The range is \([0,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
In exams, compare the range with the codomain to decide onto. चरण 1: (f(x)=x-2+2x+1=(x+1)2) है। चरण 2: ((x+1)2) का परास \([0,\infty\)) है, जो दिए गए सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: परीक्षा में आच्छादक जाँचते समय हमेशा परास और सहप्रांत की तुलना करें।
Since \(x+1\ge0\), every \(y\in[0,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
A restricted domain can still make a function onto if it covers the whole codomain. चरण 1: (f(x)=(x+1)2) और प्रांत में \(x\ge -1\) है। चरण 2: \(x+1\ge0\), इसलिए ((x+1)2) से हर \(y\in[0,\infty\)) मिल जाता है। चरण 3: सीमित प्रांत में भी आच्छादकता संभव है, यदि पूरा सहप्रांत ढक जाए।
For every (y>0), take \(x=\ln y\), then \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, the correct codomain is the key to onto checking. चरण 1: \(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर \(e^x=y\) मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में सहप्रांत सही चुनने से आच्छादकता स्पष्ट हो जाती है।
A. नहीं, क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/No, because (0) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\) for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is in \([0,\infty\)), but there is no (x) such that \(e^x=0\).
Step 3
Exam Tip
A closed endpoint in the codomain can change onto status. चरण 1: \(e^x>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। चरण 2: (0) सहप्रांत \([0,\infty\)) में है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं कि \(e^x=0\)। चरण 3: सहप्रांत का बंद सिरा कई बार आच्छादकता बदल देता है।
The value of the function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For \(y\in(-1,1)\), taking \(x=\frac{y}{1-|y|}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Missing endpoints does not matter when the codomain is open. चरण 1: फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{1-|y|}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: खुले अंतराल में सिरों का न मिलना आच्छादकता को नहीं रोकता।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते/It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) stays greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(-1) and (1) are in the codomain but are not obtained for any real (x).
Step 3
Exam Tip
Always check endpoints when the codomain is closed. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। चरण 2: (-1) और (1) सहप्रांत में हैं, पर किसी वास्तविक (x) से नहीं मिलते। चरण 3: बंद सहप्रांत में छूटे हुए सिरों को अवश्य जाँचें।
\(x^3-3x\) is a polynomial continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty), so every real value is obtained.
Step 3
Exam Tip
An odd-degree leading term often helps prove onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3-3x\) एक बहुपद है और सभी वास्तविक (x) पर सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty), इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। चरण 3: विषम घात का अग्र पद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में आच्छादकता देता है।
Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.
Step 3
Exam Tip
Completing the square is a useful way to find the range. चरण 1: (x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4})। चरण 2: इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। चरण 3: वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है।
Completing the square gives (f(x)=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
The range is \(\left[\frac{3}{4},\infty\right\)), the same as the codomain.
Step 3
Exam Tip
A function is onto when its range equals its codomain. चरण 1: वर्ग पूरा करने पर (f(x)=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4})। चरण 2: परास \(\left[\frac{3}{4},\infty\right\)) है, जो सहप्रांत के समान है। चरण 3: सहप्रांत को परास के बराबर रखने पर फलन आच्छादक हो जाता है।
Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
If every target value gives a valid (x), the function is onto. चरण 1: किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। चरण 2: हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। चरण 3: लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है।
A. क्योंकि (1) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/Because (1) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
Putting \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1).
Step 2
Why this answer is correct
This is impossible, so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is \(\mathbb{R}\) and one real value is missed, the function is not onto. चरण 1: \(\frac{x+1}{x-1}=1\) रखने पर (x+1=x-1) मिलता है। चरण 2: यह असंभव है, इसलिए (1) कभी प्राप्त नहीं होता। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो और कोई वास्तविक मान छूटे तो फलन आच्छादक नहीं है।
For every \(y\le3\), take \(x=\sqrt{3-y}\) or \(x=-\sqrt{3-y}\).
Step 3
Exam Tip
When the maximum value is attained, the closed endpoint is included in the range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(3-x^2\le3\)। चरण 2: हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) या \(x=-\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है। चरण 3: अधिकतम मान मिलने पर बंद सिरा भी परास में शामिल होता है।
A. यह फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
At (x=0), (f(0)=3).
