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संक्रामक होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / For transitivity, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी संबंध में है। बाकी आवश्यक जोड़ियाँ भी पूरी हैं। / Here, ((1,2)) and ((2,3)) imply ((1,3)), which is present. Other required cases also hold.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी जाँच करते समय केवल उन जोड़ियों को देखें जिनका बीच वाला तत्व समान हो। / In exams, check only pairs where the second element of one pair matches the first element of another.
संक्रामकता में केवल उन जोड़ियों को जाँचना होता है जहाँ दूसरी जोड़ी पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से शुरू हो। / In transitivity, check only those pairs where the second pair starts with the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। / Here ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. Also ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियाँ न होने से हमेशा संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए जरूरी श्रृंखला ही देखें। / Missing self-pairs do not always break transitivity, so check only required chains.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता जल्दी जाँची जा सकती है। / For divisibility relations, add the differences to test transitivity quickly.
A. क्योंकि (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/Because (a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो लगातार संबंधों से पहला और तीसरा तत्व जुड़ना चाहिए। / Transitivity means two connected relations must imply a direct relation between the first and third elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में यदि (a<b) और (b<c), तो निश्चित रूप से (a<c)। / For real numbers, (a<b) and (b<c) definitely imply (a<c).
Step 3
Exam Tip
असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें। / In inequality questions, remember the direction on the number line.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है। / For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check.
A. नहीं, क्योंकि ((1,5)) और ((5,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,5)) and ((5,1)) are present but ((1,1)) is absent
Step 1
Concept
(1+5=6), इसलिए ((1,5)) संबंध में है और (5+1=6), इसलिए ((5,1)) भी संबंध में है। / Since (1+5=6), ((1,5)) is in the relation, and since (5+1=6), ((5,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, लेकिन (1+1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,1)), but (1+1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
सममित दिखने वाला संबंध भी संक्रामक हो, यह जरूरी नहीं। / A relation that looks symmetric need not be transitive.
A. नहीं, क्योंकि (1R2) और (2R4) हैं पर (1R4) नहीं है/No, because (1R2) and (2R4) hold but (1R4) does not
Step 1
Concept
\(2=2\cdot 1\), इसलिए (1R2)। \(4=2\cdot 2\), इसलिए (2R4)। / \(2=2\cdot 1\), so (1R2). Also \(4=2\cdot 2\), so (2R4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि संबंध संक्रामक होता, तो (1R4) होना चाहिए था, पर \(4\ne 2\cdot 1\)। / If the relation were transitive, (1R4) would hold, but \(4\ne 2\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
गुणा आधारित संबंधों में दो कदम मिलाकर नियम बदल सकता है, इसलिए सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In multiplication-based relations, two steps may change the rule, so check the direct pair.
संक्रामकता केवल उन स्थितियों पर जाँची जाती है जहाँ ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। अन्य कोई जरूरी लगातार जोड़ी नहीं बनती। / Here, ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. No other necessary chain appears.
Step 3
Exam Tip
संक्रामक संबंध के लिए सभी स्वयंजोड़ियाँ होना जरूरी नहीं है। / A transitive relation need not contain all self-pairs.
यदि (b), (a) का गुणज है, तो (b=ak)। यदि (c), (b) का गुणज है, तो (c=bl)। / If (b) is a multiple of (a), then (b=ak). If (c) is a multiple of (b), then (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=(ak)l=a(kl)), इसलिए (c), (a) का गुणज है। / Then (c=(ak)l=a(kl)), so (c) is a multiple of (a).
Step 3
Exam Tip
गुणज और विभाज्यता वाले संबंधों में गुणन का रूप लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For multiple and divisibility relations, writing the multiplication form is safest.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें। / Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) एक वैध श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a valid chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर वह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
मौजूद स्वयंजोड़ियाँ गलती नहीं हैं, असली गलती जरूरी सीधी जोड़ी का गायब होना है। / Existing self-pairs are not the problem; the real problem is the missing required direct pair.
संक्रामकता टूटने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसी दो जोड़ियाँ मौजूद होनी चाहिए और ((a,c)) न होना चाहिए। / To break transitivity, two pairs like ((a,b)) and ((b,c)) must exist while ((a,c)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
खाली संबंध में कोई जोड़ी ही नहीं है, इसलिए ऐसी विरोधी स्थिति बनती ही नहीं। / In the empty relation, no ordered pair exists, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध को संक्रामक मानना एक सामान्य परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is considered transitive.
((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। / From ((p,q)) and ((q,r)), we get ((p,r)).
Step 2
Why this answer is correct
अब ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)) मिलेगा। / Now from ((p,r)) and ((r,s)), we get ((p,s)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को एक-एक करके लगाएँ, सीधे उल्टी जोड़ी न मानें। / In a long chain, apply transitivity step by step and do not assume reverse pairs.
