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A. (R) तुल्यता सम्बन्ध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
For every element, (a-a=0), which is divisible by (2), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a-b) and (b-c) are divisible by (2), then (a-c) is also divisible by (2). In exams, test all three properties separately. चरण 1: किसी संख्या से उसी संख्या को घटाने पर (0) मिलता है, जो (2) से विभाज्य है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य होगा, इसलिए सममित है। चरण 3: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (2) से विभाज्य होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में तीनों गुण अलग-अलग जाँचें।
Real numbers with greatest integer part (2) are greater than or equal to (2) and less than (3).
Step 3
Exam Tip
In such questions, check the end points carefully, so the class is ([2,3)). चरण 1: (2.4) का पूर्णांक भाग (2) है। चरण 2: जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे (2) से बड़ी या बराबर और (3) से छोटी होती हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सीमा बिंदुओं को ध्यान से देखें, इसलिए वर्ग ([2,3)) है।
So all integers related to (7) must have the same remainder (2).
Step 3
Exam Tip
Since the base set is (Z), the equivalence class is not finite; write the complete residue class. चरण 1: (7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 2: इसलिए (7) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक वही होंगे जिनका शेष (2) हो। चरण 3: तुल्यता वर्ग सीमित नहीं होता जब मूल समुच्चय (Z) हो, इसलिए पूरी शेष श्रेणी लिखना सही है।
The remainder of (-1) modulo (4) is written as (3).
Step 2
Why this answer is correct
So all integers related to (-1) leave remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
Even for negative numbers, write the remainder in (0,1,2,3) for exam clarity. चरण 1: (-1) को (4) से भाग देने पर शेष को (3) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (-1) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक (4) से भाग देने पर शेष (3) देंगे। चरण 3: ऋणात्मक संख्या आने पर भी शेष को (0,1,2,3) में लिखना परीक्षा में सुरक्षित तरीका है।
Numbers related to (-3) must have absolute value (3).
Step 2
Why this answer is correct
In real numbers, (|x|=3) gives (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
In absolute value relations, a sign change may still keep the value equal, so include both numbers. चरण 1: (-3) से सम्बन्धित वही संख्याएँ होंगी जिनका परम मान (3) है। चरण 2: वास्तविक संख्याओं में (|x|=3) के हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 3: परम मान वाले सम्बन्धों में चिन्ह बदलने पर भी मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों संख्याएँ शामिल करें।
Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted. चरण 1: ({1,2}) में (2) अवयव हैं। चरण 2: इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। चरण 3: ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए।
In (A), the numbers whose greatest common divisor with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
Hence the equivalence class of (4) is ({2,4}), so it has (2) elements. चरण 1: (\gcd(4,6)=2) है। चरण 2: अब (A) में उन संख्याओं को देखें जिनका (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है; ये (2) और (4) हैं। चरण 3: इसलिए (4) का तुल्यता वर्ग ({2,4}) है और इसमें (2) अवयव हैं।
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और हर वर्ग एकल है/It is an equivalence relation and every class is singleton
Step 1
Concept
For every real number, \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of cubes works in both directions and is transitive.
Step 3
Exam Tip
Over real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b), so every equivalence class is singleton. चरण 1: हर वास्तविक संख्या के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: घन की समानता उलटी दिशा में भी सही रहती है और समानता संक्रामक भी होती है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b), इसलिए हर तुल्यता वर्ग में केवल वही संख्या आती है।
Every line has the same slope as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If the slope of one line equals the slope of another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
Equality is transitive, so the same-slope relation is an equivalence relation. चरण 1: हर रेखा का ढाल स्वयं के ढाल के बराबर होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि पहली रेखा का ढाल दूसरी के बराबर है, तो दूसरी का ढाल भी पहली के बराबर है। चरण 3: समानता संक्रामक होती है, इसलिए समान ढाल वाला सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध है।
A. एक ही दिशा वाली सभी रेखाओं के समूह/Groups of all lines with the same direction
Step 1
Concept
A line has the same direction as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Same direction is mutual and remains consistent through a third line.
Step 3
Exam Tip
Hence each equivalence class contains lines with one fixed direction, not necessarily lines through one point. चरण 1: रेखा की दिशा स्वयं के समान होती है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: समान दिशा का अर्थ दोनों ओर से समान है और यह गुण आगे भी बना रहता है। चरण 3: इसलिए प्रत्येक तुल्यता वर्ग में समान दिशा वाली रेखाएँ आती हैं, बिंदु से गुजरना आवश्यक नहीं है।
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too. चरण 1: किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। चरण 2: निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। चरण 3: यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted. चरण 1: (3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। चरण 2: प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। चरण 3: कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते।
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
For every function, (f(1)=f(1)), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (f(1)=g(1)), then (g(1)=f(1)) is also true.
