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\(125=25\times5\) इसलिए \( \sqrt{125}=5\sqrt{5} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(125=25\times5\), \( \sqrt{125}=5\sqrt{5} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(147=49\times3\) इसलिए \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग को बाहर निकालना मुख्य कदम है। / Since \(147=49\times3\), \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \). Taking out the perfect square is the main step.
\(192=64\times3\) इसलिए \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \)। करणी में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(192=64\times3\), \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \). Find the largest perfect square inside the radical.
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) और \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) हैं। इसलिए योग \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) and \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). So the sum is \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\).
\(5\sqrt{12}=10\sqrt{3}\) और \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \) है। अंतर \(5\sqrt{3}\) होगा। / \(5\sqrt{12}=10\sqrt{3}\) and \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \). The difference is \(5\sqrt{3}\).
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) से \(25-10\sqrt{6}+6=31-10\sqrt{6}\) मिलता है। संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Using ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), we get \(25-10\sqrt{6}+6=31-10\sqrt{6}\). Pay special attention to signs.
संयुग्मी गुणन से (32-\(\sqrt{10}\)2=9-10=-1) मिलता है। मध्य पद कट जाते हैं। / Conjugate multiplication gives (32-\(\sqrt{10}\)2=9-10=-1). The middle terms cancel.
अंश और हर को \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \) मिलता है। हर में करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{3} \) gives \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \). The radical should be removed from the denominator.
संयुग्मी \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) से गुणा करें और हर (6-5=1) बनेगा। इसलिए उत्तर \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) है। / Multiply by the conjugate \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) and the denominator becomes (6-5=1). So the answer is \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \).
संयुग्मी \( \sqrt{7}+\sqrt{3} \) से गुणा करें। हर (7-3=4) मिलेगा। / Multiply by the conjugate \( \sqrt{7}+\sqrt{3} \). The denominator becomes (7-3=4).
\( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \), \( \sqrt{80}=4\sqrt{5} \), और \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \)। इसलिए \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(5\sqrt{5}\) होगा। / \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \), \( \sqrt{80}=4\sqrt{5} \), and \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \). So the value is \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).
तीनों करणी को \( \sqrt{5} \) के पदों में बदलें। \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) सही है। / Convert all surds into terms of \( \sqrt{5} \). \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) is correct.
\( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \) और \(2\sqrt{63}=6\sqrt{7}\) है। योग \(8\sqrt{7}\) होगा। / \( \sqrt{28}=2\sqrt{7} \) and \(2\sqrt{63}=6\sqrt{7}\). The sum is \(8\sqrt{7}\).
\(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\) है। अंतर \(5\sqrt{3}\) मिलता है। / \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\). The difference is \(5\sqrt{3}\).
\( \sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}=18 \)। गुणा में करणी के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}=18 \). In multiplication, multiply the numbers inside the radicals.
\( \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}}=\sqrt{9}=3 \)। करणी भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}}=\sqrt{9}=3 \). In radical division, divide the radicands.
\( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{36}=6 \) और \( \sqrt{9}=3 \)। कुल मान (9) है। / \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{36}=6 \) and \( \sqrt{9}=3 \). The total value is (9).
पहला पद \( \frac{3}{4} \) और दूसरा \( \frac{5}{6} \) है। योग \( \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} \) मिलता है। / The first term is \( \frac{3}{4} \) and the second is \( \frac{5}{6} \). The sum is \( \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} \).
\( \sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10} \) और \( \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \) है। अंतर \( \frac{3}{10} \) है। / \( \sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10} \) and \( \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \). The difference is \( \frac{3}{10} \).
\(2^2<8<3^2\) इसलिए \( \sqrt{8} \) (2) और (3) के बीच है। (8) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(2^2<8<3^2\), \( \sqrt{8} \) lies between (2) and (3). Since (8) is not a perfect square, it is irrational.
\( \sqrt{18}\approx4.24 \) और \( \frac{9}{2}=4.5 \) है। इसलिए \( \frac{9}{2} \) बड़ा है। / \( \sqrt{18}\approx4.24 \) and \( \frac{9}{2}=4.5 \). Therefore \( \frac{9}{2} \) is greater.
