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A. बाहरी ऋण विनिमय दबाव और निवेश शर्तें आर्थिक निर्णयों को प्रभावित कर सकती हैं/External debt exchange pressure and investment conditions can affect economic decisions
Explanation
Simple Explanation
वित्तीय निर्भरता प्रत्यक्ष शासन के बिना भी प्रभाव पैदा कर सकती है। परीक्षा में नवउपनिवेशवाद समझें। / Financial dependence can create influence even without direct rule. For exams understand neo colonialism.
A. कच्चे माल के कम मूल्य और तैयार माल के अधिक मूल्य से निर्भरता बढ़ाकर/By increasing dependence through low raw material prices and high finished goods prices
Explanation
Simple Explanation
असमान व्यापार आर्थिक निर्भरता को बढ़ा सकता था। परीक्षा में कच्चा माल और तैयार माल का अंतर याद रखें। / Unequal trade could increase economic dependence. For exams remember difference between raw materials and finished goods.
A. क्योंकि फ्रांसीसी इंडोचीन में वियतनाम लाओस और कंबोडिया जुड़े थे/Because French Indochina included Vietnam Laos and Cambodia
Explanation
Simple Explanation
इंडोचीन क्षेत्रीय औपनिवेशिक नियंत्रण का उदाहरण था। परीक्षा में वियतनाम के साथ लाओस और कंबोडिया भी याद रखें। / Indochina was an example of regional colonial control. For exams remember Laos and Cambodia with Vietnam.
A. क्योंकि स्वतंत्रता के बाद राष्ट्र निर्माण आर्थिक निर्भरता और पहचान की चुनौतियां जारी रहीं/Because nation building economic dependence and identity challenges continued after independence
Explanation
Simple Explanation
उपनिवेश मुक्ति एक प्रक्रिया है केवल एक तारीख नहीं। परीक्षा में स्वतंत्रता बाद की चुनौतियां लिखें। / Decolonization is a process not only a date. For exams write post independence challenges.
A. मॉस्को नियंत्रण के बाहर स्वतंत्र सुधार स्वीकार्य नहीं थे/Independent reforms outside Moscow control were not acceptable
Explanation
Simple Explanation
प्राग स्प्रिंग ने सुधार और सोवियत नियंत्रण का टकराव दिखाया। परीक्षा में ब्रेझनेव सिद्धांत याद रखें। / Prague Spring showed conflict between reform and Soviet control. For exams remember the Brezhnev Doctrine.
A. आदर्शों की रक्षा के नाम पर दमनकारी सत्ता बन सकती है/Repressive power can emerge in the name of protecting ideals
Explanation
Simple Explanation
टेरर ने स्वतंत्रता और दमन के बीच तनाव दिखाया। परीक्षा में क्रांति का संतुलित विश्लेषण करें। / The Terror showed tension between liberty and repression. For exams analyze the revolution in a balanced way.
A. सोवियत खेमे में सुधार तभी तक संभव थे जब तक मॉस्को नियंत्रण स्वीकार रहे/Reforms were possible in the Soviet bloc only while Moscow control was accepted
Explanation
Simple Explanation
प्राग स्प्रिंग ने सुधार की इच्छा और सोवियत नियंत्रण का टकराव दिखाया। परीक्षा में ब्रेझनेव सिद्धांत याद रखें। / Prague Spring showed conflict between desire for reform and Soviet control. For exams remember the Brezhnev Doctrine.
A. स्वतंत्रता की भाषा के साथ उपनिवेशों में दासता जारी रहने का विरोधाभास/Contradiction of slavery continuing in colonies alongside language of liberty
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति ने स्वतंत्रता के आदर्श को दासता विरोधी संघर्ष से जोड़ा। परीक्षा में इसे अटलांटिक क्रांतियों में अलग पहचानें। / The Haitian Revolution linked the ideal of liberty with anti slavery struggle. For exams distinguish it within Atlantic revolutions.