Step 2
Why this answer is correct
But (3) is not in the given codomain (\(-\infty,3\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
Before onto checking, verify that every output lies in the codomain. चरण 1: (x=0) पर (f(0)=3) मिलता है। चरण 2: लेकिन (3) दिए गए सहप्रांत (\(-\infty,3\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत के लिए सु-परिभाषित नहीं माना जाएगा। चरण 3: आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि हर प्रतिचित्र सहप्रांत में आ रहा है या नहीं।
A. हाँ, क्योंकि हर \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5) लिया जा सकता है/Yes, because for every \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5) can be taken
Step 1
Concept
Let the target value be \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
A linear shift on integers is often onto. चरण 1: लक्ष्य मान \(m\in\mathbb{Z}\) मानिए। चरण 2: (n=m-5) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) देता है। चरण 3: पूर्णांकों पर रैखिक स्थानांतरण अक्सर आच्छादक होता है।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/It is not onto because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).
Step 2
Why this answer is correct
Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For integer and natural number functions, always check the starting values. चरण 1: यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। चरण 2: सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। चरण 3: पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें।
A. क्योंकि कोई सम पूर्णांक प्राप्त नहीं होता/Because no even integer is obtained
Step 1
Concept
(2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers like (0) and (2), which are missed.
Step 3
Exam Tip
For integer functions, parity often gives a quick test. चरण 1: (2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (0) और (2), जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: पूर्णांक फलनों में parity देखकर जल्दी निर्णय लिया जा सकता है।
For every odd integer (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
Restricting the codomain suitably can make the same function onto. चरण 1: सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का है। चरण 2: हर विषम पूर्णांक (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है और (f(n)=y)। चरण 3: सहप्रांत को उचित रूप से सीमित करने से वही फलन आच्छादक हो सकता है।
A. नहीं, क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist. चरण 1: आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। चरण 2: यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। चरण 3: परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता।
By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).
Step 3
Exam Tip
For counting onto functions on finite sets, use inclusion-exclusion. चरण 1: कुल फलन \(3^5\) हैं। चरण 2: समावेशन-अपवर्जन से आच्छादक फलन \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। चरण 3: परिमित समुच्चयों में onto count के लिए inclusion-exclusion याद रखें।
Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence onto functions (=16-2=14). चरण 1: कुल फलन \(2^4=16\) हैं। चरण 2: आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं।
For onto, all (p,q,r) must appear among the images.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, (p,q,r) all occur.
Step 3
Exam Tip
In mapping-list questions, form the image set and compare it with the codomain. चरण 1: आच्छादक होने के लिए (p,q,r) तीनों चित्रों में आने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (p,q,r) सभी प्राप्त हो रहे हैं। चरण 3: सूची वाले प्रश्नों में चित्रों का समुच्चय बनाकर तुरंत मिलान करें।
A. क्योंकि परास ([-1,1]) है और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है/Because the range is ([-1,1]) and the codomain is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, remembering the range is very important for onto checking. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं, जो कभी प्राप्त नहीं होते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में परास याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है।
The values (-1) and (1) are also obtained at suitable values of (x).
Step 3
Exam Tip
If the range equals the codomain, the function is onto. चरण 1: \(\sin x\) का परास ठीक ([-1,1]) है। चरण 2: (-1) और (1) भी क्रमशः उपयुक्त (x) मानों पर प्राप्त होते हैं। चरण 3: यदि परास और सहप्रांत समान हों तो फलन आच्छादक होता है।
On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.
Step 3
Exam Tip
On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range. चरण 1: \(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। चरण 3: सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते/It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
The open interval does not include \(x=\pm\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range of \(\sin x\) is ((-1,1)), while the codomain is ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals can decide onto status. चरण 1: खुले अंतराल में \(x=\pm\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं। चरण 2: इसलिए \(\sin x\) का परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत ([-1,1]) है। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का फर्क आच्छादकता में निर्णायक हो सकता है।
\(\tan x\) takes all real values on this interval.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in the given interval.
Step 3
Exam Tip
Using an inverse expression is an effective way to prove onto. चरण 1: \(\tan x\) इस अंतराल पर सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। चरण 3: inverse की सहायता से आच्छादकता सिद्ध करना प्रभावी तरीका है।
A. यह फलन \(\mathbb{R}\) पर सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined on \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
These values are in \(\mathbb{R}\), so \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
A function must be well-defined before onto nature can be tested. चरण 1: \(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। चरण 2: ये मान \(\mathbb{R}\) में आते हैं, इसलिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के रूप में फलन सु-परिभाषित नहीं है। चरण 3: आच्छादकता से पहले फलन का सु-परिभाषित होना जरूरी है।
The value of this function always lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in(0,1)\), taking \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Solving for (x) from a target value is a strong proof of onto. चरण 1: इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: हर \(y\in(0,1)\) के लिए \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: किसी लक्ष्य मान से (x) निकालना आच्छादकता का मजबूत प्रमाण है।
A. क्योंकि (0) और (1) प्राप्त नहीं होते/Because (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
For every real (x), \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,1]) contains (0) and (1), but they are never obtained.
