\(मान लें (A={1,2,3,4,5,6,7,8}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) 6 से विभाज्य है})। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
\(Let (A={1,2,3,4,5,6,7,8}) and (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) is divisible by 6}). What is the minimum number of pairs needed to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#diagonal pairs
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 2
B 4
C 6
D 8
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर ((a,a)) होना चाहिए। / A reflexive relation needs every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (6) से तभी विभाज्य है जब (a) (3) से विभाज्य हो। (A) में (3,6) ही ऐसे हैं। / On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (6) only when (a) is divisible by (3). In (A), only (3) and (6) work.
Step 3
Exam Tip
कुल (8) विकर्ण युग्म चाहिए, (2) पहले से हैं, इसलिए (6) जोड़ने होंगे। / (8) diagonal pairs are needed and (2) are present, so (6) must be added.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):a^2+b^2\) 10 से विभाज्य है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म पहले से हैं?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):a^2+b^2\) is divisible by 10}), how many diagonal pairs are already in (R)?
#reflexive relation
#squares
#divisibility
#class 12
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A 0
B 1
C 2
D 3
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Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) बनेगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(10) से विभाज्यता के लिए \(2a^2\) में (5) का गुणक होना जरूरी है, इसलिए (a) (5) से विभाज्य होना चाहिए। / For divisibility by (10), \(2a^2\) must include a factor (5), so (a) must be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में केवल (a=5) काम करता है, अतः एक विकर्ण युग्म है। / In the given set, only (a=5) works, so there is one diagonal pair.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b \pmod{5}\)}) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b \pmod{5}\)}). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#modulo
#quadratic congruence
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A 2
B 3
C 4
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2\equiv a \pmod{5}\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2\equiv a \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), इसलिए \(a\equiv 0\) या \(a\equiv 1 \pmod{5}\)। / This means (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), so \(a\equiv 0\) or \(a\equiv 1 \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (0,1,5) काम करते हैं, इसलिए (3) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (0,1,5) work, so there are (3) diagonal pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और (R={(a,b):\(a\equiv 3b \pmod{4}\)}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and (R={(a,b):\(a\equiv 3b \pmod{4}\)}), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#minimum addition
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? Hint Small clue
A 3
B 4
C 5
D 7
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv 3a \pmod{4}\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv 3a \pmod{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), यानी (a) सम होना चाहिए। (A) में (2,4,6) काम करते हैं। / This gives \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), so (a) must be even. In (A), (2,4,6) work.
Step 3
Exam Tip
कुल (7) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (4) जोड़ने होंगे। / Since (7) diagonal pairs are needed and (3) are present, (4) must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a^3-b\) सम है}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a^3-b\) is even}). What is the correct reason that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#parity
#cubic expression
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
B क्योंकि हर \(a^3\) सम है / Because every \(a^3\) is even
C क्योंकि (b) हमेशा (1) है / Because (b) is always (1)
D क्योंकि संबंध रिक्त है / Because the relation is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^3-a\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^3-a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a-3 -a=a(a-1)(a+1)) है, जिसमें लगातार तीन संख्याओं का गुणन है, इसलिए यह सम होगा। / (a-3 -a=a(a-1)(a+1)), a product of three consecutive integers, so it is even.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को गुणनखंडों में बदलना उपयोगी तरीका है। / Factoring the diagonal expression is a useful exam method.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म होंगे?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\), how many diagonal pairs will (R) contain?
#reflexive relation
#quadratic condition
#diagonal count
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A 1
B 2
C 3
D 5
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2+a=3a\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2+a=3a\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(a^2-2a=0\), यानी (a(a-2)=0) लिखते हैं। / This becomes \(a^2-2a=0\), i.e. (a(a-2)=0).
