समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। यह संबंध किस कारण सममित है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), the relation \(R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) is given. Why is this relation symmetric?
#symmetric relation
#relations and functions
#class 12
#ordered pairs
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? Hint Small clue
A हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में है / The reverse pair of every pair is also in the relation
B सभी तत्व अपने-आप से संबंधित हैं / Every element is related to itself
C संबंध में सभी संभव युग्म हैं / The relation contains all possible pairs
D कोई भी उल्टा युग्म संबंध में नहीं है / No reverse pair is in the relation
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Correct Answer
A. हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में है / The reverse pair of every pair is also in the relation
Step 1
Concept
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\), तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। / Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर अलग-अलग तत्वों वाले युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check reverse pairs for pairs with different elements.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\) है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\). Which minimum pair must be added to make (R) symmetric?
#symmetric closure
#minimum pair
#relations
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((4,3))
B ((3,3))
C ((4,4))
D ((1,1))
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Correct Answer
A. ((4,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से एक-दूसरे के उल्टे हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are already reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) का उल्टा ((4,3)) नहीं है, इसलिए वही जोड़ना जरूरी है। / The reverse of ((3,4)) is ((4,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
सममित बनाने में केवल उन युग्मों के उल्टे जोड़ें जो गायब हों। / To make a relation symmetric, add only the missing reverse pairs.
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की कुल संख्या क्या होगी?
If (A) has (n) elements, what is the total number of symmetric relations on (A)?
#number of symmetric relations
#counting
#finite set
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
B \(2^{n^2}\)
C \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
D \(n^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म ((a,a)) स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इनकी संख्या (n) है। / Diagonal pairs ((a,a)) can be chosen independently, and there are (n) of them.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों वाले युग्म जोड़े में चुने जाते हैं, ऐसे जोड़ों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है। / Non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks, giving (\frac{n(n-1)}{2}) blocks.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
How many symmetric relations are possible on the set \(A=\{1,2,3,4\}\)?
#symmetric relation
#counting
#class 12
#relations
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? Hint Small clue
A (1024)
B (256)
C (64)
D (16)
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Step 1
Concept
यहाँ (n=4) है। / Here (n=4).
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
\(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}=1024\), इसलिए सही संख्या (1024) है। / \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}=1024\), so the correct number is (1024).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) के लिए कौन-सा कथन सही है?
For the relation \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement is correct?
#non symmetric relation
#reverse pair
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह सममित नहीं है क्योंकि ((3,2)) अनुपस्थित है / It is not symmetric because ((3,2)) is absent
B यह सममित है क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं / It is symmetric because ((1,2)) and ((2,1)) are present
C यह सममित है क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं है / It is symmetric because there is no diagonal pair
D यह सममित नहीं है क्योंकि ((1,1)) अनुपस्थित है / It is not symmetric because ((1,1)) is absent
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Correct Answer
A. यह सममित नहीं है क्योंकि ((3,2)) अनुपस्थित है / It is not symmetric because ((3,2)) is absent
Step 1
Concept
सममितता के लिए संबंध के हर युग्म का उल्टा भी होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every ordered pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) दिया है, पर ((3,2)) नहीं दिया गया। / ((2,3)) is present, but ((3,2)) is not present.
Step 3
Exam Tip
एक भी जरूरी उल्टा युग्म न मिले तो संबंध सममित नहीं माना जाता। / If even one required reverse pair is missing, the relation is not symmetric.
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यदि संबंध (R) सममित है और \((5,8) \in R\), तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?
If a relation (R) is symmetric and \((5,8) \in R\), which conclusion is definitely true?
#definition
#symmetric relation
#ordered pair
#class 12
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A \((8,5) \in R\)
B \((5,5) \in R\)
C \((8,8) \in R\)
D \((5,8) \notin R\)
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Correct Answer
A. \((8,5) \in R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध की पहचान उल्टे युग्म से होती है। / A symmetric relation is identified by reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((5,8)) होने पर ((8,5)) होना अनिवार्य है। / Since ((5,8)) is present, ((8,5)) must be present.
Step 3
Exam Tip
ध्यान रखें कि सममितता अपने-आप विकर्ण युग्मों की गारंटी नहीं देती। / Remember that symmetry alone does not guarantee diagonal pairs.
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किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) सममित है। तब \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
A relation (R) on a set (A) is symmetric. Which statement about \(R^{-1}\) is correct?
#inverse relation
#symmetric relation
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}=\varnothing\)
C \(R^{-1}=A\)
D \(R^{-1}\subset R\) हमेशा / \(R^{-1}\subset R\) always
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Correct Answer
A. \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में उल्टे युग्म पहले से उसी संबंध में होते हैं। / In a symmetric relation, those reverse pairs already belong to the same relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममितता जाँचने का अच्छा तरीका है कि \(R^{-1}=R\) है या नहीं। / Hence a useful test for symmetry is checking whether \(R^{-1}=R\).
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\(यदि (R={(a,b):a-b\) सम है}) पूर्णांकों पर दिया संबंध है, तो (R) कैसा है?
\(If (R={(a,b):a-b\) is even}) is a relation on integers, what type is (R)?
