A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions. चरण 1: एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। चरण 2: (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है।
The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex. चरण 1: (f(x)=x-2+4x+7=(x+2)2+3) लिखें। चरण 2: शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है।
If \(a\ne 0\), distinct (x)-values give distinct (f(x))-values.
Step 3
Exam Tip
A constant function is not one-one, so (a=0) must be avoided. चरण 1: रैखिक फलन में ढाल (a) होती है। चरण 2: यदि \(a\ne 0\), तो अलग-अलग (x) मानों के लिए अलग-अलग (f(x)) मिलते हैं। चरण 3: स्थिर फलन एकैकी नहीं होता, इसलिए (a=0) से बचना जरूरी है।
In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
Remember that order matters in function assignment. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। चरण 2: पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। चरण 3: गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है।
For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0). चरण 1: एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। चरण 2: यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। चरण 3: जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें।
(f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
A function with derivative always positive or always negative is one-one. चरण 1: अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। चरण 2: (f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। चरण 3: अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है।
\(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one. चरण 1: \(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें।
(f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
An increasing logarithmic function is one-one on its domain. चरण 1: \(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। चरण 2: (f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। चरण 3: बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है।
On \([2,\infty\)), it becomes (x-2) and is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
To make a modulus function one-one, restrict the domain to one side of the turning point. चरण 1: (|x-2|) का आलेख (x=2) पर मुड़ता है। चरण 2: \([2,\infty\)) पर यह (x-2) बन जाता है और लगातार बढ़ता है। चरण 3: मापांक फलन को एकैकी बनाने के लिए मोड़ बिंदु के एक ओर प्रांत सीमित करें।
\(5x^4+1>0\) for every real (x), so (f) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: (f'(x)=5x-4+1) निकालें। चरण 2: \(5x^4+1>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (f) सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: हर जगह बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है।
For one-one nature, different (x)-values must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
Once two distinct inputs give the same output, the function is not one-one. चरण 1: एकैकी होने के लिए अलग-अलग (x) मानों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne -1\)। चरण 3: एक ही मान देने वाले दो अलग इनपुट मिलते ही फलन एकैकी नहीं माना जाता।
For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!). चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। चरण 2: (4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। चरण 3: जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है।
To prove not one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) and (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
In such questions, finding a smart pair can be faster than using derivatives. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान मान दिखाना काफी है। चरण 2: (f(2)=\frac{2}{5}) और (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5})। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में उपयुक्त जोड़ी खोजना अवकलज से भी तेज हो सकता है।
If (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b), the function is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) रखने पर (3a-7=3b-7) मिलता है। चरण 2: इससे (3a=3b), इसलिए (a=b)। चरण 3: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) सिद्ध हो जाए, तो फलन एकैकी होता है।
(f(0)=0) and (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), while \(0\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
One pair of distinct inputs with the same image breaks one-one nature on the whole domain. चरण 1: दो अलग मानों पर फलन का मान जांचें। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), जबकि \(0\ne -1\)। चरण 3: एक ही प्रतिबिंब देने वाली जोड़ी मिलते ही पूरे प्रांत पर एकैकीपन टूट जाता है।
Each domain element has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
Both (1) and (3) have image (5), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
While checking one-one nature, focus on repeated images. चरण 1: फलन में प्रत्येक प्रांत अवयव का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: (1) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। चरण 3: एकैकी जांचते समय समान प्रतिबिंबों पर विशेष ध्यान दें।
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective. चरण 1: (f(a)=f(b)) मान लें। चरण 2: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। चरण 3: व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है।
\(\tan x\) is periodic and is not defined everywhere.
Step 2
Why this answer is correct
On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), it is strictly increasing and takes each value once.
Step 3
Exam Tip
Remember standard one-one intervals for inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\tan x\) आवर्ती है और हर जगह परिभाषित भी नहीं है। चरण 2: (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर यह लगातार बढ़ता है और हर मान एक बार लेता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के लिए मानक एकैकी अंतराल याद रखें।
The square function is symmetric, so it is generally not one-one on a large symmetric domain. चरण 1: पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों मौजूद हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), लेकिन \(1\ne -1\)। चरण 3: वर्ग फलन सममित होता है, इसलिए बड़े प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
(f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Values like (1) and (2) in \(\mathbb{N}\) are not images of any (n), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
Always test one-one and onto separately. चरण 1: (f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) जैसे मान किसी (n) से नहीं मिलते, इसलिए आच्छादी नहीं है। चरण 3: एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए।
Since \(\cos x\) is periodic, it is not one-one on all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing or decreasing function is one-one on the chosen interval. चरण 1: \(\cos x\) आवर्ती होने के कारण पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 2: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 3: लगातार बढ़ता या घटता फलन चुने गए अंतराल पर एकैकी होता है।
\(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं।
The vertex is at (x=3), and the function is strictly increasing on \([3,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
For a quadratic function, choose one side of the vertex. चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1) लिखें। चरण 2: शीर्ष (x=3) है और \([3,\infty\)) पर फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: द्विघात फलन के लिए शीर्ष से दाईं या बाईं ओर का अंतराल चुनें।
The (5) elements of (A) must be mapped to (5) distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number of choices is \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\).