\(5^2=25\) और \(6^2=36\) है इसलिए \( \sqrt{26} \) (5) और (6) के बीच है। निकट पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(5^2=25\) and \(6^2=36\), so \( \sqrt{26} \) lies between (5) and (6). Compare nearby perfect squares.
\(7^2=49\) और \(8^2=64\) है इसलिए \( \sqrt{53} \) (7) और (8) के बीच है। वर्ग करके सीमा जाँचें। / \(7^2=49\) and \(8^2=64\), so \( \sqrt{53} \) lies between (7) and (8). Check limits by squaring.
\( \sqrt{20}\approx4.47 \) इसलिए \( -\sqrt{20}\approx-4.47 \)। ( -4.4 ) शून्य के अधिक निकट है इसलिए बड़ी है। / \( \sqrt{20}\approx4.47 \), so \( -\sqrt{20}\approx-4.47 \). ( -4.4 ) is closer to zero, so it is greater.
C. \( \frac{5}{0} \) वास्तविक संख्या है/\( \frac{5}{0} \) is a real number
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{5}{0} \) परिभाषित नहीं है क्योंकि हर शून्य है। ऐसी संख्या वास्तविक नहीं मानी जाती। / \( \frac{5}{0} \) is undefined because the denominator is zero. Such a number is not considered real.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। अनावर्ती पैटर्न पहचानना जरूरी है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Identifying the non-repeating pattern is important.
(23) बार-बार आ रहा है इसलिए दशमलव आवर्ती है। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / The block (23) repeats, so the decimal is repeating. Repeating decimals are rational.
स्थिर आवृत्ति न होने पर असमाप्त दशमलव अपरिमेय होता है। केवल आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is irrational. Only repeating decimals are rational.
हर (11) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए दशमलव आवर्ती होगा। / The denominator (11) does not have only factors (2) and (5). Therefore the decimal will repeat.
\(40=2^3\times5\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(40=2^3\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
\(28=2^2\times7\) में (7) गुणनखंड है। इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा लेकिन आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\) has factor (7). So the decimal will not terminate but will repeat.
\(125=5^3\) है इसलिए हर में केवल (5) का गुणनखंड है। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(125=5^3\), so the denominator has only factor (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
\(30=2\times3\times5\) में (3) भी है। इसलिए यह असमाप्त आवर्ती दशमलव होगा। / \(30=2\times3\times5\) also has (3). Therefore it will be a non-terminating repeating decimal.
दो अलग-अलग अपरिमेय करणी पदों का योग यहाँ अपरिमेय है। यह वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित है। / The sum of these two different irrational surds is irrational. It lies on the real number line.
\( \sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10 \) है। इसलिए परिणाम परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10 \). Therefore the result is a rational real number.
\( \sqrt{7}\times\sqrt{14}=\sqrt{98}=7\sqrt{2} \) है। यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \sqrt{7}\times\sqrt{14}=\sqrt{98}=7\sqrt{2} \). This is an irrational real number.
संयुग्मी गुणन से (22-\(\sqrt{13}\)2=4-13=-9) मिलता है। इस रूप में अंतर के वर्ग का नियम लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (22-\(\sqrt{13}\)2=4-13=-9). Use the difference of squares rule here.
हर के संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। अंश (\(2+\sqrt{3}\)2=7+4\sqrt{3}) और हर (1) होगा। / Multiply by the conjugate \(2+\sqrt{3}\). The numerator becomes (\(2+\sqrt{3}\)2=7+4\sqrt{3}) and the denominator becomes (1).
हर के संयुग्मी \( \sqrt{5}-1 \) से गुणा करने पर हर (5-1=4) होगा। संयुग्मी विधि में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{5}-1 \) makes the denominator (5-1=4). Use difference of squares in the conjugate method.