#integers
#parity
#symmetric relation
#class 12
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A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल रिक्त संबंध / Empty relation only
D केवल सर्वसम संबंध / Identity relation only
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। / If (a-b) is even, then (b-a=-(a-b)) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) से \((b,a) \in R\) मिलता है। / Thus \((a,b) \in R\) implies \((b,a) \in R\).
Step 3
Exam Tip
संख्या-आधारित संबंधों में उल्टा करने पर शर्त बदलेगी या नहीं, यह जरूर जाँचें। / For number-based relations, check whether the condition remains true after reversing the pair.
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प्राकृतिक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) दिया है। यह संबंध सममित क्यों नहीं है?
On natural numbers, \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) is given. Why is this relation not symmetric?
#counterexample
#order relation
#not symmetric
#class 12
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? Hint Small clue
A क्योंकि \(1\leq2\) है पर \(2\leq1\) नहीं है / Because \(1\leq2\) but \(2\leq1\) is false
B क्योंकि \(1\leq1\) है / Because \(1\leq1\) is true
C क्योंकि हर संख्या अपने बराबर है / Because every number equals itself
D क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं है / Because it has no pair
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Correct Answer
A. क्योंकि \(1\leq2\) है पर \(2\leq1\) नहीं है / Because \(1\leq2\) but \(2\leq1\) is false
Step 1
Concept
सममितता के लिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\leq2\) सही है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है, लेकिन \(2\leq1\) गलत है। / \(1\leq2\) is true, so ((1,2)) is in the relation, but \(2\leq1\) is false.
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिउदाहरण संबंध को असममित सिद्ध करने के लिए पर्याप्त होता है। / One counterexample is enough to prove that a relation is not symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\varnothing\) है। (R) के लिए कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\varnothing\). Which statement is correct for (R)?
#empty relation
#vacuous truth
#symmetric relation
#class 12
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A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह तभी सममित होगा जब ((1,1)) जोड़ा जाए / It becomes symmetric only after adding ((1,1))
D यह तभी सममित होगा जब सभी युग्म जोड़े जाएँ / It becomes symmetric only after adding all pairs
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
सममितता की शर्त हर मौजूद युग्म पर लगती है। / The condition for symmetry applies to every pair that is present.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन भी नहीं होता। / The empty relation has no pair, so there is no violation.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में याद रखें कि रिक्त संबंध सममित माना जाता है। / Remember that the empty relation is considered symmetric.
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समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(R=A\times A\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
For a set (A), which statement is correct about the universal relation \(R=A\times A\)?
#universal relation
#cartesian product
#symmetric relation
#class 12
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A यह हमेशा सममित है / It is always symmetric
B यह कभी सममित नहीं है / It is never symmetric
C यह केवल तब सममित है जब (A) रिक्त हो / It is symmetric only when (A) is empty
D यह केवल तब सममित है जब (A) में एक तत्व हो / It is symmetric only when (A) has one element
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Correct Answer
A. यह हमेशा सममित है / It is always symmetric
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) इसमें है, तो ((b,a)) भी निश्चित रूप से इसमें होगा। / If ((a,b)) is present, ((b,a)) is also certainly present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध सममितता के लिए सबसे सीधा उदाहरण है। / The universal relation is a direct example of a symmetric relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सर्वसम संबंध \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
For the identity relation \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is the correct conclusion?
#identity relation
#diagonal pairs
#symmetric relation
#class 12
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A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह केवल संक्रामी है, सममित नहीं / It is only transitive, not symmetric
D यह तभी सममित होगा जब ((1,2)) जोड़ा जाए / It becomes symmetric only after adding ((1,2))
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
((a,a)) का उल्टा फिर ((a,a)) ही होता है। / The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
सर्वसम संबंध में केवल ऐसे ही विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए उल्टा युग्म अपने-आप मौजूद है। / The identity relation contains only such diagonal pairs, so each reverse pair is already present.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता में कभी समस्या नहीं बनाते। / Diagonal pairs never create a problem for symmetry.
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यदि किसी संबंध का आव्यूह \(M=\begin{bmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&0\end{bmatrix}\) है, तो संबंध के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If the matrix of a relation is \(M=\begin{bmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&0\end{bmatrix}\), which statement about the relation is correct?
#matrix representation
#symmetric matrix
#relation
#class 12
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A संबंध सममित है / The relation is symmetric
B संबंध सममित नहीं है / The relation is not symmetric
C संबंध रिक्त है / The relation is empty
D संबंध सार्वत्रिक है / The relation is universal
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Correct Answer
A. संबंध सममित है / The relation is symmetric
Step 1
Concept
आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार समानता देखें। / To test symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
यदि \(M=M^T\), तो संबंध सममित होता है। / If \(M=M^T\), the relation is symmetric.
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यदि संबंध का आव्यूह \(M=\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\0&1&1\end{bmatrix}\) है, तो यह सममित क्यों नहीं है?
If the matrix of a relation is \(M=\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\0&1&1\end{bmatrix}\), why is it not symmetric?