A. स्थानीय राष्ट्रवाद और गुरिल्ला युद्ध को बाहरी सैन्य शक्ति से रोकना कठिन था/Local nationalism and guerrilla war were hard to stop with external military power
Explanation
Simple Explanation
वियतनाम युद्ध ने स्थानीय संदर्भ और महाशक्ति रणनीति के टकराव को दिखाया। परीक्षा में डोमिनो सिद्धांत याद रखें। / The Vietnam War showed conflict between local context and superpower strategy. For exams remember Domino Theory.
A. आक्रामक विस्तारवाद को रोकने के बजाय समय दिया गया/Aggressive expansionism was given time instead of being stopped
Explanation
Simple Explanation
म्यूनिख समझौता हिटलर की आक्रामकता रोकने में सफल नहीं हुआ। परीक्षा में इसे द्वितीय विश्व युद्ध की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The Munich Agreement failed to stop Hitler's aggression. For exams connect it with the background of World War II.
A. जवाबी परमाणु विनाश के डर ने सावधानी पैदा की/Fear of retaliatory nuclear destruction created caution
Explanation
Simple Explanation
परमाणु भय ने प्रत्यक्ष युद्ध को रोका लेकिन प्रतिनिधि युद्ध बढ़े। परीक्षा में प्रतिरोध और प्रतिनिधि युद्ध को साथ समझें। / Nuclear fear prevented direct war but proxy wars increased. Exam tip: understand deterrence and proxy wars together.
A. हिटलर की मांग मानने से आक्रमणकारी नीति नहीं रुकी/Accepting Hitler's demand did not stop aggressive policy
Explanation
Simple Explanation
म्यूनिख समझौता युद्ध टालने की कोशिश था लेकिन इससे आक्रामकता नहीं रुकी। परीक्षा में तुष्टिकरण को द्वितीय विश्व युद्ध की पृष्ठभूमि में पढ़ें। / The Munich Agreement tried to avoid war but did not stop aggression. Exam tip: study appeasement in the background of World War II.
B. स्वतंत्र समाजवादी सुधारों की सीमा/Limits of independent socialist reforms
Explanation
Simple Explanation
प्राग स्प्रिंग ने सुधार की कोशिश की पर सोवियत हस्तक्षेप ने उसे रोक दिया। परीक्षा में इसे ब्रेझनेव सिद्धांत से जोड़ें। / Prague Spring tried reform but Soviet intervention stopped it. For exams connect it with the Brezhnev Doctrine.
A. सोवियत हित के नाम पर हस्तक्षेप को सही ठक्षेप को सही ठहराकर/By justifying intervention in the name of Soviet interests
Explanation
Simple Explanation
ब्रेझनेव सिद्धांत पूर्वी यूरोप पर सोवियत नियंत्रण का तर्क था। परीक्षा में इसे प्राग स्प्रिंग से जोड़ें। / The Brezhnev Doctrine was a justification of Soviet control over Eastern Europe. For exams connect it with the Prague Spring.
बिस्मार्क ने सामाजिक बीमा जैसी योजनाओं से मजदूरों को आकर्षित किया। परीक्षा में उसे केवल युद्ध नहीं बल्कि राज्य नीति से भी जोड़ें। / Bismarck used plans like social insurance to attract workers. For exams connect him not only with war but also with state policy.
B. राजा की मनमानी शक्ति/Arbitrary power of the king
Explanation
Simple Explanation
अधिकार विधेयक ने राजा की शक्ति को संवैधानिक सीमाओं में रखा। परीक्षा में इसे संसद के अधिकारों से जोड़ें। / The Bill of Rights placed constitutional limits on royal power. For exams connect it with parliamentary rights.
B. सुल्तान की निरंकुश सत्ता/Sultan's autocratic power
Explanation
Simple Explanation
यंग तुर्क सुल्तान की निरंकुश सत्ता पर संवैधानिक नियंत्रण चाहते थे। परीक्षा में इसे ओटोमन सुधार आंदोलन से जोड़ें। / The Young Turks wanted constitutional limits on the Sultan's autocratic power. For exams connect it with Ottoman reform movements.
