A relation is any subset of \(A\times A\), so the number of relations is \(2^9\).
Step 3
Exam Tip
In exams, count the ordered pairs first and then use the subset count. चरण 1: \(A\times A\) में \(3\times 3=9\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: कोई भी संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए कुल संबंध \(2^9\) होंगे। चरण 3: परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल के युग्म गिनें, फिर उपसमुच्चय लगाएं।
A reflexive relation must contain the (4) diagonal pairs, so the remaining (12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
For reflexive relation counts, subtract the compulsory diagonal pairs. चरण 1: \(A\times A\) में (16) युग्म होते हैं। चरण 2: प्रतिवर्ती संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी (12) युग्मों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। चरण 3: प्रतिवर्ती संबंधों की गिनती में हमेशा अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं।
The three diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
The (6) off-diagonal pairs form (3) reverse-pair groups, and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
Thus there are (3+3=6) independent choices, giving \(2^6\). चरण 1: तीन विकर्ण युग्म अपने आप स्वतंत्र रहते हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर के (6) युग्म (3) जोड़ों में बंटते हैं, हर जोड़ा साथ में चुना जाता है या छोड़ा जाता है। चरण 3: सममित संबंध के लिए स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए \(2^6\)।
Reflexivity forces all three diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
Outside the diagonal, only the three reverse-pair groups are independent.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(2^3\); do not count the diagonal choices again. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के कारण तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर केवल तीन विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल चुनाव \(2^3\) हैं; विकर्ण युग्मों को दोबारा न गिनें।
(a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), and adding two such differences gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
Remainder-based relations often form equivalence relations. चरण 1: (a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) विभाज्य है तो (b-a) भी विभाज्य है, और दो ऐसे अंतर जोड़ने पर संक्रामकता मिलती है। चरण 3: शेषफल वाले संबंधों में अक्सर समतुल्यता बनती है।
B. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Since \(2\le 3\) is true but \(3\le 2\) is false, it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रामी है। चरण 3: \(2\le 3\) सही है पर \(3\le 2\) गलत, इसलिए सममित नहीं।
C. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Since \(1\mid 2\) is true but \(2\mid 1\) is false, it is not symmetric. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संक्रामी है। चरण 3: \(1\mid 2\) सही है पर \(2\mid 1\) गलत, इसलिए सममित नहीं।
All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is accompanied by ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present; hence transitivity also holds. चरण 1: तीनों विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है; इसलिए संक्रामी भी है।
All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
((1,3)) is absent, so transitivity fails. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं, तो संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: ((1,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
B. विकर्ण से बाहर कोई विपरीत युग्म साथ नहीं हो सकता/no reverse pair can occur off the diagonal
Step 1
Concept
Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry says that for \(a\ne b\), both cannot be present together.
Step 3
Exam Tip
Therefore, for distinct elements, no two-way off-diagonal pair can occur. चरण 1: सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। चरण 2: प्रतिसममितता कहती है कि अलग (a,b) के लिए दोनों साथ नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए अलग अवयवों के बीच युग्म लेना हो तो सावधानी से केवल एक दिशा ली जा सकती है।
A reflexive relation must contain each element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest such relation contains only the required diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Adding extra pairs keeps it reflexive but no longer smallest. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: सबसे छोटा संबंध केवल आवश्यक विकर्ण युग्म रखेगा। चरण 3: अतिरिक्त युग्म जोड़ने से संबंध प्रतिवर्ती तो रहेगा, पर न्यूनतम नहीं रहेगा।
D. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है/it is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
The universal relation contains every pair in \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore all diagonal, reverse, and transitivity-required pairs are present.
