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\(x^2+7x+10\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=49-40=9\) पूर्ण वर्ग है। इसके मूल \(-5\) और \(-2\) हैं, अतः \((x+5)(x+2)\) मिलता है। परीक्षा में विवर्तक के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / For \(x^2+7x+10\), the discriminant is \(b^2-4ac=49-40=9\), a perfect square. Its roots are \(-5\) and \(-2\), so it factors as \((x+5)(x+2)\). In exams, check whether the discriminant is a perfect square.
x-2+x+1 के लिए विवर्तक b-2-4ac = 1-4 = -3 है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है; इसलिए इसके पूर्णांक रैखिक गुणनखंड नहीं बनते। शेष विकल्पों में क्रमशः अंतर-वर्ग, (x+2)(x+3) और (x-2)2 मिलता है। परीक्षा टिप: पहले विवर्तक जाँचें। / For x-2+x+1, the discriminant is b-2-4ac = 1-4 = -3, not a perfect square, so it has no linear factors with integer coefficients. The others factor as a difference of squares, (x+2)(x+3), and (x-2)2. Exam tip: check the discriminant first.
\(x^2-2x-1\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए इसके मूल पूर्णांक नहीं हैं और यह पूर्णांक गुणांकों वाले रैखिक गुणनखंडों में नहीं टूटता। परीक्षा टिप: पहले विवर्तक का पूर्ण वर्ग होना जाँचें। / For \(x^2-2x-1\), the discriminant is \(b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\), which is not a perfect square. Hence its roots are not integers, so it has no linear factorisation with integer coefficients. Exam tip: check whether the discriminant is a perfect square first.
\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\) है, इसलिए इसके पूर्णांक गुणांकों वाले रैखिक गुणनखंड नहीं बनते। विकल्प A में \((x+2)(x+3)\) बनता है। परीक्षा में स्थिर पद के गुणनफल वाले युग्म जाँचें। / \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), so it has no linear factors with integer coefficients. In contrast, option A is \((x+2)(x+3)\). Exam tip: test factor pairs of the constant term systematically.
\(x^2+5x+7\) के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 7 और योग 5 हो। 1 और 7 का योग 8 है, इसलिए यह संभव नहीं है। जबकि \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) है। परीक्षा टिप: पहले गुणनफल, फिर योग जाँचें। / For \(x^2+5x+7\), two integers must have product 7 and sum 5. The pair 1 and 7 has sum 8, so such factors do not exist. In contrast, \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Exam tip: check the product first, then the sum.
\(x^2+x-1\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=1+4=5\) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए इसके पूर्णांक रैखिक गुणनखंड नहीं बनते। जबकि A में 2 और 3 का गुणनफल 6 तथा योग 5 है। परीक्षा टिप: विवर्तक जाँचें। / For \(x^2+x-1\), the discriminant is \(b^2-4ac=1+4=5\), which is not a perfect square. Hence it has no linear factors with integer coefficients. In A, 2 and 3 multiply to 6 and add to 5. Exam tip: check the discriminant first.
D. परिणाम का वास्तविक कारण पता लगाना कठिन होगा/It will be difficult to identify the real cause of the result
Explanation
Simple Explanation
कई कारक बदलने पर यह पता नहीं चलता कि परिणाम किस कारण आया। एक समय में एक मुख्य कारक बदलें। / When several factors change it becomes unclear what caused the result. Change one main factor at a time.
D. परिणाम का वास्तविक कारण पहचानना कठिन होगा/It will be difficult to identify the actual cause of the result
Explanation
Simple Explanation
एक साथ कई कारक बदलने से परिणाम का कारण स्पष्ट नहीं रहता। निष्पक्ष जांच के लिए एक ही कारक बदलें। / Changing several factors together makes the cause of the result unclear. Change only one factor for a fair test.
नियंत्रित चर समान रखे जाते हैं ताकि निष्पक्ष तुलना हो सके। परीक्षा में स्थिर कारक पहचानें। / Controlled variables are kept constant to ensure a fair comparison. Identify fixed factors.
समान रखे गए जल और मिट्टी नियंत्रित चर हैं। परीक्षा में स्थिर परिस्थितियों को नियंत्रित चर मानें। / Water and soil kept the same are controlled variables. In exams treat constant conditions as controlled variables.
A. नमक की मात्रा और पानी का आयतन/Amount of salt and volume of water
Explanation
Simple Explanation
नमक की मात्रा और पानी का आयतन समान रखने से केवल तापमान का प्रभाव देखा जाएगा। नियंत्रित चर निष्पक्ष जांच के लिए जरूरी हैं। / Keeping the amount of salt and volume of water constant isolates the effect of temperature. Controlled variables are essential for a fair test.
