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In the given set, the elements with remainder (3) are (3) and (7).
Step 3
Exam Tip
While writing an equivalence class, include only elements from the given base set. चरण 1: (3) को (4) से भाग देने पर शेष (3) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में जिन अवयवों का शेष (3) है, वे (3) और (7) हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल मूल समुच्चय के अवयव ही शामिल करें।
In the other options, the difference of squares is not divisible by (8).
Step 3
Exam Tip
In such questions, directly checking the difference of squares is quick and reliable. चरण 1: \(3^2-5^2=9-25=-16\), जो (8) से विभाज्य है। चरण 2: बाकी विकल्पों में वर्गों का अंतर (8) से विभाज्य नहीं बनता। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सीधे वर्गों का अंतर निकालना तेज और सुरक्षित तरीका है।
A number (x) is related to \(\sqrt{2}\) when \(x-\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
So \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in Q\).
Step 3
Exam Tip
Classes based on rational difference contain infinitely many numbers, not just one number. चरण 1: (x) तभी \(\sqrt{2}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\sqrt{2}\) परिमेय हो। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहाँ \(q\in Q\)। चरण 3: परिमेय अंतर वाले वर्गों में अनन्त संख्याएँ होती हैं, केवल एक संख्या नहीं।
The odd class ({1,3,5}) has (3) elements and the even class ({2,4}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
The number of ordered pairs is \(3^2+2^2=9+4\).
Step 3
Exam Tip
Pairs between different classes are not counted, so the total is (13). चरण 1: विषम वर्ग ({1,3,5}) में (3) अवयव हैं और सम वर्ग ({2,4}) में (2) अवयव हैं। चरण 2: क्रमित युग्मों की संख्या \(3^2+2^2=9+4\) होगी। चरण 3: अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते, इसलिए कुल (13) है।
A. \((2,6)\in R\) और \((3,4)\notin R\)/\((2,6)\in R\) and \((3,4)\notin R\)
Step 1
Concept
Elements in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (6) are together in the first block, so \((2,6)\in R\).
Step 3
Exam Tip
(3) and (4) are in different blocks, so \((3,4)\notin R\). चरण 1: एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। चरण 2: (2) और (6) पहले भाग में साथ हैं, इसलिए \((2,6)\in R\)। चरण 3: (3) और (4) अलग भागों में हैं, इसलिए \((3,4)\notin R\)।
The real numbers whose square is (25) are (-5) and (5).
Step 3
Exam Tip
In equality of squares, the sign may change, so both numbers must be included. चरण 1: ((-5)2=25)। चरण 2: जिन वास्तविक संख्याओं का वर्ग (25) है, वे (-5) और (5) हैं। चरण 3: वर्ग वाली समानता में चिन्ह बदल सकता है, इसलिए दोनों संख्याओं को शामिल करना चाहिए।
\(\frac{a}{a}=1\), which is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\frac{a}{b}\) is rational and non-zero, then \(\frac{b}{a}\) is also rational.
Step 3
Exam Tip
The product of two rational ratios is rational, so transitivity also holds. चरण 1: \(\frac{a}{a}=1\), जो परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय और अशून्य है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है। चरण 3: दो परिमेय अनुपातों का गुणनफल परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी मिलती है।
In such relations, an equivalence class may appear as a set of points satisfying a fixed value condition. चरण 1: ((2,5)) के लिए योग (2+5=7) है। चरण 2: इससे सम्बन्धित सभी युग्मों का योग भी (7) होना चाहिए। चरण 3: ऐसे सम्बन्धों में तुल्यता वर्ग एक नियत मान वाली रेखा या वक्र के रूप में मिल सकता है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
Transitivity requires (1) to be related to (3), and symmetry requires the reverse pair too.