A. क्योंकि (A) के हर दो तत्वों की जोड़ी संबंध में होती है/Because every ordered pair of elements of (A) is in the relation
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in A\times A\) और \((b,c) \in A\times A\), तो \(a,c \in A\) हैं। / If \((a,b) \in A\times A\) and \((b,c) \in A\times A\), then \(a,c \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी \(A\times A\) में होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में कोई आवश्यक जोड़ी छूटती नहीं, इसलिए संक्रामकता पूरी रहती है। / In a universal relation, no required ordered pair is missing.
संबंध में ऊपर की दिशा वाली सभी जरूरी जोड़ियाँ दी गई हैं। / The relation contains all required ordered pairs in the increasing direction.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); all are present.
Step 3
Exam Tip
बड़े संबंध में मुख्य श्रृंखलाओं की जाँच तालिका की तरह करें। / In a larger relation, check the main chains like a table.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\) से \(|a|\le |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\) imply \(|a|\le |c|\)
Step 1
Concept
यहाँ तुलना वास्तविक संख्याओं की नहीं, उनके परम मानों की हो रही है। / The comparison is between absolute values, not directly between the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\le |c|\)। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then by the usual order \(|a|\le |c|\).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले संबंध में भी वही क्रम नियम लागू होता है। / For absolute value relations, the same order rule applies to the compared quantities.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), इसलिए \((1,2) \in R\)। (|2-3|=1), इसलिए \((2,3) \in R\)। / Since (|1-2|=1), \((1,2) \in R\). Since (|2-3|=1), \((2,3) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (|1-3|=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity would require ((1,3)), but (|1-3|=2), so it is not in (R).
Step 3
Exam Tip
केवल पास-पास होना संक्रामकता की गारंटी नहीं देता। / Being consecutive does not guarantee transitivity.
C. नहीं, क्योंकि (3R2.5) और (2.5R2) हैं पर (3R2) नहीं है/No, because (3R2.5) and (2.5R2) hold but (3R2) does not
Step 1
Concept
(3<2.5+1), इसलिए (3R2.5) सत्य है। (2.5<2+1), इसलिए (2.5R2) भी सत्य है।
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (3R2) चाहिए, पर (3<2+1) असत्य है। / Transitivity would require (3R2), but (3<2+1) is false.
Step 3
Exam Tip
असमानता में नियत संख्या जुड़ी हो तो प्रतिवाद से जाँच करना अधिक सुरक्षित है। / When a fixed number is added in an inequality relation, using a counterexample is safer.
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4))/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4))
Step 1
Concept
\(1\mid 2\) और \(2\mid 4\) दोनों सत्य हैं। / \(1\mid 2\) and \(2\mid 4\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(1\mid 4\) भी सत्य है, इसलिए ((1,4)) संबंध में होगा। / Then \(1\mid 4\) is also true, so ((1,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
जाँच में दोनों आरंभिक जोड़ियाँ सच होनी चाहिए, केवल अनुमान काफी नहीं है। / In a check, both starting pairs must actually be true; guessing is not enough.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 2\) और (2-1=1)। ((2,3)) भी संबंध में है। / ((1,2)) is in the relation because \(1\le 2\) and (2-1=1). Also ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
निकटता की शर्त वाले संबंध अक्सर संक्रामक नहीं होते। / Relations with a closeness condition are often not transitive.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें। / For small relations, check each possible chain systematically.
A. यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\)/If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\)
Step 1
Concept
विभाज्यता में \(a\mid b\) का अर्थ है (b=ak)। / In divisibility, \(a\mid b\) means (b=ak).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(b\mid c\), तो (c=bl), इसलिए (c=a(kl)), यानी \(a\mid c\)। / If \(b\mid c\), then (c=bl), so (c=a(kl)), which means \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
सिद्ध करने वाले प्रश्नों में परिभाषा को बीजगणित रूप में लिखना सबसे अच्छा रहता है। / In proof-based questions, writing the definition in algebraic form is best.
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
दी गई जोड़ियों में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / The given pairs include both ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, पर वह नहीं दिया गया है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not given.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी बीच की श्रृंखला की कमी संबंध को असंक्रामक बना सकती है। / Even with all self-pairs present, a missing chain pair can make the relation non-transitive.
A. क्योंकि (a) और (b) की समान सम-विषम प्रकृति तथा (b) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति से (a) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति मिलती है/Because same parity of (a,b) and same parity of (b,c) imply same parity of (a,c)
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों सम-विषम दृष्टि से समान हैं। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने पर (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, इसलिए (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। तब (a+c) सम होगा। / (b+c) being even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में समान प्रकृति को जोड़कर सोचें। / For parity relations, think in terms of same or different parity.