A. पानी के प्रभाव को स्पष्ट रूप से जानने के लिए/To identify the effect of water clearly
Explanation
Simple Explanation
पौधे की वृद्धि पर प्रकाश, मिट्टी, तापमान और बीज का प्रकार जैसे कई कारक प्रभाव डालते हैं। इन सभी को समान रखने पर वृद्धि में आया अंतर केवल पानी की मात्रा के कारण माना जा सकता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य कारकों को बदल देने पर यह पता नहीं चलेगा कि प्रभाव पानी का है या किसी दूसरे कारक का। परीक्षा टिप: निष्पक्ष परीक्षण में केवल एक स्वतंत्र चर बदला जाता है। / Plant growth is affected by several factors, such as light, soil, temperature, and type of seed. If these are kept the same, any difference in growth can be linked to the amount of water only. Therefore, option A is correct. If other factors also change, it will not be clear whether water or another factor caused the result. Exam tip: In a fair test, change only one independent variable.
A. वे प्रश्न को परीक्षण योग्य बनाते हैं/They make the question testable
Explanation
Simple Explanation
माप योग्य कारक, जैसे तापमान, समय, द्रव्यमान या लंबाई, के लिए संख्यात्मक आँकड़े एकत्र किए जा सकते हैं। इन आँकड़ों के आधार पर प्रश्न का प्रयोग या अवलोकन द्वारा परीक्षण किया जाता है, इसलिए विकल्प A सही है। प्रश्न का आकर्षक दिखना उसे वैज्ञानिक रूप से जाँचने योग्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: वैज्ञानिक प्रश्न में ऐसे कारक पहचानें जिन्हें मापा या दर्ज किया जा सके। / Measurable factors, such as temperature, time, mass, or length, allow numerical data to be collected. This data can be used to test a question through observation or experiment, so option A is correct. Making a question attractive does not make it scientifically testable. Exam tip: Look for factors that can be measured or recorded in a scientific question.
अन्य कारकों को समान रखने से केवल बदले गए कारक का प्रभाव पता चलता है। परीक्षा में निष्पक्ष जाँच का नियम याद रखें। / Keeping other factors the same shows the effect of only the changed factor. In exams remember the rule of a fair test.
C. जब एक कारक का प्रभाव निष्पक्ष रूप से जाँचना हो/When the effect of one factor must be tested fairly
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रित कारक अन्य प्रभावों को स्थिर रखते हैं और निष्पक्ष जाँच संभव बनाते हैं। परीक्षा में उचित परीक्षण की शर्तें पहचानें। / Controlled factors keep other influences constant and allow a fair test. Identify conditions of a fair investigation.
C. उन्हें समान रखना चाहिए/They should be kept the same
Explanation
Simple Explanation
अन्य कारकों को समान रखने से स्वतंत्र चर का प्रभाव स्पष्ट होता है। इसे निष्पक्ष जांच कहते हैं। / Keeping other factors the same makes the effect of the independent variable clear. This is called a fair test.
B. एक समय में एक मुख्य कारक पर केंद्रित किया जाए/Focus on one main factor at a time
Explanation
Simple Explanation
एक मुख्य कारक पर ध्यान देने से उसके प्रभाव की स्पष्ट जाँच होती है। परीक्षा में केंद्रित प्रश्न पहचानें। / Focusing on one main factor allows its effect to be tested clearly. Identify focused questions.
B. कारण और प्रभाव का स्पष्ट संबंध जाँचना/To test a clear cause-and-effect relationship
Explanation
Simple Explanation
अन्य कारक स्थिर रखने से देखे गए प्रभाव को स्वतंत्र चर से जोड़ा जा सकता है। परीक्षा में नियंत्रित चर का उद्देश्य समझें। / Keeping other factors constant allows the observed effect to be linked to the independent variable. Understand the purpose of controls.
नियंत्रित चर समान रखने से केवल स्वतंत्र चर का प्रभाव देखा जाता है। परीक्षा में स्थिर कारक पहचानें। / Keeping controlled variables the same allows the effect of the independent variable to be observed. Identify constant factors.
नियंत्रित चर प्रयोग के दौरान समान रखे जाते हैं ताकि निष्पक्ष तुलना हो सके। परीक्षा में स्थिर कारकों को नियंत्रित चर पहचानें। / Controlled variables are kept the same to ensure a fair comparison. Identify constant factors as controlled variables.
दावे की विश्वसनीयता प्रमाण और समान परिणामों की पुनरावृत्ति से बढ़ती है। लोकप्रियता वैज्ञानिक समर्थन नहीं है। / A claim becomes more reliable through evidence and repeated similar results. Popularity is not scientific support.
D. परिणाम का सही कारण पहचानना कठिन होगा/It will be difficult to identify the true cause of the result
Explanation
Simple Explanation
कई कारक बदलने से यह पता लगाना कठिन होता है कि प्रभाव किस कारण से हुआ। एक समय में एक कारक बदलें। / Changing several factors makes it difficult to know which caused the effect. Change one factor at a time.
D. वे कारक जिन्हें बदला नहीं जा रहा/Factors that are not being changed
Explanation
Simple Explanation
निष्पक्ष परीक्षण में जांचे जा रहे कारक के अलावा अन्य स्थितियां समान रखी जाती हैं। इससे तुलना उचित होती है। / In a fair test conditions other than the tested factor are kept the same. This makes comparison valid.
B. लागत मांग और प्रतिस्पर्धी कीमत/Cost demand and competitor price
Explanation
Simple Explanation
उचित मूल्य निर्धारण में लागत ग्राहक मांग और बाजार की कीमत देखी जाती है। परीक्षा में इन तीनों को याद रखें। / Proper pricing considers cost customer demand and market prices. Remember all three.