Step 3
Exam Tip
(4) is only related to itself, so no new pair involving (4) is needed. चरण 1: (1) का (2) से और (2) का (3) से सम्बन्ध है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (1) का (3) से सम्बन्ध चाहिए, और सममिति के लिए उलटा युग्म भी चाहिए। चरण 3: (4) केवल स्वयं से जुड़ा है, इसलिए (4) से जुड़े नए युग्म जरूरी नहीं हैं।
The number of equivalence relations on a set equals the number of partitions of that set.
Step 2
Why this answer is correct
A set with (4) elements has (15) partitions.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember the direct link between equivalence relations and partitions. चरण 1: किसी समुच्चय पर तुल्यता सम्बन्धों की संख्या उसके विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। चरण 2: (4) अवयवों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या (15) होती है। चरण 3: परीक्षा में तुल्यता सम्बन्ध और विभाजन के बीच सीधा संबंध याद रखें।
The greatest integer part of (-1.2) is (-2), not (-1).
Step 2
Why this answer is correct
Numbers whose greatest integer part is (-2) lie in ([-2,-1)).
Step 3
Exam Tip
For negative decimals, take the lower integer while using the floor function. चरण 1: (-1.2) का पूर्णांक भाग (-2) होता है, (-1) नहीं। चरण 2: जिन संख्याओं का पूर्णांक भाग (-2) है, वे ([-2,-1)) में आती हैं। चरण 3: ऋणात्मक दशमलव में पूर्णांक भाग निकालते समय नीचे वाली पूर्ण संख्या लें।
A. क्योंकि अनुरेख की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of trace is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
The trace of a matrix is equal to its own trace.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of trace works in both directions.
Step 3
Exam Tip
If the traces are equal pairwise through a middle matrix, then the first and third traces are also equal. चरण 1: किसी आव्यूह का अनुरेख अपने ही अनुरेख के बराबर है। चरण 2: अनुरेख बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में ठीक रहती है। चरण 3: यदि दो-दो आव्यूहों के अनुरेख बराबर हों, तो पहले और तीसरे का अनुरेख भी बराबर होगा।
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
In this relation, two polynomials are related exactly when their degrees are equal.
Step 3
Exam Tip
So the class contains all non-zero polynomials of degree (2), not only the given polynomial. चरण 1: \(x^2+1\) की घात (2) है। चरण 2: इस सम्बन्ध में दो बहुपद तभी सम्बन्धित हैं जब उनकी घात समान हो। चरण 3: इसलिए वर्ग में घात (2) वाले सभी अशून्य बहुपद आएँगे, केवल वही बहुपद नहीं।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity requires (\gcd(a,a)>1) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=1), (\gcd(1,1)=1), which is not greater than (1).
Step 3
Exam Tip
If reflexivity fails for even one element, the relation cannot be an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर (a) के लिए (\gcd(a,a)>1) चाहिए। चरण 2: (a=1) लेने पर (\gcd(1,1)=1), जो (1) से बड़ा नहीं है। चरण 3: एक भी अवयव पर स्वतुल्यता टूटे तो सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता।
A. नहीं, यह संक्रामक नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
The relation is reflexive because (|a-a|=0<1).
Step 2
Why this answer is correct
It is also symmetric because distance is the same in both directions.
Step 3
Exam Tip
But (0R0.6) and (0.6R1.2), while (0R1.2) is false, so transitivity fails. चरण 1: यह सम्बन्ध स्वतुल्य है क्योंकि (|a-a|=0<1)। चरण 2: यह सममित भी है क्योंकि दूरी दोनों दिशाओं में समान रहती है। चरण 3: पर (0R0.6) और (0.6R1.2) हैं, जबकि (0R1.2) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Step 1
Concept
Since \(a\le a\), reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(1\le 2\), it does not imply \(2\le 1\).
Step 3
Exam Tip
Hence symmetry fails, so the relation is not an equivalence relation. चरण 1: \(a\le a\) होने से स्वतुल्यता मिलती है। चरण 2: यदि \(1\le 2\), तो \(2\le 1\) सही नहीं है। चरण 3: इसलिए सममिति टूटती है और सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता।
A. मूल बिंदु से दूरी (5) वाली सभी जटिल संख्याएँ/All complex numbers at distance (5) from the origin
Step 1
Concept
\(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
All complex numbers related to it must have modulus (5).
