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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) दिया है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) मौजूद है, लेकिन ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, while ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा युग्म अवश्य जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal ordered pair.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। / Hence whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में शर्त को उल्टा करके देखें कि वही सत्य रहती है या नहीं। / For such questions, reverse the condition and check whether it remains true.
B. नहीं, क्योंकि (a>b) से (b>a) नहीं होता/No, because (a>b) does not imply (b>a)
Step 1
Concept
(a-b>0) का अर्थ है (a>b)। / (a-b>0) means (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) है, तो सामान्यतः (b>a) नहीं हो सकता, इसलिए उल्टा युग्म शर्त पूरी नहीं करता। / If (a>b), then generally (b>a) is false, so the reversed pair does not satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
असमिका वाले संबंधों में उल्टी दिशा अक्सर गलत हो जाती है। / In inequality-based relations, the reverse direction often fails.
(|a-b|=2) होने पर (|b-a|=|-(a-b)|=2) होता है। / If (|a-b|=2), then (|b-a|=|-(a-b)|=2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए जिस युग्म में अंतर (2) है, उसका उल्टा युग्म भी यही अंतर देगा। / So every pair with difference (2) has its reverse pair satisfying the same condition.
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले संबंधों में उल्टा करने पर मान नहीं बदलता, इसे याद रखें। / Absolute value conditions usually remain unchanged under reversal.
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
(3) गैर-विकर्ण जोड़े हैं और हर जोड़े को साथ-साथ चुनना या छोड़ना होगा, इसलिए कुल स्वतंत्र निर्णय (3+3=6) हैं। / There are (3) unordered off-diagonal pairs, and each pair must be selected together or omitted together, giving (3+3=6) independent choices.
Step 3
Exam Tip
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on an (n)-element set is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र स्थानों की संख्या \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) है। / Here (n=4), so the number of independent positions is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
संख्या पूछे जाने पर सूत्र में (n) सावधानी से रखें। / For counting questions, substitute (n) carefully.
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने पर योग वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / Since addition is commutative, the reversed pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
योग वाली शर्तों में क्रम बदलकर तुरंत जाँच करें। / For sum-based conditions, reverse the order and check immediately.
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) से \(b^2=a^2\) भी सत्य है/Because \(a^2=b^2\) implies \(b^2=a^2\)
Step 1
Concept
सममितता में बराबरी की दिशा पलटने पर सत्यता बनी रहती है। / In symmetry, an equality remains true when the two sides are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर स्पष्ट रूप से \(b^2=a^2\) भी होगा, इसलिए उल्टा युग्म संबंध में है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reversed pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित संबंधों में बराबरी का उल्टा रूप ध्यान से लिखें। / For equality-based relations, write the reversed equality carefully.
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्मों की जाँच करनी होती है। / For symmetry, we only need to check reverse pairs of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्मों का होना आवश्यक नहीं है। / All diagonal pairs are not required for symmetry.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le2\)। / ((1,2)) is in the relation because \(1\le2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\le1\) असत्य है। / Its reverse ((2,1)) is not in the relation because \(2\le1\) is false.
Step 3
Exam Tip
सममित न होने के लिए मौजूद युग्म और उसके गायब उल्टे युग्म को दिखाना सबसे साफ तरीका है। / To disprove symmetry, show a present pair whose reverse is absent.
सममित संबंध की परिभाषा सीधे कहती है कि ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होगा। / The definition of a symmetric relation says that ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((4,7)) दिया है, इसलिए ((7,4)) अवश्य होगा। / Since ((4,7)) is given, ((7,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप नहीं मिलते। / Symmetry does not automatically force diagonal pairs.
(n) तत्वों पर स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / For an (n)-element set, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) मिलता है। / With (n=5), this becomes \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
अंतिम संख्या \(2^{15}\) होगी, क्योंकि हर स्वतंत्र स्थान चुना या छोड़ा जा सकता है। / The total number is \(2^{15}\), as each independent position can be chosen or omitted.
कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं। / There are (6) independent choices for symmetric relations on a (3)-element set.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए यह एक गैर-विकर्ण जोड़ा निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), so one off-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
शेष (5) स्वतंत्र चुनावों में से एक जोड़ा निश्चित होने के बाद (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Therefore (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
\(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं। / Same-remainder relations are usually symmetric.
(ab=0) होने पर (ba=0) भी होगा। / If (ab=0), then (ba=0) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी रहेगा। / Multiplication is commutative, so the reversed pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
गुणा या जोड़ की क्रम-विनिमेयता सममितता जाँचने में बहुत उपयोगी होती है। / Commutativity of addition or multiplication is very useful in checking symmetry.
((2,1)) संबंध में है क्योंकि (2-1=1)। / ((2,1)) is in the relation because (2-1=1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-2=-1)। / Its reverse ((1,2)) is not in the relation because (1-2=-1).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाले संबंध में उल्टा करने पर चिन्ह बदल जाता है, इसलिए सावधानी रखें। / For fixed-difference relations, reversing changes the sign, so be careful.
A. \(R \cap S\) सममित होगा/\(R \cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R \cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। / If \((a,b) \in R \cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, यानी \((b,a) \in R \cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) is in both, so \((b,a) \in R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ-साथ बची रहती हैं। / Intersection preserves the reverse-pair condition.
यदि \((a,b) \in R \cup S\), तो यह (R) या (S) में है। / If \((a,b) \in R \cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में और इसलिए संघ में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) also belongs to that relation and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every ordered pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता का अर्थ ही है कि हर मौजूद युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है, इसलिए उल्टा संबंध वही बनता है। / Symmetry means every reverse pair is already in (R), so the inverse relation equals (R).