#relation matrix
#not symmetric
#class 12
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A क्योंकि \(m_{12}\neq m_{21}\) / Because \(m_{12}\neq m_{21}\)
B क्योंकि \(m_{11}=1\) / Because \(m_{11}=1\)
C क्योंकि \(m_{22}=1\) / Because \(m_{22}=1\)
D क्योंकि \(m_{23}=m_{32}\) / Because \(m_{23}=m_{32}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(m_{12}\neq m_{21}\) / Because \(m_{12}\neq m_{21}\)
Step 1
Concept
सममित संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{12}=1\), लेकिन \(m_{21}=0\), इसलिए बराबरी टूट गई। / Here \(m_{12}=1\), but \(m_{21}=0\), so the equality fails.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / In matrix-based questions, compare entries on both sides of the main diagonal.
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निर्देशित आरेख में सममित संबंध पहचानने का सही तरीका कौन-सा है?
What is the correct way to identify a symmetric relation in a directed graph?
#directed graph
#arrow diagram
#symmetric relation
#class 12
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A हर तीर के साथ विपरीत दिशा का तीर भी हो / Every arrow has a reverse arrow
B हर बिंदु पर केवल स्वयं-चक्र हो / Every vertex has only a loop
C किसी भी दो बिंदुओं के बीच तीर न हो / There is no arrow between any two vertices
D सभी तीर केवल एक ही दिशा में हों / All arrows are in only one direction
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Correct Answer
A. हर तीर के साथ विपरीत दिशा का तीर भी हो / Every arrow has a reverse arrow
Step 1
Concept
निर्देशित आरेख में ((a,b)) को (a) से (b) की ओर तीर से दिखाते हैं। / In a directed graph, ((a,b)) is shown by an arrow from (a) to (b).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए (b) से (a) की ओर विपरीत तीर भी चाहिए। / Symmetry requires the reverse arrow from (b) to (a).
Step 3
Exam Tip
चित्र वाले प्रश्नों में हर दो-तरफा जोड़ी को ध्यान से जाँचें। / In graph questions, carefully check every two-way pair.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है}) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even}). Which statement about (R) is correct?
#parity
#sum relation
#symmetric relation
#class 12
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A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह केवल रिक्त संबंध है / It is only the empty relation
D यह केवल सर्वसम संबंध है / It is only the identity relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So ((a,b)) being in the relation implies ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
जोड़ या गुणा जैसे अदला-बदली वाले नियम अक्सर सममितता देते हैं। / Conditions based on commutative operations like addition or multiplication often give symmetry.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a-b=3\}\) दिया है। यह सममित नहीं है, इसका सही कारण क्या है?
On real numbers, \(R=\{(a,b):a-b=3\}\) is given. What is the correct reason it is not symmetric?
#real numbers
#difference relation
#not symmetric
#class 12
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A क्योंकि (a-b=3) से (b-a=3) नहीं मिलता / Because (a-b=3) does not imply (b-a=3)
B क्योंकि (a-b=3) हमेशा गलत है / Because (a-b=3) is always false
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या धनात्मक है / Because every real number is positive
D क्योंकि इसमें कोई क्रमित युग्म नहीं बन सकता / Because no ordered pair can be formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (a-b=3) से (b-a=3) नहीं मिलता / Because (a-b=3) does not imply (b-a=3)
Step 1
Concept
((a,b)) संबंध में है जब (a-b=3) हो। / ((a,b)) is in the relation when (a-b=3).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा युग्म ((b,a)) तभी होगा जब (b-a=3), जो सामान्यतः सही नहीं है। / The reverse pair ((b,a)) would require (b-a=3), which is not generally true.
Step 3
Exam Tip
जैसे ((4,1)) संबंध में है, पर ((1,4)) नहीं है। / For example, ((4,1)) is in the relation, but ((1,4)) is not.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\) है। कौन-सा गुण सही है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\). Which property is correct?
#diagonal pairs
#reverse pairs
#symmetric relation
#class 12
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A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह सममित है पर केवल ((2,3)) के कारण / It is symmetric only because of ((2,3))
D यह सममित नहीं है क्योंकि ((1,2)) नहीं है / It is not symmetric because ((1,2)) is missing
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं। / Diagonal pairs are their own reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म भी संतुलित हैं। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so the non-diagonal pair is balanced.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म होना जरूरी नहीं, केवल मौजूद युग्मों के उल्टे होने चाहिए। / Symmetry does not require all possible pairs; it only requires reverse pairs for the pairs present.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर सममित संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) and (S) are both symmetric relations on (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?
#intersection of relations
#symmetric relation
#proof
#class 12
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A \(R\cap S\) भी सममित है / \(R\cap S\) is also symmetric
B \(R\cap S\) कभी सममित नहीं होता / \(R\cap S\) is never symmetric
C \(R\cap S\) केवल रिक्त होने पर सममित है / \(R\cap S\) is symmetric only when empty
D \(R\cap S\) केवल सार्वत्रिक होने पर सममित है / \(R\cap S\) is symmetric only when universal
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) भी सममित है / \(R\cap S\) is also symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो यह (R) और (S) दोनों में है। / If \((a,b) \in R\cap S\), then it belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी (R) और (S) दोनों में होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a) \in R\cap S\), अतः प्रतिच्छेद सममित है। / Hence \((b,a) \in R\cap S\), so the intersection is symmetric.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) and (S) are both symmetric relations on (A), which statement about \(R\cup S\) is correct?