Step 3
Exam Tip
In the complex plane, this represents the circle with distance (5) from the origin. चरण 1: \(|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)। चरण 2: इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का परम मान (5) होना चाहिए। चरण 3: जटिल तल में यह मूल बिंदु से दूरी (5) वाले वृत्त को दर्शाता है।
So the class of (4) contains all elements that are not prime.
Step 3
Exam Tip
(1) is also not considered prime, so it is included in this class. चरण 1: (4) अभाज्य नहीं है। चरण 2: इसलिए (4) के वर्ग में वे सभी अवयव आएँगे जो अभाज्य नहीं हैं। चरण 3: (1) भी अभाज्य नहीं माना जाता, इसलिए उसे इस वर्ग में शामिल किया जाएगा।
Every equation represents the same line as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If the first equation represents the same line as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
Representing the same line is transitive, so this is an equivalence relation. चरण 1: हर समीकरण अपनी ही रेखा दर्शाता है, इसलिए स्वतुल्यता है। चरण 2: यदि पहला समीकरण दूसरी वाली ही रेखा दर्शाता है, तो दूसरा भी पहली वाली ही रेखा दर्शाता है। चरण 3: समान रेखा दर्शाने की बात संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है।
A. सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ/All three-digit natural numbers
Step 1
Concept
(125) has (3) digits.
Step 2
Why this answer is correct
The relation checks only the number of digits, not the actual value.
Step 3
Exam Tip
Therefore the class of (125) consists of all three-digit natural numbers. चरण 1: (125) में (3) अंक हैं। चरण 2: सम्बन्ध केवल अंकों की संख्या को देखता है, संख्या के मान को नहीं। चरण 3: इसलिए (125) का वर्ग सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं से बनेगा।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
For reflexivity, (\max(a,a)) must be even for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=1), (\max(1,1)=1), which is not even.
Step 3
Exam Tip
Therefore not every element is related to itself, so the relation is not equivalence. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर (a) के लिए (\max(a,a)) सम होना चाहिए। चरण 2: (a=1) लेने पर (\max(1,1)=1), जो सम नहीं है। चरण 3: इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है।
In \(A\times A\), every element is related to every other element.
Step 2
Why this answer is correct
Hence all elements fall into one equivalence class.
Step 3
Exam Tip
This is the universal relation, so the number of equivalence classes is (1). चरण 1: \(A\times A\) में हर अवयव हर दूसरे अवयव से सम्बन्धित है। चरण 2: इसलिए सभी अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में आ जाते हैं। चरण 3: यह सार्विक सम्बन्ध है, इसलिए तुल्यता वर्गों की संख्या (1) है।
In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore each element forms its own singleton class.
Step 3
Exam Tip
Since there are (4) elements, there are (4) equivalence classes. चरण 1: पहचान सम्बन्ध में हर अवयव केवल स्वयं से सम्बन्धित होता है। चरण 2: इसलिए हर अवयव अपना अलग एकल वर्ग बनाता है। चरण 3: (4) अवयव हैं, इसलिए (4) तुल्यता वर्ग होंगे।
The intersection is not empty, so they cannot be disjoint.
Step 3
Exam Tip
Therefore the two classes must be equal, not merely partially common. चरण 1: तुल्यता वर्गों का नियम है कि वे या तो अलग होते हैं या समान होते हैं। चरण 2: प्रतिच्छेद रिक्त नहीं है, इसलिए वे अलग नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए दोनों वर्ग बराबर होंगे, केवल थोड़ा-सा समान नहीं।
In the given set, (\gcd(a,6)=1) occurs only for (1) and (5).
