा गिनें। / In ((x+2)2), there are \(x^2\), two (2x) rectangles, and (4). Exam tip: count all visual parts completely.
A. पूर्ण वर्ग से केवल दो (5x) आयतों का क्षेत्र बचता है/Only the area of two (5x) rectangles remains from the complete square
Explanation
Simple Explanation
((x+5)2=x-2+10x+25), इसलिए \(x^2+25\) हटाने पर (10x) बचता है। परीक्षा में हटाए गए भागों को सावधानी से घटाएं। / ((x+5)2=x-2+10x+25), so removing \(x^2+25\) leaves (10x). Exam tip: subtract removed parts carefully.
भाग \(4x^2\) और \(9y^2\) से भुजाएँ (2x) और (3y) मिलती हैं। परीक्षा में दोनों वर्ग पदों की भुजाएँ पहले पहचानें। / The parts \(4x^2\) and \(9y^2\) give side parts (2x) and (3y). Exam tip: identify the side parts from both square terms first.
दो पट्टियाँ घटाने के बाद \(b^2\) को वापस जोड़ना पड़ता है। परीक्षा में ओवरलैप वाले भाग को ध्यान से देखें। / After subtracting two strips, \(b^2\) must be added back. Exam tip: watch the overlapping part carefully.
वर्गों का अंतर ((x-b)(x+b)) में बदलता है। परीक्षा में कटकर बने आयत की भुजाएँ अंतर और योग होती हैं। / The difference of squares changes into ((x-b)(x+b)). Exam tip: the rectangle formed by cutting has difference and sum as sides.
यह योग और अंतर का गुणन है इसलिए ((2m)2-52=4m-2-25) होगा। परीक्षा में पूरे (2m) का वर्ग करें। / This is product of sum and difference, so ((2m)2-52=4m-2-25). Exam tip: square the whole (2m).
बीच का कुल पद (18p) है इसलिए प्रत्येक बराबर आयत (9p) होगा। परीक्षा में (2ab) को दो समान आयतों में बाँटें। / The total middle term is (18p), so each equal rectangle is (9p). Exam tip: split (2ab) into two equal rectangles.
बीच का पद \(2\cdot 3a\cdot -2b=-12ab\) है। परीक्षा में घटाव वाले भाग का चिन्ह न भूलें। / The middle term is \(2\cdot 3a\cdot -2b=-12ab\). Exam tip: do not forget the sign of the subtraction part.
छोटे कोने का क्षेत्रफल \(4\cdot 7=28\) है। परीक्षा में स्थिर भागों के गुणन को अलग पहचानें। / The small corner area is \(4\cdot 7=28\). Exam tip: identify the product of constant parts separately.
((x+6)2=x-2+12x+36) है इसलिए (k=12) होगा। परीक्षा में बीच का पद (2ab) से निकालें। / ((x+6)2=x-2+12x+36), so (k=12). Exam tip: get the middle term from (2ab).
आयत की भुजाएँ (a+b=15) और (a-b=7) हैं इसलिए (a=11) और (b=4)। परीक्षा में योग और अंतर से दो संख्याएँ निकालें। / The rectangle sides are (a+b=15) and (a-b=7), so (a=11) and (b=4). Exam tip: find the two numbers from sum and difference.
दोनों आयतों का योग \(2\cdot 2x\cdot 3=12x\) है। परीक्षा में (2x) को एक पूरा भाग मानें। / The sum of the two rectangles is \(2\cdot 2x\cdot 3=12x\). Exam tip: treat (2x) as one complete part.
A. पहला योग के वर्ग से और दूसरा वर्गों के अंतर से जुड़ा है/The first is linked to square of sum and the second to difference of squares
Explanation
Simple Explanation
(a-2+2ab+b-2=(a+b)2) और (a-2-b-2=(a+b)(a-b)) हैं। परीक्षा में मॉडल का प्रकार पहचानें। / (a-2+2ab+b-2=(a+b)2) and (a-2-b-2=(a+b)(a-b)). Exam tip: identify the type of model.