C. लागत ग्राहक की भुगतान क्षमता और प्रतिस्पर्धी कीमत/Cost customer willingness to pay and competitor prices
Explanation
Simple Explanation
उचित मूल्य निर्धारण में लागत मांग और बाजार की स्थिति का संतुलन आवश्यक है। परीक्षा में मूल्य निर्धारण के कारक याद रखें। / Proper pricing requires a balance of cost demand and market conditions. Remember the factors affecting pricing.
C. अपनी अध्ययन योजना और अभ्यास का समय सुधारना/Improving personal study plan and practice time
Explanation
Simple Explanation
अध्ययन योजना और अभ्यास व्यक्ति के अपने नियंत्रण में होते हैं। परीक्षा में नियंत्रण योग्य और अनियंत्रित कारकों में अंतर करें। / Study planning and practice are within personal control. In exams distinguish controllable and uncontrollable factors.
B. मैं नियमित अभ्यास समय प्रबंधन और शांत प्रयास पर ध्यान दूँगा/I will focus on regular practice time management and calm effort
Explanation
Simple Explanation
अभ्यास और समय प्रबंधन व्यक्ति के नियंत्रण में होते हैं। परीक्षा में परिणाम और प्रक्रिया का अंतर पहचानें। / Practice and time management are within personal control. Distinguish outcome from process.
B. वस्तु के रूप और प्रकाश की दिशा पर/On the object's form and the direction of light
Explanation
Simple Explanation
पड़ी छाया वस्तु के आकार और प्रकाश की दिशा के अनुसार बदलती है। परीक्षा में छाया बनाने से पहले दोनों का अवलोकन करें। / A cast shadow changes according to the object's shape and the direction of light. Observe both before drawing the shadow in exams.
D. अंतराल, घनत्व, दिशा, रेखा गुण, रंग तीव्रता, विरोध और विराम/Spacing, density, direction, line quality, colour intensity, contrast, and pauses
Explanation
Simple Explanation
ये कारक eye speed और emotional tone दोनों प्रभावित करते हैं। परीक्षा में pace और mood को अलग भी जाँचें। / These factors affect both eye speed and emotional tone. Exam tip: also evaluate pace and mood separately.
D. अंतराल, घनत्व, दिशा, माप, विरोध और विराम/Spacing, density, direction, scale, contrast, and pauses
Explanation
Simple Explanation
ये कारक मिलकर eye movement की चाल तय करते हैं। परीक्षा में किसी एक संकेत पर निर्भर न रहें। / Together these factors determine the pace of eye movement. Exam tip: do not rely on only one clue.
D. अंतराल, घनत्व, दिशा, माप और विरोध/Spacing, density, direction, scale, and contrast
Explanation
Simple Explanation
ये सभी कारक दृष्टि की चाल को तेज या धीमा करते हैं। परीक्षा में pace analysis में संयुक्त प्रभाव देखें। / All these factors make the eye move faster or slower. Exam tip: observe their combined effect in pace analysis.
B. पुनरावृत्ति अंतराल दिशा और परिवर्तन/Repetition spacing direction and variation
Explanation
Simple Explanation
लय का सही विश्लेषण पुनरावृत्ति अंतराल दिशा और परिवर्तन देखकर किया जाता है। ये सभी दृश्य गति को प्रभावित करते हैं। / Rhythm is correctly analysed by observing repetition spacing direction and variation. All of these affect visual movement.
D. अंतराल, तत्वों की घनता, दिशा और माप/Spacing, density, direction, and scale of elements
Explanation
Simple Explanation
ये कारक दृष्टि की चाल को तेज या धीमा बनाते हैं। परीक्षा में pace analysis में चारों देखें। / These factors make the eye move faster or slower. Exam tip: observe all four when analysing pace.
C. उसकी दिशा मोटाई मान और स्थान/Its direction thickness value and placement
Explanation
Simple Explanation
रेखा का विरोधाभास कई दृश्य गुणों के संयुक्त प्रभाव से तय होता है। परीक्षा में केवल दिशा नहीं बल्कि स्थान और मान भी देखें। / Line contrast depends on the combined effect of several visual qualities. In exams observe placement and value as well as direction.
A. type, material, light, scale, function, mood, hierarchy और context/Type, material, light, scale, function, mood, hierarchy, and context
Explanation
Simple Explanation
Expert texture critique technical और conceptual factors साथ देखती है। परीक्षा में multi-factor analysis करें। / Expert texture critique observes technical and conceptual factors together. Exam tip: do multi-factor analysis.
A. hue, value, saturation, light, culture, audience, hierarchy और mood/Hue, value, saturation, light, culture, audience, hierarchy, and mood
Explanation
Simple Explanation
Expert colour analysis technical और contextual factors साथ पढ़ती है। परीक्षा में multi-factor approach अपनाएं। / Expert colour analysis reads technical and contextual factors together. Exam tip: use a multi-factor approach.