Step 3
Exam Tip
सममितता को \(R=R^{-1}\) के रूप में याद करना बहुत उपयोगी है। / Remember symmetry as \(R=R^{-1}\).
सममितता की शर्त केवल उन युग्मों पर लागू होती है जो संबंध में मौजूद हों। / The symmetry condition applies only to pairs that are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन करने वाला कोई युग्म नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no pair violates the condition.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is symmetric by vacuous truth.
A. क्योंकि हर संभव उल्टा युग्म भी \(A\times A\) में होता है/Because every possible reverse pair is also in \(A\times A\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) उसमें है, तो \(a,b \in A\) हैं, इसलिए ((b,a)) भी \(A\times A\) में होगा। / If ((a,b)) is in it, then \(a,b \in A\), so ((b,a)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है। / The universal relation is always symmetric.
गैर-विकर्ण युग्मों के उल्टे युग्म जाँचिए। / Check the reverse of each off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) मौजूद हैं। ((2,2)) अपना उल्टा स्वयं है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)). ((2,2)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध के सममित होने के लिए सभी ((a,a)) युग्म जरूरी नहीं होते। / A symmetric relation need not contain every ((a,a)) pair.
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)) होता है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि ((a,b)) में महत्तम समापवर्तक (2) है, तो ((b,a)) में भी वही रहेगा। / So if the greatest common divisor of ((a,b)) is (2), the same is true for ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
जिन राशियों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, वे अक्सर सममित संबंध बनाती हैं। / Quantities unchanged by swapping often define symmetric relations.
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)) होता है। / (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि किसी युग्म का लघुत्तम समापवर्त्य (6) है, तो उल्टे युग्म का भी (6) होगा। / Therefore, if a pair has least common multiple (6), its reverse also has least common multiple (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Both LCM and GCD remain unchanged when the order is swapped.
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र होते हैं। / There are (n) independent diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण युग्म ((a,b)) और ((b,a)) एक साथ चुने जाते हैं, ऐसे (\frac{n(n-1)}{2}) जोड़े होते हैं। / Off-diagonal pairs ((a,b)) and ((b,a)) are chosen together, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
\(R^{-1}\) में सभी युग्म उल्टे रूप में होते हैं। / \(R^{-1}\) contains the reverse of all pairs of (R).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(R=R^{-1}\), तो हर युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है। यही सममितता है। / If \(R=R^{-1}\), then every pair has its reverse in the same relation, which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) को सममितता की वैकल्पिक पहचान मानें। / Treat \(R=R^{-1}\) as an alternative test for symmetry.
यदि \(a^2+b^2=17\), तो \(b^2+a^2=17\) भी होगा। / If \(a^2+b^2=17\), then \(b^2+a^2=17\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के योग जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं क्योंकि उनमें क्रम का प्रभाव नहीं होता। / Conditions involving sums of squares are often symmetric because order does not matter.
A. क्योंकि \((2,1)\in R\) है पर \((1,2)\notin R\)/Because \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2=2\cdot1\)। / ((2,1)) is in the relation because \(2=2\cdot1\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1\ne2\cdot2\)। / The reverse ((1,2)) is not in the relation because \(1\ne2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
गुणक संबंधों में उल्टा करने पर अनुपात बदल जाता है, इसलिए प्रतिवाद देखें। / In multiplier relations, reversing changes the ratio, so look for a counterexample.
तीन तत्वों पर कुल (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। / On a (3)-element set, there are (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने से ((2,1)) भी निश्चित हो गया, और ((2,3)) न होने से ((3,2)) भी नहीं होगा; ये दो स्वतंत्र चुनाव निश्चित हो गए। / Including ((1,2)) forces ((2,1)), and excluding ((2,3)) also excludes ((3,2)); two independent choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
अब (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Thus (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
सभी (4) विकर्ण युग्म अनुपस्थित रखने हैं, इसलिए ये चुनाव निश्चित हो गए। / All (4) diagonal pairs are fixed as absent.
Step 2
Why this answer is correct
केवल गैर-विकर्ण जोड़े स्वतंत्र हैं, जिनकी संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / Only the off-diagonal unordered pairs remain free, and their number is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
इन (6) जोड़ों में हर एक को साथ-साथ चुना या छोड़ा जा सकता है। / Each of these (6) blocks can be included or excluded.
यदि \(a+b\le6\), तो \(b+a\le6\) भी होगा। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair is also included.
Step 3
Exam Tip
योग पर आधारित असमिका में भी सममितता बनी रह सकती है। / Even inequality conditions based on a sum can be symmetric.
((4,1)) संबंध में है क्योंकि \(4+2\cdot1=6\)। / ((4,1)) is in the relation because \(4+2\cdot1=6\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1+2\cdot4=9\)। / The reverse ((1,4)) is not in the relation because \(1+2\cdot4=9\).
Step 3
Exam Tip
जब (a) और (b) के गुणांक अलग हों, तो उल्टा करने पर शर्त अक्सर बदल जाती है। / When coefficients of (a) and (b) differ, reversal often changes the condition.
(R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वह भाग पूरा है। / (R) contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, इसलिए संघ में भी हर उल्टा युग्म मौजूद रहेगा। / (S) contains both ((2,3)) and ((3,2)), so the union keeps all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ सममित रहता है। / The union of symmetric relations remains symmetric.