Step 3
Exam Tip
(a=0) और (a=2) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं। / (a=0) and (a=2) work, so there are (2) diagonal pairs.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
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A 1
B 2
C 3
D 5
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=2) पर विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):\gcd(a,b)\) सम है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):\gcd(a,b)\) is even}), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#gcd
#parity
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A 2
B 3
C 4
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(a,a)) सम तभी है जब (a) सम हो। (A) में (2,4,6) सम हैं। / This is even exactly when (a) is even. In (A), (2,4,6) are even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore (3) diagonal pairs belong to the relation.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):\gcd(a,b)\) सम है}) है। इसे प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):\gcd(a,b)\) is even}). How many diagonal pairs must be added to make it reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#minimum addition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 2
B 3
C 4
D 6
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Step 1
Concept
कुल (6) विकर्ण युग्म आवश्यक हैं। / A total of (6) diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं, क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक सम है। / ((2,2),(4,4),(6,6)) are already present because their greatest common divisor is even.
Step 3
Exam Tip
((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है। / ((1,1),(3,3),(5,5)) must be added, so the answer is (3).
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\(यदि (A={2,3,4,5,6,8}) और (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) 8 से कम या बराबर है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
\(If (A={2,3,4,5,6,8}) and (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) is less than or equal to 8}), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#lcm
#diagonal pairs
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A 3
B 4
C 5
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय के सभी तत्व (8) से कम या बराबर हैं। / Every element of the given set is less than or equal to (8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Hence all (6) diagonal pairs are in the relation.
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\(समुच्चय (A={2,3,4,5,6,8}) पर (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) 5 से कम है}) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
\(On (A={2,3,4,5,6,8}), (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) is less than 5}). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#lcm
#minimum addition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 2
B 3
C 4
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होगा। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a<5) होने पर (a=2,3,4) ही काम करते हैं। / The condition (a<5) holds only for (2,3,4).
Step 3
Exam Tip
कुल (6) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (3) जोड़ने होंगे। / Since (6) diagonal pairs are needed and (3) are present, (3) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#squares
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A क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
B क्योंकि \(b^2\) हमेशा (1) है / Because \(b^2\) is always (1)
C क्योंकि हर (a) अभाज्य है / Because every (a) is prime
D क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएं हैं / Because (A) contains only even numbers
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a\mid a^2\) बनेगी, जो हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\mid a^2\), which is true for every positive integer (a).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में स्वयं के वर्ग को देखना तेज तरीका है। / In divisibility relations, checking the square of the same number is a quick method.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\mid b\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):a+1\mid b\}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#divisibility
#diagonal count
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A 0
B 1
C 2
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर शर्त \(a+1\mid a\) बनेगी। / On the diagonal, the condition becomes \(a+1\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+1) संख्या (a) से बड़ी है और धनात्मक है, इसलिए वह (a) को विभाजित नहीं कर सकती। / Since (a+1) is positive and greater than (a), it cannot divide (a).
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए संख्या (0) है। / No diagonal pair is present, so the count is (0).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#self divisibility
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A हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
B हर (a) पर (a+1=1) / For every (a), (a+1=1)
C हर (b) शून्य है / Every (b) is zero
D सभी युग्म अविकर्ण हैं / All pairs are non-diagonal
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Correct Answer
A. हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / Put (b=a) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a+1\mid a+1\) मिलता है, और कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Then \(a+1\mid a+1\), and any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.
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समुच्चय \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq9\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq9\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#squares
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? Hint Small clue
A 0
B 2
C 4
D 7
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Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\leq9\) से \(a^2\leq4.5\), इसलिए (a=-2,-1,0,1,2) काम करते हैं। / \(2a^2\leq9\) gives \(a^2\leq4.5\), so (a=-2,-1,0,1,2) work.
Step 3
Exam Tip
((-3,-3)) और ((3,3)) गायब हैं, इसलिए (2) जोड़ने होंगे। / ((-3,-3)) and ((3,3)) are missing, so (2) pairs must be added.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#product inequality
#diagonal count
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 1
B 2
C 3
D 5
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Step 1
Concept
विकर्ण पर \(ab=a^2\) और (a+b=2a) होगा। / On the diagonal, \(ab=a^2\) and (a+b=2a).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a^2\geq2a\), यानी (a(a-2)\geq0) है। / The condition is \(a^2\geq2a\), i.e. (a(a-2)\geq0).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (a=-2,-1,0,2) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (a=-2,-1,0,2) work, so there are (4) diagonal pairs.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 0
B 1
C 2
D 3
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Step 1
Concept
कुल (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A total of (5) diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त (a(a-2)\geq0) है, जो (-2,-1,0,2) पर सत्य और (1) पर असत्य है। / The diagonal condition (a(a-2)\geq0) is true for (-2,-1,0,2) and false for (1).
