Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3) unordered pairs of distinct elements, and each pair-group may be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the total number is \(2^3\). चरण 1: स्वपरकता के कारण तीनों स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग तत्वों के बिना क्रम वाले युग्मों की संख्या (3) है और प्रत्येक को जोड़े सहित लेना या छोड़ना है। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^3\) होगी।
Symmetry asks for reverse pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry forbids both directions between distinct elements, so no non-self pair can be included.
Step 3
Exam Tip
Only the three self-pairs are free, giving \(2^3\) relations. चरण 1: सममितता अलग तत्वों के उल्टे युग्म मांगती है। चरण 2: प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म नहीं लिए जा सकते। चरण 3: केवल तीन स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है।
Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the other direction, or none.
Step 3
Exam Tip
There are (3) such pairs, so the number is \(3^3\). चरण 1: स्वपरकता के कारण तीन स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: प्रत्येक अलग तत्वों की जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं: पहला दिशा युग्म, दूसरा दिशा युग्म, या कोई नहीं। चरण 3: ऐसी जोड़ियां (3) हैं, इसलिए संख्या \(3^3\) है।
Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
For minimum addition, add only the required missing pair. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है, जो अनुपस्थित है। चरण 3: न्यूनतम जोड़ में केवल वही जरूरी युग्म जोड़ा जाता है।
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
In long chains, also check pairs created during closure. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 3: लंबी कड़ियों में नए बने युग्मों से भी संक्रामकता जांचें।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
The relation is reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity needs ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) is missing, so it is not an equivalence relation. चरण 1: संबंध स्वपरक और सममित है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: ((1,3)) नहीं है, इसलिए समतुल्यता संबंध नहीं बनता।
In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
Each class has (2) elements, so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4=8). चरण 1: समतुल्यता संबंध में प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी संभव क्रमित युग्म लिए जाते हैं। चरण 2: दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+4=8) होंगे।
The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The class ({4}) gives \(1^2=1\) pair.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+1=10). चरण 1: पहले वर्ग ({1,2,3}) से \(3^2=9\) क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 2: दूसरे वर्ग ({4}) से \(1^2=1\) युग्म बनता है। चरण 3: कुल युग्म (9+1=10) होंगे।
Therefore, the class of (1) is ({1,4}). चरण 1: (3) से भाग देने पर (1) का शेष (1) है। चरण 2: (4) का भी (3) से भाग देने पर शेष (1) है। चरण 3: इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है।
Elements with the same remainder lie in the same equivalence class. चरण 1: (3) को (4) से भाग देने पर शेष (3) आता है। चरण 2: (7) को (4) से भाग देने पर भी शेष (3) आता है। चरण 3: समान शेष वाले तत्व एक ही समतुल्यता वर्ग में आते हैं।
The sum is even only when both numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
The odd class ({1,3}) gives (4) pairs and the even class ({2,4}) gives (4) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4=8). चरण 1: योग सम तभी होगा जब दोनों संख्याएं समान समता की हों। चरण 2: विषम वर्ग ({1,3}) से (4) युग्म और सम वर्ग ({2,4}) से (4) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+4=8) हैं।
A. सममित है पर स्वपरक नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Since (a+b=b+a), if ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 2
Why this answer is correct
For ((a,a)), (2a) is even, so no self-pair appears.
Step 3
Exam Tip
Hence it is symmetric but not reflexive. चरण 1: (a+b=b+a), इसलिए यदि ((a,b)) है तो ((b,a)) भी होगा। चरण 2: ((a,a)) में (2a) सम होता है, इसलिए स्वयं युग्म नहीं मिलते। चरण 3: इसलिए यह सममित है पर स्वपरक नहीं है।
In divisibility relations, the order of the pair is very important. चरण 1: ((a,b)) तभी होगा जब (a), (b) को विभाजित करे। चरण 2: (4), (2) को विभाजित नहीं करता। चरण 3: विभाज्यता संबंध में क्रमित युग्म का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है।
The least element divides every element, so (1) is least.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest element is divisible by every element, so (6) is greatest.