Step 3
Exam Tip
When all pairs are present, the relation automatically satisfies these three properties. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए विकर्ण, विपरीत और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद रहते हैं। चरण 3: सभी युग्म होने का अर्थ यह नहीं कि यह कठिन है; गुण सीधे पूरे कार्तीय गुणनफल से मिलते हैं।
Reflexivity requires ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
The empty set has no element that can violate this condition.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, at least one diagonal pair is required, so the empty relation is not reflexive. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए हर \(a\in A\) पर ((a,a)) चाहिए। चरण 2: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए शर्त का उल्लंघन करने वाला अवयव नहीं मिलता। चरण 3: अरिक्त समुच्चय में कम से कम एक विकर्ण युग्म चाहिए, इसलिए रिक्त संबंध प्रतिवर्ती नहीं होगा।
B. वे (A) को असंयुक्त भागों में बांटते हैं/they partition (A) into disjoint parts
Step 1
Concept
An equivalence relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
These properties make every element belong to exactly one class, and distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
The classes need not have equal size, so remember the partition idea. चरण 1: समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। चरण 2: इन गुणों से हर अवयव ठीक एक वर्ग में आता है और अलग वर्ग आपस में नहीं मिलते। चरण 3: वर्गों का आकार समान होना जरूरी नहीं, इसलिए भागों की बात याद रखें।
The class of (0) contains integers that leave remainder (0) on division by (4).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
When writing remainder classes, include both negative and positive multiples. चरण 1: (0) के वर्ग में वे संख्याएं आएंगी जिनका (4) से भाग देने पर शेष (0) हो। चरण 2: ऐसी संख्याएं (4) के गुणज हैं। चरण 3: शेषफल वर्ग लिखते समय ऋणात्मक और धनात्मक दोनों गुणजों को ध्यान में रखें।
(a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other, so it is transitive. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: (a+b) सम हो तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। चरण 3: समान समता वाले दो संबंध जुड़ें तो पहला और तीसरा भी समान समता वाले होंगे, इसलिए संक्रामी है।
(a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is rational, then (b-a) is rational.
Step 3
Exam Tip
The sum of two rational differences is rational, so transitivity also holds. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) परिमेय है तो (b-a) भी परिमेय है। चरण 3: दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी मिलती है।
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^2=a^2\), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए सममित है। चरण 3: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रामी है।
C. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी/neither reflexive nor symmetric but transitive
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(2<3) is true but (3<2) is false, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive. चरण 1: (a<a) कभी सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: (2<3) सही है पर (3<2) गलत, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रामी है।
((1,2)) appears with ((2,1)), and ((2,3)) appears with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
Every present pair has its reverse present, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Since diagonal pairs are missing, do not call it reflexive or equivalence. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। चरण 2: हर मौजूद युग्म का उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए सममित है। चरण 3: विकर्ण युग्म नहीं हैं, इसलिए इसे प्रतिवर्ती या समतुल्यता न मानें।
Every relation can be any subset of these \(n^2\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the total number of relations is \(2^{n^2}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: हर संबंध इन \(n^2\) युग्मों का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। चरण 3: कुल संबंधों के लिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n^2}\) याद रखें।
A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म हैं। चरण 2: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) होगी।
The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
The off-diagonal pairs form (\frac{n(n-1)}{2}) reverse-pair groups.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: (n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर (\frac{n(n-1)}{2}) विपरीत युग्म समूह होते हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए उत्तर \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
Reflexivity makes all (n) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, only the off-diagonal reverse-pair groups are independent.
Step 3
Exam Tip
There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). चरण 1: प्रतिवर्तिता के कारण सभी (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: सममितता के लिए विकर्ण से बाहर केवल विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Other possible chains either have the required pair or do not form a chain.
Step 3
Exam Tip
Since ((3,3)) is missing, do not call it reflexive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: बाकी संभावित संक्रामी स्थितियों में भी जरूरी युग्म उपलब्ध हैं या शर्त बनती ही नहीं। चरण 3: ((3,3)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें।
B. ((1,3)) और ((3,1)) का अभाव/absence of ((1,3)) and ((3,1))
Step 1
Concept
Diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Each non-diagonal pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing; hence transitivity fails. चरण 1: विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: दिए गए गैर-विकर्ण युग्म अपने उल्टे युग्मों के साथ हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है।
The condition demands a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the definition of transitivity.
