This makes (5) common to both (p) and (q). चरण 1: (p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। चरण 2: इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। चरण 3: यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This shows the common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Only then does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। चरण 3: तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption that (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह (p) और (q) के सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
By the prime rule, (b) is also divisible by (3). चरण 1: (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. जब कोई अन्य संकेत न देखा गया हो/When no other sign has been observed
Step 1
Concept
Colour change can be a sign of reaction.
Step 2
Why this answer is correct
But colour change alone is not final proof.
Step 3
Exam Tip
Gas precipitate temperature and new substance formation should be checked. चरण 1: रंग परिवर्तन अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: पर अकेले रंग परिवर्तन अंतिम प्रमाण नहीं है। चरण 3: गैस अवक्षेप ताप और नए पदार्थ की जांच करनी चाहिए।
A. क्योंकि अन्य संकेतों की पुष्टि भी जरूरी है/Because confirmation from other signs is also needed
Step 1
Concept
Colour change can be a sign of chemical reaction.
Step 2
Why this answer is correct
But other signs like gas precipitate temperature and smell should also be checked.
Step 3
Exam Tip
It is better to conclude after complete observation. चरण 1: रंग परिवर्तन रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: लेकिन गैस अवक्षेप ताप और गंध जैसे अन्य संकेत भी देखने चाहिए। चरण 3: पूरा अवलोकन करके निष्कर्ष निकालना बेहतर है।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs start with a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete. चरण 1: \(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है/From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
Complete the proof up to contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। चरण 2: पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। चरण 3: प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए।
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है/\(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even
Step 1
Concept
If (p=2k), then \(p^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(4k^2=2q^2\), we get \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even.
Step 3
Exam Tip
Simplify step by step to avoid mistakes. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(p^2=4k^2\) होगा। चरण 2: \(4k^2=2q^2\) से \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है। चरण 3: धीरे-धीरे सरलीकरण करें ताकि गलती न हो।
A. राष्ट्रीय आंदोलन में अनेक समूह अलग उम्मीदों के साथ जुड़े/Many groups joined the national movement with different hopes
Step 1
Concept
This section shows the role of peasants workers tribals women merchants and other groups.
Step 2
Why this answer is correct
Each understood swaraj according to its own experience.
Step 3
Exam Tip
In the final conclusion include both diversity and national unity. चरण 1: इस भाग में किसानों मजदूरों आदिवासियों महिलाओं व्यापारियों और अन्य समूहों की भूमिका दिखती है। चरण 2: सबने स्वराज को अपने अनुभव के अनुसार समझा। चरण 3: अंतिम निष्कर्ष में विविधता और राष्ट्रीय एकता दोनों को शामिल करें।
QuestionHardSocial ScienceChapter 1: The Rise of Nationalism in EuropeThe Making of Nationalism in Europe (Aristocracy, New Middle Class, Liberal Nationalism)Class 10Level 2
A. यूरोप में पुरानी कुलीन शक्ति के बीच नया मध्य वर्ग उभरा और उसने उदार अधिकारों तथा आर्थिक एकता के माध्यम से राष्ट्रवाद को बल दिया/Amid old aristocratic power a new middle class emerged in Europe and strengthened nationalism through liberal rights and econ
Step 1
Concept
Connect the three main elements of the subtopic.
Step 2
Why this answer is correct
The aristocracy was the old power the new middle class was the new force and liberalism was the new political economic idea.
Step 3
Exam Tip
In a final conclusion write society economy and politics together. चरण 1: उपविषय के तीन मुख्य तत्व जोड़ें। चरण 2: कुलीन वर्ग पुरानी शक्ति था नया मध्य वर्ग नई शक्ति था और उदारवाद नई राजनीतिक आर्थिक सोच थी। चरण 3: अंतिम निष्कर्ष में समाज अर्थव्यवस्था और राजनीति तीनों को साथ लिखें।
D. गैस बनना रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है/Gas formation can be a sign of chemical reaction
Step 1
Concept
Colour change is not necessary in every reaction.
Step 2
Why this answer is correct
Gas evolution can also indicate formation of a new substance.
Step 3
Exam Tip
Therefore check other signs before final conclusion. चरण 1: हर अभिक्रिया में रंग बदलना जरूरी नहीं होता। चरण 2: गैस निकलना भी नया पदार्थ बनने का संकेत हो सकता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष के लिए अन्य संकेत भी देखें।
D. गैस बनने की संभावना है/Gas formation is possible
Step 1
Concept
Bubbles generally indicate gas evolution.
Step 2
Why this answer is correct
Gas formation can be a sign of chemical reaction.
Step 3
Exam Tip
Check other signs before final conclusion. चरण 1: बुलबुले सामान्यतः गैस निकलने का संकेत होते हैं। चरण 2: गैस बनना रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 3: अंतिम निष्कर्ष के लिए अन्य संकेत भी देखें।
B. अन्य संकेतों और पदार्थ बनने की जांच करनी चाहिए/Other signs and substance formation should be checked
Step 1
Concept
Colour change can be a sign of chemical reaction.
Step 2
Why this answer is correct
But colour alone does not always give a definite conclusion.
Step 3
Exam Tip
Check gas precipitate temperature and new substance formation. चरण 1: रंग परिवर्तन रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: लेकिन केवल रंग से हमेशा निश्चित निर्णय नहीं होता। चरण 3: गैस अवक्षेप ताप और नए पदार्थ की जांच करें।
A. गैस बनने की संभावना है/Gas formation is possible
Step 1
Concept
Bubbles usually form due to gas evolution.
Step 2
Why this answer is correct
Gas formation can be a sign of chemical reaction.
Step 3
Exam Tip
Check other signs before final conclusion. चरण 1: बुलबुले सामान्यतः गैस के निकलने से बनते हैं। चरण 2: गैस बनना रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 3: अंतिम निष्कर्ष के लिए अन्य संकेत भी देखें।
But final conclusion should not be based only on colour.
Step 3
Exam Tip
Other signs and formation of a new substance should also be checked. चरण 1: रंग बदलना अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: लेकिन केवल रंग देखकर अंतिम निर्णय नहीं लेना चाहिए। चरण 3: अन्य संकेतों और नए पदार्थ बनने को भी जांचना चाहिए।
A. सिर्फ रंग परिवर्तन से अंतिम निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए/Colour change alone should not be the final conclusion
Step 1
Concept
Colour change can be a sign of a chemical reaction.
Step 2
Why this answer is correct
But other signs should also be checked before conclusion.
Step 3
Exam Tip
Gas precipitate temperature and smell are also important observations. चरण 1: रंग परिवर्तन रासायनिक अभिक्रिया का संकेत हो सकता है। चरण 2: लेकिन निष्कर्ष के लिए अन्य संकेत भी देखने चाहिए। चरण 3: गैस अवक्षेप ताप और गंध जैसे अवलोकन भी महत्वपूर्ण हैं।