वास्तविक संख्याओं में \( \sqrt{a^2}=|a| \) होता है क्योंकि वर्गमूल अमुख्य रूप से गैर-ऋणात्मक होता है। संकेत का ध्यान रखें। / In real numbers, \( \sqrt{a^2}=|a| \) because the principal square root is non-negative. Pay attention to the sign.
संयुग्मी \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) से गुणा करने पर हर (3-2=1) बनता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) है। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \) makes the denominator (3-2=1). So the rationalised form is \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \).
\(180=36\times5\) इसलिए \( \sqrt{180}=6\sqrt{5} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(180=36\times5\), \( \sqrt{180}=6\sqrt{5} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(245=49\times5\) इसलिए \( \sqrt{245}=7\sqrt{5} \)। करणी में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(245=49\times5\), \( \sqrt{245}=7\sqrt{5} \). Take the perfect square outside the radical.
\(288=144\times2\) इसलिए \( \sqrt{288}=12\sqrt{2} \)। पहले सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(288=144\times2\), \( \sqrt{288}=12\sqrt{2} \). First find the largest perfect square.
\(2\sqrt{45}=6\sqrt{5}\) और \(3\sqrt{20}=6\sqrt{5}\) है। इसलिए योग \(12\sqrt{5}\) है। / \(2\sqrt{45}=6\sqrt{5}\) and \(3\sqrt{20}=6\sqrt{5}\). So the sum is \(12\sqrt{5}\).
\(4\sqrt{27}=12\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{75}=10\sqrt{3}\) है। अंतर \(2\sqrt{3}\) मिलता है। / \(4\sqrt{27}=12\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{75}=10\sqrt{3}\). The difference is \(2\sqrt{3}\).
वितरण नियम से \( \sqrt{5}\times3+\sqrt{5}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}+5 \)। समान करणी गुणन में सावधानी रखें। / By distributive law, \( \sqrt{5}\times3+\sqrt{5}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}+5 \). Be careful in surd multiplication.
( \(6-\sqrt{8}\)2=36-12\sqrt{8}+8 ) है। \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) रखने पर \(44-24\sqrt{2}\) मिलता है। / ( \(6-\sqrt{8}\)2=36-12\sqrt{8}+8 ). Using \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), it becomes \(44-24\sqrt{2}\).
संयुग्मी गुणन से (22-\(\sqrt{19}\)2=4-19=-15) मिलता है। मध्य पद कट जाते हैं। / Conjugate multiplication gives (22-\(\sqrt{19}\)2=4-19=-15). The middle terms cancel.
अंश और हर को \( \sqrt{7} \) से गुणा करें। इससे हर (7) हो जाता है। / Multiply numerator and denominator by \( \sqrt{7} \). This makes the denominator (7).
अंश और हर को \( \sqrt{2} \) से गुणा करने पर \( \frac{5\sqrt{2}}{6} \) मिलता है। हर से करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{2} \) gives \( \frac{5\sqrt{2}}{6} \). The radical should be removed from the denominator.
हर \( \sqrt{10}+3 \) है और संयुग्मी \( \sqrt{10}-3 \) होगा। हर (10-9=1) बनता है। / The denominator is \( \sqrt{10}+3 \) and its conjugate is \( \sqrt{10}-3 \). The denominator becomes (10-9=1).
संयुग्मी \( \sqrt{11}+\sqrt{2} \) से गुणा करें। हर (11-2=9) मिलेगा। / Multiply by the conjugate \( \sqrt{11}+\sqrt{2} \). The denominator becomes (11-2=9).
\( \sqrt{98}=7\sqrt{2} \), \( \sqrt{162}=9\sqrt{2} \), और \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \)। इसलिए परिणाम \(11\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{98}=7\sqrt{2} \), \( \sqrt{162}=9\sqrt{2} \), and \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \). So the result is \(11\sqrt{2}\).
\(2\sqrt{44}=4\sqrt{11}\) और \(3\sqrt{99}=9\sqrt{11}\) है। योग \(13\sqrt{11}\) होगा। / \(2\sqrt{44}=4\sqrt{11}\) and \(3\sqrt{99}=9\sqrt{11}\). The sum is \(13\sqrt{11}\).