#union of relations
#symmetric relation
#proof
#class 12
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A \(R\cup S\) भी सममित है / \(R\cup S\) is also symmetric
B \(R\cup S\) कभी सममित नहीं होता / \(R\cup S\) is never symmetric
C \(R\cup S\) केवल तब सममित है जब (R=S) / \(R\cup S\) is symmetric only when (R=S)
D \(R\cup S\) केवल रिक्त संबंध है / \(R\cup S\) is only the empty relation
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) भी सममित है / \(R\cup S\) is also symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह कम-से-कम एक संबंध में होगा। / If \((a,b) \in R\cup S\), it belongs to at least one of the relations.
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह है, वहाँ सममितता के कारण ((b,a)) भी होगा। / In that relation, symmetry gives ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((b,a)) भी \(R\cup S\) में आएगा, अतः संघ सममित है। / Therefore ((b,a)) also belongs to \(R\cup S\), so the union is symmetric.
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यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\setminus S\) के बारे में कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\setminus S\) is always true?
#difference of relations
#symmetric relation
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा सममित नहीं होता / It is not always symmetric
B यह हमेशा सममित होता है / It is always symmetric
C यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
D यह हमेशा सार्वत्रिक होता है / It is always universal
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Correct Answer
A. यह हमेशा सममित नहीं होता / It is not always symmetric
Step 1
Concept
(R) में दोनों उल्टे युग्म हो सकते हैं। / (R) may contain both reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) उनमें से केवल एक युग्म हटा सकता है, जिससे सममितता टूट सकती है। / (S) can remove only one of those pairs, breaking symmetry.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के अंतर में सावधानी रखें, क्योंकि गुण हमेशा सुरक्षित नहीं रहता। / Be careful with difference of relations because symmetry is not always preserved.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। (R) में कितने युग्म जोड़कर इसे परावर्ती और सममित दोनों बनाया जा सकता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). How many pairs must be added to make (R) both reflexive and symmetric?
#reflexive and symmetric
#minimum addition
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (1)
D (0)
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Step 1
Concept
संबंध पहले से सममित है क्योंकि हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा मौजूद है। / The relation is already symmetric because every non-diagonal pair has its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती बनाने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) जोड़ने होंगे। / To make it reflexive, ((1,1),(2,2),(3,3)) must be added.
Step 3
Exam Tip
सममितता और परावर्तिता अलग-अलग जाँचें, दोनों को मिलाएँ नहीं। / Check symmetry and reflexivity separately; do not mix the two properties.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,4)\}\) है। इसे सममित बनाने के लिए कितने न्यूनतम युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,4)\}\). How many minimum pairs must be added to make it symmetric?
#symmetric closure
#count missing reverse pairs
#class 12
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? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (0)
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Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पूरी जोड़ी है। / ((1,2)) and ((2,1)) form a complete reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,2)) भी पूरी जोड़ी है। / ((2,4)) and ((4,2)) also form a complete pair.
Step 3
Exam Tip
केवल ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) नहीं है, इसलिए एक युग्म जोड़ना होगा। / Only ((3,4)) is missing its reverse ((4,3)), so one pair is needed.
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किस संबंध में सममितता अवश्य होगी?
Which relation is definitely symmetric?
#equality condition
#symmetric relation
#real numbers
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) वास्तविक संख्याओं पर / \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) on real numbers
B \(R=\{(a,b):a<b\}\) वास्तविक संख्याओं पर / \(R=\{(a,b):a<b\}\) on real numbers
C \(R=\{(a,b):a=b+1\}\) पूर्णांकों पर / \(R=\{(a,b):a=b+1\}\) on integers
D \(R=\{(a,b):a\mid b\}\) प्राकृतिक संख्याओं पर / \(R=\{(a,b):a\mid b\}\) on natural numbers
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Correct Answer
A. \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) वास्तविक संख्याओं पर / \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) on real numbers
Step 1
Concept
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) भी निश्चित रूप से सही है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also certainly true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) से ((b,a)) भी मिलता है। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित शर्तें अक्सर सममित होती हैं, पर असमानता या विभाज्यता को अलग से जाँचें। / Conditions based on equality are often symmetric, while inequalities or divisibility need separate checking.
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प्राकृतिक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a\mid b\}\) सममित क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(a,b):a\mid b\}\) on natural numbers not symmetric?
#divisibility
#not symmetric
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(2\mid4\) है पर \(4\mid2\) नहीं है / Because \(2\mid4\) but \(4\nmid2\)
B क्योंकि \(2\mid2\) है / Because \(2\mid2\)
C क्योंकि \(1\mid1\) है / Because \(1\mid1\)
D क्योंकि \(4\mid2\) है / Because \(4\mid2\)
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Correct Answer
A. क्योंकि \(2\mid4\) है पर \(4\mid2\) नहीं है / Because \(2\mid4\) but \(4\nmid2\)
Step 1
Concept
सममितता के लिए \(a\mid b\) से \(b\mid a\) मिलना चाहिए। / Symmetry would require \(a\mid b\) to imply \(b\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid4\) सही है, पर \(4\mid2\) गलत है। / \(2\mid4\) is true, but \(4\nmid2\).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता संबंधों में छोटा प्रतिउदाहरण बहुत उपयोगी होता है। / A small divisibility counterexample is very useful in exams.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर किसी सममित संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) हैं। कम-से-कम कौन-से युग्म उसमें अवश्य होंगे?