Step 3
Exam Tip
Use \(^{m}P_n\) for counting one-one functions from an (n)-element domain to an (m)-element codomain. चरण 1: (A) के (5) अवयवों को (B) के (6) अलग अवयवों पर भेजना है। चरण 2: विकल्पों की संख्या \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\) है। चरण 3: एकैकी फलनों की गिनती में \(^{m}P_n\) का प्रयोग करें, जहां (m) सहप्रांत और (n) प्रांत के अवयव हैं।
\(1+\cos x\ge 0\) for every (x), and the function does not repeat the same value at two distinct points.
Step 3
Exam Tip
In such questions, combine derivative sign with overall increasing behaviour. चरण 1: (f'(x)=1+\cos x) है। चरण 2: \(1+\cos x\ge 0\) हर (x) के लिए है और फलन घटता नहीं है; साथ ही \(x+\sin x\) समान मान दो अलग बिंदुओं पर नहीं दोहराता। चरण 3: ऐसे प्रश्न में अवकलज के साथ फलन की कुल बढ़ने की दिशा भी देखें।
\(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature. चरण 1: (f'(x)=1-\cos x) निकालें। चरण 2: \(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। चरण 3: गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें।
The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images. चरण 1: (A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। चरण 2: विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। चरण 3: साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता।
On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
To make the square function one-one, keep the domain on one side only. चरण 1: \(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। चरण 2: \([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें।
The domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
A strictly decreasing function is also one-one. चरण 1: प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए एक ही मान दो अलग (x) पर नहीं आता। चरण 3: घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है।
\(2^x\) is an exponential function with base greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(2^x\) increases strictly.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing exponential function is one-one on its domain. चरण 1: \(2^x\) एक घातांकीय फलन है जिसका आधार (1) से बड़ा है। चरण 2: जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(2^x\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: सख्ती से बढ़ता हुआ घातांकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है।
A constant function gives the same value for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) and (f(2)=5), while \(1\ne2\).
Step 3
Exam Tip
A constant function on a domain with more than one element is never one-one. चरण 1: स्थिर फलन हर (x) के लिए एक ही मान देता है। चरण 2: (f(1)=5) और (f(2)=5), जबकि \(1\ne2\)। चरण 3: स्थिर फलन बड़े प्रांत पर कभी भी एकैकी नहीं होता।
It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone. चरण 1: अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। चरण 2: यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। चरण 3: घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है।
The interval ([0,2]) contains points on both sides of the vertex, such as (0) and (2), both giving value (1).
Step 3
Exam Tip
If an interval contains points equally placed around the vertex, a quadratic is not one-one. चरण 1: ((x-1)2) का शीर्ष (x=1) पर है। चरण 2: ([0,2]) में शीर्ष के दोनों ओर बिंदु हैं, जैसे (0) और (2), जिनका मान (1) है। चरण 3: यदि अंतराल में शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले बिंदु हों, तो द्विघात फलन एकैकी नहीं होगा।
All negative (x)-values give (0), for example (f(-1)=f(-2)=0).
Step 3
Exam Tip
Constant behaviour on a large part destroys one-one nature. चरण 1: (x<0) के लिए (|x|=-x), इसलिए (f(x)=0)। चरण 2: सभी ऋणात्मक (x) का मान (0) है, जैसे (f(-1)=f(-2)=0)। चरण 3: किसी बड़े भाग पर स्थिर व्यवहार एकैकीपन को खत्म कर देता है।
On this domain, as (x) increases, \(\sqrt{x}\) also increases.
Step 3
Exam Tip
The square-root function is one-one on its natural domain. चरण 1: \(\sqrt{x}\) का प्रांत \([0,\infty\)) है। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(\sqrt{x}\) भी बढ़ता है। चरण 3: वर्गमूल फलन अपने प्राकृतिक प्रांत पर एकैकी होता है।
The vertex is \(x=-\frac{1}{2}\), and the function increases to the right of it.
Step 3
Exam Tip
Completing the square quickly gives the one-one interval. चरण 1: (x-2+x=\(x+\frac{1}{2}\)2-\frac{1}{4}) लिखें। चरण 2: शीर्ष \(x=-\frac{1}{2}\) है और इसके दाईं ओर फलन बढ़ता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग विधि से एकैकी अंतराल जल्दी मिल जाता है।
Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
In composition questions, apply the definition directly. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। चरण 3: संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करें।
Then (g(f(a))=g(f(b))), and since (g) is one-one, (f(a)=f(b)). Since (f) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is one-one. चरण 1: (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)) मानें। चरण 2: (g(f(a))=g(f(b))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f(a)=f(b))। फिर (f) एकैकी होने से (a=b)। चरण 3: दो एकैकी फलनों का संयोजन भी एकैकी होता है।
\(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) gives ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), leading to (a=b).