\( \sqrt{112}=4\sqrt{7} \) और \(2\sqrt{175}=10\sqrt{7}\) है। योग \(14\sqrt{7}\) है। / \( \sqrt{112}=4\sqrt{7} \) and \(2\sqrt{175}=10\sqrt{7}\). The sum is \(14\sqrt{7}\).
\(5\sqrt{48}=20\sqrt{3}\) और \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\) है। अंतर \(5\sqrt{3}\) मिलता है। / \(5\sqrt{48}=20\sqrt{3}\) and \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). The difference is \(5\sqrt{3}\).
\( \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{20}}=\sqrt{9}=3 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{20}}=\sqrt{9}=3 \). In division of square roots, divide the radicands.
\( \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{100}=10 \) और \( \sqrt{16}=4 \)। कुल मान (14) है। / \( \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{100}=10 \) and \( \sqrt{16}=4 \). The total value is (14).
पहला पद \( \frac{4}{5} \) और दूसरा \( \frac{3}{8} \) है। योग \( \frac{32}{40}+\frac{15}{40}=\frac{47}{40} \) है। / The first term is \( \frac{4}{5} \) and the second is \( \frac{3}{8} \). The sum is \( \frac{32}{40}+\frac{15}{40}=\frac{47}{40} \).
\( \sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{9}{11} \) और \( \sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7} \) है। अंतर \( \frac{63}{77}-\frac{22}{77}=\frac{41}{77} \) है। / \( \sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{9}{11} \) and \( \sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7} \). The difference is \( \frac{63}{77}-\frac{22}{77}=\frac{41}{77} \).
\(5^2<31<6^2\) इसलिए \( \sqrt{31} \) (5) और (6) के बीच है। (31) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(5^2<31<6^2\), \( \sqrt{31} \) lies between (5) and (6). Since (31) is not a perfect square, it is irrational.
\( \sqrt{45}\approx6.70 \) और \( \frac{13}{2}=6.5 \) है। इसलिए \( \sqrt{45} \) बड़ा है। / \( \sqrt{45}\approx6.70 \) and \( \frac{13}{2}=6.5 \). Therefore \( \sqrt{45} \) is greater.
\(8^2=64\) और \(9^2=81\) है इसलिए \( \sqrt{68} \) (8) और (9) के बीच है। निकट पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(8^2=64\) and \(9^2=81\), so \( \sqrt{68} \) lies between (8) and (9). Compare nearby perfect squares.
\(9^2=81\) और \(10^2=100\) है इसलिए \( \sqrt{86} \) (9) और (10) के बीच है। वर्ग करके सीमा जाँचें। / \(9^2=81\) and \(10^2=100\), so \( \sqrt{86} \) lies between (9) and (10). Check the range by squaring.
\( \sqrt{50}\approx7.07 \) इसलिए \( -\sqrt{50}\approx-7.07 \)। यह ( -7.2 ) से बड़ी है क्योंकि यह शून्य के अधिक निकट है। / \( \sqrt{50}\approx7.07 \), so \( -\sqrt{50}\approx-7.07 \). It is greater than ( -7.2 ) because it is closer to zero.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानें। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Identify the difference between repeating and non-repeating.
(45) बार-बार आ रहा है इसलिए दशमलव आवर्ती है। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / The block (45) repeats, so the decimal is repeating. Repeating decimals are rational.
नियमित आवृत्ति न होने पर असमाप्त दशमलव अपरिमेय होता है। केवल स्थिर आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without regular repetition is irrational. Only fixed repeating decimals are rational.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating
Explanation
Simple Explanation
हर (13) में (2) या (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (13) has factors other than (2) or (5). Therefore the decimal will be non-terminating repeating.
\(80=2^4\times5\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(80=2^4\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
\(42=2\times3\times7\) में (3) और (7) हैं। इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा लेकिन आवर्ती होगा। / \(42=2\times3\times7\) has (3) and (7). So the decimal will not terminate but will repeat.
