C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/(f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Do not decide by degree alone; test special values. चरण 1: एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। चरण 3: बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें।
Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। चरण 3: जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है।
A linear function (ax+b) is one-one when \(a\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
Here the coefficient of (x) is (k+1).
Step 3
Exam Tip
Hence \(k+1\neq0\), so \(k\neq-1\). चरण 1: रैखिक फलन (ax+b) एक-एक तब होता है जब \(a\neq0\)। चरण 2: यहां (x) का गुणांक (k+1) है। चरण 3: इसलिए \(k+1\neq0\), अर्थात \(k\neq-1\) होना चाहिए।
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}).
Step 3
Exam Tip
Same value at different inputs makes the function not one-one. चरण 1: समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। चरण 2: (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2})। चरण 3: अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता।
From \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\), we get (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
Since \(x_1,x_2\ge1\), the second factor can be zero only when both are (1), so finally \(x_1=x_2\). चरण 1: समान मान मानकर जांच करें। चरण 2: \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\) से (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0) मिलता है। चरण 3: \(x_1,x_2\ge1\) होने पर दूसरा गुणक शून्य हो तो भी \(x_1=x_2=1\), इसलिए अंत में \(x_1=x_2\) ही मिलता है।
A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
Use permutations for counting one-one functions. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। चरण 3: एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें।
A one-one function needs a distinct codomain element for each distinct domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (6) elements but the codomain has only (4).
Step 3
Exam Tip
When the domain has more elements, a one-one function is impossible. चरण 1: एक-एक फलन में प्रांत के हर अलग तत्व को सहप्रांत का अलग तत्व चाहिए। चरण 2: यहां प्रांत में (6) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं। चरण 3: जब प्रांत में तत्व अधिक हों, तो एक-एक फलन बनना असंभव है।
Then (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), so (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\)).
Step 3
Exam Tip
Since \(f\circ g\) is one-one, \(x_1=x_2\), hence (g) is one-one. चरण 1: मान लें (g\(x_1\)=g\(x_2\))। चरण 2: तब (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), अर्थात (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\))। चरण 3: \(f\circ g\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\), अतः (g) एक-एक है।
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(x^2\) gives the same value for (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (f(1)=\ln2) and (f(-1)=\ln2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
When an even power appears inside, check injectivity carefully. चरण 1: \(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। चरण 2: इसलिए (f(1)=\ln2) और (f(-1)=\ln2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: अंदर सम घात हो तो एक-एकता को खास ध्यान से जांचें।
As (x) increases, \(x^2+1\) increases and (\ln\(x^2+1\)) also increases.
Step 3
Exam Tip
A suitable domain restriction can make the same rule one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^2+1\) बढ़ता है और (\ln\(x^2+1\)) भी बढ़ता है। चरण 3: प्रांत को सही तरह सीमित करने से वही नियम एक-एक बन सकता है।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
In \(e^x+e^{-x}\), replacing (x) by (-x) gives the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=e+e^{-1}) and (f(-1)=e^{-1}+e), so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Functions with even behavior are not one-one on the whole real domain. चरण 1: \(e^x+e^{-x}\) में (x) की जगह (-x) रखने पर वही मान मिलता है। चरण 2: (f(1)=e+e^{-1}) और (f(-1)=e^{-1}+e), इसलिए दोनों बराबर हैं। चरण 3: सम व्यवहार वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते।
Therefore \(e^x-e^{-x}\) keeps increasing as (x) increases.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(e^x\) बढ़ता है और \(e^{-x}\) घटता है। चरण 2: इसलिए \(e^x-e^{-x}\) (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है।
The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
Step functions commonly repeat outputs. चरण 1: महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। चरण 2: \(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। चरण 3: सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है।
This simple odd-power rule remains one-one on integers. चरण 1: घन फलन पूर्णांकों पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: यदि \(n_1^3=n_2^3\), तो \(n_1=n_2\) ही होगा। चरण 3: विषम घात का यह सरल नियम पूर्णांकों पर एक-एक रहता है।
Absolute value gives the same value for opposite integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), but (|2|=2) and (|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
One repeated image is enough to break injectivity. चरण 1: निरपेक्ष मान विपरीत पूर्णांकों को समान मान देता है। चरण 2: \(2\neq-2\), लेकिन (|2|=2) और (|-2|=2)। चरण 3: एक समान प्रतिबिंब मिलते ही एक-एकता टूट जाती है।
For finite sets a function is one-one when second components do not repeat. चरण 1: प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। चरण 2: प्रतिबिंब (a,c,b,d) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में दूसरे अवयवों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है।
In a one-one function different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
In the fourth option both (p) and (r) have image (3).
Step 3
Exam Tip
In such questions first look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। चरण 2: चौथे विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (3) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दोहराए गए प्रतिबिंब को खोजें।
In the inverse relation each image is linked back to its original input.