Step 3
Exam Tip
If (f(1)=g(1)) and (g(1)=h(1)), then (f(1)=h(1)), so it is an equivalence relation. चरण 1: हर फलन के लिए (f(1)=f(1)), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि (f(1)=g(1)), तो (g(1)=f(1)) भी सही है। चरण 3: यदि (f(1)=g(1)) और (g(1)=h(1)), तो (f(1)=h(1)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है।
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। चरण 3: समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है।
The relation separates numbers into two types: even and odd.
Step 2
Why this answer is correct
In (A), the odd block is ({1,3,5}) and the even block is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
An equivalence relation always forms a partition, so there are (2) blocks here. चरण 1: सम्बन्ध संख्याओं को सम और विषम दो प्रकारों में बाँटता है। चरण 2: (A) में विषम भाग ({1,3,5}) और सम भाग ({2,4}) बनते हैं। चरण 3: तुल्यता सम्बन्ध हमेशा समुच्चय का विभाजन बनाता है, इसलिए यहाँ (2) भाग हैं।
(|a-b|) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
Since (4) is even, its related elements must be even.
Step 3
Exam Tip
In the given set, the even elements are (2) and (4), so the class is ({2,4}). चरण 1: (|a-b|) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: (4) सम है, इसलिए इससे सम्बन्धित अवयव सम होंगे। चरण 3: दिए गए समुच्चय में सम अवयव (2) और (4) हैं, अतः वर्ग ({2,4}) है।
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
For any integer (a), (a+a=2a), which is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) has the same parity as (c). चरण 1: किसी भी पूर्णांक (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा, इसलिए सममित है। चरण 3: यदि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है तथा (b) और (c) की भी समान है, तो (a) और (c) की भी समान होगी।
For any polynomial, (p(0)=p(0)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (p(0)=q(0)), then (q(0)=p(0)) also holds.
Step 3
Exam Tip
Having the same value at zero passes through a third polynomial, so the relation is equivalence. चरण 1: किसी भी बहुपद के लिए (p(0)=p(0)), इसलिए स्वतुल्यता पूरी होती है। चरण 2: यदि (p(0)=q(0)), तो (q(0)=p(0)) भी सही है। चरण 3: शून्य पर समान मान रखने की बात तीसरे बहुपद तक भी जाती है, इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है।
A. यह समान चिन्ह वाली संख्याओं को एक साथ रखता है/It groups numbers with the same sign
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign, so the reverse ratio is also positive.
Step 3
Exam Tip
Having the same sign is transitive, so it forms two equivalence classes: positive and negative. चरण 1: \(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: \(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए उल्टा अनुपात भी धनात्मक होगा। चरण 3: समान चिन्ह की बात संक्रामक है, इसलिए यह धनात्मक और ऋणात्मक दो तुल्यता वर्ग बनाता है।
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है जबकि ((2,1)) और ((1,3)) हैं/Because ((2,3)) is missing although ((2,1)) and ((1,3)) are present
Step 1
Concept
All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry is also visible from the given pairs.
Step 3
Exam Tip
But from ((2,1)) and ((1,3)), transitivity requires ((2,3)), which is missing; hence it is not an equivalence relation. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए सभी ((a,a)) मौजूद हैं। चरण 2: सममिति भी दिए गए युग्मों में दिखाई देती है। चरण 3: पर ((2,1)) और ((1,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are both present, so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) is one class and ({3}) is another; transitivity is not broken, so no pair is needed. चरण 1: ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममिति भी पूरी है। चरण 3: ({1,2}) अलग वर्ग है और ({3}) अलग वर्ग है; संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए कुछ जोड़ने की जरूरत नहीं है।
In an equivalence relation, all ordered pairs inside each block are included.
Step 2
Why this answer is correct
The first block gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+9=13); \(5^2\) pairs would occur only if there were one class. चरण 1: तुल्यता सम्बन्ध में प्रत्येक भाग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: पहले भाग से \(2^2=4\) और दूसरे भाग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+9=13) युग्म होंगे; पूरे समुच्चय के \(5^2\) युग्म तभी होंगे जब केवल एक वर्ग हो।
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए कौन-से युग्म निश्चित रूप से चाहिए?
The relation is reflexive and appears symmetric, but transitivity must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed; from ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is needed.