Step 3
Exam Tip
In divisibility, least and greatest are judged by the relation, not by usual size only. चरण 1: सबसे छोटा तत्व सभी को विभाजित करता है, इसलिए (1) सबसे छोटा है। चरण 2: सबसे बड़ा तत्व ऐसा होता है जिसे सभी तत्व विभाजित करें, इसलिए (6) सबसे बड़ा है। चरण 3: विभाज्यता में छोटा-बड़ा सामान्य संख्या क्रम जैसा नहीं, संबंध के अनुसार देखा जाता है।
(2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).
Step 3
Exam Tip
Hence no element divides all elements. चरण 1: सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करना चाहिए। चरण 2: (2), (3) को विभाजित नहीं करता और (3), (2) को विभाजित नहीं करता। चरण 3: इसलिए कोई ऐसा तत्व नहीं है जो सभी को विभाजित करे।
If (a) divides (b) and (b) divides (a), then (a=b), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Divisibility is transitive, so it is a partial order relation. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (a) (b) को और (b) (a) को विभाजित करे तो (a=b), इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: विभाज्यता की कड़ी संक्रामक होती है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
No reverse pair appears with a distinct pair, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: अलग तत्वों के लिए कोई उल्टा युग्म साथ में नहीं है, इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A. क्योंकि प्रतिसममितता नहीं है/Because antisymmetry is absent
Step 1
Concept
A partial order needs antisymmetry.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\ne2\), yet both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
Two-way pairs between distinct elements break antisymmetry. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए प्रतिसममितता जरूरी है। चरण 2: यहां \(1\ne2\) होते हुए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। चरण 3: अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म प्रतिसममितता तोड़ देते हैं।
If the inverse is the same relation, every reverse pair is already present.
Step 3
Exam Tip
This is exactly the identity of a symmetric relation. चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा हो जाता है। चरण 2: यदि विलोम लेने पर वही संबंध मिले, तो हर युग्म का उल्टा पहले से मौजूद है। चरण 3: यही सममित संबंध की पहचान है।
In \(R^{-1}\circ R\), ((a,c)) appears when some (b) satisfies \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=1), \((1,2)\in R\) and \((2,1)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Hence ((1,1)) belongs to this composition. चरण 1: \(R^{-1}\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R^{-1}\)। चरण 2: (a=1) के लिए \((1,2)\in R\) और \((2,1)\in R^{-1}\) है। चरण 3: इसलिए ((1,1)) इस संयोजन में आता है।
C. ((4,2)) और ((4,3)) दोनों/Both ((4,2)) and ((4,3))
Step 1
Concept
In an inverse relation, the two entries of every pair are interchanged.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) gives ((4,2)), and ((3,4)) gives ((4,3)).
Step 3
Exam Tip
Reverse every pair separately while finding the inverse. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। चरण 2: ((2,4)) से ((4,2)) और ((3,4)) से ((4,3)) मिलते हैं। चरण 3: विलोम निकालते समय सभी युग्मों को अलग-अलग उलटें।
Therefore, it cannot be empty; it is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is reflexive, symmetric and transitive. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए यह रिक्त संबंध नहीं हो सकता, बल्कि सार्वत्रिक संबंध है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध स्वपरक, सममित और संक्रामक होता है।
The empty relation has no pair, so self-pairs are absent.
Step 3
Exam Tip
The empty relation may be symmetric and transitive, but it is not reflexive on a non-empty set. चरण 1: अरिक्त समुच्चय पर स्वपरकता के लिए स्वयं युग्म चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई भी युग्म नहीं है, इसलिए स्वयं युग्म भी नहीं हैं। चरण 3: रिक्त संबंध सममित और संक्रामक हो सकता है, पर अरिक्त समुच्चय पर स्वपरक नहीं।
Antisymmetry fails when both directions exist for distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
So antisymmetry is not violated. चरण 1: प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म हों। चरण 2: यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। चरण 3: इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती।
A. ((a,b)) संबंध में नहीं हो सकता/((a,b)) cannot be in the relation
Step 1
Concept
If ((a,b)) is present and the relation is symmetric, then ((b,a)) is also present.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry says both can occur only when (a=b).