A. गहरापन, तीव्रता और क्षेत्रफल/Darkness, intensity, and area
Explanation
Simple Explanation
गहरा, तेज या बड़ा रंग क्षेत्र भारी लग सकता है। परीक्षा में colour balance के लिए visual weight देखें। / A dark, intense, or large colour area can feel heavy. Exam tip: observe visual weight for colour balance.
A. hue, value, saturation, scheme, context, mood, readability और hierarchy/Hue, value, saturation, scheme, context, mood, readability, and hierarchy
Explanation
Simple Explanation
Hard level colour analysis में technical और communicative factors साथ पढ़े जाते हैं। परीक्षा में multi-factor analysis करें। / Hard-level colour analysis reads technical and communicative factors together. Exam tip: do multi-factor analysis.
A. basic solid, proportion, planes, light, shadow, texture और space relation/Basic solid, proportion, planes, light, shadow, texture, and space relation
Explanation
Simple Explanation
Form analysis में structure, surface और light सभी शामिल हैं। परीक्षा में multi-factor observation करें। / Form analysis includes structure, surface, and light. Exam tip: make multi-factor observation.
A. size, fill, colour darkness और placement/Size, fill, colour darkness, and placement
Explanation
Simple Explanation
Visual weight shape के आकार और उसकी स्थिति से बदलता है। परीक्षा में balance के लिए visual weight देखें। / Visual weight changes with shape size and position. Exam tip: observe visual weight for balance.
A. मोटाई, दिशा, दबाव और गति/Thickness, direction, pressure, and speed
Explanation
Simple Explanation
रेखा का चरित्र कई गुणों के संयुक्त प्रभाव से बनता है। परीक्षा में line character के गुण याद रखें। / Line character is formed by the combined effect of several qualities. Exam tip: remember qualities of line character.
A. सहमति नियंत्रण भुगतान आयु जोखिम और गरिमा/Consent control payment age risk and dignity
Explanation
Simple Explanation
शोषण की पहचान कई वास्तविक परिस्थितियों को साथ देखकर होती है। परीक्षा में multi factor analysis करें। / Exploitation is identified by examining many real conditions together. Use multi factor analysis in exams.
A. स्वतंत्र आयोग नियम समानता गुप्त मतदान और पारदर्शी गणना/Independent commission rules equality secret ballot and transparent counting
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र और निष्पक्ष चुनाव कई सुरक्षा उपायों से मिलकर बनते हैं। परीक्षा में इन्हें अलग-अलग उदाहरणों के साथ याद करें। / Free and fair elections are built through many safeguards. Remember them with separate examples for exams.
\(x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\), इसलिए यह दो रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। विकल्प B में विवर्तक \(b^2-4ac=16-20=-4\) है, अतः उसके वास्तविक रैखिक गुणनखंड नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद पहचानें। / \(x^2+4x+4=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\), so it is a product of two linear factors. For option B, the discriminant is \(b^2-4ac=16-20=-4\), so it has no real linear factors. Exam tip: spot perfect-square trinomials.
विस्तार में मध्य पद (4x+6x=10x) है। परीक्षा में द्विपदों की स्थिर संख्याओं का योग लें। / In the expansion, the middle term is (4x+6x=10x). Exam tip: add the constants of the binomials.
\(x^2-5x+6\) के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 6 और योग \(-5\) हो। वे \(-2\) और \(-3\) हैं, अतः \((x-2)(x-3)\) मिलता है। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों जाँचें। / For \(x^2-5x+6\), we need two integers whose product is 6 and whose sum is \(-5\). They are \(-2\) and \(-3\), so it is \((x-2)(x-3)\). Exam tip: check both product and sum.
\(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), इसलिए इसके गुणनखंड संयुग्म द्विपद हैं। C समान द्विपद का वर्ग है। परीक्षा में ऋण चिह्न से जुड़े दो पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), so its factors are conjugate binomials. C is a repeated-binomial square. Exam tip: spot two squares separated by a minus sign.
\(2x^2+3x+5\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=3^2-4(2)(5)=-31\) है। यह ऋणात्मक है, इसलिए इसके वास्तविक रैखिक गुणनखंड नहीं हैं। परीक्षा में पहले विवर्तक जाँचें। / For \(2x^2+3x+5\), the discriminant is \(b^2-4ac=3^2-4(2)(5)=-31\). Since it is negative, the expression has no real linear factors, hence no integer-coefficient factorisation. Exam tip: check the discriminant first.
पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) में \(a=p\) और \(b=q\) रखने पर \(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\) मिलता है। \((p-q)^2\) में मध्य पद \(-2pq\) आता है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानकर तुरंत दो संयुग्म गुणनखंड लिखें। / Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), put \(a=p\) and \(b=q\) to get \(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\). In \((p-q)^2\), the middle term is \(-2pq\), so it is different. Exam tip: look for a subtraction between two squares.
\(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), इसलिए यह दो समान रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। यहाँ \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\) तथा मध्य पद \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\) है। विकल्प B में अंतिम पद ऋणात्मक है, जबकि समान रैखिक गुणनखंडों के वर्ग में अंतिम पद धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2pq\) से जाँचें। / \(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), so it is the product of two identical linear factors. Here \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\), and the middle term is \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\). In option B, the last term is negative, whereas the square of a linear binomial has a positive last square term. Exam tip: for a perfect-square trinomial, take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(\pm2pq\).