Step 3
Exam Tip
केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Only ((1,1)) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):(a-b)^2<1\}\) है, तो (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):(a-b)^2<1\}\), what is the correct conclusion about (R)?
#reflexive relation
#square difference
#inequality
50 50-50 2 wrong hide
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A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C रिक्त संबंध है / It is empty relation
D सार्वत्रिक संबंध है / It is universal relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a-b=0) होता है। / On the diagonal, (a-b=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a-b)2 =0), और (0<1) सत्य है। / Therefore ((a-b)2 =0), and (0<1) is true.
Step 3
Exam Tip
हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है, अतः संबंध प्रतिवर्ती है। / Every diagonal pair satisfies the condition, so the relation is reflexive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#minimum addition
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 0
B 2
C 4
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (a-b=0) है। / On the diagonal, (a-b=0).
Step 2
Why this answer is correct
तब ((a-b)2 =0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then ((a-b)2 =0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं है, इसलिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / No diagonal pair is present, so all four diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#absolute value
#inequality
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 4
B 5
C 1
D 0
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (|a-a|=0) होता है। / On the diagonal, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(0\leq a-1\) बनेगी, जो (A) के हर \(a\geq1\) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(0\leq a-1\), which is true for every \(a\geq1\) in (A).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (5) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Hence all (5) diagonal pairs are in the relation.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#minimum addition
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 0
B 1
C 2
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (|a-a|=0) होगा। / On the diagonal, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(0\leq a-1\) है, जो (a=0) पर असत्य और (a=1,2,3,4) पर सत्य है। / The condition is \(0\leq a-1\), which fails for (a=0) and holds for (a=1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b):a=b\) या a+b 3 से विभाज्य है}) है, तो (R) कैसा है?
\(If (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b):a=b\) or a+b is divisible by 3}), what is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#or condition
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C केवल तीन तत्वों पर / Only on three elements
D रिक्त संबंध / Empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) हमेशा सत्य होता है। / On the diagonal, (a=b) is always true.
Step 2
Why this answer is correct
या वाली शर्त में पहला भाग ही हर ((a,a)) को शामिल कर देता है। / In an or condition, the first part already includes every ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दूसरे भाग को अलग से जांचने की आवश्यकता नहीं है। / So the second part does not need separate checking for reflexivity.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a\neq b\) और a+b सम है}) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a\neq b\) and a+b is even}). Which statement is correct for (R)?
#reflexive relation
#and condition
#not equal
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C केवल पहचान संबंध है / It is only the identity relation
D सार्वत्रिक संबंध है / It is universal relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण युग्मों में (a=b) होता है। / In diagonal pairs, (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
दी गई शर्त में \(a\neq b\) चाहिए, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म संबंध में नहीं होगा। / The condition requires \(a\neq b\), so no diagonal pair can be present.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति से संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / Since all diagonal pairs are absent, the relation is not reflexive.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):a=b\) और \(a\equiv 0 \pmod{2}}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे\)?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):a=b\) and \(a\equiv 0 \pmod{2}}), how many pairs must be added to make (R) reflexive\)?
#reflexive relation
#even elements
#minimum addition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 2
B 3
C 4
D 6
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Step 1
Concept
संबंध में केवल सम तत्वों के विकर्ण युग्म हैं। / The relation contains only diagonal pairs for even elements.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में ((2,2),(4,4),(6,6)) मौजूद होंगे, पर ((1,1),(3,3),(5,5)) नहीं। / ((2,2),(4,4),(6,6)) are present, but ((1,1),(3,3),(5,5)) are missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore (3) diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#cartesian product
#missing diagonal
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 1
B 2
C 3
D 4
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए चारों विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation needs all four diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए युग्मों में ((1,1)) और ((4,4)) विकर्ण हैं, पर ((2,3)) विकर्ण नहीं है। / Among the removed pairs, ((1,1)) and ((4,4)) are diagonal, while ((2,3)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल दो विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore only two diagonal pairs must be added.