Step 3
Exam Tip
In an equivalence relation, all elements of the same class must be mutually related. चरण 1: सम्बन्ध स्वतुल्य और सममित दिखता है, पर संक्रामकता जाँचनी है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए; ((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) चाहिए। चरण 3: तुल्यता सम्बन्ध में एक ही वर्ग के सभी अवयव आपस में जुड़े होते हैं।
(ab>0) means (a) and (b) are either both positive or both negative.
Step 2
Why this answer is correct
So all positive integers form one class and all negative integers form another.
Step 3
Exam Tip
Zero is not included in the set, so no separate zero class is formed. चरण 1: (ab>0) का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हैं। चरण 2: इसलिए सभी धनात्मक पूर्णांक एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक पूर्णांक दूसरे वर्ग में आते हैं। चरण 3: शून्य को समुच्चय में नहीं लिया गया है, इसलिए अलग शून्य वर्ग नहीं बनेगा।
Total pairs are (4+1+1=6). चरण 1: प्रत्येक भाग के भीतर सभी अवयव आपस में सम्बन्धित होंगे। चरण 2: ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, ({2}) से (1) और ({3}) से (1) युग्म मिलता है। चरण 3: कुल युग्म (4+1+1=6) होंगे।
If the first circle has the same radius as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
Equality of radius is transitive, so this is an equivalence relation. चरण 1: किसी भी वृत्त की त्रिज्या स्वयं के बराबर होती है। चरण 2: यदि पहले वृत्त की त्रिज्या दूसरे की त्रिज्या के बराबर है, तो उलटा भी सही है। चरण 3: समान त्रिज्या की समानता संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है।
If an equivalence class has (n) elements, it contributes \(n^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here the number of pairs is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (14); pairs between different classes are not included. चरण 1: किसी तुल्यता वर्ग में यदि (n) अवयव हैं, तो उसके भीतर \(n^2\) क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 2: यहाँ युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) है। चरण 3: कुल (14) युग्म मिलते हैं; अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते।
(a+b) is even only when (a) and (b) are both even or both odd.
Step 2
Why this answer is correct
In the given set, the odd elements are (1,3,5) and the even elements are (2,4,6).
Step 3
Exam Tip
Hence the relation forms two classes based on parity. चरण 1: (a+b) सम तभी होता है जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। चरण 2: दिए गए समुच्चय में विषम अवयव (1,3,5) और सम अवयव (2,4,6) हैं। चरण 3: इसलिए सम्बन्ध सम-विषम प्रकृति के आधार पर दो वर्ग बनाता है।
Look at the remainders of squares on division by (3). The squares \(1^2,2^2,4^2\) leave remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2\) leaves remainder (0), so (3) is not in this class.
Step 3
Exam Tip
Numbers with the same square remainder belong to the same equivalence class. चरण 1: वर्गों को (3) से भाग देने पर शेष देखें। \(1^2,2^2,4^2\) का शेष (1) है। चरण 2: \(3^2\) का शेष (0) है, इसलिए (3) इस वर्ग में नहीं आएगा। चरण 3: समान वर्गीय शेष रखने वाली संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं।
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
For reflexivity, every ((a,b)) must satisfy ((a,b)S(a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
This would require (a+a=b+b), meaning (a=b).
Step 3
Exam Tip
Not every ordered pair has (a=b), for example ((1,2)), so the relation is not equivalence. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((a,b)S(a,b)) होना चाहिए। चरण 2: इसके लिए (a+a=b+b), अर्थात (a=b), जरूरी होगा। चरण 3: हर क्रमित युग्म में (a=b) नहीं होता, जैसे ((1,2)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता नहीं है।
A. हर वर्ग में वे संख्याएँ हैं जो किसी चुनी हुई संख्या से परिमेय अंतर रखती हैं/Each class contains numbers having rational difference from a chosen number
Step 1
Concept
(a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the sign of a rational difference keeps it rational.
Step 3
Exam Tip
The class of a chosen number (a) is \({x\in R:x-a\in Q}\); this is the key exam idea. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: परिमेय अंतर का चिन्ह बदलने पर भी वह परिमेय ही रहता है। चरण 3: चुनी हुई संख्या (a) का वर्ग \({x\in R:x-a\in Q}\) होता है; परीक्षा में वर्ग को इसी तरह समझें।
\(12=2^2\cdot 3\), so its set of prime factors is ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\cdot 3^2\) also has the prime factor set ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
Powers may differ, but this relation checks only the set of prime factors. चरण 1: \(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसके अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। चरण 2: \(18=2\cdot 3^2\) में भी अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। चरण 3: घातें अलग हो सकती हैं, पर इस सम्बन्ध में केवल अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय देखा जाता है।
Equivalence classes are disjoint and together cover the whole set. चरण 1: (3) से भाग देने पर समान शेष वाली संख्याएँ एक वर्ग में आएँगी। चरण 2: शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3,6}) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग आपस में अलग होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं।
Equivalence classes are either completely disjoint or exactly the same.