Step 3
Exam Tip
For fractional linear functions, cross-multiplication is a good way to test one-one nature. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: \(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) से ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), जिससे (a=b) मिलता है। चरण 3: भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा करके एकैकीपन जांचें।
Its discriminant is \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) and the leading coefficient is positive, so (f'(x)>0) for all (x).
Step 3
Exam Tip
If the derivative is always positive, the function is one-one. चरण 1: (f'(x)=3x-2+2x+1) है। चरण 2: इसका विविक्तकर \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) और अग्र गुणांक धनात्मक है, इसलिए (f'(x)>0) हर (x) पर। चरण 3: अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन एकैकी होता है।
The domain has (4) elements and the codomain has (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
A one-one function needs four distinct images, which is impossible with only (3) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is smaller than the domain, no one-one function exists. चरण 1: प्रांत में (4) अवयव हैं और सहप्रांत में (3) अवयव हैं। चरण 2: एकैकी फलन में चारों प्रांत अवयवों को अलग-अलग प्रतिबिंब चाहिए, जो केवल (3) अवयवों में संभव नहीं। चरण 3: जब सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता।
A cubic function is not always one-one; turning behaviour can create repeated values. चरण 1: दो अलग इनपुटों के मान जांचें। चरण 2: (f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। चरण 3: घन फलन भी हर बार एकैकी नहीं होता; उसमें मोड़ होने पर समान मान आ सकते हैं।
A. अवकलज निकालकर संकेत जांचना/Find derivative and check its sign
Step 1
Concept
For a higher-degree polynomial, studying monotonicity is useful.
Step 2
Why this answer is correct
Find (f'(x)) and check whether its sign changes.
Step 3
Exam Tip
In difficult one-one questions, the derivative method gives a systematic path. चरण 1: ऐसे उच्च घात बहुपद में बढ़ने-घटने का अध्ययन उपयोगी है। चरण 2: (f'(x)) निकालकर देखें कि उसका संकेत बदलता है या नहीं। चरण 3: एकैकीपन के कठिन प्रश्नों में अवकलज विधि व्यवस्थित रास्ता देती है।
\(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to the number.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\ne1.8\).
Step 3
Exam Tip
Step-like functions often map many inputs to the same output. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटे या बराबर सबसे बड़े पूर्णांक को देता है। चरण 2: (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\ne1.8\)। चरण 3: सीढ़ीनुमा फलनों में कई इनपुटों का प्रतिबिंब समान हो सकता है।
A. क्योंकि (f(1.1)=f(1.9))/Because (f(1.1)=f(1.9))
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lceil1.1\rceil=2\) and \(\lceil1.9\rceil=2\), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
For integer-valued functions, nearby decimal values are useful for testing one-one nature. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। चरण 2: \(\lceil1.1\rceil=2\) और \(\lceil1.9\rceil=2\), जबकि दोनों इनपुट अलग हैं। चरण 3: पूर्णांक-मान फलनों में एकैकीपन जांचने के लिए पास-पास के दशमलव मान उपयोगी होते हैं।
Many different (x)-values in this interval give function value (2).
Step 3
Exam Tip
If a function is constant on an interval, it cannot be one-one. चरण 1: \(-1\le x\le1\) पर (|x-1|+|x+1|=2) होता है। चरण 2: इस पूरे अंतराल में कई अलग (x) मानों का फलन मान (2) है। चरण 3: जब किसी अंतराल पर फलन स्थिर हो, तो वह एकैकी नहीं हो सकता।
((x+1)3) is a cubic form that is strictly increasing on all real numbers.
Step 3
Exam Tip
Recognizing a shifted cube helps decide one-one nature quickly. चरण 1: (x-3+3x-2+3x+5=(x+1)3+4) लिखें। चरण 2: ((x+1)3) घन रूप है, जो पूरे वास्तविक प्रांत पर सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: घन रूप में पहचान कर एकैकीपन तुरंत तय किया जा सकता है।
All three images are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, a value table quickly checks one-one nature. चरण 1: (f(1)=3), (f(2)=2), (f(3)=1)। चरण 2: तीनों प्रतिबिंब अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। चरण 3: सीमित समुच्चय में तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है।
In a square function, opposite numbers have the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4-1=3) and (f(-2)=4-1=3), while \(2\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
For quadratic functions, pairs like (x) and (-x) often give a quick counterexample. चरण 1: वर्ग फलन में विपरीत संख्याओं के वर्ग समान होते हैं। चरण 2: (f(2)=4-1=3) और (f(-2)=4-1=3), जबकि \(2\ne-2\)। चरण 3: द्विघात फलन के लिए (x) और (-x) जैसी जोड़ी अक्सर तुरंत उत्तर देती है।
In a one-one function, every distinct element of (A) has a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (n) elements of (A) produce (n) distinct elements in (f(A)).
Step 3
Exam Tip
A one-one function preserves the size of the image set equal to the domain size. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के हर अलग अवयव का प्रतिबिंब अलग होता है। चरण 2: इसलिए (A) के (n) अवयवों से (f(A)) में भी (n) अलग प्रतिबिंब बनेंगे। चरण 3: एकैकी फलन छवि-समुच्चय का आकार प्रांत के आकार के बराबर रखता है।