\(200=2^3\times5^2\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(200=2^3\times5^2\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
\(45=3^2\times5\) में (3) भी है। इसलिए यह असमाप्त आवर्ती दशमलव होगा। / \(45=3^2\times5\) also has (3). Therefore it will be a non-terminating repeating decimal.
\( \sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{900}=30 \) है। इसलिए परिणाम परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{900}=30 \). Therefore the result is a rational real number.
\( \sqrt{3}\times\sqrt{21}=\sqrt{63}=3\sqrt{7} \) है। यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \sqrt{3}\times\sqrt{21}=\sqrt{63}=3\sqrt{7} \). This is an irrational real number.
संयुग्मी गुणन से (32-\(\sqrt{14}\)2=9-14=-5) मिलता है। अंतर के वर्ग का नियम लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (32-\(\sqrt{14}\)2=9-14=-5). Use the difference of squares rule.
हर के संयुग्मी \(3+\sqrt{2}\) से गुणा करें। अंश (\(3+\sqrt{2}\)2=11+6\sqrt{2}) और हर (7) होगा। / Multiply by the conjugate \(3+\sqrt{2}\). The numerator is (\(3+\sqrt{2}\)2=11+6\sqrt{2}) and the denominator is (7).
हर के संयुग्मी \( \sqrt{7}+2 \) से गुणा करने पर हर (7-4=3) होगा। संयुग्मी विधि में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{7}+2 \) makes the denominator (7-4=3). Use difference of squares in the conjugate method.
संयुग्मी \(5-2\sqrt{6}\) से गुणा करने पर हर (25-24=1) बनता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(5-2\sqrt{6}\) है। / Multiplying by the conjugate \(5-2\sqrt{6}\) makes the denominator (25-24=1). So the rationalised form is \(5-2\sqrt{6}\).
\( \sqrt{242}=11\sqrt{2} \) और \( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \) है। इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) मिलता है। / \( \sqrt{242}=11\sqrt{2} \) and \( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \). Therefore the difference is \(3\sqrt{2}\).
\(320=64\times5\) इसलिए \( \sqrt{320}=8\sqrt{5} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें। / Since \(320=64\times5\), \( \sqrt{320}=8\sqrt{5} \). Take out the largest perfect-square factor.
\(363=121\times3\) इसलिए \( \sqrt{363}=11\sqrt{3} \)। करणी में पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / Since \(363=121\times3\), \( \sqrt{363}=11\sqrt{3} \). Take the perfect square out of the radical.
\(432=144\times3\) इसलिए \( \sqrt{432}=12\sqrt{3} \)। पहले सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(432=144\times3\), \( \sqrt{432}=12\sqrt{3} \). First find the largest perfect square.
\(3\sqrt{28}=6\sqrt{7}\) और \(2\sqrt{63}=6\sqrt{7}\) है। इसलिए योग \(12\sqrt{7}\) है। / \(3\sqrt{28}=6\sqrt{7}\) and \(2\sqrt{63}=6\sqrt{7}\). So the sum is \(12\sqrt{7}\).
\(6\sqrt{32}=24\sqrt{2}\) और \(4\sqrt{18}=12\sqrt{2}\) है। अंतर \(12\sqrt{2}\) मिलता है। / \(6\sqrt{32}=24\sqrt{2}\) and \(4\sqrt{18}=12\sqrt{2}\). The difference is \(12\sqrt{2}\).
वितरण नियम से \( \sqrt{7}\times4+\sqrt{7}\times\sqrt{7}=4\sqrt{7}+7 \)। समान वर्गमूल का गुणन अंदर की संख्या देता है। / By distributive law, \( \sqrt{7}\times4+\sqrt{7}\times\sqrt{7}=4\sqrt{7}+7 \). Multiplying the same square root gives the radicand.
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) से \(49-14\sqrt{3}+3=52-14\sqrt{3}\) मिलता है। संकेतों पर ध्यान दें। / Using ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), we get \(49-14\sqrt{3}+3=52-14\sqrt{3}\). Watch the signs carefully.