In a symmetric relation on \(A=\{1,2,3\}\), ((1,2)) and ((2,3)) are present. Which pairs must be present at minimum?
#must contain pairs
#symmetric relation
#class 12
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? Hint Small clue
A ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
B ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
C ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
D ((3,3)) और ((1,1)) / ((3,3)) and ((1,1))
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Correct Answer
A. ((2,1)) और ((3,2)) / ((2,1)) and ((3,2))
Step 1
Concept
सममित संबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा चाहिए। / In a symmetric relation, every given pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) और ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and the reverse of ((2,3)) is ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
सममितता से अतिरिक्त विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते। / Symmetry does not force extra diagonal pairs.
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यदि संबंध (R) सममित है, तो निम्न में से कौन-सा कथन जरूरी नहीं है?
If a relation (R) is symmetric, which of the following is not necessary?
#reflexive vs symmetric
#concept clarity
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हर \(a\in A\) के लिए \((a,a) \in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a) \in R\)
B \((a,b) \in R\) हो तो \((b,a) \in R\) / If \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\)
C \(R^{-1}=R\)
D हर मौजूद गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा भी मौजूद हो / Every present non-diagonal pair has its reverse
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Correct Answer
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a) \in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a) \in R\)
Step 1
Concept
हर ((a,a)) का होना परावर्ती गुण से जुड़ा है। / Having every ((a,a)) is related to reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता केवल यह कहती है कि मौजूद युग्म का उल्टा भी मौजूद हो। / Symmetry only says that the reverse of every present pair must also be present.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में परावर्ती और सममित गुणों को अलग-अलग रखें। / Keep reflexive and symmetric properties separate in exams.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):|a-b|<2\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On real numbers, \(R=\{(a,b):|a-b|<2\}\). What is correct about (R)?
#absolute value
#symmetric relation
#real numbers
#class 12
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A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह केवल धनात्मक संख्याओं पर सममित है / It is symmetric only on positive numbers
D यह केवल पूर्णांकों पर सममित है / It is symmetric only on integers
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
(|a-b|=|b-a|) होता है। / (|a-b|=|b-a|).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि (|a-b|<2), तो (|b-a|<2) भी होगा। / Therefore, if (|a-b|<2), then (|b-a|<2) too.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले अंतर संबंधों में यह बराबरी तुरंत जाँच लें। / For absolute difference relations, check this equality first.
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यदि \(R=\{(a,b):a+b=10\}\) वास्तविक संख्याओं पर है, तो (R) कैसा है?
If \(R=\{(a,b):a+b=10\}\) on real numbers, what type is (R)?
#sum relation
#real numbers
#symmetric relation
#class 12
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A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल परावर्ती / Only reflexive
D केवल रिक्त / Only empty
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
(a+b=10) होने पर (b+a=10) भी सही है। / If (a+b=10), then (b+a=10) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
इससे ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus the reverse pair ((b,a)) is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
योग वाली शर्तों में जोड़ की अदला-बदली प्रकृति का उपयोग करें। / For sum-based conditions, use the commutative nature of addition.
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यदि \(R=\{(a,b):a=2b\}\) वास्तविक संख्याओं पर है, तो (R) सममित क्यों नहीं है?
If \(R=\{(a,b):a=2b\}\) on real numbers, why is (R) not symmetric?
#linear condition
#not symmetric
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (a=2b) से (b=2a) नहीं मिलता / Because (a=2b) does not imply (b=2a)
B क्योंकि (a=2b) कभी सही नहीं होता / Because (a=2b) is never true
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या शून्य है / Because every real number is zero
D क्योंकि इसमें केवल विकर्ण युग्म हैं / Because it has only diagonal pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि (a=2b) से (b=2a) नहीं मिलता / Because (a=2b) does not imply (b=2a)
Step 1
Concept
((a,b)) संबंध में होने के लिए (a=2b) चाहिए। / For ((a,b)) to be in the relation, (a=2b) is required.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा युग्म ((b,a)) तभी होगा जब (b=2a), जो सामान्यतः नहीं होता। / The reverse pair ((b,a)) would require (b=2a), which is not generally true.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) एक आसान प्रतिउदाहरण है, क्योंकि ((1,2)) संबंध में नहीं है। / ((2,1)) is a simple counterexample because ((1,2)) is not in the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित संबंधों में से कितने संबंध ((1,2)) को रखते हैं?
How many symmetric relations on \(A=\{1,2,3\}\) contain ((1,2))?