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (12) युग्म हों?
If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (12) ordered pairs?
#reflexive relation
#counting
#combinations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{20}{7}\)
B \(\binom{25}{12}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{12}{5}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{20}{7}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\).
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छह तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
How many reflexive relations are possible on a set with six elements?
#reflexive relation
#counting formula
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{30}\)
B \(2^{36}\)
C \(2^6\)
D \(6^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{30}\)
Step 1
Concept
(6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। / For (6) elements, \(A\times A\) has (36) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे। / Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें कोई विशेष अविकर्ण युग्म ((p,q)), जहां \(p\neq q\), अवश्य शामिल हो?
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations must contain one fixed non-diagonal pair ((p,q)), where \(p\neq q\)?
#reflexive relation
#general counting
#restricted pair
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{n^2-n-1}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(2^{n^2-1}\)
D \(n^2-n-1\)
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Correct Answer
A. \(2^{n^2-n-1}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। / There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.
Step 3
Exam Tip
बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है। / The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\).
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((2,1)) दोनों न हों?
On a four-element set, how many reflexive relations do not contain both ((1,2)) and ((2,1))?
#reflexive relation
#counting
#restricted non diagonal pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(3\cdot2^{10}\)
B \(2^{10}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^{12}-1\)
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Correct Answer
A. \(3\cdot2^{10}\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। / On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। / For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (2) अविकर्ण युग्म हों और ((1,2)) उनमें से एक हो?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (2) non-diagonal pairs and ((1,2)) is one of them?
#reflexive relation
#counting
#exact non diagonal
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 11
B 12
C 22
D 66
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Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। / Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.
Step 3
Exam Tip
दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे। / The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations.
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पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जो पहचान संबंध भी नहीं हैं और सार्वत्रिक संबंध भी नहीं हैं?
On a five-element set, how many reflexive relations are neither the identity relation nor the universal relation?
#reflexive relation
#identity
#universal
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{20}-2\)
B \(2^{25}-2\)
C \(2^{20}-1\)
D \(2^{15}\)
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Correct Answer
A. \(2^{20}-2\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। / On a five-element set, the number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों शामिल हैं। / This includes the identity relation and the universal relation.
Step 3
Exam Tip
दोनों को हटाने पर \(2^{20}-2\) संबंध बचते हैं। / Removing both gives \(2^{20}-2\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (11) युग्म हों?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations contain exactly (11) ordered pairs?
#reflexive relation
#combinations
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{12}{7}\)
B \(\binom{16}{11}\)
C \(\binom{11}{4}\)
D \(2^{11}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{12}{7}\)
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (11) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (11) total pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
(12) अविकर्ण युग्मों में से (7) चुनने के तरीके \(\binom{12}{7}\) हैं। / The number of ways is \(\binom{12}{7}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध में ठीक (18) युग्म हैं और वह प्रतिवर्ती है। अनिवार्य विकर्ण युग्मों के अलावा कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation has exactly (18) pairs and is reflexive. How many pairs are present besides the compulsory diagonal pairs?
#reflexive relation
#ordered pairs
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 5
B 10
C 13
D 18
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Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (18) युग्म दिए हैं। / The relation has (18) total pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण या अतिरिक्त युग्म (18-5=13) होंगे। / The additional non-diagonal pairs are (18-5=13).
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यदि \(S=\{1,2,3,4\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है, तो (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?
If \(S=\{1,2,3,4\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), how many reflexive relations are possible on (A)?
#reflexive relation
#power set
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{240}\)
B \(2^{256}\)
C \(2^{16}\)
D \(2^{120}\)
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Correct Answer
A. \(2^{240}\)
Step 1
Concept
(A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
(A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। / The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
\(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है। / Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\).