संयुग्मी गुणन से (42-\(\sqrt{29}\)2=16-29=-13) मिलता है। मध्य पद कट जाते हैं। / Conjugate multiplication gives (42-\(\sqrt{29}\)2=16-29=-13). The middle terms cancel.
अंश और हर को \( \sqrt{11} \) से गुणा करें। इससे हर (11) हो जाता है। / Multiply numerator and denominator by \( \sqrt{11} \). This makes the denominator (11).
अंश और हर को \( \sqrt{5} \) से गुणा करने पर \( \frac{9\sqrt{5}}{20} \) मिलता है। हर से करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{5} \) gives \( \frac{9\sqrt{5}}{20} \). The radical should be removed from the denominator.
हर \( \sqrt{13}+2\sqrt{3} \) है और संयुग्मी \( \sqrt{13}-2\sqrt{3} \) होगा। हर (13-12=1) बनता है। / The denominator is \( \sqrt{13}+2\sqrt{3} \) and its conjugate is \( \sqrt{13}-2\sqrt{3} \). The denominator becomes (13-12=1).
संयुग्मी \( \sqrt{17}+\sqrt{8} \) से गुणा करें। हर (17-8=9) मिलेगा। / Multiply by the conjugate \( \sqrt{17}+\sqrt{8} \). The denominator becomes (17-8=9).
\( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \), \( \sqrt{200}=10\sqrt{2} \), और \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \)। इसलिए परिणाम \(12\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{128}=8\sqrt{2} \), \( \sqrt{200}=10\sqrt{2} \), and \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \). So the result is \(12\sqrt{2}\).
\(3\sqrt{54}=9\sqrt{6}\) और \(2\sqrt{150}=10\sqrt{6}\) है। योग \(19\sqrt{6}\) होगा। / \(3\sqrt{54}=9\sqrt{6}\) and \(2\sqrt{150}=10\sqrt{6}\). The sum is \(19\sqrt{6}\).
\( \sqrt{200}=10\sqrt{2} \) और \(3\sqrt{72}=18\sqrt{2}\) है। योग \(28\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{200}=10\sqrt{2} \) and \(3\sqrt{72}=18\sqrt{2}\). The sum is \(28\sqrt{2}\).
\(7\sqrt{27}=21\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{108}=12\sqrt{3}\) है। अंतर \(9\sqrt{3}\) मिलता है। / \(7\sqrt{27}=21\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{108}=12\sqrt{3}\). The difference is \(9\sqrt{3}\).
\( \frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}=\sqrt{121}=11 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{242}}{\sqrt{2}}=\sqrt{121}=11 \). In division of square roots, divide the radicands.
\( \frac{\sqrt{392}}{\sqrt{2}}=\sqrt{196}=14 \) और \( \sqrt{25}=5 \)। कुल मान (19) है। / \( \frac{\sqrt{392}}{\sqrt{2}}=\sqrt{196}=14 \) and \( \sqrt{25}=5 \). The total value is (19).
पहला पद \( \frac{5}{7} \) और दूसरा \( \frac{4}{9} \) है। योग \( \frac{45}{63}+\frac{28}{63}=\frac{73}{63} \) है। / The first term is \( \frac{5}{7} \) and the second is \( \frac{4}{9} \). The sum is \( \frac{45}{63}+\frac{28}{63}=\frac{73}{63} \).
\( \sqrt{\frac{100}{169}}=\frac{10}{13} \) और \( \sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8} \) है। अंतर \( \frac{80}{104}-\frac{39}{104}=\frac{41}{104} \) है। / \( \sqrt{\frac{100}{169}}=\frac{10}{13} \) and \( \sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8} \). The difference is \( \frac{80}{104}-\frac{39}{104}=\frac{41}{104} \).
\(6^2<43<7^2\) इसलिए \( \sqrt{43} \) (6) और (7) के बीच है। (43) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(6^2<43<7^2\), \( \sqrt{43} \) lies between (6) and (7). Since (43) is not a perfect square, it is irrational.
\(10^2=100\) और \(11^2=121\) है इसलिए \( \sqrt{101} \) (10) और (11) के बीच है। निकट पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(10^2=100\) and \(11^2=121\), so \( \sqrt{101} \) lies between (10) and (11). Compare nearby perfect squares.