Step 3
Exam Tip
In exams, whenever you see ((a,b)) and ((b,c)), immediately check for ((a,c)). चरण 1: यह शर्त दो जुड़े युग्मों से तीसरे युग्म की मांग करती है। चरण 2: यही संक्रामकता की मूल पहचान है। चरण 3: परीक्षा में ((a,b)) और ((b,c)) देखकर तुरंत ((a,c)) खोजें।
(|a-b|) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
Thus one class is ({1,3}) and the other is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the hidden grouping first. चरण 1: (|a-b|) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। चरण 2: इसलिए एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4}) का बनेगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए समूह पहचानें।
In (A), the numbers with remainder (2) are (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
While forming an equivalence class, include only elements from the given set. चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। चरण 2: (A) में जिन संख्याओं का शेष (2) है, वे (2) और (5) हैं। चरण 3: समतुल्यता वर्ग बनाते समय केवल उसी समुच्चय के अवयव लिखें।
B. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी/symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) is not odd, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R2) and (2R3) hold, but (1R3) fails because the difference is even. चरण 1: (a-a=0) विषम नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम होगा, इसलिए सममित है। चरण 3: (1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) गलत है क्योंकि अंतर सम है।
C. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
No chain creates a missing required pair, so it is transitive. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: संक्रामकता टूटने वाली कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए यह संक्रामी माना जाएगा।
D. \(R\cap S\) प्रतिवर्ती होगा/\(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Since (R) and (S) are reflexive, every ((a,a)) belongs to both.
Step 2
Why this answer is correct
Pairs common to both remain in the intersection.
Step 3
Exam Tip
Hence all diagonal pairs remain in \(R\cap S\), so it is reflexive. चरण 1: प्रतिवर्ती होने से (R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: जो युग्म दोनों में समान हैं, वे प्रतिच्छेद में रहेंगे। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म \(R\cap S\) में भी होंगे।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If a pair is in \(R\cup S\), it lies in (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
In whichever relation it lies, symmetry gives its reverse in the same relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reverse pair also lies in the union. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में वह युग्म है, सममितता के कारण उसका उल्टा भी उसी संबंध में होगा। चरण 3: इसलिए उल्टा युग्म संघ में भी होगा।
B. यह हमेशा संक्रामी नहीं होता/it is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In a union, one pair may come from (R) and the other from (S), so the needed third pair may be absent.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the union of transitive relations is transitive. चरण 1: संक्रामकता में दो युग्मों से तीसरे युग्म की जरूरत होती है। चरण 2: संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलता। चरण 3: संक्रामी संबंधों के संघ को बिना जांचे संक्रामी न मानें।
In such questions, match the middle element and connect the first element to the third. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) का होना जरूरी है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बीच वाला अवयव समान देखकर पहला और तीसरा अवयव जोड़ें।
Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) is present, ((2,1)) must be added.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are their own reverses, but the missing reverse pair is the key issue here. चरण 1: सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) है, इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता के लिए अपने आप उल्टे होते हैं, पर यहां मुख्य कमी उल्टा युग्म है।
None of these diagonal pairs is present in the given relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore, all three diagonal pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में इनमें से कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है। चरण 3: इसलिए तीनों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
So whenever ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
But pairs such as ((1,1)) are absent, so it is not reflexive. चरण 1: यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: लेकिन ((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं मिलते, इसलिए प्रतिवर्ती न मानें।
C. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी/neither reflexive nor symmetric but transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), which is not greater than (0), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(3R2) holds but (2R3) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0), जो (0) से बड़ा नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: (3R2) सही है पर (2R3) गलत है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए संक्रामी है।
Every number has the same parity as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same parity, then (b) and (a) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
Same parity passes through a middle element, so the relation is transitive. चरण 1: हर संख्या अपने जैसी ही समता रखती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a) और (b) की समता समान है, तो (b) और (a) की भी समान है। चरण 3: समान समता का संबंध आगे भी समान समता देता है, इसलिए संक्रामी है।
For (a=1), there are (4) choices; for (a=2), (3); for (a=3), (2); and for (a=4), (1).