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। (A) पर \(R={(X,Y):X\cap Y=X}\\) है। (R) कैसा है?
If \(S=\{1,2,3\}\) and \(A=\mathcal{P}(S)\). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\). What is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#power set
#intersection
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D सार्वत्रिक / Universal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (Y=X) रखें। / Put (Y=X) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cap X=X\) मिलेगा, जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। / Then \(X\cap X=X\), which is true for every set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी ((X,X)) संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore every ((X,X)) belongs to the relation, so (R) is reflexive.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)) पर (R={(X,Y):X\cup Y=Y}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
For \(S=\{1,2,3\}\) and \(A=\mathcal{P}(S)), (R={(X,Y):X\cup Y=Y}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (S) पर / Only for (S)
D केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (Y=X) रखें। / For reflexivity, put (Y=X).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cup X=X\) और यही (Y) है। / Then \(X\cup X=X\), which is the same as (Y).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है। / Hence every diagonal pair satisfies the condition.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध
\[
R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}
\]
परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
If \(S=\{1,2,3\}\) and \(A=\mathcal{P}(S)\), then a relation \(R\) on \(A\) is defined by
\[
R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ and } X\cup Y=S\}.
\]
How many diagonal pairs must be added to make \(R\) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
#minimum addition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 6
B 7
C 8
D 1
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Step 1
Concept
(\mathcal{P}(S)) में (8) तत्व हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। / (\mathcal{P}(S)) has (8) elements, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। / On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (7) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (7) must be added.
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समुच्चय \(A=\mathcal{P}({1,2,3})) पर (R={(X,Y):X\setminus Y=X}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\mathcal{P}({1,2,3})), (R={(X,Y):X\setminus Y=X}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#set difference
#power set
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 1
B 3
C 7
D 8
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\setminus X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(X\setminus X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। / The condition \(X\setminus X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है। / Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair.
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यदि \(A=\mathcal{P}({1,2,3})) और (R={(X,Y):X\triangle Y\subseteq X}\) है, तो (R) कैसा है?
If \(A=\mathcal{P}({1,2,3})) and (R={(X,Y):X\triangle Y\subseteq X}\), what is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#symmetric difference
#subset
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D सार्वत्रिक / Universal
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\varnothing\subseteq X\) सत्य है। / The empty set is a subset of every set, so \(\varnothing\subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
अतः सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs are in the relation.
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\(समुच्चय (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}) पर (R={(X,Y):X\subset Y\) या X\cap Y=X}) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
\(On (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}), (R={(X,Y):X\subset Y\) or \(X\cap Y=X}). What is the correct conclusion about (R)\)?
#reflexive relation
#set operation
#or condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C केवल उचित उपसमुच्चय है / It is only proper subset
D रिक्त संबंध है / It is empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। / On the diagonal, \(X\subset X\) is false.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। / But \(X\cap X=X\) is true.
Step 3
Exam Tip
या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है। / In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) only when (a) and (b) have a common prime factor, is (R) reflexive?
#reflexive relation
#prime factor
#number theory
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर हाँ / Yes only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) too.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। / The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive.
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समुच्चय \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\) पर (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\), \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor. How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#prime factor
#diagonal pairs
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 4
B 5
C 6
D 0
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(A) का हर तत्व (1) से बड़ा है। / Every element of (A) is greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर ऐसे तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है, जिसे वह स्वयं के साथ साझा करता है। / Each such element has at least one prime factor, which it shares with itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all (6) diagonal pairs are in the relation.
