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सममित विस्तार में दिए गए सभी युग्म बने रहते हैं और जिनके उल्टे नहीं हैं, वे जोड़े जाते हैं। / A symmetric extension keeps all given pairs and adds only the missing reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) का उल्टा ((4,2)) अनुपस्थित है, जबकि बाकी गैर-समान युग्मों के उल्टे मौजूद हैं। / The reverse of ((2,4)) is ((4,2)), and it is missing, while other unequal pairs already have reverses.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा विस्तार पूछे जाने पर केवल आवश्यक उल्टे युग्म ही जोड़ें। / For the smallest extension, add only the compulsory reverse pairs.
स्वतुल्य होने से सभी विकर्ण युग्म निश्चित रूप से संबंध में होंगे। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be included.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता में केवल (n(n-1)/2) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों को चुनना होता है, इसलिए संख्या \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\) होगी। / For symmetry, we choose from (n(n-1)/2) unordered off-diagonal pair groups, so the count is \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्य शर्त होने पर विकर्ण युग्मों के लिए अलग चुनाव नहीं बचता। / When reflexivity is fixed, do not count diagonal choices separately.
कोई विकर्ण युग्म नहीं होने का अर्थ है कि ((a,a)) जैसे सभी युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / No diagonal pair means every pair of the form ((a,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
अब केवल (5) अवयवों के \(5\cdot4/2=10\) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों में चुनाव बचेगा। / Only the \(5\cdot4/2=10\) unordered off-diagonal pair groups remain optional.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्म अकेले नहीं, अपने उल्टे के साथ चुने जाते हैं। / In symmetric relations, off-diagonal pairs are selected together with their reverses.
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध के सममित होने से उसके हर उपसंबंध में उल्टे युग्म अपने-आप नहीं रहते। / A symmetric relation can have a subset that does not contain all reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) सममित है, लेकिन \(S=\{(1,2)\}\) सममित नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) is symmetric, but \(S=\{(1,2)\}\) is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्न में यह न मानें कि सभी गुण नीचे चले जाते हैं। / Do not assume that every property passes to subsets.
A. (R-S) हमेशा सममित होगा/(R-S) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\) होगा। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित है इसलिए \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता, जो असत्य है। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\), and since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\), which is false.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले प्रमाण में शामिल और अनुपस्थित दोनों शर्तों को साथ जाँचें। / In difference proofs, handle membership and non-membership together.
उल्टे संबंध के नियम से (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}) होता है। / For inverse relations, (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) और \(S^{-1}=S\), अतः (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R)। / Since (R) and (S) are symmetric, \(R^{-1}=R\) and \(S^{-1}=S\), so (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R).
Step 3
Exam Tip
यदि \(R\circ S=S\circ R\), तो संयुक्त संबंध अपने उल्टे के बराबर होकर सममित हो जाएगा। / If \(R\circ S=S\circ R\), then the composite equals its inverse and is symmetric.
यदि (a+b=0), तो क्रम बदलने पर (b+a=0) भी सत्य होगा। / If (a+b=0), then after swapping the order, (b+a=0) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी है। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
योग वाले नियम में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता जल्दी पहचानी जा सकती है। / In sum-based rules, the order does not change the sum, so symmetry is often easier to detect.
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। / Exactly two diagonal pairs can be selected in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या \(4\cdot3/2=6\) है, जिनके लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / There are \(4\cdot3/2=6\) unordered off-diagonal pair groups, giving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण चुनाव और गैर-विकर्ण सममित चुनाव को गुणा करें। / Multiply the diagonal choices and off-diagonal symmetric choices.
दिए गए तीनों युग्म गैर-विकर्ण हैं। / All three given pairs are off-diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण ((2,1),(3,2),(4,3)) भी होने जरूरी हैं, इसलिए कुल (6) गैर-विकर्ण युग्म हो जाते हैं। / Symmetry forces ((2,1),(3,2),(4,3)), making (6) off-diagonal pairs in total.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या पूछी हो तो अतिरिक्त विकर्ण या अन्य युग्म न जोड़ें। / For a minimum count, do not add extra diagonal or unrelated pairs.