समान रैखिक गुणनखंड होने पर व्यंजक \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\) के रूप में होगा। अतः \(p=2r\) और \(q=r^2\), इसलिए \(p^2=4q\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के मध्य पद को \(2r\) से मिलाएँ। / With identical linear factors, the expression has the form \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\). Thus \(p=2r\) and \(q=r^2\), giving \(p^2=4q\). Exam tip: compare the middle coefficient with \(2r\) when spotting a perfect square.
\(x^2-y^2\) वर्गों के अंतर का रूप है: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)। गुणा करने पर \(+xy\) और \(-xy\) कट जाते हैं। परीक्षा में समान वर्गों के बीच ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-y^2\) is a difference of squares: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). On multiplication, \(+xy\) and \(-xy\) cancel. In exams, look for a minus sign between two square terms.
दो समान द्विपदों का गुणनफल, जैसे \((x+3)(x+3)=(x+3)^2\), पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है। दो वर्गों का अंतर \((a+b)(a-b)\) से बनता है, इसलिए वह समान गुणनखंडों वाला नहीं है। परीक्षा में समान दोनों गुणनखंड देखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / The product of identical binomials, such as \((x+3)(x+3)=(x+3)^2\), is a perfect-square trinomial. A difference of squares has factors \((a+b)(a-b)\), which are not identical. Exam tip: identical binomial factors signal a perfect square.
क्रॉस पद (10x) और (3x) मिलकर (13x) देते हैं। परीक्षा में अग्र गुणांक और स्थिर पद दोनों से विकल्प जांचें। / The cross terms (10x) and (3x) combine to (13x). In exams check options using both leading coefficient and constant term.
पहचान \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\) में मध्य पद कट जाता है। इसलिए \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\) है। \(x^2+18x+81\) पूर्ण वर्ग है, संयुग्म द्विपदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: विपरीत अचर पद हों तो \(x\) का मध्य पद शून्य होता है। / In \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\), the middle terms cancel. Hence \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\). \(x^2+18x+81\) is a perfect square, not a product of conjugate binomials. Exam tip: opposite constants give a zero middle term.
((x-3)(x-6)=x-2-9x+18), इसलिए (b=9) है। परीक्षा में ऋण चिन्ह के कारण (b) धनात्मक रहता है। / ((x-3)(x-6)=x-2-9x+18), so (b=9). In exams (b) remains positive because the expression has (-bx).
((x+3)(x+7)=x-2+10x+21), इसलिए (p=10) है। परीक्षा में मध्य पद स्थिर संख्याओं के योग से बनता है। / ((x+3)(x+7)=x-2+10x+21), so (p=10). In exams the middle term comes from the sum of the constants.
(3+5=8) और \(3\cdot5=15\) है। परीक्षा में योग मध्य गुणांक और गुणनफल स्थिर पद से मिलाएं। / (3+5=8) and \(3\cdot5=15\). In exams match the sum with the middle coefficient and the product with the constant term.
समान रैखिक गुणनखंड, जैसे \((x-3)(x-3)=(x-3)^2\), एक दोहरा मूल देते हैं। इसलिए परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है, काटता नहीं। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड दिखें तो दोहरा मूल पहचानें। / Identical linear factors, such as \((x-3)(x-3)=(x-3)^2\), give a repeated root. Hence the parabola touches the x-axis at one point rather than crossing it. Exam tip: equal factors indicate a double root.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणक समान हैं। \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) में गुणक अलग हैं। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाइए। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so both linear factors are identical. In contrast, \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) has different factors. Exam tip: compare the middle term with \(2ab\).
\(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), इसलिए इसके गुणक संयुग्मी हैं। विकल्प C और D पूर्ण वर्ग हैं, जबकि \(x^2+49\) अंतर-वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2\) में मध्य पद नहीं होता। / \(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), so its factors are conjugates. Options C and D are perfect squares, while \(x^2+49\) is not a difference of squares. Exam tip: \(a^2-b^2\) has no middle term.
\(x^2-6x+9\) में पहला और अंतिम पद \(x^2\) तथा \(3^2\) हैं, और मध्य पद \(-2\times x\times3=-6x\) है। इसलिए \(x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2\)। विकल्प A के गुणनखंड अलग हैं। परीक्षा टिप: समान गुणनखंडों के लिए मध्य पद \(\pm2ab\) जाँचें। / In \(x^2-6x+9\), the first and last terms are \(x^2\) and \(3^2\), while the middle term is \(-2\times x\times3=-6x\). Hence \(x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2\). Option A has unequal factors. Exam tip: check whether the middle term is \(\pm2ab\).
\(x^2-25=x^2-5^2\), इसलिए \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से यह \((x-5)(x+5)\) बनता है। \(x^2+25\) वर्गों का योग है। परीक्षा टिप: घटाव का चिह्न पहचानें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), so using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it becomes \((x-5)(x+5)\). \(x^2+25\) is a sum of squares. Exam tip: look for a subtraction sign between perfect squares.