Step 3
Exam Tip
Elements with the same greatest common divisor form one equivalence class. चरण 1: (\gcd(5,6)=1) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (\gcd(a,6)=1) केवल (1) और (5) के लिए मिलता है। चरण 3: समान महत्तम समापवर्तक वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं।
Hence each number forms only its own equivalence class. चरण 1: वास्तविक संख्याओं पर \(e^x\) एक-एकी फलन है। चरण 2: इसलिए \(e^a=e^b\) होने पर (a=b) ही होगा। चरण 3: अतः हर संख्या केवल अपने ही वर्ग में होगी।
\(\cos 2\pi=1\), so \(2\pi\) has the same cosine value as (0).
Step 3
Exam Tip
In a relation based on equal function value, all numbers with the same value lie in the same class. चरण 1: \(\cos 0=1\)। चरण 2: \(\cos 2\pi=1\), इसलिए \(2\pi\) का कोज्या मान भी (0) जैसा है। चरण 3: समान फलन मान वाले सम्बन्ध में समान मान वाली सभी संख्याएँ एक ही वर्ग में आती हैं।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) एक ही प्रकार के हों: दोनों (4) से छोटे या दोनों (4) से बड़े या बराबर। कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
The first class is ({1,2,3}), and the second class is ({4,5,6,7,8}).
Step 2
Why this answer is correct
The number of ordered pairs is \(3^2+5^2=9+25\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number of pairs is (34). चरण 1: पहले वर्ग में ({1,2,3}) हैं और दूसरे वर्ग में ({4,5,6,7,8}) हैं। चरण 2: क्रमित युग्मों की संख्या \(3^2+5^2=9+25\) होगी। चरण 3: इसलिए कुल (34) युग्म मिलते हैं।
A vector has norm (0) only when it is the zero vector.
Step 3
Exam Tip
Therefore the class of the zero vector contains only the zero vector itself. चरण 1: शून्य सदिश की लंबाई (0) होती है। चरण 2: किसी सदिश की लंबाई (0) तभी होती है जब वह शून्य सदिश हो। चरण 3: इसलिए शून्य सदिश का वर्ग केवल उसी सदिश से बनता है।
For (-13), the remainder modulo (10) is (7), since (-13=-20+7).
Step 3
Exam Tip
Since the remainders are the same, the two integers are related. चरण 1: (27) का (10) से शेष (7) है। चरण 2: (-13) को (10) से देखने पर शेष (7) लिखा जाता है, क्योंकि (-13=-20+7)। चरण 3: समान शेष होने से दोनों सम्बन्धित हैं।
Each equivalence class contributes all ordered pairs within itself.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the total number is \(1^2+2^2+4^2=1+4+16\).
Step 3
Exam Tip
The total is (21); the full \(A\times A\) would occur only with one class. चरण 1: हर तुल्यता वर्ग अपने भीतर सभी क्रमित युग्म देता है। चरण 2: इसलिए कुल संख्या \(1^2+2^2+4^2=1+4+16\) होगी। चरण 3: कुल (21) युग्म हैं; पूरा \(A\times A\) तभी होता जब केवल एक वर्ग होता।
A. सार्विक तुल्यता सम्बन्ध/Universal equivalence relation
Step 1
Concept
In the given (R), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
It is equal to \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
The universal relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation. चरण 1: दिए गए (R) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। चरण 2: यह \(A\times A\) के बराबर है। चरण 3: सार्विक सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है।
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है/Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
((1,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, ((3,1)) must also belong to it.
