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संक्रामकता में केवल ऐसी जोड़ियाँ देखी जाती हैं जहाँ पहली जोड़ी का दूसरा तत्व और दूसरी जोड़ी का पहला तत्व समान हो। / In transitivity, check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,5)) से ((1,5)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,4)) के बाद (4) से शुरू कोई जोड़ी नहीं है। / Here ((1,2)) and ((2,5)) require ((1,5)), which is present. After ((3,4)), no pair starts with (4).
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी को गलती न मानें, केवल जरूरी श्रृंखला देखें। / Do not treat every missing self-pair as an error; check only required chains.
संबंध में ((1,3)) और ((3,5)) एकमात्र मुख्य श्रृंखला बनाते हैं। / In this relation, ((1,3)) and ((3,5)) form the main chain.
Step 2
Why this answer is correct
इस श्रृंखला के लिए ((1,5)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है। ((2,4)) आगे कोई नई जरूरत नहीं बनाती। / This chain requires ((1,5)), which is already present. ((2,4)) creates no further requirement.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में केवल बन रही श्रृंखलाओं से आवश्यक जोड़ी निकालें। / In transitivity, find required pairs only from actual chains.
((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं, इसलिए ((1,5)) चाहिए। / ((1,4)) and ((4,5)) are in the relation, so ((1,5)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,5)) से भी ((1,5)) चाहिए, पर यह अनुपस्थित है। / ((1,2)) and ((2,5)) also require ((1,5)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
जब एक ही जोड़ी दो अलग श्रृंखलाओं से मांग में आए, वह संक्रामक पूर्ति के लिए बहुत महत्वपूर्ण होती है। / When the same pair is demanded by two chains, it is important for transitive closure.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (9) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (9) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (9), their sum (a-c) is also divisible by (9).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। / Hence (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों का योग संक्रामकता का सरल प्रमाण देता है। / For divisibility-based relations, adding differences gives a simple proof of transitivity.
(1R3) सत्य है क्योंकि \(3=3\cdot 1\), और (3R9) सत्य है क्योंकि \(9=3\cdot 3\)। / (1R3) is true because \(3=3\cdot 1\), and (3R9) is true because \(9=3\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (1R9) चाहिए, पर \(9\ne 3\cdot 1\)। / Transitivity would require (1R9), but \(9\ne 3\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
किसी नियम को दो बार लगाने से वही नियम सीधे लागू हो, यह जरूरी नहीं। / Applying a rule twice does not necessarily make the direct rule true.
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (b=ak) और (c=bl) लिखा जा सकता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then (b=ak) and (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\)। / Then (c=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
संबंध की सूची छोटी हो या बड़ी, विभाज्यता का यही नियम संक्रामकता सिद्ध करता है। / Whether the relation list is small or large, this divisibility rule proves transitivity.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (b-a) and (c-b) are both divisible by (2), then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें। / In combined conditions, check order and divisibility separately.
संबंध में तुलना \(a^4\), \(b^4\), और \(c^4\) के बीच है। / The relation compares \(a^4\), \(b^4\), and \(c^4\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^4\le b^4\) और \(b^4\le c^4\), तो सामान्य क्रम से \(a^4\le c^4\)। / If \(a^4\le b^4\) and \(b^4\le c^4\), then by the usual order \(a^4\le c^4\).
Step 3
Exam Tip
घात का मान चाहे कैसे बने, तुलना वाले मान पर क्रम का नियम लगाएँ। / Whatever the power value is, apply the order rule to the compared values.
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (4) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के प्रश्न में अंतरों का योग याद रखें। / In congruence questions, remember the sum of differences.
((2,5)) संबंध में है क्योंकि (2+5=7), और ((5,2)) भी संबंध में है क्योंकि (5+2=7)। / ((2,5)) is in the relation because (2+5=7), and ((5,2)) is also in the relation because (5+2=7).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, पर (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
स्थिर योग वाले संबंधों में उल्टी जोड़ियों से प्रतिवाद जल्दी मिलता है। / In constant-sum relations, reverse pairs often give a quick counterexample.
किसी समुच्चय पर संबंध (R) संक्रामक है। यदि \((x,y) \in R\), \((y,z) \in R\), \((z,u) \in R\), और \((u,v) \in R\), तो कौन-सी जोड़ी निश्चित रूप से (R) में होगी?
((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) मिलेगा। / From ((x,y)) and ((y,z)), we get ((x,z)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((x,z)) और ((z,u)) से ((x,u)), तथा ((x,u)) और ((u,v)) से ((x,v)) मिलेगा। / Then ((x,z)) and ((z,u)) give ((x,u)), and ((x,u)) with ((u,v)) gives ((x,v)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को क्रम से लगाएँ। / In a long chain, apply transitivity step by step.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
(|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में है। (|3-5|=2), इसलिए ((3,5)) भी संबंध में है। / (|1-3|=2), so ((1,3)) is in the relation. Also (|3-5|=2), so ((3,5)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, पर (|1-5|=4)। / Transitivity requires ((1,5)), but (|1-5|=4).