\(x^2-49=x^2-7^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((x-7)(x+7)\) बनता है। B तथा D पूर्ण वर्ग हैं, वर्गों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: बीच का पद न हो और घटाव हो तो वर्गों का अंतर जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it is a difference of squares and factorises as \((x-7)(x+7)\). B and D are perfect squares, not differences of squares. Exam tip: look for two squares joined by a minus sign.
((2x+3)(5x+8)) से \(10x^2+16x+15x+24\) मिलता है। परीक्षा में मध्य पद के दोनों हिस्से जोड़कर देखें। / ((2x+3)(5x+8)) gives \(10x^2+16x+15x+24\). Exam tip: add both parts of the middle term.
\(x^2+10x+25\) में \(25=5^2\) और मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) बनता है। \(x^2+10x+24\) में स्थिर पद 25 नहीं है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के लिए मध्य पद जाँचें। / In \(x^2+10x+25\), \(25=5^2\) and the middle term is \(2\times x\times5=10x\). Hence it equals \((x+5)^2\). In \(x^2+10x+24\), the constant term is not 25. Exam tip: verify the middle term for a perfect square.
समूह (a(a+b)+c(a+b)) बनता है इसलिए ((a+b)(a+c)) मिलता है। परीक्षा में चार पदों में समूह बनाना सीखें। / Grouping gives (a(a+b)+c(a+b)), so the factor is ((a+b)(a+c)). Exam tip: learn grouping in four-term expressions.
\(x^2+xy+y^2\) के लिए ऐसे पूर्णांक \(a,b\) चाहिए जिनमें \(a+b=1\) और \(ab=1\) हो; कोई पूर्णांक युग्म यह नहीं देता। A में वर्गों का अंतर लगता है। परीक्षा टिप: मध्य पद और स्थिर पद के गुणनफल की जाँच करें। / For \(x^2+xy+y^2\), integer values \(a,b\) would need \(a+b=1\) and \(ab=1\), but no integer pair satisfies both. Option A uses difference of squares. Exam tip: check the required sum and product of coefficients.
समूह (m(n+p)+q(n+p)) बनता है इसलिए ((m+q)(n+p)) मिलता है। परीक्षा में समान द्विपद कोष्ठक देखें। / Grouping gives (m(n+p)+q(n+p)), so the factor is ((m+q)(n+p)). Exam tip: look for the common binomial bracket.
(3+4=7) और \(3\cdot4=12\) है इसलिए सही गुणनखंड ((x+3)(x+4)) हैं। परीक्षा में योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Since (3+4=7) and \(3\cdot4=12\), the correct factors are ((x+3)(x+4)). Exam tip: match both sum and product.
यह वर्गों का अंतर है जहां (9a-2=(3a)2) और (25b-2=(5b)2) है। परीक्षा में दोनों पदों के वर्गमूल लें। / This is a difference of squares where (9a-2=(3a)2) and (25b-2=(5b)2). Exam tip: take square roots of both terms.
\(8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3\) घनों का योग है। \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) से इसका एक गुणनखंड \(2x+3y\) मिलता है। \(8x^3-27y^3\) में \(2x-3y\) आता है। परीक्षा में पहले पदों को पूर्ण घन के रूप में पहचानें। / \(8x^3+27y^3=(2x)^3+(3y)^3\) is a sum of cubes. Using \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), one factor is \(2x+3y\). In contrast, \(8x^3-27y^3\) gives \(2x-3y\). Exam tip: first rewrite terms as perfect cubes.
\(x^2+4x+7\) के लिए ऐसे पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 7 और योग 4 हो। 1 व 7 का योग 8 है, इसलिए ऐसे पूर्णांक नहीं मिलते। जबकि \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) है। परीक्षा टिप: पहले गुणनफल और योग जाँचें। / For \(x^2+4x+7\), two integers must have product 7 and sum 4. The pair 1 and 7 has sum 8, so no such integer pair exists. In contrast, \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). Exam tip: check the required product and sum first.
\(x^2-10x+25\) में विवर्तक \(b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=0\) है, इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणनखंड समान हैं: \((x-5)^2\)। विकल्प B का विवर्तक धनात्मक है, इसलिए उसके दो अलग गुणनखंड होंगे। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड के लिए विवर्तक शून्य जाँचें। / For \(x^2-10x+25\), the discriminant is \(b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=0\), so it has equal linear factors: \((x-5)^2\). Option B has a positive discriminant and therefore two distinct factors. Exam tip: a zero discriminant indicates a repeated factor.
(9p-2=(3p)2) और (16q-2=(4q)2) है। परीक्षा में दोनों वर्गमूल लेकर संयुग्म गुणनखंड लिखें। / (9p-2=(3p)2) and (16q-2=(4q)2). In exams, take both square roots and write conjugate factors.
((3x+1)(x-5)=3x-2-14x-5) है। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर पद के लिए विपरीत चिन्हों वाले गुणनखंड देखें। / ((3x+1)(x-5)=3x-2-14x-5). In exams look for factors with opposite signs when the constant is negative.
\(x^2\) को एक नया पद मानकर द्विघात की तरह गुणनखंड करें। परीक्षा में \(x^4\) वाले प्रश्न को \(u=x^2\) सोचकर हल करें। / Treat \(x^2\) as a new term and factor like a quadratic. Exam tip: for \(x^4\) type questions, think \(u=x^2\).