भुजाएँ (3x) और (4) हैं इसलिए घटाव वाला वर्ग ((3x-4)2) है। परीक्षा में बीच का ऋण चिन्ह पहचानें। / The side parts are (3x) and (4), so the subtraction square is ((3x-4)2). Exam tip: identify the negative middle sign.
संख्याएँ (4) और (5) का गुणन (20) और योग (9) है। परीक्षा में कोने का गुणन और बीच का योग साथ देखें। / The numbers (4) and (5) have product (20) and sum (9). Exam tip: check corner product and middle sum together.
बीच का संयुक्त क्षेत्रफल \(2\cdot 5p\cdot -q=-10pq\) है। परीक्षा में दृश्य मॉडल में घटाव को ऋणात्मक क्षेत्रफल के रूप में लिखें। / The combined middle area is \(2\cdot 5p\cdot -q=-10pq\). Exam tip: write subtraction in the visual model as a negative term.
पूरा क्षेत्रफल \(a^2+2ab+b^2=85+84=169\) है। परीक्षा में सभी भागों का योग कुल क्षेत्रफल देता है। / The total area is \(a^2+2ab+b^2=85+84=169\). Exam tip: the sum of all parts gives total area.
(16a-2=(4a)2) और (25b-2=(5b)2), बीच का पद भी (40ab) है। परीक्षा में दोनों वर्गों के मूल जोड़ें। / (16a-2=(4a)2) and (25b-2=(5b)2), and the middle term is (40ab). Exam tip: add the roots of both squares.
चार भागों में (15x) और (2x) जैसे पद मिलते हैं जिनका योग (17x) है। परीक्षा में जैसे पदों को जोड़ें। / The four parts include like terms (15x) and (2x), whose sum is (17x). Exam tip: combine like terms.
((2x-3)2) में बीच का पद \(2\cdot 2x\cdot 3=12x\) ऋणात्मक होता है। परीक्षा में पहले पद के गुणांक का वर्ग करें। / In ((2x-3)2), the middle term \(2\cdot 2x\cdot 3=12x\) is negative. Exam tip: square the coefficient of the first term.
(a-2-b-2=(a-b)(a+b)) है इसलिए (96=6(a+b))। परीक्षा में आयत की दूसरी भुजा भाग देकर निकालें। / (a-2-b-2=(a-b)(a+b)), so (96=6(a+b)). Exam tip: divide to find the other side of the rectangle.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल ((x+y)2-\(x^2+y^2\)=2xy) है। परीक्षा में पूरे क्षेत्रफल से वर्गों का योग घटाएँ। / The total area of the two rectangles is ((x+y)2-\(x^2+y^2\)=2xy). Exam tip: subtract the sum of squares from the whole area.
भुजा का स्थिर भाग (5) है इसलिए कोने का छोटा वर्ग \(5^2=25\) होगा। परीक्षा में अंतिम पद स्थिर भाग का वर्ग होता है। / The constant part of the side is (5), so the small corner square is \(5^2=25\). Exam tip: the last term is the square of the constant part.
B. सभी जोड़ीदार आयतों की दो दो प्रतियों से/From two copies of each pairwise rectangle
Explanation
Simple Explanation
तीन भागों वाले वर्ग में (ab), (bc) और (ca) आयत दो दो बार आते हैं। परीक्षा में जोड़ीदार आयतों को गिनें। / In a three-part square, (ab), (bc), and (ca) rectangles appear twice each. Exam tip: count pairwise rectangles.
स्थिर कोना \(1\cdot 7=7\) और (x) पद (14x+2x=16x) हैं। परीक्षा में चार भागों को अलग जोड़ें। / The constant corner is \(1\cdot 7=7\) and the (x)-terms are (14x+2x=16x). Exam tip: add the four parts separately.