Step 3
Exam Tip
Since ((3,1)) is missing, symmetry fails and the relation is not an equivalence relation. चरण 1: ((1,3)) सम्बन्ध में है। चरण 2: सममिति के लिए ((3,1)) भी होना चाहिए। चरण 3: ((3,1)) न होने से सममिति टूट जाती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
Therefore both numbers lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
If the decimal part is the same, a relation based on integer difference can be identified quickly. चरण 1: (3.25-0.25=3), जो पूर्णांक है। चरण 2: इसलिए दोनों संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। चरण 3: दशमलव भाग समान हो तो पूर्णांक अंतर वाला सम्बन्ध जल्दी पहचाना जा सकता है।
A number (x) is related to (1) when \(\log x-0\) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Hence the class contains positive numbers whose logarithm is an integer. चरण 1: (1) के लिए \(\log 1=0\)। चरण 2: (x) तभी (1) से सम्बन्धित होगा जब \(\log x-0\) पूर्णांक हो। चरण 3: इसलिए वर्ग उन धनात्मक संख्याओं का है जिनका लघुगणक पूर्णांक है।
On division by (2), only two remainders are possible: (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The odd class is ({1,3,5}), and the even class is ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
The quotient set is the set of all equivalence classes. चरण 1: (2) से भाग देने पर दो शेष संभव हैं: (0) और (1)। चरण 2: विषम वर्ग ({1,3,5}) और सम वर्ग ({2,4,6}) बनते हैं। चरण 3: भागफल समुच्चय इन सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय होता है।
If the first and second have equal area, and the second and third have equal area, then the first and third have equal area. चरण 1: हर आयत का क्षेत्रफल स्वयं के क्षेत्रफल के बराबर होता है। चरण 2: समान क्षेत्रफल की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। चरण 3: यदि पहले और दूसरे का क्षेत्रफल समान है और दूसरे और तीसरे का भी समान है, तो पहले और तीसरे का क्षेत्रफल समान होगा।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
Reflexivity would require (a+a=6) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=1), (1+1=2), so (1R1) is false.
Step 3
Exam Tip
Since reflexivity fails, it cannot be an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a=6) होना चाहिए। चरण 2: (a=1) लेने पर (1+1=2), इसलिए (1R1) नहीं है। चरण 3: स्वतुल्यता न होने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता।
A. \(R\cap S\) हमेशा तुल्यता सम्बन्ध होगा/\(R\cap S\) is always an equivalence relation
Step 1
Concept
Both relations are reflexive, so every ((a,a)) lies in both and also in the intersection.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry is preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
Transitivity also works because it holds in both relations, so \(R\cap S\) is an equivalence relation. चरण 1: दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं, इसलिए सभी ((a,a)) दोनों में होंगे और प्रतिच्छेद में भी होंगे। चरण 2: सममिति दोनों में होने से प्रतिच्छेद में भी रहती है। चरण 3: संक्रामकता भी दोनों सम्बन्धों में साथ-साथ लागू होती है, इसलिए \(R\cap S\) तुल्यता सम्बन्ध होगा।
A. यह हमेशा तुल्यता सम्बन्ध नहीं होता/It is not always an equivalence relation
Step 1
Concept
Reflexivity and symmetry may often remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
But transitivity can fail because one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup S\) is not assumed to be an equivalence relation without checking. चरण 1: संघ में स्वतुल्यता और सममिति अक्सर बच सकती हैं। चरण 2: लेकिन संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। चरण 3: इसलिए \(R\cup S\) को बिना जाँच तुल्यता सम्बन्ध नहीं माना जाता।
Its class will contain elements that are also not multiples of (2).
Step 3
Exam Tip
In the given set, these are (1,3,5). चरण 1: (5) (2) का गुणज नहीं है। चरण 2: इसलिए इसका वर्ग उन अवयवों से बनेगा जो (2) के गुणज नहीं हैं। चरण 3: दिए गए समुच्चय में वे (1,3,5) हैं।
Since the relation is based on digit sum, (56) lies in the same equivalence class. चरण 1: (29) के अंकों का योग (2+9=11) है। चरण 2: (56) के अंकों का योग (5+6=11) है। चरण 3: सम्बन्ध अंकों के योग पर आधारित है, इसलिए (56) उसी तुल्यता वर्ग में आएगा।
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\tan a=\tan b\), जहाँ \(\tan a\) और \(\tan b\) परिभाषित हैं। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?
\(\tan \pi=0\), so \(\pi\) has the same tangent value as (0).
