In transitivity, check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,5)) require ((1,5)), which is present. After ((3,4)), no pair starts with (4).
Step 3
Exam Tip
Do not treat every missing self-pair as an error; check only required chains. चरण 1: संक्रामकता में केवल ऐसी जोड़ियाँ देखी जाती हैं जहाँ पहली जोड़ी का दूसरा तत्व और दूसरी जोड़ी का पहला तत्व समान हो। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,5)) से ((1,5)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,4)) के बाद (4) से शुरू कोई जोड़ी नहीं है। चरण 3: हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी को गलती न मानें, केवल जरूरी श्रृंखला देखें।
In this relation, ((1,3)) and ((3,5)) form the main chain.
Step 2
Why this answer is correct
This chain requires ((1,5)), which is already present. ((2,4)) creates no further requirement.
Step 3
Exam Tip
In transitivity, find required pairs only from actual chains. चरण 1: संबंध में ((1,3)) और ((3,5)) एकमात्र मुख्य श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: इस श्रृंखला के लिए ((1,5)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है। ((2,4)) आगे कोई नई जरूरत नहीं बनाती। चरण 3: संक्रामकता में केवल बन रही श्रृंखलाओं से आवश्यक जोड़ी निकालें।
((1,4)) and ((4,5)) are in the relation, so ((1,5)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,5)) also require ((1,5)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
When the same pair is demanded by two chains, it is important for transitive closure. चरण 1: ((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं, इसलिए ((1,5)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,5)) से भी ((1,5)) चाहिए, पर यह अनुपस्थित है। चरण 3: जब एक ही जोड़ी दो अलग श्रृंखलाओं से मांग में आए, वह संक्रामक पूर्ति के लिए बहुत महत्वपूर्ण होती है।
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (9), their sum (a-c) is also divisible by (9).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
For divisibility-based relations, adding differences gives a simple proof of transitivity. चरण 1: यदि (a-b) और (b-c), दोनों (9) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (9) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। चरण 3: विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों का योग संक्रामकता का सरल प्रमाण देता है।
A. यह \(a\le b\) के समान है और संक्रामक है/It is equivalent to \(a\le b\) and is transitive
Step 1
Concept
From \(a+2\le b+2\), subtracting (2) from both sides gives \(a\le b\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\), the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Adding or subtracting the same number does not change the order. चरण 1: असमानता \(a+2\le b+2\) से दोनों तरफ (2) घटाने पर \(a\le b\) मिलता है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संबंध संक्रामक है। चरण 3: समान संख्या जोड़ने या घटाने से क्रम नहीं बदलता।
(1R3) is true because \(3=3\cdot 1\), and (3R9) is true because \(9=3\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (1R9), but \(9\ne 3\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
Applying a rule twice does not necessarily make the direct rule true. चरण 1: (1R3) सत्य है क्योंकि \(3=3\cdot 1\), और (3R9) सत्य है क्योंकि \(9=3\cdot 3\)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (1R9) चाहिए, पर \(9\ne 3\cdot 1\)। चरण 3: किसी नियम को दो बार लगाने से वही नियम सीधे लागू हो, यह जरूरी नहीं।
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then (b=ak) and (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
Then (c=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
Whether the relation list is small or large, this divisibility rule proves transitivity. चरण 1: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (b=ak) और (c=bl) लिखा जा सकता है। चरण 2: तब (c=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\)। चरण 3: संबंध की सूची छोटी हो या बड़ी, विभाज्यता का यही नियम संक्रामकता सिद्ध करता है।
A. क्योंकि ((2,1)) और ((1,2)) हैं पर ((2,2)) नहीं है/Because ((2,1)) and ((1,2)) are present but ((2,2)) is absent
Step 1
Concept
((2,1)) and ((1,2)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((2,2)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Never skip self-pairs forced by reverse ordered pairs. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((2,2)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। चरण 3: उल्टी जोड़ियों से बनने वाली स्वयंजोड़ी को कभी न छोड़ें।
If (b-a) and (c-b) are both divisible by (2), then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
In combined conditions, check order and divisibility separately. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: संयुक्त शर्तों में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें।
The relation compares \(a^4\), \(b^4\), and \(c^4\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^4\le b^4\) and \(b^4\le c^4\), then by the usual order \(a^4\le c^4\).