Step 3
Exam Tip
A value approached as a limit need not belong to the range. चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\)। चरण 2: सहप्रांत ([0,1]) में (0) और (1) शामिल हैं, पर वे कभी प्राप्त नहीं होते। चरण 3: सीमा के रूप में मिलने वाला मान जरूरी नहीं कि परास में हो।
A. हाँ, क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लिया जा सकता है/Yes, because for every \(y\ge0\), \(x=y^2\) can be taken
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) is always non-negative for \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in[0,\infty\)), take \(x=y^2\), then \(\sqrt{x}=y\).
Step 3
Exam Tip
For root functions, find (x) in terms of the target value. चरण 1: \(\sqrt{x}\) का मान \(x\ge0\) पर हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: हर \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=y^2\) लेने पर \(\sqrt{x}=y\)। चरण 3: मूल फलनों में लक्ष्य मान से (x) निकालना आसान रहता है।
A. क्योंकि कोई ऋणात्मक वास्तविक मान प्राप्त नहीं होता/Because no negative real value is obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\) for all \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers such as (-2), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
If the range is smaller than the codomain, the function is not onto. चरण 1: \(\sqrt{x}\ge0\) सभी \(x\ge0\) के लिए। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-2), जो नहीं मिलतीं। चरण 3: परास छोटा और सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होता।
For every real (y), take \(x=y^3\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The cube-root function can give both negative and positive values. चरण 1: \(\sqrt[3]{x}\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=y^3\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: घनमूल फलन ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान दे सकता है।
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान प्राप्त नहीं होते/It is not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
An absolute value is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which cannot be obtained from (f(x)).
Step 3
Exam Tip
For absolute value functions, the range usually starts from \([0,\infty\)). चरण 1: निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो (f(x)) से नहीं मिल सकते। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले फलनों में परास अक्सर \([0,\infty\)) से शुरू होता है।
The smallest value of (|x-2|) is (0), obtained at (x=2).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), taking (x=2+y) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
In absolute value functions, use (x=a+y) or (x=a-y) to obtain a target value. चरण 1: (|x-2|) का सबसे छोटा मान (0) है, जो (x=2) पर मिलता है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (x=2+y) लेने पर (|x-2|=y)। चरण 3: निरपेक्ष मान में (x=a+y) या (x=a-y) से लक्ष्य मान बनाया जा सकता है।
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर मान भी \(\pm\infty\) की ओर जाते हैं/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), values go to \(\pm\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For very large positive (x), values become very large positive, and for very large negative (x), values become very large negative.
Step 3
Exam Tip
Continuity with unbounded behavior on both sides ensures every real value is obtained. चरण 1: \(x^3+x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है। चरण 2: बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीम विस्तार से हर वास्तविक मान मिल जाता है।
This is an odd-degree polynomial with leading term \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is generally onto. चरण 1: यह विषम घात वाला बहुपद है जिसका अग्र पद \(x^3\) है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में सामान्यतः आच्छादक होता है।
The minimum value of \(t^2-t\) is \(-\frac{1}{4}\), so (-1) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
For fourth-degree expressions in \(x^2\), substituting \(t=x^2\) helps find the range. चरण 1: (x-4-x-2=\(x^2\)2-x-2) रखकर \(t=x^2\ge0\) लें। चरण 2: \(t^2-t\) का न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है, इसलिए (-1) नहीं मिल सकता। चरण 3: चौथी घात वाले फलनों में \(t=x^2\) रखकर परास समझना आसान होता है।
Its minimum value \(-\frac{1}{4}\) occurs at \(t=\frac{1}{2}\), and all larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
With the correct codomain, even a complex-looking function can be onto. चरण 1: \(t=x^2\ge0\) रखने पर (f(x)=t-2-t)। चरण 2: इसका न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) \(t=\frac{1}{2}\) पर मिलता है और ऊपर के सभी मान मिलते हैं। चरण 3: सही सहप्रांत चुनने पर जटिल दिखने वाला फलन भी आच्छादक हो सकता है।
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) also lies in ([0,1]) and \(x^2=y\).