((5x+2)(3x-4)) से \(15x^2-20x+6x-8\) मिलता है। परीक्षा में (-14x) नहीं बल्कि (-2x) के लिए सही जोड़ी चुनें। / ((5x+2)(3x-4)) gives \(15x^2-20x+6x-8\). Exam tip: choose the pair that gives (-2x), not (-14x).
पहले (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), फिर \(c^2\) का अंतर लें। परीक्षा में मिश्रित पहचान को दो चरणों में हल करें। / First (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), then take the difference with \(c^2\). Exam tip: solve mixed identities in two steps.
((3x-2y)(4x-5y)) से \(12x^2-15xy-8xy+10y^2\) मिलता है। परीक्षा में दोनों ऋणात्मक मध्य पद जोड़ें। / ((3x-2y)(4x-5y)) gives \(12x^2-15xy-8xy+10y^2\). Exam tip: add both negative middle terms.
(3y) और (-2y) का योग (y) और गुणनफल \(-6y^2\) है। परीक्षा में (y) वाले पदों के चिन्ह देखें। / The sum of (3y) and (-2y) is (y), and the product is \(-6y^2\). Exam tip: watch the signs of (y)-terms.
\(16p^2=(4p)^2\), \(9q^2=(3q)^2\) तथा मध्य पद \(-24pq=-2(4p)(3q)\) है। अतः यह \((4p-3q)^2\) है। परीक्षा में वर्ग पदों के साथ मध्य पद का मिलान करें। / Here, \(16p^2=(4p)^2\), \(9q^2=(3q)^2\), and \(-24pq=-2(4p)(3q)\). Hence it is \((4p-3q)^2\). Exam tip: match the middle term with \(\pm2ab\).
\(x^2+10x+25\) में \(x^2\) और \(25=5^2\) वर्ग हैं तथा मध्य पद \(10x=2\cdot x\cdot5\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) है। \(x^2+10x+20\) में 20, \(5^2\) नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), the end terms are \(x^2\) and \(5^2\), and the middle term is \(2\cdot x\cdot5\). Hence it equals \((x+5)^2\). In \(x^2+10x+20\), 20 is not \(5^2\). Exam tip: always verify the middle term using \(2ab\).
((4a-5)(3a+2)) फैलाने पर \(12a^2+8a-15a-10\) मिलता है। परीक्षा में विपरीत चिन्हों वाले पदों का योग ध्यान से करें। / Expanding ((4a-5)(3a+2)) gives \(12a^2+8a-15a-10\). Exam tip: add opposite-signed terms carefully.
मान लें कि \(x^2+px+q\) को पूर्णांकों में \((x+m)(x+n)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि \(q<0\) और \(p>0\) हो, तो \(m\) और \(n\) के बारे में कौन-सा कथन अनिवार्यतः सही है?
A. वे विपरीत चिन्ह के हैं और धनात्मक संख्या का परिमाण अधिक है/They have opposite signs, and the positive number has greater magnitude.
Explanation
Simple Explanation
विस्तार करने पर \(m+n=p\) और \(mn=q\) मिलता है। \(q<0\) से चिन्ह विपरीत होंगे; \(p>0\) से धनात्मक संख्या का परिमाण अधिक होगा। परीक्षा में योग और गुणनफल दोनों जाँचें। / On expanding, \(m+n=p\) and \(mn=q\). Since \(q<0\), the integers have opposite signs; since \(p>0\), the positive integer has greater magnitude. Exam tip: check both sum and product.
6x² + 11x + 3 में 11x को 9x + 2x लिखने पर 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) मिलता है। अतः इसका गुणनखंडन (3x + 1)(2x + 3) है। परीक्षा टिप: पहले ac का गुणनफल जाँचें। / For 6x² + 11x + 3, split 11x into 9x + 2x: 3x(2x + 3) + 1(2x + 3). Thus it factorises as (3x + 1)(2x + 3). The other choices have no suitable integer pair. Exam tip: first check the product ac.
(-5+(-6)=-11) और ((-5)(-6)=30) है। परीक्षा में धन अंतिम पद के लिए समान चिह्न वाले कारक देखें। / (-5+(-6)=-11) and ((-5)(-6)=30). Exam tip: for a positive last term use same-sign factors.
\(m^2+16=m^2+4^2\) दो वर्गों का योग है, इसलिए इसका पूर्णांकीय गुणांकों में गुणनखंडन नहीं होता। अन्य विकल्प \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) के रूप में टूटते हैं। परीक्षा टिप: पहले योग और अंतर पहचानें। / \(m^2+16=m^2+4^2\) is a sum of two squares, so it has no factorisation into non-constant polynomials with integer coefficients. The other options use \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\). Exam tip: distinguish a sum from a difference of squares.