\(R^{-1}\) में (R) के हर युग्म का उल्टा युग्म होता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में कोई भी युग्म आएगा तो उसका उल्टा भी उसी संघ में मिल जाएगा। / In \(R\cup R^{-1}\), whenever a pair appears, its reverse also appears in the same union.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का सबसे सीधा सममित विस्तार अक्सर \(R\cup R^{-1}\) होता है। / A direct symmetric extension of a relation is often \(R\cup R^{-1}\).
(R) को सममित बनाने के लिए हर युग्म का उल्टा जोड़ना पड़ता है। / To make (R) symmetric, every pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
\(R^{-1}\) यही उल्टे युग्म देता है, इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सभी आवश्यक युग्म रखता है। / \(R^{-1}\) provides exactly those reverse pairs, so \(R\cup R^{-1}\) contains all required pairs.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा शब्द देखकर अनावश्यक अतिरिक्त युग्म जोड़ने वाले विकल्प हटाएँ। / When the word smallest appears, reject options that add unnecessary pairs.
\(R\cap R^{-1}=R\) से \(R\subseteq R^{-1}\) मिलता है। / \(R\cap R^{-1}=R\) implies \(R\subseteq R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (R) के हर युग्म का उल्टा भी (R) में है, इसलिए संबंध सममित है। / This means every pair of (R) has its reverse in (R), so (R) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
सममितता सिद्ध करने में \(R\subseteq R^{-1}\) और \(R^{-1}\subseteq R\) जैसी समावेशन भाषा मदद करती है। / Inclusion statements such as \(R\subseteq R^{-1}\) are useful for proving symmetry.
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या हमेशा सम होती है क्योंकि वे उल्टे जोड़ों में आते हैं। / In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is always even because they appear in reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (10) युग्मों में यदि (3) विकर्ण हों, तो गैर-विकर्ण (7) होंगे, जो सम नहीं है। / If there are (3) diagonal pairs out of (10), the off-diagonal count is (7), which is not even.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म और विकर्ण युग्म की सम-विषम जाँच तेज तरीका है। / Checking parity of total and diagonal counts is a fast exam method.
\(a^2+b^2=25\) में (a) और (b) की जगह बदलने पर \(b^2+a^2=25\) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in \(a^2+b^2=25\) gives \(b^2+a^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
योग का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / The value does not change, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के योग वाले नियमों में सममितता अक्सर सीधे दिखती है। / Rules based on sums of squares are often directly symmetric.
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण युग्म उल्टे जोड़ों में आते हैं, इसलिए उनके समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है। / Off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) होते हैं। / The total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्मों की संख्या सम होती है। / In a symmetric relation, the number of off-diagonal pairs is even.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (5) युग्म हैं, इसलिए विकर्ण युग्मों की संख्या विषम होनी चाहिए। (A) में अधिकतम (3) विकर्ण युग्म हो सकते हैं, इसलिए (1) संभव है। / Since the total is (5), the number of diagonal pairs must be odd. With (3) elements, possible diagonal counts are at most (3), so (1) is possible.
Step 3
Exam Tip
पहले सम-विषम नियम लगाएँ, फिर अधिकतम सीमा देखें। / Apply parity first, then check the maximum limit.
\(A\times A-R\) में वे युग्म हैं जो (R) में नहीं हैं। / \(A\times A-R\) contains the pairs not in (R).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) इस पूरक में है और ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो असंभव है। / If ((a,b)) is in this complement and ((b,a)) were in (R), symmetry of (R) would force \((a,b)\in R\), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध का पूरक भी सममित रहता है। / The complement of a symmetric relation is symmetric.
एक गैर-विकर्ण जोड़ी समूह का अर्थ है ((a,b)) और ((b,a)) दोनों साथ। / One off-diagonal pair group means ((a,b)) and ((b,a)) together.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए एक समूह से दो क्रमित युग्म बनते हैं। / Therefore one group gives two ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण चयन को समूह के रूप में गिनें, अकेले युग्म के रूप में नहीं। / In symmetric relations, count off-diagonal selections as groups, not single pairs.