A. कठिन terrain और लंबी आपूर्ति रेखाओं ने आक्रमण को कमजोर किया/Difficult terrain and long supply lines weakened the offensive
Explanation
Simple Explanation
पूर्वोत्तर भारत और बर्मा क्षेत्र का भूगोल अभियान के लिए कठिन था। परीक्षा में एशियाई मोर्चे को मानचित्र से पढ़ें। / The geography of northeast India and Burma was difficult for the campaign. For exams study the Asian front with maps.
A. क्योंकि गंभीर अंतरराष्ट्रीय अपराधों में व्यक्ति की जिम्मेदारी भी मानी गई/Because individual responsibility was recognized in grave international crimes
Explanation
Simple Explanation
नूर्नबर्ग ने बताया कि राज्य आदेश अपराध से पूर्ण बचाव नहीं है। परीक्षा में व्यक्तिगत जवाबदेही याद रखें। / Nuremberg showed that state orders are not a complete defense for crimes. For exams remember individual accountability.
C. उन्होंने लामबंदी को तेज किया और समझौते के लिए समय घटाया/They accelerated mobilization and reduced time for compromise
Explanation
Simple Explanation
तेज सैन्य तैयारी ने नेताओं पर जल्दी निर्णय लेने का दबाव डाला। परीक्षा में सैन्य योजना और कूटनीति का संबंध समझें। / Rapid military preparation pressured leaders to decide quickly. For exams understand the relation between military planning and diplomacy.
A. तेज आक्रमण लंबी दूरी मौसम और रसद के सामने कमजोर पड़ सकता था/Rapid attack could weaken before distance weather and logistics
Explanation
Simple Explanation
मॉस्को अभियान ने दिखाया कि गति पर्याप्त नहीं जब आपूर्ति और मौसम कठिन हों। परीक्षा में भूगोल को रणनीति से जोड़ें। / The Moscow campaign showed that speed was not enough when supply and weather were difficult. For exams connect geography with strategy.
A. इसने प्रशासन में भारतीयों के समान अवसर की मांग को राजनीतिक मुद्दा बनाया/It made equal opportunity for Indians in administration a political issue
Explanation
Simple Explanation
आई सी एस आंदोलन शिक्षित भारतीयों की राजनीतिक चेतना से जुड़ा था। परीक्षा में सुरेन्द्रनाथ बनर्जी को याद रखें। / The ICS agitation was linked with political awareness of educated Indians. Exam tip is to remember Surendranath Banerjee.
A. क्योंकि सामाजिक सुधारों और मिशनरी गतिविधियों से भी संदेह बढ़े थे/Because social reforms and missionary activities also increased suspicion
Explanation
Simple Explanation
कारतूस तत्काल कारण था पर धार्मिक और सांस्कृतिक असुरक्षा पहले से बढ़ रही थी। परीक्षा में कारणों को बहुस्तरीय समझें। / Cartridges were the immediate cause but religious and cultural insecurity had already grown. Exam tip: understand causes as multi-layered.
A. सुल्तान की निरंकुश सत्ता को मजबूत करने के लिए/To strengthen the Sultan's absolute authority
Explanation
Simple Explanation
अलाउद्दीन ने राज्य नीति को धार्मिक वर्ग के नियंत्रण से अलग रखना चाहा। परीक्षा में इसे उसके मजबूत केंद्रीय शासन से जोड़ें। / Alauddin wanted state policy to remain separate from clerical control. Exam tip is to connect it with his strong central rule.
सुत्कागेंडोर को सिंधु सभ्यता के पश्चिमी छोर से जोड़ा जाता है। परीक्षा में सीमांत स्थलों को दिशा सहित याद रखें। / Sutkagendor is linked with the western limit of the Indus Civilization. For exams, remember frontier sites with directions.