\(9x^2=(3x)^2\) और \(4y^2=(2y)^2\) हैं। मध्य पद \(2\times3x\times2y=12xy\) है, इसलिए यह \((3x+2y)^2\) है। B में अंतिम पद का ऋण चिह्न वर्ग-त्रिपद के लिए सही नहीं है। परीक्षा में पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / Here \(9x^2=(3x)^2\) and \(4y^2=(2y)^2\). The middle term is \(2\times3x\times2y=12xy\), so the trinomial is \((3x+2y)^2\). In B, the negative last term does not fit a perfect-square trinomial. Exam tip: check the middle term using twice the product of the square roots.
\(x^2+5x+5\) का विविक्तकर \(b^2-4ac=5^2-4(1)(5)=5\) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। अतः इसके मूल परिमेय नहीं हैं और इसे पूर्णांक गुणांकों वाले दो रैखिक द्विपदों के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसके विपरीत, \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\) है। परीक्षा टिप: द्विघात के लिए विविक्तकर पूर्ण वर्ग न हो तो पूर्णांक गुणांकों में रैखिक गुणनखंडन संभव नहीं होता। / For \(x^2+5x+5\), the discriminant is \(b^2-4ac=5^2-4(1)(5)=5\), which is not a perfect square. Therefore, its roots are not rational, so it cannot be written as a product of two linear binomials with integer coefficients. In contrast, \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\). Exam tip: if the discriminant of a quadratic is not a perfect square, factorisation into integer-coefficient linear factors is not possible.
व्यंजक को समूह बनाकर लिखें: \(px-py+qx-qy=p(x-y)+q(x-y)\)। यहाँ \((x-y)\) दोनों पदों में उभयनिष्ठ है, इसलिए \((x-y)\) बाहर लेने पर \((p+q)(x-y)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((p-q)(x+y)\) का प्रसार करने पर \(px+py-qx-qy\) मिलता है, जो दिए गए व्यंजक से अलग है। परीक्षा टिप: गुणनखंडन के बाद गुणा करके अपने उत्तर की जाँच करें। / Group the terms as \(px-py+qx-qy=p(x-y)+q(x-y)\). Since \((x-y)\) is common to both terms, taking it out gives \((p+q)(x-y)\). Option A expands to \(px+py-qx-qy\), which is different from the given expression. Exam tip: expand your factorised form once to verify the signs.
(-7+(-8)=-15) और ((-7)(-8)=56) है। परीक्षा में धनात्मक स्थिर पद और ऋणात्मक मध्य पद पर दोनों चिन्ह ऋणात्मक रखें। / Here (-7+(-8)=-15) and ((-7)(-8)=56). In exams use two negative signs when the constant is positive and the middle term is negative.
x-2 + 10x + 25 में x-2 और 25 क्रमशः x तथा 5 के वर्ग हैं, और मध्य पद 2 × x × 5 = 10x है। अतः यह (x + 5)2 है। विकल्प B में स्थिर पद 20 है, 25 नहीं। परीक्षा टिप: मध्य पद को 2ab से मिलाएँ। / In x-2 + 10x + 25, the first and last terms are x-2 and 52, while the middle term is 2 × x × 5 = 10x. Hence it is (x + 5)2. In option B, the constant should be 25, not 20. Exam tip: match the middle term with 2ab.
(-6+3=-3) और ((-6)(3)=-18) है। परीक्षा में मध्य पद के चिन्ह के अनुसार बड़ा परिमाण वाला चिन्ह चुनें। / (-6+3=-3) and ((-6)(3)=-18). In exams choose the sign of the larger magnitude according to the middle term.
(5+(-3)=2) और (5\cdot(-3)=-15) है। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर पद पर विपरीत चिन्ह जांचें। / Here (5+(-3)=2) and (5\cdot(-3)=-15). In exams check opposite signs when the constant is negative.
(-6+(-7)=-13) और ((-6)(-7)=42) है। परीक्षा में धनात्मक स्थिर पद और ऋणात्मक मध्य पद के लिए दोनों चिन्ह ऋणात्मक लें। / (-6+(-7)=-13) and ((-6)(-7)=42). In exams use two negative signs when the constant is positive and the middle term is negative.
(8) और (-3) का योग (5) और गुणनफल (-24) है। परीक्षा में अलग चिन्ह वाले गुणनखंडों में बड़ा परिमाण मध्य पद का चिन्ह देता है। / The numbers (8) and (-3) have sum (5) and product (-24). Exam tip: with opposite signs, the larger magnitude gives the sign of the middle term.
\(3x^2+6x+4x+8\) से समान समूह मिलते हैं। परीक्षा में फैलाकर विकल्प की जांच भी कर सकते हैं। / Using \(3x^2+6x+4x+8\) gives common groups. Exam tip: you can also verify an option by expanding it.
(36a-2=(6a)2) है इसलिए यह दो वर्गों का अंतर है। परीक्षा में चर वाले वर्गों को भी सामान्य वर्गों की तरह पहचानें। / Since (36a-2=(6a)2), this is a difference of two squares. Exam tip: treat variable squares like ordinary squares.
(8) और (-7) का योग (1) और गुणनफल (-56) है। परीक्षा में (q) का गुणांक (1) हो तब भी मध्य पद को न छोड़ें। / The numbers (8) and (-7) have sum (1) and product (-56). Exam tip: even when the coefficient of (q) is (1), do not skip middle-term checking.