Step 2
Why this answer is correct
Total pairs are (4+3+2+1=10).
Step 3
Exam Tip
To count ordered pairs, fix the first element and count possible second elements. चरण 1: (a=1) के लिए (4) विकल्प, (a=2) के लिए (3), (a=3) के लिए (2), और (a=4) के लिए (1) विकल्प हैं। चरण 2: कुल (4+3+2+1=10) युग्म मिलते हैं। चरण 3: क्रमित युग्म गिनते समय पहले अवयव को स्थिर करके दूसरे विकल्प गिनें।
The sum is even when both numbers are odd or both are even.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (3) odd and (2) even numbers, so pairs are \(3^2+2^2=9+4=13\).
Step 3
Exam Tip
Since the pairs are ordered, use square counts for each group. चरण 1: योग सम होने के लिए दोनों संख्याएं सम या दोनों विषम होनी चाहिए। चरण 2: (A) में (3) विषम और (2) सम संख्याएं हैं, इसलिए युग्म \(3^2+2^2=9+4=13\) होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में क्रमित युग्म होने के कारण वर्ग गिनती लगती है।
C. ((3,12)) है पर ((12,3)) नहीं है/((3,12)) is present but ((12,3)) is absent
Step 1
Concept
(3) divides (12), so ((3,12)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(12) does not divide (3), so ((12,3)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
This is why the divisibility relation is generally not symmetric. चरण 1: (3) संख्या (12) को विभाजित करती है, इसलिए ((3,12)) संबंध में है। चरण 2: (12) संख्या (3) को विभाजित नहीं करती, इसलिए ((12,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: इसी कारण विभाज्यता संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता।
In an equivalence relation, elements of the same group have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes are either identical or disjoint. चरण 1: (aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। चरण 2: समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के अवयवों के वर्ग समान होते हैं। चरण 3: वर्गों के लिए याद रखें कि दो वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह अलग।
A. ((2,3)) का अभाव संक्रामकता तोड़ता है/absence of ((2,3)) breaks transitivity
Step 1
Concept
All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The reverses of ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing; hence transitivity fails. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: ((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (4) elements, it has (4) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse identity relation with the universal relation, which would have (16) pairs. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: (A) में (4) अवयव हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म होंगे। चरण 3: पहचान संबंध को सार्वत्रिक संबंध से अलग रखें; सार्वत्रिक में (16) युग्म होते।
Any relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).
Step 3
Exam Tip
Hence the total number of relations is \(2^6\). चरण 1: \(A\times B\) में \(3\times 2=6\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: (A) से (B) तक कोई भी संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। चरण 3: इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
When a relation contains all these pairs, it is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
The identity relation contains only diagonal pairs, so keep the two ideas separate. चरण 1: \(A\times A\) में संभव सभी क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: जब संबंध में ये सभी युग्म शामिल हों, तो उसे सार्वत्रिक संबंध कहते हैं। चरण 3: पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए दोनों में अंतर रखें।
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs do not violate antisymmetry. चरण 1: प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। चरण 2: यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। चरण 3: विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते।
((1,2)) and ((2,1)) show that (1) and (2) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is related only to itself, so it forms the separate class ({3}).
Step 3
Exam Tip
While forming equivalence classes, group elements connected by the relation. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) बताते हैं कि (1) और (2) एक ही वर्ग में हैं। चरण 2: (3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग ({3}) बनेगा। चरण 3: समतुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े हुए अवयवों को एक समूह में रखें।