D. क्योंकि संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग भी चाहिए/Because context evidence effect and application are also needed
Explanation
Simple Explanation
विशेषज्ञ उत्तर परिभाषा से आगे विश्लेषण मांगता है। परीक्षा में application जोड़ें। / Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
A. संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग/Context evidence effect and application
Explanation
Simple Explanation
विशेषज्ञ उत्तर में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें। / Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
A. उदाहरण प्रभाव और अनुप्रयोग/Example effect and application
Explanation
Simple Explanation
Hard level में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें। / Hard level needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर बार \(q\neq0\) याद रखें। / A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया/Because it ignored many community and customary rights
Explanation
Simple Explanation
भूमि बंदोबस्त ने स्वामित्व और राजस्व को नए ढंग से परिभाषित किया। परीक्षा में भूमि अधिकार और कर व्यवस्था साथ पढ़ें। / Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय/Civil rights and economic justice along with political freedom
Explanation
Simple Explanation
कराची प्रस्तावों ने भविष्य के भारत के अधिकार और न्याय की दिशा दिखाई। परीक्षा में मौलिक अधिकार और आर्थिक कार्यक्रम याद रखें। / Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
A. रोजगार में समान अवसर और भारतीयकरण की मांग/Demand for equal opportunity and Indianisation in employment
Explanation
Simple Explanation
आई सी एस आयु सीमा मुद्दा भारतीयों के प्रशासनिक अधिकार से जुड़ा था। परीक्षा में प्रारंभिक राजनीतिक संगठनों की मांगें याद रखें। / The ICS age-limit issue was linked with Indians' administrative rights. Exam tip: remember demands of early political associations.
(d=-18) है। (-144) के बाद (-162) आता है इसलिए (-150) से बड़ा अंतिम पद (-144) है। / (d=-18). After (-144), (-162) comes, so the last term greater than (-150) is (-144).
(d=-12) है। (-71) के बाद (-83) आता है, इसलिए (-75) से बड़ा अंतिम पद (-71) है। / (d=-12). After (-71), the next term is (-83), so the last term greater than (-75) is (-71).
(d=-9) है। (-50) से बड़ा अंतिम पद (-40) नहीं बल्कि (-40) श्रेणी में नहीं आता इसलिए (-40) से पहले सही पद (-40) जांचना चाहिए। / (d=-9). The last term greater than (-50) is (-40) if it appears, so always verify actual terms before choosing.
(d=-8) है। (-35) से बड़ा अंतिम पद (-27) है क्योंकि अगला पद (-35) है। / (d=-8). The last term greater than (-35) is (-27) because the next term is (-35).
(d=-7) है। (-20) से बड़ा अंतिम पद (-13) है क्योंकि अगला पद (-20) है। / (d=-7). The last term greater than (-20) is (-13) because the next term is (-20).
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव सहित संक्षिप्त उत्तर/Short answer with definition example and effect
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे लेकिन स्पष्ट बिंदु लिखें। / Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव/Definition example and effect
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे पर स्पष्ट बिंदु लिखें। / Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
पठार आसपास के क्षेत्रों से ऊंचे समतल भूभाग होते हैं। परीक्षा में पठार की परिभाषा याद रखें। / Plateaus are flat lands higher than surrounding areas. For exams remember the definition of plateau.
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है। / In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती। / The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं। / The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6)/It is an AP and (d=6)
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर स्थिर (6) है, इसलिए अनुक्रम समांतर श्रेणी है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर मिले तो तुरंत समांतर श्रेणी पहचानें। / The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r)/It is an AP and (d=r)
Explanation
Simple Explanation
हर अगले पद से पिछले पद को घटाने पर (r) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पदों में भी वही नियम लगाएं। / Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
B. लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference of consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में \(a_2-a_1\) जैसा अंतर स्थिर रहता है। यही सबसे पहले जाँचना चाहिए। / In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है। / In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। अचर संख्या का अर्थ घात (0) से जुड़ा है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). A constant number is linked with degree (0).