#counting with condition
#symmetric relations
#class 12
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? Hint Small clue
A (16)
B (8)
C (32)
D (4)
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Step 1
Concept
(n=3) के लिए कुल स्वतंत्र चुनाव \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होते हैं। / For (n=3), the total independent choices are \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) रखने पर ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए एक गैर-विकर्ण जोड़ी तय हो गई। / Including ((1,2)) forces ((2,1)), so one non-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
बाकी (5) स्वतंत्र चुनावों में से वही तय जोड़ी हटाकर (4) चुनाव बचते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / The remaining independent choices are (4), so the number is \(2^4=16\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ((1,1)) नहीं है?
How many symmetric relations on \(A=\{1,2,3\}\) do not contain ((1,1))?
#counting symmetric relations
#diagonal restriction
#class 12
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A (32)
B (16)
C (8)
D (4)
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Step 1
Concept
(n=3) पर सममित संबंधों के लिए (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। / For (n=3), symmetric relations have (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) को न रखने की स्थिति में एक चुनाव तय हो गया। / Excluding ((1,1)) fixes one of these choices.
Step 3
Exam Tip
बाकी (5) चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5=32\) है। / The remaining (5) choices are free, so the number is \(2^5=32\).
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किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) सममित है। यदि \((a,b)\notin R\), तो कौन-सा निष्कर्ष हमेशा सही है?
A relation (R) on a set (A) is symmetric. If \((a,b)\notin R\), which conclusion is always true?
#logical implication
#symmetric relation
#common mistake
#class 12
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A कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं निकलता / No definite conclusion follows
B \((b,a)\notin R\) अवश्य / \((b,a)\notin R\) must hold
C \((a,a)\in R\) अवश्य / \((a,a)\in R\) must hold
D \((b,b)\in R\) अवश्य / \((b,b)\in R\) must hold
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Correct Answer
A. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं निकलता / No definite conclusion follows
Step 1
Concept
सममितता केवल मौजूद युग्मों के बारे में बात करती है। / Symmetry talks only about pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
किसी युग्म के न होने से उसके उल्टे के बारे में हमेशा निश्चित बात नहीं कही जा सकती। / If a pair is absent, we cannot always conclude anything definite about its reverse.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में शर्त को उल्टा करके गलत निष्कर्ष न निकालें। / In exams, avoid reversing the implication incorrectly.
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यदि (R) सममित है और \(S\subseteq R\), तो (S) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is symmetric and \(S\subseteq R\), which statement about (S) is correct?
#subrelation
#symmetric relation
#counterexample
#class 12
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A (S) हमेशा सममित नहीं होता / (S) is not always symmetric
B (S) हमेशा सममित होता है / (S) is always symmetric
C (S) हमेशा रिक्त होता है / (S) is always empty
D (S) हमेशा (R) के बराबर होता है / (S) is always equal to (R)
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Correct Answer
A. (S) हमेशा सममित नहीं होता / (S) is not always symmetric
Step 1
Concept
सममित संबंध (R) में उल्टे युग्म साथ-साथ हो सकते हैं। / A symmetric relation (R) may contain pairs together with their reverses.
Step 2
Why this answer is correct
उपसमुच्चय (S) उनमें से केवल एक युग्म रख सकता है और दूसरा हटा सकता है। / A subset (S) may keep only one pair and remove the reverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममित संबंध का हर उपसंबंध सममित हो, यह जरूरी नहीं। / Therefore, every subrelation of a symmetric relation need not be symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). What is correct about (R)?
#congruence modulo
#symmetric relation
#class 12
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A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह केवल रिक्त संबंध है / It is only empty
D यह केवल असम संख्याओं पर लागू है / It applies only to odd numbers
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि दोनों की समता समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means both numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) की समता समान है, तो (b) और (a) की समता भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same parity, then (b) and (a) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले ऐसे संबंधों में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती। / In such congruence relations, reversing the order does not change the condition.
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यदि (R) सममित है और \(T=R\cup R^{-1}\), तो (T) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is symmetric and \(T=R\cup R^{-1}\), which statement about (T) is correct?
#inverse relation
#union
#symmetric relation
#class 12
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A (T=R)
B \(T=\varnothing\)
C \(T=A\times A\) हमेशा / \(T=A\times A\) always
D (T) सममित नहीं हो सकता / (T) cannot be symmetric
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Step 1
Concept
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)। / Hence \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\).
Step 3
Exam Tip
उल्टे संबंध से जुड़े प्रश्नों में पहले \(R^{-1}=R\) की पहचान करें। / In inverse-relation questions, first identify whether \(R^{-1}=R\).
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किसी भी संबंध (R) के लिए \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन-सा कथन हमेशा सही है?
For any relation (R), which statement about \(R\cup R^{-1}\) is always true?
#symmetric closure
#inverse relation
#class 12
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? Hint Small clue
A यह सममित है / It is symmetric
B यह हमेशा परावर्ती है / It is always reflexive
C यह हमेशा संक्रामी है / It is always transitive
D यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), then it belongs to (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) उसी संघ में मिल जाता है। / In either case, the reverse pair ((b,a)) belongs to the same union.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध को सममित बनाने का मानक तरीका \(R\cup R^{-1}\) लेना है। / A standard way to make a relation symmetric is to take \(R\cup R^{-1}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है। \(R\cup R^{-1}\) क्या होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3)\}\). What is \(R\cup R^{-1}\)?