Step 2
Why this answer is correct
If two classes have a common element, that element connects both classes.
Step 3
Exam Tip
Therefore the two classes cannot remain distinct, so \(B_1=B_2\). चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो पूरी तरह अलग होते हैं या बिल्कुल समान होते हैं। चरण 2: यदि दोनों वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वह दोनों वर्गों को जोड़ देता है। चरण 3: इसलिए दोनों वर्ग अलग नहीं रह सकते और \(B_1=B_2\) होगा।
अंग्रेज़ी वर्णमाला के छोटे अक्षरों के समुच्चय पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों स्वर हों या दोनों व्यंजन हों। यह सम्बन्ध कितने तुल्यता वर्ग बनाता है?
The relation divides letters into two groups: vowels and consonants.
Step 2
Why this answer is correct
Letters in the same group are related, while letters in different groups are not related.
Step 3
Exam Tip
Hence exactly (2) equivalence classes are formed; (5) is only the number of vowels, not the number of classes. चरण 1: सम्बन्ध अक्षरों को दो समूहों में बाँटता है: स्वर और व्यंजन। चरण 2: एक ही समूह के अक्षर आपस में सम्बन्धित हैं और अलग समूह के अक्षर सम्बन्धित नहीं हैं। चरण 3: इसलिए ठीक (2) तुल्यता वर्ग बनते हैं; विकल्पों में (5) केवल स्वरों की संख्या है, वर्गों की संख्या नहीं।
A. सभी अवयवों का एक ही तुल्यता वर्ग (A) है/All elements have the single equivalence class (A)
Step 1
Concept
In \(A\times A\), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore no two elements can lie in different classes.
Step 3
Exam Tip
This is the universal relation, and its single equivalence class is the whole set (A). चरण 1: \(A\times A\) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। चरण 2: इसलिए कोई भी दो अवयव अलग वर्गों में नहीं रह सकते। चरण 3: यह सार्विक सम्बन्ध है और इसका एक ही तुल्यता वर्ग पूरा समुच्चय (A) होता है।
((1,3)) and ((3,1)) show that (1) and (3) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
To convert a relation into a partition, put mutually related elements in the same block. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) बताते हैं कि (1) और (3) एक ही वर्ग में हैं। चरण 2: (2) और (4) केवल स्वयं से सम्बन्धित हैं, इसलिए वे अलग-अलग एकल वर्ग बनाते हैं। चरण 3: सम्बन्ध को विभाजन में बदलते समय जुड़े हुए अवयवों को एक ही डिब्बे में रखें।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर सम्बन्ध (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
Its equivalence class contains exactly those elements that are multiples of (3).
Step 3
Exam Tip
In the given set, the multiples of (3) are (3) and (6), so the class is ({3,6}). चरण 1: (3) स्वयं (3) का गुणज है। चरण 2: इसके तुल्यता वर्ग में वही अवयव आएँगे जो (3) के गुणज हैं। चरण 3: दिए गए समुच्चय में (3) के गुणज (3) और (6) हैं, इसलिए वर्ग ({3,6}) है।
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और (23) का वर्ग उन संख्याओं का है जिनका इकाई अंक (3) है/It is an equivalence relation and the class of (23) contains numbers with unit digit (3)
Step 1
Concept
Every number has the same unit digit as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same unit digit works in both directions.
Step 3
Exam Tip
If two numbers have the same unit digit as a third number, they also have the same unit digit as each other. चरण 1: हर संख्या का इकाई अंक स्वयं के इकाई अंक के समान होता है, इसलिए स्वतुल्य है। चरण 2: समान इकाई अंक की बात उलटी दिशा में भी सही रहती है। चरण 3: यदि दो संख्याएँ तीसरी के समान इकाई अंक रखती हैं, तो वे आपस में भी समान इकाई अंक रखेंगी।
A number (x) is related to (1.7) only when (x-1.7) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
This means (x=1.7+n), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
Writing just one interval is wrong because the class contains numbers at integer distances. चरण 1: (x) तभी (1.7) से सम्बन्धित होगा जब (x-1.7) पूर्णांक हो। चरण 2: इसका अर्थ है (x=1.7+n), जहाँ \(n\in Z\)। चरण 3: केवल एक अंतराल लिखना गलत होगा, क्योंकि वर्ग में अलग-अलग पूर्णांक दूरी वाली संख्याएँ आती हैं।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिलता है। (2) के तुल्यता वर्ग में कौन-कौन से अवयव होंगे?