Step 3
Exam Tip
Whatever the power value is, apply the order rule to the compared values. चरण 1: संबंध में तुलना \(a^4\), \(b^4\), और \(c^4\) के बीच है। चरण 2: यदि \(a^4\le b^4\) और \(b^4\le c^4\), तो सामान्य क्रम से \(a^4\le c^4\)। चरण 3: घात का मान चाहे कैसे बने, तुलना वाले मान पर क्रम का नियम लगाएँ।
\(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
In congruence questions, remember the sum of differences. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। चरण 2: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (4) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता के प्रश्न में अंतरों का योग याद रखें।
((2,5)) is in the relation because (2+5=7), and ((5,2)) is also in the relation because (5+2=7).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In constant-sum relations, reverse pairs often give a quick counterexample. चरण 1: ((2,5)) संबंध में है क्योंकि (2+5=7), और ((5,2)) भी संबंध में है क्योंकि (5+2=7)। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, पर (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: स्थिर योग वाले संबंधों में उल्टी जोड़ियों से प्रतिवाद जल्दी मिलता है।
किसी समुच्चय पर संबंध (R) संक्रामक है। यदि \((x,y) \in R\), \((y,z) \in R\), \((z,u) \in R\), और \((u,v) \in R\), तो कौन-सी जोड़ी निश्चित रूप से (R) में होगी?
Then ((x,z)) and ((z,u)) give ((x,u)), and ((x,u)) with ((u,v)) gives ((x,v)).
Step 3
Exam Tip
In a long chain, apply transitivity step by step. चरण 1: ((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((x,z)) और ((z,u)) से ((x,u)), तथा ((x,u)) और ((u,v)) से ((x,v)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को क्रम से लगाएँ।
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
(|1-3|=2), so ((1,3)) is in the relation. Also (|3-5|=2), so ((3,5)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,5)), but (|1-5|=4).
Step 3
Exam Tip
A fixed-distance relation need not be transitive. चरण 1: (|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में है। (|3-5|=2), इसलिए ((3,5)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, पर (|1-5|=4)। चरण 3: समान दूरी वाला संबंध जरूरी नहीं कि संक्रामक हो।
A. (4R3) और (3R2) हैं पर (4R2) नहीं है/(4R3) and (3R2) hold but (4R2) does not
Step 1
Concept
\(|4|\le |3|+1\), so (4R3) is true. Also \(|3|\le |2|+1\), so (3R2) is true.
Step 2
Why this answer is correct
But \(|4|\le |2|+1\) is false, so (4R2) does not hold.
Step 3
Exam Tip
For relaxed absolute value inequalities, a counterexample is a good test. चरण 1: \(|4|\le |3|+1\), इसलिए (4R3) सत्य है। \(|3|\le |2|+1\), इसलिए (3R2) सत्य है। चरण 2: लेकिन \(|4|\le |2|+1\) असत्य है, इसलिए (4R2) नहीं है। चरण 3: ढील वाली परम मान असमानता में प्रतिवाद से जाँच करना सही रहता है।
Same remainder means the numbers lie in the same remainder class.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
For remainder relations, thinking in classes is simple. चरण 1: समान शेष का अर्थ है कि संख्याएँ एक ही शेष वर्ग में हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। चरण 3: शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचना सरल रहता है।
Transitivity requires ((1,5)), but it is missing. ((2,4)) and ((4,5)) also suggest checking ((2,5)), but among the options the key required pair is ((1,5)).
Step 3
Exam Tip
When a last link is added to a chain, new direct pairs are formed. चरण 1: ((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। ((2,4)) और ((4,5)) से ((2,5)) भी आगे जाँचना पड़ेगा, पर दिए विकल्पों में मुख्य जरूरी जोड़ी ((1,5)) है। चरण 3: लंबी श्रृंखला में अंतिम कड़ी जोड़ते ही नई सीधी जोड़ियाँ बनती हैं।
For real numbers, \(a^2=b^2\) and \(a^3=b^3\) together imply (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
Equality is transitive because (a=b) and (b=c) imply (a=c).
Step 3
Exam Tip
When multiple equality conditions appear, see which simpler relation they form. चरण 1: \(a^2=b^2\) और \(a^3=b^3\) वास्तविक संख्याओं में मिलकर (a=b) बताते हैं। चरण 2: बराबरी संबंध संक्रामक होता है, क्योंकि (a=b) और (b=c) से (a=c)। चरण 3: कई बराबरी शर्तें हों तो देखें कि वे किस सरल संबंध में बदल रही हैं।
((1,3)) is in the relation because \(1\ne 3\) and (1+3) is even. ((3,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
Adding an inequality condition to a same-class relation can break transitivity. चरण 1: ((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\ne 3\) और (1+3) सम है। ((3,1)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। चरण 3: समान वर्ग की शर्त में असमानता जोड़ने से संक्रामकता टूट सकती है।
Also, in this forward chain of positive divisibility with \(a\ne b\) and \(b\ne c\), we still have \(a\ne c\). Hence ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In divisibility, check both direction and the inequality condition. चरण 1: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\) होगा। चरण 2: साथ ही \(a\ne b\) और \(b\ne c\) के साथ धनात्मक विभाज्यता की इस आगे बढ़ती श्रृंखला में \(a\ne c\) भी रहेगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: विभाज्यता में दिशा और बराबरी की शर्त दोनों देखें।
If (P) and (Q) have the same (y)-coordinate, and (Q) and (S) have the same (y)-coordinate, then (P) and (S) also have the same (y)-coordinate.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (P R S) is true.