#symmetric closure
#inverse
#ordered pairs
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A ({(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)})
B ({(1,2),(2,3)})
C ({(2,1),(3,2)})
D ({(1,1),(2,2),(3,3)})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)})
Step 1
Concept
\(R^{-1}\) में ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलता है। / \(R^{-1}\) contains ((2,1)) from ((1,2)) and ((3,2)) from ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संघ में मूल और उल्टे दोनों युग्म रखे जाते हैं। / The union keeps both original and reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
यही (R) का सममित आवरण है। / This is the symmetric closure of (R).
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सममित संबंध के आव्यूह में मुख्य विकर्ण से बाहर प्रविष्टियों के बारे में सही बात क्या है?
In the matrix of a symmetric relation, what is true about entries outside the main diagonal?
#matrix property
#symmetric matrix
#class 12
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A वे मुख्य विकर्ण के आर-पार बराबर होती हैं / They are equal across the main diagonal
B वे सभी शून्य होती हैं / They are all zero
C वे सभी एक होती हैं / They are all one
D उनका कोई संबंध नहीं होता / They have no relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे मुख्य विकर्ण के आर-पार बराबर होती हैं / They are equal across the main diagonal
Step 1
Concept
संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=1\) का अर्थ (\(a_i,a_j\)\in R) है। / In a relation matrix, \(m_{ij}=1\) means (\(a_i,a_j\)\in R).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी चाहिए, इसलिए \(m_{ji}=1\) होगा। / Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), so \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
इसी कारण सममित संबंध का आव्यूह सममित आव्यूह होता है। / Therefore, the matrix of a symmetric relation is a symmetric matrix.
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यदि किसी संबंध के आव्यूह में \(m_{24}=1\) और \(m_{42}=0\) है, तो संबंध के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If a relation matrix has \(m_{24}=1\) and \(m_{42}=0\), what can be said about the relation?
#matrix test
#not symmetric
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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A यह सममित नहीं है / It is not symmetric
B यह निश्चित रूप से सममित है / It is definitely symmetric
C यह निश्चित रूप से परावर्ती है / It is definitely reflexive
D यह रिक्त संबंध है / It is empty
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Correct Answer
A. यह सममित नहीं है / It is not symmetric
Step 1
Concept
\(m_{24}=1\) का अर्थ (\(a_2,a_4\)\in R) है। / \(m_{24}=1\) means (\(a_2,a_4\)\in R).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए \(m_{42}=1\) होना चाहिए, लेकिन वह (0) है। / Symmetry would require \(m_{42}=1\), but it is (0).
Step 3
Exam Tip
ऐसी एक असमान प्रविष्टि सममितता को तोड़ देती है। / One unequal reflected entry breaks symmetry.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर सममित संबंधों की कुल संख्या क्या है?
What is the total number of symmetric relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?
#counting
#symmetric relations
#five elements
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (32768)
B (1024)
C (625)
D (32)
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Correct Answer
A. (32768)
Step 1
Concept
यहाँ (n=5) है। / Here (n=5).
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
\(2^{\frac{5\cdot6}{2}}=2^{15}=32768\), इसलिए उत्तर (32768) है। / \(2^{\frac{5\cdot6}{2}}=2^{15}=32768\), so the answer is (32768).
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यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो कितने सममित संबंध ऐसे हैं जो सभी विकर्ण युग्मों को जरूर रखते हैं?
If (A) has (4) elements, how many symmetric relations necessarily contain all diagonal pairs?
#reflexive symmetric
#counting
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (64)
B (1024)
C (16)
D (256)
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Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म पहले से निश्चित रूप से रखे गए हैं। / The four diagonal pairs are fixed as included.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों वाली जोड़ीदार पसंदों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / The number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
हर जोड़ी के लिए रखने या न रखने के (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(2^6=64\) संबंध होंगे। / Each block has two choices, so the total number is \(2^6=64\).
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यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें कोई विकर्ण युग्म नहीं है?
If (A) has (4) elements, how many symmetric relations have no diagonal pair?
#irreflexive symmetric
#counting
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (64)
B (16)
C (1024)
D (4)
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Step 1
Concept
कोई विकर्ण युग्म न रखना मतलब चारों विकर्ण चुनाव तय होकर हट गए। / Having no diagonal pair means all four diagonal choices are fixed as excluded.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण उल्टे-युग्म ब्लॉक \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं। / There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) non-diagonal reverse-pair blocks.
Step 3
Exam Tip
इन (6) ब्लॉक के लिए स्वतंत्र चुनाव हैं, इसलिए संख्या \(2^6=64\) है। / These (6) blocks are freely chosen, so the number is \(2^6=64\).
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो संयोजन \(R\circ S\) के बारे में कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If (R) and (S) are symmetric relations, which statement about the composition \(R\circ S\) is always true?
#composition of relations
#symmetric relation
#advanced
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा सममित नहीं होता / It is not always symmetric
B यह हमेशा सममित होता है / It is always symmetric
C यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
D यह हमेशा सर्वसम संबंध होता है / It is always the identity relation
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Correct Answer
A. यह हमेशा सममित नहीं होता / It is not always symmetric
Step 1
Concept
संघ और प्रतिच्छेद में सममितता सुरक्षित रहती है, लेकिन संयोजन में हमेशा नहीं। / Symmetry is preserved under union and intersection, but not always under composition.