Step 3
Exam Tip
But tangent is undefined at \(\frac{\pi}{2}\), so the domain must be checked carefully. चरण 1: \(\tan 0=0\)। चरण 2: \(\tan \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान स्पर्शज्या मान देता है। चरण 3: पर \(\frac{\pi}{2}\) पर स्पर्शज्या परिभाषित नहीं है, इसलिए सावधानी रखें।
A. नहीं, यह संक्रामक नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
The condition (a=b) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a+b=6) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation creates the blocks ({1,5}), ({2,4}), and ({3}), so it is actually an equivalence relation. चरण 1: (a=b) के कारण स्वतुल्यता पूरी हो जाती है। चरण 2: (a+b=6) वाली शर्त सममित है। चरण 3: लेकिन (1R5) और (5R1) हैं, पर (1R1) तो है; बेहतर जाँच में (2R4) और (4R2) भी है। फिर भी वर्ग ({1,5}), ({2,4}), ({3}) बनते हैं, इसलिए यह वास्तव में तुल्यता है।
(3) is related only to itself, so the correct partition is ({{1,5},{2,4},{3}}). चरण 1: (1+5=6), इसलिए (1) और (5) एक वर्ग में हैं। चरण 2: (2+4=6), इसलिए (2) और (4) एक वर्ग में हैं। चरण 3: (3) अपने साथ ही जुड़ता है, इसलिए सही विभाजन ({{1,5},{2,4},{3}}) है।
A. सभी धनात्मक पूर्णांक जिनका अंतिम अंक (2) है/All positive integers with last digit (2)
Step 1
Concept
The last digit of (102) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
The relation is based on equality of last digit.
Step 3
Exam Tip
So its class consists of all positive integers with last digit (2), not merely all even numbers. चरण 1: (102) का अंतिम अंक (2) है। चरण 2: सम्बन्ध अंतिम अंक की समानता पर आधारित है। चरण 3: इसलिए इसका वर्ग (2) अंतिम अंक वाली सभी धनात्मक पूर्णांकों से बनेगा, केवल सम संख्याओं से नहीं।
A. \((2,5)\notin R\) और \((4,3)\in R\)/\((2,5)\notin R\) and \((4,3)\in R\)
Step 1
Concept
(2) and (5) are in different classes, so they are not related.
Step 2
Why this answer is correct
(4) and (3) are in the same class ({3,4,5}).
Step 3
Exam Tip
Therefore \((2,5)\notin R\) and \((4,3)\in R\). चरण 1: (2) और (5) अलग-अलग वर्गों में हैं, इसलिए वे सम्बन्धित नहीं हैं। चरण 2: (4) और (3) एक ही वर्ग ({3,4,5}) में हैं। चरण 3: इसलिए \((2,5)\notin R\) और \((4,3)\in R\) सही है।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
(|a|+|b|=0) happens only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
For (1R1), (|1|+|1|=2), so (1R1) is false.
Step 3
Exam Tip
Since reflexivity fails on all real numbers, it is not an equivalence relation. चरण 1: (|a|+|b|=0) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। चरण 2: (1R1) के लिए (|1|+|1|=2), इसलिए (1R1) नहीं है। चरण 3: सभी वास्तविक संख्याओं पर स्वतुल्यता न मिलने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{b}{3}\right\rfloor\)। (8) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
In the given set, (6,7,8) have \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\).
Step 3
Exam Tip
For (9), the value is (3), so (9) is not in this class. चरण 1: \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\)। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (6,7,8) के लिए \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\) मिलता है। चरण 3: (9) के लिए मान (3) है, इसलिए (9) इस वर्ग में नहीं आएगा।
\(2^2=4\), so the square of (2) leaves remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2=9\) also leaves remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
The squares of (1) and (4) leave remainder (1), so the class of (2) is ({2,3}). चरण 1: \(2^2=4\), इसलिए (2) के वर्ग का (5) से शेष (4) है। चरण 2: \(3^2=9\) का (5) से शेष भी (4) है। चरण 3: (1) और (4) के वर्गों का शेष (1) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,3}) होगा।