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\(यदि (A={1,2,4,8,16}) और (R={(a,b):\frac{b}{a}\) 2 की पूर्णांक घात है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
\(If (A={1,2,4,8,16}) and (R={(a,b):\frac{b}{a}\) is an integral power of 2}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#ratio
#powers
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A क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\) / Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
B क्योंकि हर अनुपात (2) है / Because every ratio is (2)
C क्योंकि सभी युग्म समान हैं / Because all pairs are equal
D क्योंकि \(16=2^4\) / Because \(16=2^4\)
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\) / Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), जो (2) की पूर्णांक घात है। / Then \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), which is an integral power of (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,6,12}) पर (R={(a,b):a\mid b\) या b\mid a}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,6,12}), (R={(a,b):a\mid b\) or \(b\mid a}). What is the reason for (R) being reflexive\)?
#reflexive relation
#divisibility
#or condition
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A हर (a) स्वयं को विभाजित करता है / Every (a) divides itself
B हर (a) (12) को विभाजित करता है / Every (a) divides (12)
C हर (b) (1) है / Every (b) is (1)
D सभी युग्म \(A\times A\) में नहीं हैं / Not all pairs are in \(A\times A\)
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Correct Answer
A. हर (a) स्वयं को विभाजित करता है / Every (a) divides itself
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) लें। / For reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\mid a\) सत्य है, इसलिए या वाली शर्त पूरी हो जाती है। / For every (a), \(a\mid a\) is true, so the or condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
स्वयं से विभाजन प्रतिवर्तिता का सीधा प्रमाण देता है। / Self-divisibility directly proves reflexivity.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#product equation
#diagonal count
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A 0
B 1
C 2
D 5
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (a+b=2a) और \(ab=a^2\) होगा। / On the diagonal, (a+b=2a) and \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(2a=a^2\), यानी (a(a-2)=0) बनती है। / The condition becomes \(2a=a^2\), i.e. (a(a-2)=0).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (a=2) ही काम करता है, इसलिए एक विकर्ण युग्म है। / In the given set, only (a=2) works, so there is one diagonal pair.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#product equation
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A 1
B 2
C 4
D 5
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त केवल (a=2) पर पूरी होती है। / The diagonal condition holds only for (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore the remaining four diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#equality
#quadratic expression
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? Hint Small clue
A क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं / Because both sides become equal on the diagonal
B क्योंकि सभी युग्म अलग हैं / Because all pairs are different
C क्योंकि \(a^2-a\) हमेशा (0) है / Because \(a^2-a\) is always (0)
D क्योंकि (A) में (5) तत्व हैं / Because (A) has (5) elements
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Correct Answer
A. क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं / Because both sides become equal on the diagonal
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर बायां पक्ष \(a^2-a\) और दायां पक्ष भी \(a^2-a\) है। / For ((a,a)), the left side is \(a^2-a\) and the right side is also \(a^2-a\).
Step 2
Why this answer is correct
समान मात्रा हमेशा अपने बराबर होती है। / A quantity is always equal to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=2ab\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=2ab\}\). Which statement about (R) is correct?
#reflexive relation
#identity condition
#square
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A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C कोई विकर्ण युग्म नहीं है / It has no diagonal pair
D केवल ((0,0)) है / It has only ((0,0))
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
दी गई शर्त \(a^2+b^2=2ab\) को \(a^2-2ab+b^2=0\) लिखा जा सकता है। / Rewrite \(a^2+b^2=2ab\) as \(a^2-2ab+b^2=0\).
Step 2
Why this answer is correct
यह ((a-b)2 =0) है, जो (a=b) पर सत्य है। / This is ((a-b)2 =0), which is true when (a=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#quadratic
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A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D सभी युग्म हैं / All pairs are present
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) रखने से \(a^2+a^2<2a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (a=b), giving \(a^2+a^2<2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(2a^2<2a^2\) है, जो असत्य है। / This becomes \(2a^2<2a^2\), which is false.
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / No diagonal pair satisfies the condition, so the relation is not reflexive.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 7 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस तथ्य पर आधारित है?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 7}). What fact proves that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#difference
#divisibility
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A हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
B हर (a) (7) से विभाज्य है / Every (a) is divisible by (7)
C (7) समुच्चय में है / (7) belongs to the set
D हर युग्म में (a>b) है / In every pair, (a>b)
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Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए ((a,a)) लें। / To test reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a-a=0) होता है, और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero number.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.
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