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((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। / From ((2,3)) and ((3,4)), ((2,4)) is present, and from ((1,3)) and ((3,4)), ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में हर दो लगातार जोड़ियों से बनने वाली सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In a long chain, check every direct pair formed by two consecutive pairs.
((1,4)) और ((4,3)) संबंध में हैं। / ((1,4)) and ((4,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, लेकिन यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
यदि एक छूटी हुई जोड़ी कई श्रृंखलाओं से बनती हो, तो उसे पहचानना बहुत उपयोगी होता है। / If one missing pair is forced by many chains, identifying it is very useful.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के विभाज्य होने से (a-c) भी विभाज्य होता है/Because if (a-b) and (b-c) are divisible, then (a-c) is also divisible
Step 1
Concept
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (7) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (7) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (7), then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों का योग सबसे तेज जाँच देता है। / For divisibility relations, adding differences gives the fastest check.
A. (5R4) और (4R3) हैं पर (5R3) नहीं है/(5R4) and (4R3) hold but (5R3) does not
Step 1
Concept
(5<4+2), इसलिए (5R4) सत्य है और (4<3+2), इसलिए (4R3) सत्य है।
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (5R3) चाहिए, पर (5<3+2) असत्य है। / Transitivity would require (5R3), but (5<3+2) is false.
Step 3
Exam Tip
असमानता में जुड़ी नियत संख्या हो तो प्रतिवाद से जाँच करना सुरक्षित रहता है। / For inequalities with a fixed added number, a counterexample is a safe test.
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं क्योंकि दोनों में अंतर (1) है। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation because each has difference (1).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (3-1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
पास वाली संख्या का संबंध सामान्यतः संक्रामक नहीं होता। / A next-number relation is generally not transitive.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है। / In congruence relations, transitivity follows from adding differences.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी कोई जरूरी सीधी जोड़ी छूटे तो संबंध संक्रामक नहीं रहता। / Even if all self-pairs are present, a missing required direct pair makes the relation non-transitive.
A. क्योंकि समान सम-विषम प्रकृति आगे भी समान रहती है/Because same parity remains same through the chain
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम हो तो (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, इसलिए (a) और (c) की प्रकृति समान होगी। अतः (a+c) सम होगा। / If (b+c) is even, then (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में संख्या की सम-विषम प्रकृति से सोचें। / For such questions, think using parity.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+2=3) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+3=5) विषम है। / ((1,2)) is in the relation because (1+2=3) is odd. ((2,3)) is also in the relation because (2+3=5) is odd.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+3=4) सम है। / Transitivity requires ((1,3)), but (1+3=4) is even.
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रतिवाद संक्रामकता को गलत सिद्ध कर देता है। / One valid counterexample disproves transitivity.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\) से \(|a|\ge |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\) imply \(|a|\ge |c|\)
Step 1
Concept
संबंध में संख्याओं के परम मानों की तुलना हो रही है। / The relation compares absolute values of numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\ge |c|\), इसलिए (aRc)। / If \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\), then by the usual order \(|a|\ge |c|\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
परम मान को अलग मात्रा मानकर क्रम नियम लगाएँ। / Treat absolute value as the compared quantity and apply the order rule.
यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो तीनों रेखाओं की दिशा समान होगी। / If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then the lines have the same direction.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(l\parallel n\), अर्थात (lRn) सत्य है। / Hence \(l\parallel n\), so (lRn) holds.
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति संबंधों में चित्र बनाकर समान दिशा पहचानना आसान रहता है। / In geometry relations, drawing a figure helps identify the common direction.
यदि (a) और (b) की जन्मतिथि समान है, तथा (b) और (c) की जन्मतिथि समान है, तो (a) और (c) की जन्मतिथि भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same date of birth, and (b) and (c) have the same date of birth, then (a) and (c) also have the same date of birth.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सीधे सिद्ध होती है। / Relations based on equality are directly proved transitive.
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है। इसे जोड़ने से यह कमी पूरी होगी, हालांकि दूसरी कमी भी जाँची जा सकती है। / They require ((1,3)), which is missing. Adding it fixes this one failure, though another failure may also need checking.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पूछा गया हो कि एक कमी कौन-सी है, तो केवल उसी श्रृंखला पर ध्यान दें। / When the question asks for one failure, focus on the given chain.
संबंध में केवल सम संख्याओं के बीच (<) का क्रम लिया गया है। / The relation uses the (<) order only among even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c); और तीनों सम होने पर ((a,c)) भी संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c); if all are even, ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त शर्त के साथ भी मूल क्रम नियम को अलग से जाँचें। / Even with an extra condition, check the basic order rule separately.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (|2-3|=1), इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। / (|1-2|=1), so ((1,2)) is in the relation. Also (|2-3|=1), so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / (|1-3|=2), so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
दूरी की सीमा वाली शर्तें अक्सर संक्रामकता तोड़ती हैं। / Bounded distance conditions often break transitivity.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के (4) से विभाज्य होने पर (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा/Because if (a-b) and (b-c) are divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह (b-c) भी (4) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (4) से विभाज्य होगा। / Similarly, if (b-c) is divisible by (4), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में अंतर जोड़ना मुख्य विचार है। / Adding differences is the key idea in congruence.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। / After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती। / Every missing self-pair is not a transitivity failure.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 3\) और (3-1=2)। ((3,5)) भी संबंध में है। / ((1,3)) is in the relation because \(1\le 3\) and (3-1=2). ((3,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा से बाहर है, इसलिए यह संबंध में नहीं है। / For ((1,5)), (5-1=4), which exceeds the limit, so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
दो छोटी छलाँगें मिलकर बड़ी छलाँग बना सकती हैं, इसलिए सीमा वाली शर्त जाँचें। / Two small jumps can form a larger jump, so check bounded conditions carefully.