यह ((5x-3y)2) का विस्तार है क्योंकि बीच का पद (-30xy) है। परीक्षा में ऋणात्मक मध्य पद से भुजा में घटाव पहचानें। / This is the expansion of ((5x-3y)2) because the middle term is (-30xy). Exam tip: identify subtraction in the side from the negative middle term.
कुल क्षेत्रफल ((a+b)2=144) है इसलिए बाहरी भुजा (12) होगी। परीक्षा में क्षेत्रफल का वर्गमूल लेकर भुजा निकालें। / The total area is ((a+b)2=144), so the outer side is (12). Exam tip: take square root of area to get the side.
वर्गों का अंतर ((a+b)(a-b)=13\cdot 5=65) है। परीक्षा में (a) और (b) अलग निकालने की जरूरत नहीं होती। / The difference of squares is ((a+b)(a-b)=13\cdot 5=65). Exam tip: no need to find (a) and (b) separately.
((2x+y)2=4x-2+4xy+y-2) है। परीक्षा में बदली हुई भुजा पर पूरा वर्ग सूत्र लगाएँ। / ((2x+y)2=4x-2+4xy+y-2). Exam tip: apply the square formula to the changed side.
A. (4x) और (4x) घटाकर (16) जोड़ा जाता है/Subtract (4x) and (4x), then add (16)
Explanation
Simple Explanation
दो (4x) पट्टियाँ घटती हैं और कोने का (16) भाग वापस जुड़ता है। परीक्षा में ओवरलैप को दो बार घटने से बचाएँ। / Two (4x) strips are subtracted and the corner (16) is added back. Exam tip: avoid subtracting the overlap twice.
कोने का क्षेत्रफल (3c=24) देता है इसलिए (c=8) और (b=3+8=11)। परीक्षा में कोना पहले हल करें। / The corner area (3c=24) gives (c=8), and (b=3+8=11). Exam tip: solve the corner first.
छूटा हुआ भाग (2ab) है जो दो (ab) आयतों से बनता है। परीक्षा में बीच के आयतों को कभी न छोड़ें। / The missed part is (2ab), made of two (ab) rectangles. Exam tip: never omit the middle rectangles.
योग और अंतर के गुणन में बीच के पद कट जाते हैं। परीक्षा में ((A+B)(A-B)=A-2-B-2) याद रखें। / In product of sum and difference, the middle terms cancel. Exam tip: remember ((A+B)(A-B)=A-2-B-2).
प्रत्येक आयत (ax=11x) है इसलिए (a=11) और छोटा वर्ग (121) है। परीक्षा में एक आयत से स्थिर भुजा पहचानें। / Each rectangle is (ax=11x), so (a=11) and the small square is (121). Exam tip: identify the constant side from one rectangle.
(2y) और (3z) के दो आयत मिलते हैं इसलिए \(2\cdot 2y\cdot 3z=12yz\)। परीक्षा में तीन भागों वाले वर्ग में जोड़ीदार आयत गिनें। / Two rectangles from (2y) and (3z) appear, so \(2\cdot 2y\cdot 3z=12yz\). Exam tip: count pairwise rectangles in a three-part square.
\(49=7^2\) और \(2\cdot x\cdot 7=14x\), इसलिए (k=7)। परीक्षा में अंतिम पद का वर्गमूल और मध्य पद दोनों जाँचें। / \(49=7^2\) and \(2\cdot x\cdot 7=14x\), so (k=7). Exam tip: check both square root of last term and middle term.
(45=(a+b)(a-b)=9(a-b)), इसलिए (a-b=5)। परीक्षा में क्षेत्रफल को ज्ञात भुजा से भाग दें। / (45=(a+b)(a-b)=9(a-b)), so (a-b=5). Exam tip: divide the area by the known side.
A. दो (5x) आयतों वाला वर्ग मॉडल/Square model with two (5x) rectangles
Explanation
Simple Explanation
सही मॉडल में \(x^2\) और (25) के साथ दो (5x) आयत भी होते हैं। परीक्षा में बीच का पद छोड़ना सबसे सामान्य गलती है। / The correct model has two (5x) rectangles along with \(x^2\) and (25). Exam tip: omitting the middle term is a common mistake.