A. यदि \((4,1)\in R\) होता तो \((1,4)\in R\) भी होता, इसलिए \((4,1)\notin R\)/If \((4,1)\in R\), then \((1,4)\in R\), so \((4,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता में \((4,1)\in R\) होने पर उसका उल्टा \((1,4)\in R\) होना चाहिए। / In a symmetric relation, \((4,1)\in R\) would force \((1,4)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
पर \((1,4)\notin R\) दिया है, इसलिए ((4,1)) भी नहीं हो सकता। / Since \((1,4)\notin R\), ((4,1)) cannot be in (R).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में किसी गैर-विकर्ण युग्म की अनुपस्थिति उसके उल्टे की अनुपस्थिति भी बताती है। / In symmetric relations, absence of an off-diagonal pair also implies absence of its reverse.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेषफल है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, तो (b) और (a) का भी समान ही होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध को सममित मानने से पहले उल्टा क्रम सोचें। / For same-remainder relations, check the reversed order mentally.
सममितता जाँचने के लिए एक युग्म लें। ((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\)। / Test one pair for symmetry. ((2,1)) belongs because \(2\equiv 2\cdot1 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,2)) जाँचने पर \(1\equiv 4 \pmod{5}\) असत्य है। / The reverse ((1,2)) would require \(1\equiv 4 \pmod{5}\), which is false.
Step 3
Exam Tip
गुणक वाले शेषफल संबंधों में उल्टा क्रम हमेशा वही नियम पूरा नहीं करता। / Modular relations with a multiplier do not always survive reversal.
एक विकर्ण युग्म चुनने के (3) तरीके हैं। / There are (3) ways to choose one diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
दो गैर-विकर्ण क्रमित युग्मों का अर्थ है एक उल्टा जोड़ी समूह; (3) अवयवों में ऐसे समूह \(\binom{3}{2}=3\) हैं। / Two off-diagonal ordered pairs mean one reverse-pair group; with (3) elements, there are \(\binom{3}{2}=3\) such groups.
Step 3
Exam Tip
कुल तरीके \(3\cdot3=9\) होंगे। / Total possibilities are \(3\cdot3=9\).
दो सममित संबंधों का अंतर भी सममित होता है। / The difference of two symmetric relations is also symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे, और सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। / Both (R-S) and (S-R) are symmetric, and the union of symmetric relations is symmetric.
Step 3
Exam Tip
जटिल संक्रिया को छोटे भागों में तोड़कर गुण जाँचें। / Break a complex operation into smaller relation operations.
\(\Delta\) में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta\) contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे युग्मों का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए \(\Delta\) सममित है और \(R\cap\Delta\) भी सममित रहेगा। / The reverse of such a pair is the same pair, so \(\Delta\) is symmetric and \(R\cap\Delta\) remains symmetric.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण संबंध को सममितता में हमेशा विशेष रूप से आसान मानें। / The diagonal relation is always easy to handle in symmetry questions.
A. ((a,a)), यदि (a) और (b) वही अवयव हैं जिनसे ((a,b)) दिया है/((a,a)), for the same (a) and (b) in the given pair
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\) और सममितता से \((b,a)\in R\) होगा। / From \((a,b)\in R\), symmetry gives \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,a)) से \((a,a)\in R\) मिलता है। / By transitivity, ((a,b)) and ((b,a)) imply \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
यह निष्कर्ष केवल जुड़े हुए अवयवों के लिए है, पूरे समुच्चय के हर अवयव के लिए नहीं। / This conclusion applies to the involved elements, not automatically to every element of the set.
A. कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता/No off-diagonal pair can occur
Step 1
Concept
सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी-सममितता कहती है कि यदि दोनों दिशाएँ हों तो (a=b) होना चाहिए। इसलिए \(a\ne b\) वाले युग्म संभव नहीं। / Antisymmetry says that if both directions are present, then (a=b). Hence off-diagonal pairs with \(a\ne b\) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुण साथ आएँ तो विकर्ण और गैर-विकर्ण का अलग विश्लेषण करें। / When both properties appear together, separate diagonal and off-diagonal cases.