Step 3
Exam Tip
For \(a\ne b\), this is impossible, so such a pair cannot be present. चरण 1: यदि ((a,b)) हो और संबंध सममित हो, तो ((b,a)) भी होगा। चरण 2: प्रतिसममितता कहती है कि दोनों होने पर (a=b) होना चाहिए। चरण 3: \(a\ne b\) के लिए यह संभव नहीं, इसलिए ऐसा युग्म नहीं हो सकता।
A. क्योंकि संक्रामकता नहीं है/Because transitivity is absent
Step 1
Concept
A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Thus transitivity is absent, so it is not a partial order. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। चरण 3: इसलिए संक्रामकता नहीं है और संबंध आंशिक क्रम नहीं है।
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
No reverse pair is present for distinct elements, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present, so transitivity holds. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: अलग तत्वों के कोई उल्टे युग्म साथ नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है।
((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is absent because (|1-3|=2), so transitivity fails. चरण 1: (|a-a|=0), इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है क्योंकि (|1-3|=2), इसलिए संक्रामकता नहीं है।
(|a-a|=0) is divisible by (2), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Same parity continues through a chain, so it is transitive. चरण 1: (|a-a|=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: समान समता की कड़ी आगे भी समान समता देती है, इसलिए संक्रामकता है।
A. यह सममित है पर स्वपरक नहीं/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
For ((a,a)), we need (2a=5), which is not true for any integer in the set.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric but not reflexive. चरण 1: (a+b=5) होने पर (b+a=5) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 2: ((a,a)) के लिए (2a=5) चाहिए, जो इस समुच्चय में किसी पूर्णांक (a) के लिए नहीं है। चरण 3: इसलिए संबंध सममित है पर स्वपरक नहीं।
A. क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/Because ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
Since (1+4=5), ((1,4)) and ((4,1)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
((1,1)) is absent because \(1+1\ne5\), so transitivity fails. चरण 1: (1+4=5), इसलिए ((1,4)) और ((4,1)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के अनुसार इनसे ((1,1)) चाहिए। चरण 3: ((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\ne5\), इसलिए संक्रामकता टूटती है।
(1) and (2) are related in both directions, so they are in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,2}) and ({3}). चरण 1: (1) और (2) दोनों दिशाओं में संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। चरण 2: (3) केवल अपने आप से संबंधित है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं।
In an equivalence relation, pairs are formed only within the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
Hence ((1,3)) will not be in the relation. चरण 1: समतुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर युग्म बनते हैं। चरण 2: (1) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। चरण 3: अलग वर्गों के बीच ((1,3)) नहीं होगा।
To preserve symmetry, both ((2,3)) and ((3,2)) must be added. चरण 1: (2) का संबंध (1) से है और (1) का संबंध (3) से है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (2) का संबंध (3) से होना चाहिए। चरण 3: सममितता बनाए रखने के लिए ((2,3)) और ((3,2)) दोनों जोड़ने होंगे।
The inverse relation contains the reverse ((2,1)) of ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) is not in the original relation.
Step 3
Exam Tip
While comparing inverse and original relation, reverse each non-self pair. चरण 1: विलोम संबंध में ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) आएगा। चरण 2: ((2,1)) मूल संबंध में नहीं है। चरण 3: विलोम संबंध की तुलना करते समय हर गैर-स्वयं युग्म को उलटकर देखें।
A. स्वपरक, प्रतिसममित और संक्रामक/Reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
All self-pairs make it reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
No reverse pair exists for distinct elements, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive. चरण 1: सभी स्वयं युग्म होने से स्वपरकता है। चरण 2: अलग तत्वों के उल्टे युग्म साथ नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता है।
A. हर उल्टा युग्म है पर स्वयं युग्म नहीं हैं/Every reverse pair is present but self-pairs are absent
Step 1
Concept
Every distinct pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are absent.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric but not reflexive. चरण 1: सभी अलग युग्मों के उल्टे युग्म मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 2: ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) अनुपस्थित हैं। चरण 3: इसलिए संबंध सममित है, लेकिन स्वपरक नहीं है।
The main chain ((1,2)) and ((2,3)) requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present.