Step 2
Why this answer is correct
दो सममित संबंधों का क्रमित संयोजन उल्टे युग्मों को जरूरी रूप से सुरक्षित नहीं रखता। / The ordered composition of two symmetric relations need not preserve all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्न में छोटा प्रतिउदाहरण बनाकर जाँच करना बेहतर है। / For composition questions, testing with a small counterexample is often best.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=1\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, \(R=\{(a,b):a^2+b^2=1\}\). Which statement about (R) is correct?
#algebraic relation
#real numbers
#symmetric relation
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह सममित है / It is symmetric
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह केवल तब सममित है जब (a=0) / It is symmetric only when (a=0)
D यह केवल तब सममित है जब (b=0) / It is symmetric only when (b=0)
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
\(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) का स्थान बदलने पर \(b^2+a^2=1\) मिलता है। / Reversing (a) and (b) changes \(a^2+b^2=1\) to \(b^2+a^2=1\).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ की अदला-बदली प्रकृति से यह वही शर्त रहती है। / By commutativity of addition, this is the same condition.
Step 3
Exam Tip
ऐसी सममित बीजीय शर्तों में क्रम बदलने पर समीकरण जाँचें। / For algebraic conditions, check whether the equation remains unchanged after swapping variables.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a^2-b^2=0\}\) दिया है। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, \(R=\{(a,b):a^2-b^2=0\}\) is given. What type is this relation?
#algebraic condition
#equality
#symmetric relation
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल रिक्त / Empty only
D केवल सार्वत्रिक / Universal only
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-b^2=0\) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। / \(a^2-b^2=0\) means \(a^2=b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह बराबरी उलटने पर \(b^2=a^2\) भी सही रहती है। / Reversing gives \(b^2=a^2\), which is also true.
Step 3
Exam Tip
समीकरण को सरल रूप में बदलकर सममितता जाँचना आसान होता है। / Simplifying an equation often makes checking symmetry easier.
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यदि किसी संबंध में ((2,5)) है पर ((5,2)) नहीं है, तो कौन-सा निष्कर्ष निश्चित है?
If a relation contains ((2,5)) but does not contain ((5,2)), which conclusion is definite?
#missing reverse pair
#not symmetric
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संबंध सममित नहीं है / The relation is not symmetric
B संबंध सममित है / The relation is symmetric
C संबंध परावर्ती है / The relation is reflexive
D संबंध सार्वत्रिक है / The relation is universal
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Correct Answer
A. संबंध सममित नहीं है / The relation is not symmetric
Step 1
Concept
सममितता के लिए हर मौजूद युग्म का उल्टा मौजूद होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every present pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,5)) मौजूद है, लेकिन ((5,2)) नहीं है। / ((2,5)) is present, but ((5,2)) is not.
Step 3
Exam Tip
यही एक कमी संबंध को सममित न होने के लिए पर्याप्त है। / This single missing reverse pair is enough to show the relation is not symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन-सा संबंध सममित है लेकिन परावर्ती नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), which relation is symmetric but not reflexive?
#symmetric not reflexive
#class 12
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,2),(2,1)})
B ({(1,1),(2,2),(3,3)})
C ({(1,2),(2,3)})
D \(A\times A\)
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1)})
Step 1
Concept
({(1,2),(2,1)}) में दोनों उल्टे युग्म मौजूद हैं, इसलिए यह सममित है। / ({(1,2),(2,1)}) contains both reverse pairs, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो इसमें नहीं हैं। / Reflexivity would require ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
सममित और परावर्ती का अंतर समझना अति महत्वपूर्ण है। / Understanding the difference between symmetric and reflexive is very important.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन-सा संबंध परावर्ती है लेकिन सममित नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), which relation is reflexive but not symmetric?
#reflexive not symmetric
#class 12
#relations
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})
B ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)})
C ({(1,1),(2,2),(3,3)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})
Step 1
Concept
पहले विकल्प में सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए यह परावर्ती है। / The first option contains all diagonal pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / It has ((1,2)) but not ((2,1)), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त गुणों वाले प्रश्नों में पहले परावर्तिता फिर सममितता अलग-अलग जाँचें। / In combined-property questions, check reflexivity and symmetry separately.
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सममित संबंध की सबसे सटीक परिभाषा कौन-सी है?
Which is the most accurate definition of a symmetric relation?
#definition
#symmetric relation
#class 12
#exam basics
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) हो / For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
B हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) हो / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
C यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) हो / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
D हर \(a,b\in A\) के लिए \((a,b)\notin R\) हो / For all \(a,b\in A\), \((a,b)\notin R\)
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Correct Answer
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) हो / For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध उल्टे युग्म की शर्त पर आधारित होता है। / A symmetric relation is based on the reverse-pair condition.
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प में ठीक यही दिया है कि ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। / The option states exactly that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
परिभाषाओं को मिलाएँ नहीं; परावर्ती, सममित और संक्रामी तीनों अलग गुण हैं। / Do not mix definitions; reflexive, symmetric, and transitive are separate properties.
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