सममित और विरोधी-सममित दोनों होने पर कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can be present.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (4) विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / Only the (4) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^4\) है। / Therefore, the number of such relations is \(2^4\).
यदि (xy>0), तो (yx>0) भी होगा क्योंकि गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / If (xy>0), then (yx>0) because the product does not change when order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((x,y)\in R\) होने पर \((y,x)\in R\) भी होगा। / Hence \((x,y)\in R\) implies \((y,x)\in R\).
Step 3
Exam Tip
गुणनफल आधारित नियमों में क्रम बदलने का असर ध्यान से देखें। / In product-based conditions, check whether swapping changes the value.
A. \(R^2\) हमेशा सममित होगा/\(R^2\) will always be symmetric
Step 1
Concept
(R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), इसलिए \(R^2\) अपने उल्टे के बराबर है। / (\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), so \(R^2\) equals its inverse.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का वर्ग लेते समय उल्टे संबंध का नियम बहुत उपयोगी होता है। / For powers of relations, the inverse relation rule is very useful.
हर गैर-विकर्ण जोड़ी समूह से (2) क्रमित युग्म बनते हैं। / Each off-diagonal pair group contributes (2) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) समूहों से (6) गैर-विकर्ण युग्म और (2) विकर्ण युग्म मिलाकर कुल (8) युग्म होंगे। / (3) groups give (6) off-diagonal pairs, and with (2) diagonal pairs the total is (8).
Step 3
Exam Tip
समूहों और वास्तविक क्रमित युग्मों में अंतर याद रखें। / Remember the difference between pair groups and actual ordered pairs.
A. यह सार्वत्रिक और सममित है/It is universal and symmetric
Step 1
Concept
(\max(a,b)=\max(b,a)) हर वास्तविक (a,b) के लिए सत्य है। / (\max(a,b)=\max(b,a)) is true for all real (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध सभी युग्मों को रखता है, यानी यह सार्वत्रिक संबंध है। / So the relation contains every ordered pair, making it universal.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है क्योंकि सभी उल्टे युग्म भी मौजूद होते हैं। / A universal relation is always symmetric because every reverse pair is present.
यदि \(R={(a,b):a\) और (b) के बीच की दूरी (5) से कम है(}) वास्तविक संख्याओं पर है, तो इसे प्रतीकों में \(R=\{(a,b):|a-b|<5\}\) लिखा जाता है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंध में ((1,2),(2,1),(3,4),(4,3)) हैं और कोई अन्य गैर-विकर्ण युग्म नहीं है, तो गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या कितनी है?
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध (S) में अतिरिक्त युग्म जोड़े जा सकते हैं। / The larger relation (S) may contain additional pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अतिरिक्त युग्म अपने उल्टे के बिना जुड़ जाए, तो (S) सममित नहीं रहेगा। / If an extra pair is added without its reverse, (S) may fail to be symmetric.
Step 3
Exam Tip
अधिसंबंध में गुण ऊपर जाना जरूरी नहीं होता। / A property need not pass upward to every superset relation.
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, और विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होते हैं। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and diagonal pairs are their own reverses.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध सममित है, पर ((3,3)) नहीं होने से यह स्वतुल्य नहीं है। / Hence the relation is symmetric, but it is not reflexive because ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर विकर्ण युग्म का होना जरूरी नहीं है। / Symmetry does not require every diagonal pair to be present.
\(R^{-1}\subseteq R\) का अर्थ है कि (R) के उल्टे संबंध के सभी युग्म (R) में हैं। / \(R^{-1}\subseteq R\) means all pairs of the inverse relation are contained in (R).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R^{-1}\), और समावेशन से \((b,a)\in R\) होगा। / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R^{-1}\), so by inclusion \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता सिद्ध करने में उल्टे संबंध का समावेशन तेज विधि है। / Inclusion of inverse relations is a quick way to prove symmetry.