Step 3
Exam Tip
समान दूरी वाला संबंध जरूरी नहीं कि संक्रामक हो। / A fixed-distance relation need not be transitive.
A. (4R3) और (3R2) हैं पर (4R2) नहीं है/(4R3) and (3R2) hold but (4R2) does not
Step 1
Concept
\(|4|\le |3|+1\), इसलिए (4R3) सत्य है। \(|3|\le |2|+1\), इसलिए (3R2) सत्य है। / \(|4|\le |3|+1\), so (4R3) is true. Also \(|3|\le |2|+1\), so (3R2) is true.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(|4|\le |2|+1\) असत्य है, इसलिए (4R2) नहीं है। / But \(|4|\le |2|+1\) is false, so (4R2) does not hold.
Step 3
Exam Tip
ढील वाली परम मान असमानता में प्रतिवाद से जाँच करना सही रहता है। / For relaxed absolute value inequalities, a counterexample is a good test.
समान शेष का अर्थ है कि संख्याएँ एक ही शेष वर्ग में हैं। / Same remainder means the numbers lie in the same remainder class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचना सरल रहता है। / For remainder relations, thinking in classes is simple.
((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं। / ((1,4)) and ((4,5)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। ((2,4)) और ((4,5)) से ((2,5)) भी आगे जाँचना पड़ेगा, पर दिए विकल्पों में मुख्य जरूरी जोड़ी ((1,5)) है। / Transitivity requires ((1,5)), but it is missing. ((2,4)) and ((4,5)) also suggest checking ((2,5)), but among the options the key required pair is ((1,5)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में अंतिम कड़ी जोड़ते ही नई सीधी जोड़ियाँ बनती हैं। / When a last link is added to a chain, new direct pairs are formed.
((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\ne 3\) और (1+3) सम है। ((3,1)) भी संबंध में है। / ((1,3)) is in the relation because \(1\ne 3\) and (1+3) is even. ((3,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। / Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग की शर्त में असमानता जोड़ने से संक्रामकता टूट सकती है। / Adding an inequality condition to a same-class relation can break transitivity.
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\) होगा। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\).
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही \(a\ne b\) और \(b\ne c\) के साथ धनात्मक विभाज्यता की इस आगे बढ़ती श्रृंखला में \(a\ne c\) भी रहेगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / Also, in this forward chain of positive divisibility with \(a\ne b\) and \(b\ne c\), we still have \(a\ne c\). Hence ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में दिशा और बराबरी की शर्त दोनों देखें। / In divisibility, check both direction and the inequality condition.
यदि (P) और (Q) का (y)-निर्देशांक समान है, और (Q) तथा (S) का (y)-निर्देशांक समान है, तो (P) और (S) का (y)-निर्देशांक भी समान होगा। / If (P) and (Q) have the same (y)-coordinate, and (Q) and (S) have the same (y)-coordinate, then (P) and (S) also have the same (y)-coordinate.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (P R S) सत्य है। / Hence (P R S) is true.
Step 3
Exam Tip
समान गुण पर आधारित संबंध में गुण की निरंतरता जाँचें। / In a relation based on the same property, check that the property passes through the chain.
संबंध केवल विषम संख्याओं के बीच छोटे से बड़े क्रम को लेता है। / The relation takes the less-than order only among odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), और तीनों विषम होने से ((a,c)) भी संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), and since all three are odd, ((a,c)) is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त शर्त के साथ भी मूल क्रम नियम को न भूलें। / Even with an extra condition, do not forget the basic order rule.
A. ((1,4)) और ((4,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/((1,4)) and ((4,5)) are present but ((1,5)) is absent
Step 1
Concept
((1,4)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 4\) और (4-1=3)। ((4,5)) भी संबंध में है। / ((1,4)) is in the relation because \(1\le 4\) and (4-1=3). ((4,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा (3) से अधिक है। इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं है। / For ((1,5)), (5-1=4), which is greater than the bound (3). So ((1,5)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
सीमा वाले संबंध में दो वैध कदम मिलकर अवैध लंबा कदम बना सकते हैं। / In bounded relations, two valid steps can form an invalid longer step.