In the given set, only (2) and (6) leave remainder (2).
Step 3
Exam Tip
While writing an equivalence class, do not include numbers outside the given base set. चरण 1: (2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में केवल (2) और (6) का शेष (2) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल समुच्चय से बाहर की संख्याएँ नहीं लिखनी चाहिए।
In a relation made by equal function values, all elements with the same value lie in one class. चरण 1: (\min(5,3)=3) है। चरण 2: जिन अवयवों के लिए (\min(a,3)=3) होगा, वे (3,4,5) हैं। चरण 3: फलन के समान मान से बने सम्बन्ध में समान मान वाले सभी अवयव एक ही वर्ग में आते हैं।
Every triangle is similar to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If the first triangle is similar to the second, the second is similar to the first.
Step 3
Exam Tip
If the first is similar to the second and the second to the third, then the first is similar to the third. चरण 1: हर त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। चरण 2: यदि पहला त्रिभुज दूसरे के समरूप है, तो दूसरा भी पहले के समरूप है। चरण 3: यदि पहला दूसरे के और दूसरा तीसरे के समरूप है, तो पहला तीसरे के समरूप होगा।
The main property of equivalence classes is that two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
Here \([a]\neq[b]\), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
Therefore their intersection must be empty. चरण 1: तुल्यता वर्गों का मुख्य गुण है कि दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त। चरण 2: यहाँ दिया है कि \([a]\neq[b]\), इसलिए समान होने की संभावना नहीं रही। चरण 3: अतः दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
In an equivalence relation, related elements lie in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
If (aRb), anything related to (a) is also related to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore the equivalence classes are equal, not just partially overlapping. चरण 1: तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयव एक ही वर्ग में होते हैं। चरण 2: यदि (aRb), तो जो भी (a) से सम्बन्धित है वह (b) से भी सम्बन्धित होगा। चरण 3: इसलिए दोनों के तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं; वे आंशिक रूप से नहीं बल्कि पूरी तरह समान होते हैं।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में ((4,7)) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
The remainders are different, so (4) and (7) are not related and \((4,7)\notin R\). चरण 1: (4) को (2) से भाग देने पर शेष (0) है। चरण 2: (7) को (2) से भाग देने पर शेष (1) है। चरण 3: शेष अलग हैं, इसलिए (4) और (7) सम्बन्धित नहीं हैं और \((4,7)\notin R\) होगा।
Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
If two classes share even one element, the two classes become identical.
Step 3
Exam Tip
Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition. चरण 1: तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। चरण 2: यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है।
A. क्योंकि समान जन्मतिथि की बात स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because having the same date of birth is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
Every student has the same date of birth as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
If the first student has the same date as the second, the second has the same date as the first.
Step 3
Exam Tip
If two students share the same date with a third student, they share it with each other too. चरण 1: हर विद्यार्थी की जन्मतिथि स्वयं के समान होती है। चरण 2: यदि पहले की जन्मतिथि दूसरे जैसी है, तो दूसरे की भी पहले जैसी है। चरण 3: यदि दो विद्यार्थी तीसरे के साथ समान जन्मतिथि रखते हैं, तो वे आपस में भी समान जन्मतिथि रखेंगे।
This is the equality relation, where each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every element forms its own singleton equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Since (A) has (4) elements, there are (4) equivalence classes. चरण 1: यह समानता सम्बन्ध है, जिसमें हर अवयव केवल स्वयं से सम्बन्धित होता है। चरण 2: इसलिए प्रत्येक अवयव अपना अलग एकल तुल्यता वर्ग बनाता है। चरण 3: (A) में (4) अवयव हैं, अतः (4) तुल्यता वर्ग होंगे।
To be an equivalence relation, at least every ((a,a)) pair is needed.
Step 2
Why this answer is correct
Taking only these reflexive pairs still preserves symmetry and transitivity.
Step 3
Exam Tip
Therefore the equality relation is the smallest equivalence relation. चरण 1: तुल्यता सम्बन्ध होने के लिए कम से कम हर ((a,a)) युग्म चाहिए। चरण 2: केवल ये स्वतुल्य युग्म लेने पर सममिति और संक्रामकता भी बनी रहती है। चरण 3: इसलिए समानता सम्बन्ध ही सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध है।