((3x+2)(2x+3)) से \(6x^2\), (9x), (4x) और (6) मिलते हैं। परीक्षा में चारों क्षेत्रफल मिलाकर जाँचें। / ((3x+2)(2x+3)) gives \(6x^2\), (9x), (4x), and (6). Exam tip: verify all four areas.
((a+b)2-(a-b)2=4ab) होता है। परीक्षा में दोनों वर्गों के मध्य पदों का अंतर देखें। / ((a+b)2-(a-b)2=4ab). Exam tip: compare the middle terms of both squares.
यह ((x-y)2) का विस्तार है। परीक्षा में (-2xy) देखकर भुजा में (x-y) पहचानें। / This is the expansion of ((x-y)2). Exam tip: identify (x-y) in the side from (-2xy).
\(64=8^2\) है इसलिए संयुक्त मध्य पद \(2\cdot x\cdot 8=16x\) होगा। परीक्षा में कोने के वर्ग से भुजा (8) निकालें। / Since \(64=8^2\), the combined middle term is \(2\cdot x\cdot 8=16x\). Exam tip: get side (8) from the corner square.
A. क्योंकि (xy) और (-xy) पद कट जाते हैं/Because (xy) and (-xy) terms cancel
Explanation
Simple Explanation
चार भागों में (xy) और (-xy) एक दूसरे को खत्म करते हैं। परीक्षा में योग और अंतर के मॉडल में मध्य पद कटते हैं। / In the four parts, (xy) and (-xy) cancel each other. Exam tip: middle terms cancel in the sum-and-difference model.
(m-2+2mn+n-2=(m+n)2) है और (196) का वर्गमूल (14) है। परीक्षा में पूरे मॉडल का वर्गमूल लें। / (m-2+2mn+n-2=(m+n)2) and the square root of (196) is (14). Exam tip: take the square root of the whole model.
(2x) और (-6x) का योग (-4x) है। परीक्षा में धन और ऋण आयतों को जोड़ते समय चिन्ह देखें। / The sum of (2x) and (-6x) is (-4x). Exam tip: watch signs when adding positive and negative rectangles.
(9x-2=(3x)2) और (25y-2=(5y)2) है। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों की भुजाएँ निकालें। / (9x-2=(3x)2) and (25y-2=(5y)2). Exam tip: first find the sides of both squares.
\(81=9^2\) और मध्य पद (-18x) है इसलिए भुजा (x-9) है। परीक्षा में अंतिम पद से संख्या और मध्य पद से चिन्ह लें। / \(81=9^2\) and the middle term is (-18x), so the side is (x-9). Exam tip: get the number from last term and sign from middle term.
बड़ा क्षेत्रफल (121) और छोटा (49) है इसलिए अंतर (72) है। परीक्षा में पहले वर्गों के क्षेत्रफल घटाएँ। / The bigger area is (121) and the smaller is (49), so the difference is (72). Exam tip: subtract the square areas first.
((2x+3)(x+4)=2x-2+8x+3x+12=2x-2+11x+12)। परीक्षा में मध्य पदों का योग जाँचें। / ((2x+3)(x+4)=2x-2+8x+3x+12=2x-2+11x+12). Exam tip: check the sum of middle terms.
(a=8) और (b=6), इसलिए (2ab=96) है। परीक्षा में वर्ग क्षेत्रफल से भुजा निकालकर आयत क्षेत्रफल जोड़ें। / (a=8) and (b=6), so (2ab=96). Exam tip: find side lengths from square areas and add rectangle areas.
क्योंकि ((x+y)2-(x-y)2=4xy), इसलिए पहला वर्ग दूसरे से (4xy) अधिक है। परीक्षा में दोनों वर्गों का अंतर याद रखें। / Since ((x+y)2-(x-y)2=4xy), the first square is greater than the second by (4xy). Exam tip: remember the difference of these two squares.