Step 2
Why this answer is correct
If (f) is one-one, each image has only one original input.
Step 3
Exam Tip
Injectivity is the key condition for the inverse to be a function. चरण 1: प्रतिलोम में हर प्रतिबिंब को उसके मूल आगत से जोड़ा जाता है। चरण 2: यदि (f) एक-एक है, तो हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होगा। चरण 3: प्रतिलोम को फलन बनाने के लिए एक-एकता जरूरी शर्त है।
B. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे/Every horizontal line cuts the graph at most once
Step 1
Concept
Injectivity means the same (y)-value should not come from two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
If any horizontal line cuts the graph twice, the function is not one-one. चरण 1: एक-एकता का अर्थ है कि एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों से न मिले। चरण 2: क्षैतिज रेखा एक निश्चित (y)-मान को दिखाती है। चरण 3: यदि कोई क्षैतिज रेखा दो बार काटती है, तो फलन एक-एक नहीं होगा।
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
Same value at two different inputs destroys injectivity. चरण 1: भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। चरण 2: (f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। चरण 3: दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती।
From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying. चरण 1: समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। चरण 2: \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
The rule contains only \(x^2\), so (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) and (f(-1)=0), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
In rational expressions with even powers, test opposite inputs quickly. चरण 1: नियम में केवल \(x^2\) है, इसलिए (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: सम घात वाले भिन्न रूप में विपरीत आगत तुरंत जांचें।
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि दो भागों के परास मिलते हैं/(f) is not one-one because the ranges of the two pieces overlap
Step 1
Concept
In a piecewise function check the ranges of different pieces.
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) and (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
Same value from different pieces breaks injectivity. चरण 1: टुकड़ों में दिए फलन में अलग-अलग भागों के परास देखें। चरण 2: (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) और (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि दोनों आगत अलग हैं। चरण 3: अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता को तोड़ देता है।
For \(x\ge0\), (f(x)\ge1), so the ranges of the two pieces are disjoint.
Step 3
Exam Tip
Each piece is one-one and their ranges do not overlap, so the whole function is one-one. चरण 1: (x<0) पर (f(x)<-1) मिलता है। चरण 2: \(x\ge0\) पर (f(x)\ge1) मिलता है, इसलिए दोनों भागों के परास अलग हैं। चरण 3: हर भाग अलग-अलग एक-एक है और परास नहीं मिलते, इसलिए पूरा फलन एक-एक है।
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))/(f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions check the interval carefully. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। चरण 2: \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
In a strictly decreasing function two different inputs cannot give the same value.
Step 3
Exam Tip
A decreasing function can also be one-one. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: लगातार घटने वाले फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। चरण 3: घटता हुआ फलन भी एक-एक होता है।
On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore two different (x)-values cannot have the same tangent value.
Step 3
Exam Tip
Taking \(\tan x\) on a suitable restricted interval gives injectivity. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\tan x\) नहीं मिलेगा। चरण 3: \(\tan x\) को सही सीमित अंतराल पर लेने से एक-एकता मिलती है।
For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly. चरण 1: तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। चरण 2: संख्या (3!=6) होगी। चरण 3: बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
All powers in the rule are even.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Polynomials with even-power symmetry are usually not one-one on the whole real domain. चरण 1: नियम में सभी घात सम हैं। चरण 2: (f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: सम घात वाले बहुपद पूरे वास्तविक प्रांत पर अक्सर एक-एक नहीं होते।
As (x) increases, both \(x^2\) and \(x^4\) increase.
Step 3
Exam Tip
Therefore different inputs give different outputs and the function is one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^2\) और \(x^4\) दोनों बढ़ते हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग आगत अलग-अलग मान देंगे और फलन एक-एक होगा।
To disprove injectivity, show the same value at different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
Multiple roots giving the same output quickly break injectivity. चरण 1: एक-एकता को गलत करने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएं। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। चरण 3: बहुपद में शून्य देने वाले अनेक मान एक-एकता को तुरंत तोड़ देते हैं।
\(x^5\), \(x^3\), and (x) are all increasing terms.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, their sum also increases.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one, so this function is one-one. चरण 1: \(x^5\), \(x^3\) और (x) सभी बढ़ने वाले पद हैं। चरण 2: (x) बढ़ने पर इनका योग भी बढ़ता है। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है, इसलिए यह फलन एक-एक है।
D. यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b))/If \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b))
Step 1
Concept
Injectivity means different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).