\(a \equiv b \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (5) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{5}\) means (a-b) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (5) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (5), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले संबंध में अंतरों का योग याद रखें। / For congruence relations, remember the sum of differences.
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है और (b) की प्रकृति (c) जैसी है, तो (a) और (c) की प्रकृति भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम वर्गों में सोचने से ऐसे प्रश्न तुरंत हल होते हैं। / Thinking in parity classes makes such questions quick.
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is present
Step 1
Concept
संक्रामकता की सही जाँच में दोनों प्रारंभिक जोड़ियाँ संबंध में होनी चाहिए। / A correct transitivity check must start with two pairs that actually belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं और उनसे जरूरी ((1,4)) भी मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, and the required ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
उन जोड़ियों से तर्क न बनाएँ जो संबंध में दी ही नहीं गई हैं। / Do not build an argument from pairs that are not given in the relation.
यदि (a) और (b) की आयु समान है तथा (b) और (c) की आयु समान है, तो (a) और (c) की आयु भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same age, and (b) and (c) have the same age, then (a) and (c) also have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सामान्यतः सीधी तरह सिद्ध होती है। / Relations based on equality are usually proved transitive directly.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) लगातार जोड़ियाँ हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है, जो संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों की कमी हर बार संक्रामकता को नहीं तोड़ती, असली कमी आवश्यक सीधी जोड़ी की होती है। / Missing self-pairs do not always break transitivity; the key issue is the missing required direct pair.
A. क्योंकि यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो \(l\parallel n\)/Because if \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then \(l\parallel n\)
Step 1
Concept
एक ही तल में यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर हों, तो वे आपस में भी समांतर होती हैं। / In the same plane, if two distinct lines are parallel to the same line, they are parallel to each other.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\) से \(l\parallel n\) मिलता है। / Thus \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) imply \(l\parallel n\).
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर दिशा की समानता समझना उपयोगी रहता है। / In geometry-based relations, drawing a figure helps you understand common direction.
संबंध में केवल विषम संख्याओं के बीच छोटा-से-बड़ा क्रम लिया गया है। / The relation uses the less-than order only among odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), और तीनों विषम ही रहेंगे। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), and all three remain odd. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त शर्त हो तो भी मूल क्रम नियम को ध्यान से लागू करें। / Even with an extra condition, apply the basic order rule carefully.
((3,1)) और ((1,2)) संबंध में हैं। / ((3,1)) and ((1,2)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((3,2)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((3,2)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
चक्र जैसी जोड़ियों में हर दो लगातार कदम से बनने वाली सीधी जोड़ी ध्यान से देखें। / In cyclic-looking pairs, carefully check the direct pair formed by every two consecutive steps.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) विषम है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (2+3=5) विषम है, इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। / (1+2=3) is odd, so ((1,2)) is in the relation. Also (2+3=5) is odd, so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) के लिए (1+3=4), जो सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / For ((1,3)), (1+3=4), which is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में दोनों पहली जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी गलत होनी चाहिए। / In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must fail.
A. हर दो-चरण वाली जरूरी जोड़ी पहले से मौजूद है/Every required two-step pair is already present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलना चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। ये सभी जोड़ियाँ मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)). All these pairs are present.
Step 3
Exam Tip
बिना स्वयंजोड़ियों वाला संबंध भी संक्रामक हो सकता है। / A relation without self-pairs can still be transitive.
यदि (P) और (Q) का (x)-निर्देशांक समान है, और (Q) तथा (S) का (x)-निर्देशांक समान है, तो (P) और (S) का (x)-निर्देशांक भी समान होगा। / If (P) and (Q) have the same (x)-coordinate, and (Q) and (S) have the same (x)-coordinate, then (P) and (S) also have the same (x)-coordinate.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (P R S) सत्य है। / Hence (P R S) is true.
Step 3
Exam Tip
समान गुण पर बने संबंध प्रायः संक्रामक होते हैं, पर हर बार तर्क जरूर लिखें। / Relations based on the same property are often transitive, but always justify it.
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में हर शर्त को अलग-अलग जाँचें। / In relations with combined conditions, check each condition separately.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+1=2)। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+1=3)। / ((1,2)) is in the relation because (1+1=2). ((2,3)) is also in the relation because (2+1=3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+1=3) सत्य नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but (1+1=3) is false.
Step 3
Exam Tip
लगातार अगली संख्या वाला संबंध सामान्यतः संक्रामक नहीं होता। / A next-number relation is generally not transitive.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। / Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं। / Making a small table helps avoid missing such pairs.