Step 3
Exam Tip
No other chain asks for a new missing pair, so the relation is transitive. चरण 1: मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मांगती है। चरण 2: ((1,3)) संबंध में मौजूद है। चरण 3: कोई अन्य ऐसी कड़ी नहीं है जो नया अनुपस्थित युग्म मांगे, इसलिए संबंध संक्रामक है।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,3)) is missing, the relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है। चरण 3: ((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है।
Both classes have (2) elements, so each class gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4=8). चरण 1: प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग \(2^2=4\) युग्म देता है। चरण 3: कुल युग्म (4+4=8) हैं।
One equivalence class means every element is related to every other element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all pairs of \(A\times A\) are in the relation.
Step 3
Exam Tip
Such a relation is the universal relation. चरण 1: एक ही वर्ग का अर्थ है कि हर तत्व हर दूसरे तत्व से संबंधित है। चरण 2: इसलिए \(A\times A\) के सभी युग्म संबंध में होंगे। चरण 3: ऐसा संबंध सार्वत्रिक संबंध कहलाता है।
Singleton classes mean no two distinct elements are related.
Step 2
Why this answer is correct
Every element is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is the identity relation. चरण 1: एक-एक तत्व वाले वर्ग का अर्थ है कि कोई अलग तत्व आपस में संबंधित नहीं है। चरण 2: हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित रहेगा। चरण 3: इसलिए संबंध सर्वसम संबंध होगा।
Reflexivity gives self-pairs, but this third pair comes from transitivity. चरण 1: समतुल्यता के लिए संक्रामकता भी जरूरी है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 3: स्वपरकता से स्वयं युग्म मिलते हैं, पर यह तीसरा युग्म संक्रामकता से आता है।
A. यह असंभव है क्योंकि \(1\ne2\)/This is impossible because \(1\ne2\)
Step 1
Concept
A partial order relation is antisymmetric.
Step 2
Why this answer is correct
In antisymmetry, if both ((a,b)) and ((b,a)) are present, then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Here \(1\ne2\), so this situation is impossible in a partial order. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध प्रतिसममित होता है। चरण 2: प्रतिसममितता में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों होने पर (a=b) होना चाहिए। चरण 3: यहां \(1\ne2\), इसलिए ऐसी स्थिति आंशिक क्रम में संभव नहीं है।
A. हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) होना/Presence of ((b,a)) with every ((a,b))
Step 1
Concept
Reflexivity and transitivity do not automatically give symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry requires the reverse of every pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore, reverse pairs must be checked separately. चरण 1: स्वपरकता और संक्रामकता सममितता को अपने आप नहीं देतीं। चरण 2: सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 3: इसलिए अलग से उल्टे युग्मों की जांच जरूरी है।
All self-pairs are present, so reflexivity does not fail.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,3)) and ((3,1)) are present while \(1\ne3\).
Step 3
Exam Tip
This definitely breaks antisymmetry. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता नहीं टूटती। चरण 2: ((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne3\)। चरण 3: यह प्रतिसममितता को निश्चित रूप से तोड़ता है।
Symmetry needs the reverse of every non-self pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present, but its reverse ((3,2)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Even one missing reverse pair prevents symmetry. चरण 1: सममितता में हर अलग युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: ((2,3)) दिया है लेकिन उसका उल्टा ((3,2)) नहीं है। चरण 3: केवल एक अनुपस्थित उल्टा युग्म भी सममितता रोक देता है।
Reverse pairs of distinct elements are absent, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Forward chains such as ((1,2),(2,3)) giving ((1,3)), and ((2,3),(3,4)) giving ((2,4)), are complete. चरण 1: सभी स्वयं युग्म होने से स्वपरकता है। चरण 2: अलग युग्मों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: सभी आगे की कड़ियां जैसे ((1,2),(2,3)) से ((1,3)) और ((2,3),(3,4)) से ((2,4)) पूरी हैं।
A. क्योंकि ((1,4)) अनुपस्थित है/Because ((1,4)) is missing
Step 1
Concept
A partial order requires transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), and ((1,2)) with ((2,4)) also requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,4)) is missing, transitivity fails. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए संक्रामकता जरूरी है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, या ((1,2)), ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। चरण 3: ((1,4)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Therefore, only the identity relation is possible. चरण 1: स्वपरकता के कारण सभी स्वयं युग्म जरूरी हैं। चरण 2: सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए केवल स्वयं युग्मों वाला सर्वसम संबंध ही संभव है।