यदि (a>b) और (b>c), तो सामान्य क्रम से (a>c)। / If (a>b) and (b>c), then by usual order (a>c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी संबंध में होगा। / Therefore ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
बड़े-छोटे के संबंध में दिशा समान रहे तो संक्रामकता बनी रहती है। / In greater-than or less-than relations, transitivity holds when direction remains consistent.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\le b\), \(b\le c\), और दोनों कड़ियों में समान प्रकृति है, तो \(a\le c\) और (a,c) की प्रकृति भी समान होगी। / If \(a\le b\), \(b\le c\), and both links have the same parity, then \(a\le c\) and (a,c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित शर्तों में क्रम और सम-विषम दोनों को जाँचें। / For mixed conditions, check both order and parity.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों अभाज्य हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are prime. If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) और (c) दोनों अभाज्य होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / Hence (a) and (c) are both prime, so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
किसी समान गुण पर बने पूर्ण समूह संबंध को गुण की निरंतरता से जाँचें। / For a relation built on a shared property, check whether the property passes to the first and third elements.
((1,3)) और ((3,5)) संबंध में हैं। / ((1,3)) and ((3,5)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((1,5)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची जोड़ियाँ पूरी होने पर भी लंबी श्रृंखला की कमी अलग से जाँचना जरूरी है। / Even if all reflexive pairs are present, missing chain pairs must be checked separately.
\(a\equiv b \pmod{6}\) का अर्थ है (a-b) संख्या (6) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{6}\) means (a-b) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (6) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (6), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के हर ऐसे संबंध में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता सिद्ध करें। / For congruence relations, prove transitivity by adding differences.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1<2) और (2-1) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है। / ((1,2)) is in the relation because (1<2) and (2-1) is odd. ((2,3)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2) सम है। / Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2) is even.
Step 3
Exam Tip
विषम अंतर की दो कड़ियाँ मिलकर सम अंतर दे सकती हैं। / Two odd-difference links can combine into an even difference.
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c)। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
सम अंतर वाली बढ़ती श्रृंखला संक्रामक रहती है। / An increasing chain with even differences remains transitive.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें। / When reverse links appear, check the self-pairs they force.
दिया गया नियम \(a\le b\) के समान है। / The given rule is the same as \(a\le b\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
शब्दों में दिए संबंध को पहले गणितीय रूप में बदलें। / First convert a word-based relation into mathematical form.
(5R(-4)) सत्य है क्योंकि (5+(-4)=1\ge 0)। ((-4)R5) भी सत्य है क्योंकि ((-4)+5=1\ge 0)। / ((-1)R2) is true because \(-1+2=1\ge 0\). Also (2R(-1)) is true because (2+(-1)=1\ge 0).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (5R5) तो सत्य है, इसलिए यह प्रतिवाद नहीं है; सही प्रतिवाद लें: ((-1)R2) और (2R(-1)) से ((-1)R(-1)) चाहिए, पर \(-2\ge 0\) असत्य है। / Transitivity would require ((-1)R(-1)), but (-1+(-1)=-2), which is not at least (0).
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखते समय ऐसी श्रृंखला चुनें जहाँ तीसरी जोड़ी सच में असफल हो। / Choose a chain where the required third pair truly fails.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (c) भी (3) का गुणज है। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are multiples of (3). If ((b,c)) is also in the relation, then (c) is also a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) और (c) दोनों (3) के गुणज होंगे, अतः ((a,c)) संबंध में होगा। / Hence (a) and (c) are both multiples of (3), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
समान गुण वाले समूह संबंधों में पहला और तीसरा तत्व जाँचें। / For shared-property group relations, check the first and third elements.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में होगा। / Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद सुरक्षित रहता है, पर संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Intersection is safe, but union is not always transitive.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) विषम है और (2+3=5) भी विषम है। / (1+2=3) is odd, and (2+3=5) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1+3=4) सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / But (1+3=4) is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में पहली दो जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी असत्य होनी चाहिए। / In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must be false.
यह संबंध \(a^2=b^2\) के समान है। / This relation is equivalent to \(a^2=b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए (aRc)। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
बराबर या विपरीत चिन्ह वाले संबंध को वर्ग बराबरी से समझना आसान है। / A relation of equal or opposite sign is easier to understand through equality of squares.
सम संख्याओं के बीच सभी जोड़ियाँ संबंध में हैं और हर संख्या अपने आप से भी संबंध में है। / All pairs among even numbers are in the relation, and every number is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो कड़ियाँ सम समूह में हैं तो पहली और तीसरी भी सम होंगी; यदि बराबरी वाली कड़ी है तो वही जोड़ी बनी रहती है। / If both links are within the even group, the first and third are also even; if an equality link is involved, the required pair remains valid.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित संबंध में दोनों प्रकार के मामलों को अलग-अलग सोचें। / In a mixed relation, think through both types of cases separately.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में वे जोड़ियाँ होंगी जहाँ (a<b) और दोनों संख्याएँ विषम हैं। / \(R\cap S\) contains pairs where (a<b) and both numbers are odd.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c); और यदि तीनों एक ही विषम समूह में हैं, तो ((a,c)) भी संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c); and if all three are in the odd group, ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों शर्तों को साथ-साथ आगे बढ़ते देखें। / In an intersection, check that both conditions pass forward together.