\(\sqrt{5}\) वास्तविक गुणांक है और (x) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह (x) में बहुपद है। / \(\sqrt{5}\) is a real coefficient and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial in (x).
\(4t^3-\frac{1}{2}t+7\) में (t) की घातें (3), (1) और (0) हैं। ये सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। / In \(4t^3-\frac{1}{2}t+7\), the powers of (t) are (3), (1), and (0). All are whole numbers.
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे महत्वपूर्ण पहचान नियम है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। शून्य बहुपद से इसे अलग रखें। / A non-zero constant polynomial has degree (0). Keep it separate from the zero polynomial.
यदि (p(a)=0), तो (a) बहुपद का शून्य कहलाता है। शून्य जाँचने के लिए उस संख्या को (x) में रखें। / If (p(a)=0), then (a) is called a zero of the polynomial. To test a zero, substitute that number for (x).
बहुपद में (x) की घात केवल पूर्णांक और अशून्य नहीं बल्कि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में हर पद की घात जांचें। / A polynomial has only non-negative integer powers of (x). In exams check the power of every term.
(q(t)=0) का अर्थ है कि (x=t) रखने पर समीकरण सत्य है। इसलिए (t) उस समीकरण का मूल है। / (q(t)=0) means the equation is true when (x=t). Therefore (t) is a root of the equation.
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें। / Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है/(r) is a root of (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
(p(r)=0) का अर्थ है कि (x=r) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। मूल जांचने के लिए प्रतिस्थापन सबसे सुरक्षित तरीका है। / (p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
मूल रखने पर (p(x)=0) बनता है। परीक्षा में मूल की जांच हमेशा प्रतिस्थापन से करें। / When a root is substituted, (p(x)=0) becomes true. In exams always check a root by substitution.
A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो/The value that satisfies the equation
Explanation
Simple Explanation
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का मान (0) हो जाता है। परीक्षा में पहले मान रखकर जांचें। / A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का बायां पक्ष (0) हो जाता है। इसलिए (p\(\alpha\)=0) सही है। / A root is a value that makes the left side of the equation (0). Therefore (p\(\alpha\)=0) is correct.
सबसे बड़ी घात (2) होने पर समीकरण द्विघात कहलाता है। घात पहचानना पहला कदम है। / When the highest power is (2), the equation is called quadratic. Identifying degree is the first step.
घात (2) वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं। नाम याद रखने के लिए द्वि का अर्थ (2) समझें। / An equation of degree (2) is called a quadratic equation. Remember that quadratic means degree (2).
\(\sqrt{14}\) अपरिमेय है क्योंकि (14) पूर्ण वर्ग नहीं है। बाकी विकल्प परिमेय रूप में लिखे जा सकते हैं। / \(\sqrt{14}\) is irrational because (14) is not a perfect square. The other options can be written in rational form.
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\frac{p}{q}\) रूप परिमेय संख्या की परिभाषा है। इसमें हर (q) शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\frac{p}{q}\) form is the definition of a rational number. The denominator (q) must not be zero.
\(\sqrt{6}\) अपरिमेय है इसलिए इसे \(\frac{p}{q}\) रूप में नहीं लिख सकते। बाकी संख्याएँ परिमेय हैं। / \(\sqrt{6}\) is irrational so it cannot be written as \(\frac{p}{q}\). The other numbers are rational.
शून्यक वही (x)-मान है जिस पर बहुपद का मान शून्य हो। परीक्षा में (p(a)=0) जांचें। / A zero is the (x)-value at which the polynomial value is zero. In exams check (p(a)=0).
जिस मान पर बहुपद का मान (0) हो, वह शून्यक कहलाता है। इसलिए (c) बहुपद का शून्यक है। / The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
शून्यक पर बहुपद का मान (0) होता है। इसलिए ग्राफ पर उस बिंदु का (y)-मान (0) होगा। / At a zero, the value of the polynomial is (0). Therefore the (y)-value at that point on the graph is (0).
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए। / A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। / An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें। / In definition questions, always check the condition \(q\neq0\).