Step 3
Exam Tip
Remember both forms of the definition to handle proofs easily. चरण 1: एक-एकता का अर्थ है अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग हों। चरण 2: इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। चरण 3: परिभाषा को दोनों रूपों में याद रखें, इससे प्रमाण आसान होते हैं।
Since \(ad-bc\neq0\), \(x_1=x_2\), so the function is one-one. चरण 1: समान मान मानकर क्रॉस गुणा करें। चरण 2: \(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) को सरल करने पर ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0) मिलता है। चरण 3: \(ad-bc\neq0\) होने से \(x_1=x_2\), अतः फलन एक-एक है।
Therefore the function is one-one on its given domain. चरण 1: यह रैखिक भिन्नात्मक रूप है। चरण 2: यहां \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\)। चरण 3: इसलिए अपने दिए गए प्रांत पर यह फलन एक-एक है।
Therefore (|x-2|=x-2), which is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
Restricting an absolute value function to one side can make it one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge2\) है। चरण 2: इसलिए (|x-2|=x-2), जो बढ़ने वाला रैखिक फलन है। चरण 3: निरपेक्ष मान को एक ओर सीमित करने से फलन एक-एक बन सकता है।
Therefore (|x-2|=2-x), which is a decreasing linear function.
Step 3
Exam Tip
A decreasing linear function is also one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\le2\) है। चरण 2: इसलिए (|x-2|=2-x), जो घटने वाला रैखिक फलन है। चरण 3: घटने वाला रैखिक फलन भी एक-एक होता है।
Absolute value gives the same value to inputs equally distant from the center.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
On the whole real domain an absolute value function is generally not one-one. चरण 1: निरपेक्ष मान केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। चरण 2: (1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=1) और (f(3)=1)। चरण 3: पूरे वास्तविक प्रांत पर निरपेक्ष मान फलन आम तौर पर एक-एक नहीं होता।
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
Because of \(x^2\), opposite inputs give the same inner value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt2) and (f(-1)=\sqrt2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Before focusing on the square root, check the square inside it. चरण 1: \(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान अंदरूनी मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=\sqrt2) और (f(-1)=\sqrt2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: वर्गमूल होने से पहले अंदर के वर्ग को ध्यान से देखें।
As (x) increases, \(x^2+1\) and then \(\sqrt{x^2+1}\) increase.
Step 3
Exam Tip
On the correct domain this square-root function becomes one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^2+1\) और फिर \(\sqrt{x^2+1}\) भी बढ़ता है। चरण 3: सही प्रांत पर वर्गमूल वाला यह फलन एक-एक हो जाता है।
D. (g) को कम से कम (f(A)) पर एक-एक व्यवहार करना होगा/(g) must behave one-one at least on (f(A))
Step 1
Concept
In \(g\circ f\), (g) is used only on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) may not be one-one on its whole domain but can behave distinctly on (f(A)).
Step 3
Exam Tip
In composition, distinguish the used part from the whole domain. चरण 1: संयोजन \(g\circ f\) में (g) केवल (f) के परास पर काम करता है। चरण 2: (g) पूरे प्रांत पर एक-एक न भी हो, फिर भी (f(A)) पर अलग मान दे सकता है। चरण 3: संयोजन में प्रयुक्त भाग और पूरे प्रांत में अंतर समझना जरूरी है।
Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct. चरण 1: (A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। चरण 2: संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। चरण 3: एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं।
The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। चरण 2: इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। चरण 3: \(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
The domain (\(-\infty,2]\) contains both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq-1\), but (12=(-1)2=1).
Step 3
Exam Tip
If the domain spreads on both sides of zero, \(x^2\) is not one-one. चरण 1: प्रांत (\(-\infty,2]\) में (1) और (-1) दोनों शामिल हैं। चरण 2: \(1\neq-1\), लेकिन (12=(-1)2=1)। चरण 3: प्रांत यदि शून्य के दोनों ओर फैला हो, तो \(x^2\) एक-एक नहीं रहता।
\(2x^3-5\) is a transformation of the cube function.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Stretching and shifting the cube function does not destroy injectivity. चरण 1: \(2x^3-5\) घन फलन का रूपांतरण है। चरण 2: \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: घन फलन पर खिंचाव और स्थानांतरण करने से एक-एकता नहीं बदलती।
(0) and (6) are equally distant from (3), so (f(0)=10) and (f(6)=10).
Step 3
Exam Tip
For quadratics quickly test points equally distant from the vertex. चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है। चरण 2: (0) और (6), (3) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(0)=10) और (f(6)=10)। चरण 3: द्विघात फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी जांचें।
\(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex. चरण 1: \(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। चरण 2: यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। चरण 3: द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए।
Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is always one-one. चरण 1: \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है।
To disprove injectivity it is enough to show equal output for two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(3)=27-54+27=0), while \(0\neq3\).
Step 3
Exam Tip
In polynomial questions use simple values to quickly find repeated images. चरण 1: एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(3)=27-54+27=0), जबकि \(0\neq3\)। चरण 3: बहुपद में आसान मान रखकर समान प्रतिबिंब जल्दी खोजें।
The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first. चरण 1: लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। चरण 3: लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें।