\(11^2=121\) और \(12^2=144\) है इसलिए \( \sqrt{130} \) (11) और (12) के बीच है। सीमा वर्ग करके जाँचें। / \(11^2=121\) and \(12^2=144\), so \( \sqrt{130} \) lies between (11) and (12). Check the range by squaring.
\( \sqrt{65}\approx8.06 \) इसलिए \( -\sqrt{65}\approx-8.06 \)। ( -8.06 ) ( -8.1 ) से बड़ा होता है। / \( \sqrt{65}\approx8.06 \), so \( -\sqrt{65}\approx-8.06 \). ( -8.06 ) is greater than ( -8.1 ).
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानें। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Identify the difference between repeating and non-repeating.
(61) बार-बार आ रहा है इसलिए दशमलव आवर्ती है। आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / The block (61) repeats, so the decimal is repeating. Repeating decimals are rational.
नियमित आवृत्ति न होने पर असमाप्त दशमलव अपरिमेय होता है। केवल स्थिर आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without regular repetition is irrational. Only fixed repeating decimals are rational.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating
Explanation
Simple Explanation
हर (17) में (2) या (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (17) has factors other than (2) or (5). Therefore the decimal will be non-terminating repeating.
\(160=2^5\times5\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(160=2^5\times5\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
B. यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating repeating decimal
Explanation
Simple Explanation
\(66=2\times3\times11\) में (3) और (11) हैं। इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा लेकिन आवर्ती होगा। / \(66=2\times3\times11\) has (3) and (11). So the decimal will not terminate but will repeat.
\(500=2^2\times5^3\) है इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। ऐसा भिन्न समाप्त दशमलव देता है। / \(500=2^2\times5^3\), so the denominator has only (2) and (5). Such a fraction gives a terminating decimal.
\(54=2\times3^3\) में (3) भी है। इसलिए यह असमाप्त आवर्ती दशमलव होगा। / \(54=2\times3^3\) also has (3). Therefore it will be a non-terminating repeating decimal.
\( \sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30 \) है। इसलिए परिणाम परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30 \). Therefore the result is a rational real number.
\( \sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15 \) है। इसलिए परिणाम परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15 \). Therefore the result is a rational real number.
संयुग्मी गुणन से (42-\(\sqrt{21}\)2=16-21=-5) मिलता है। अंतर के वर्ग का नियम लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (42-\(\sqrt{21}\)2=16-21=-5). Use the difference of squares rule.
हर के संयुग्मी \(4+\sqrt{3}\) से गुणा करें। अंश (\(4+\sqrt{3}\)2=19+8\sqrt{3}) और हर (13) होगा। / Multiply by the conjugate \(4+\sqrt{3}\). The numerator is (\(4+\sqrt{3}\)2=19+8\sqrt{3}) and the denominator is (13).
हर के संयुग्मी \( \sqrt{11}+3 \) से गुणा करने पर हर (11-9=2) होगा। संयुग्मी विधि में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें। / Multiplying by the conjugate \( \sqrt{11}+3 \) makes the denominator (11-9=2). Use difference of squares in the conjugate method.
\( -\sqrt{100}+6=-10+6=-4 \) है और ( |-4|=4 )। निरपेक्ष मान दूरी देता है। / \( -\sqrt{100}+6=-10+6=-4 \) and ( |-4|=4 ). Absolute value gives distance.
वास्तविक संख्याओं में \( \sqrt{a^2}=|a| \) होता है। इसलिए ( \sqrt{( -12)2}=12 )। / In real numbers, \( \sqrt{a^2}=|a| \). Therefore ( \sqrt{( -12)2}=12 ).
संयुग्मी \(6-\sqrt{35}\) से गुणा करने पर हर (36-35=1) बनता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(6-\sqrt{35}\) है। / Multiplying by the conjugate \(6-\sqrt{35}\) makes the denominator (36-35=1). So the rationalised form is \(6-\sqrt{35}\).