Step 3
Exam Tip
In closed interval problems, the preimage must belong to the same domain. चरण 1: \(x\in[0,1]\) पर \(x^2\in[0,1]\)। चरण 2: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) भी ([0,1]) में है और \(x^2=y\)। चरण 3: बंद अंतराल में प्रतिचित्र उसी प्रांत में होना चाहिए।
A. क्योंकि (1) से बड़े मान प्राप्त नहीं होते/Because values greater than (1) are not obtained
Step 1
Concept
For \(x\in[0,1]\), \(0\le x^2\le1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,2]) contains values like (1.5), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
When the domain is restricted, maximum and minimum values quickly give the range. चरण 1: \(x\in[0,1]\) होने पर \(0\le x^2\le1\)। चरण 2: सहप्रांत ([0,2]) में (1.5) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: प्रांत सीमित हो तो अधिकतम और न्यूनतम मान से परास तुरंत मिल जाता है।
A. नहीं, क्योंकि केवल पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं/No, because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For the greatest integer function, identify the range first. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: महत्तम पूर्णांक फलन का परास पहले पहचानें।
For every \(n\in\mathbb{Z}\), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 3
Exam Tip
With codomain \(\mathbb{Z}\), the greatest integer function becomes onto. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) का मान हमेशा कोई पूर्णांक होता है। चरण 2: हर \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\)। चरण 3: जब सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो, तब महत्तम पूर्णांक फलन आच्छादक हो जाता है।
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर (f(x)\to\pm\infty)/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), (f(x)\to\pm\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions, so (f(x)) also goes to both infinities.
Step 3
Exam Tip
A bounded addition often does not destroy onto behavior of a linear term. चरण 1: \(x+\sin x\) सभी वास्तविक (x) पर सतत है। चरण 2: \(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीम रूप से बढ़ता और घटता है, इसलिए (f(x)) भी दोनों ओर असीम जाता है। चरण 3: सीमित जोड़ किसी रैखिक फलन की आच्छादकता को अक्सर नहीं रोकता।
The (x) part goes to \(\pm\infty\), while \(\cos x\) stays in ([-1,1]), so the total expression crosses every real level.
Step 3
Exam Tip
With a bounded trigonometric part and a linear part, check limits. चरण 1: \(x-\cos x\) सतत फलन है। चरण 2: (x) का भाग \(\pm\infty\) की ओर जाता है और \(\cos x\) केवल ([-1,1]) में रहता है, इसलिए कुल मान हर वास्तविक स्तर को पार करता है। चरण 3: bounded trigonometric part के साथ linear part हो तो limits जाँचें।
For every \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=e^y>0\), then \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
Logarithmic and exponential functions are useful as inverse pairs. चरण 1: \(\ln x\) केवल (x>0) पर परिभाषित है। चरण 2: हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\) लेने पर \(\ln x=y\)। चरण 3: लघुगणक और घातीय फलन एक-दूसरे के प्रतिलोम की तरह उपयोगी होते हैं।
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
For \(x\in(0,1)\), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
But the codomain (\(0,\infty\)) contains only positive values, so not all outputs lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
With a wrong codomain, well-definedness fails before onto checking. चरण 1: \(x\in(0,1)\) होने पर \(\ln x<0\)। चरण 2: लेकिन सहप्रांत (\(0,\infty\)) में केवल धनात्मक मान हैं, इसलिए सभी प्रतिचित्र सहप्रांत में नहीं आते। चरण 3: गलत सहप्रांत होने पर आच्छादकता से पहले सु-परिभाषितता टूट जाती है।
For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The range of \(x^2+a\) is directly \([a,\infty\)). चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+1\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: \(x^2+a\) का परास सीधे \([a,\infty\)) होता है।
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
At (x=0), (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
But (1) is not in the codomain (\(1,\infty\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
First match every output with the given codomain. चरण 1: (x=0) पर (f(0)=1)। चरण 2: लेकिन (1) सहप्रांत (\(1,\infty\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है। चरण 3: दिए गए सहप्रांत से हर प्राप्त मान का मिलान पहले करें।
Taking \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, write (x) in terms of (y) to test onto. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी मान \(y\ne0\) मानिए। चरण 2: \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम फलनों में (x) को (y) के रूप में लिखकर आच्छादकता जाँचें।
Take any target value \(y\in[-1,1\)) and write \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
Solving gives \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\), which is non-negative because \(y\ge -1\) and (y<1), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
To prove onto, finding a valid preimage for every target value is the strongest method. चरण 1: किसी \(y\in[-1,1\)) को लक्ष्य मान मानकर \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) लिखें। चरण 2: हल करने पर \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ge -1\) और (y<1) के कारण ऋणात्मक नहीं है, इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। चरण 3: आच्छादकता सिद्ध करने के लिए लक्ष्य मान से प्रांत का वैध प्रतिचित्र निकालना सबसे मजबूत तरीका है।