समान शेष का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम वर्ग में हैं। / Same remainder means both numbers lie in the same parity class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचें। / For remainder relations, think in classes.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। / From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें। / Also check chains involving self-pairs carefully.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
कथन को सरल रूप में बदलना संबंधों के प्रश्नों में मदद करता है। / Converting the statement into a simpler form helps in relation questions.
संबंध का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / The relation means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है और (b) की प्रकृति (c) जैसी है, तो (a) और (c) की प्रकृति भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
वर्गीकरण वाले संबंधों में समान वर्ग से संक्रामकता समझें। / In classification-based relations, use the idea of the same class.
C. (3R6) और (6R12) से (3R12) चाहिए और यह सत्य है/(3R6) and (6R12) require (3R12), and it is true
Step 1
Concept
(3R6) सत्य है क्योंकि (6), (3) से विभाज्य है और (6R12) सत्य है क्योंकि (12), (6) से विभाज्य है। / (3R6) is true because (6) is divisible by (3), and (6R12) is true because (12) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (3R12) चाहिए, और (12), (3) से विभाज्य है। / Transitivity requires (3R12), and (12) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
जाँच के लिए ऐसी श्रृंखला चुनें जिसकी दोनों पहली जोड़ियाँ सच हों। / Choose a chain whose first two relations are both true.
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (c-a) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (b-a) and (c-b) are both divisible by (3), then (c-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों वाले संबंध में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें। / In a two-condition relation, check order and divisibility separately.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है; ((1,4)) और ((4,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। / ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present; ((1,4)) and ((4,4)) require ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ी के साथ बनने वाली श्रृंखलाओं को भी न छोड़ें। / Do not skip chains involving self-pairs.
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो सामान्य क्रम से \(a^2\le c^2\)। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by the usual order \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
जब संबंध किसी मान की तुलना से बना हो, तो उसी मान पर क्रम लगाएँ। / When a relation compares a derived value, apply order to that value.
A. ((2,4)) और ((4,2)) हैं पर ((2,2)) नहीं है/((2,4)) and ((4,2)) are present but ((2,2)) is absent
Step 1
Concept
(2+4=6), इसलिए ((2,4)) संबंध में है और (4+2=6), इसलिए ((4,2)) भी संबंध में है। / (2+4=6), so ((2,4)) is in the relation, and (4+2=6), so ((4,2)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, लेकिन (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में बीच वाला तत्व समान होना चाहिए। / In a counterexample, the middle element must match.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में हर शर्त अलग से आगे बढ़नी चाहिए। / In combined conditions, each condition must pass forward separately.
A. ((3,1)) और ((1,2)) हैं पर ((3,2)) नहीं है/((3,1)) and ((1,2)) are present but ((3,2)) is absent
Step 1
Concept
((3,1)) और ((1,2)) दोनों संबंध में हैं। / Both ((3,1)) and ((1,2)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((3,2)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((3,2)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में वही कमी चुनें जहाँ पहली दोनों जोड़ियाँ सच हों और तीसरी गायब हो। / Choose the failure where the first two pairs are true and the required third pair is absent.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (5) से छोटे हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों (5) से छोटे हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are less than (5). If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) और (c) दोनों (5) से छोटे होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में है। / Hence (a) and (c) are both less than (5), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
गुण पर बने संबंध में पहला और तीसरा तत्व उस गुण को रखते हैं या नहीं, यह देखें। / For property-based relations, check whether the first and third elements keep the property.
वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। / For real numbers, \(a^2+b^2=0\) occurs only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में केवल ((0,0)) जैसी जोड़ी आती है, और उससे संक्रामकता नहीं टूटती। / The relation contains only a pair like ((0,0)), which does not break transitivity.
Step 3
Exam Tip
बहुत छोटी संबंध-सूची होने पर संभावित जोड़ियाँ सीधे लिख लें। / When the relation list is very small, write possible pairs directly.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
\(1\ne 2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है और \(2\ne 1\), इसलिए ((2,1)) भी संबंध में है। / Since \(1\ne 2\), ((1,2)) is in the relation, and since \(2\ne 1\), ((2,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। / Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
बराबर न होना संबंध संक्रामक नहीं होता, इसे प्रतिवाद से याद रखें। / The not-equal relation is not transitive; remember it through a counterexample.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
दो संक्रामक संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामक रहता है, लेकिन संघ हमेशा नहीं। / The intersection of two transitive relations is transitive, but the union is not always transitive.