Step 3
Exam Tip
In a relation based on the same property, check that the property passes through the chain. चरण 1: यदि (P) और (Q) का (y)-निर्देशांक समान है, और (Q) तथा (S) का (y)-निर्देशांक समान है, तो (P) और (S) का (y)-निर्देशांक भी समान होगा। चरण 2: इसलिए (P R S) सत्य है। चरण 3: समान गुण पर आधारित संबंध में गुण की निरंतरता जाँचें।
(9R5) is true because (9-5=4<5), and (5R1) is true because (5-1=4<5).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (9R1), but (9-1=8), which is not less than (5).
Step 3
Exam Tip
In bounded inequalities, two small differences can combine into a larger one. चरण 1: (9R5) सत्य है क्योंकि (9-5=4<5), और (5R1) सत्य है क्योंकि (5-1=4<5)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (9R1) चाहिए, पर (9-1=8), जो (5) से छोटा नहीं है। चरण 3: सीमा वाली असमानता में दो छोटे अंतर मिलकर बड़ा अंतर बना सकते हैं।
In cyclic pairs, self-pairs often become necessary. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर यह अनुपस्थित है। चरण 3: चक्रीय जोड़ियों में स्वयंजोड़ियाँ अक्सर जरूरी हो जाती हैं।
The relation takes the less-than order only among odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c), and since all three are odd, ((a,c)) is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
Even with an extra condition, do not forget the basic order rule. चरण 1: संबंध केवल विषम संख्याओं के बीच छोटे से बड़े क्रम को लेता है। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), और तीनों विषम होने से ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्त के साथ भी मूल क्रम नियम को न भूलें।
A. ((1,4)) और ((4,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/((1,4)) and ((4,5)) are present but ((1,5)) is absent
Step 1
Concept
((1,4)) is in the relation because \(1\le 4\) and (4-1=3). ((4,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,5)), (5-1=4), which is greater than the bound (3). So ((1,5)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In bounded relations, two valid steps can form an invalid longer step. चरण 1: ((1,4)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 4\) और (4-1=3)। ((4,5)) भी संबंध में है। चरण 2: ((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा (3) से अधिक है। इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं है। चरण 3: सीमा वाले संबंध में दो वैध कदम मिलकर अवैध लंबा कदम बना सकते हैं।
Transitivity does not reverse direction; it shortens the chain. चरण 1: ((2,4)) और ((4,6)) से ((2,6)) मिलेगा। चरण 2: अब ((2,6)) और ((6,8)) से ((2,8)) मिलेगा। चरण 3: संक्रामकता दिशा बदलती नहीं, केवल श्रृंखला को छोटा करती है।
In greater-than or less-than relations, transitivity holds when direction remains consistent. चरण 1: यदि (a>b) और (b>c), तो सामान्य क्रम से (a>c)। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बड़े-छोटे के संबंध में दिशा समान रहे तो संक्रामकता बनी रहती है।
(a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\), \(b\le c\), and both links have the same parity, then \(a\le c\) and (a,c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
For mixed conditions, check both order and parity. चरण 1: (a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: यदि \(a\le b\), \(b\le c\), और दोनों कड़ियों में समान प्रकृति है, तो \(a\le c\) और (a,c) की प्रकृति भी समान होगी। चरण 3: मिश्रित शर्तों में क्रम और सम-विषम दोनों को जाँचें।
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
First convert the equation into a simpler equality. चरण 1: \(a^2-b^2=0\) का अर्थ है \(a^2=b^2\)। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए (aRc)। चरण 3: समीकरण को पहले सरल बराबरी में बदलें।
If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are prime. If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (a) and (c) are both prime, so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
For a relation built on a shared property, check whether the property passes to the first and third elements. चरण 1: यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों अभाज्य हैं। चरण 2: इससे (a) और (c) दोनों अभाज्य होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: किसी समान गुण पर बने पूर्ण समूह संबंध को गुण की निरंतरता से जाँचें।
A. क्योंकि ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है/Because ((2,3)) and ((3,4)) are present but ((2,4)) is not
Step 1
Concept
(\gcd(2,3)=1), and (\gcd(3,4)=1).
Step 2
Why this answer is correct
But (\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Being coprime does not automatically pass forward. चरण 1: (2) और (3) का महत्तम समापवर्तक (1) है, तथा (3) और (4) का भी (1) है। चरण 2: लेकिन (2) और (4) का महत्तम समापवर्तक (2) है, इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। चरण 3: सहअभाज्य होना आगे अपने आप नहीं चलता।
Even if all reflexive pairs are present, missing chain pairs must be checked separately. चरण 1: ((1,3)) और ((3,5)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: स्ववाची जोड़ियाँ पूरी होने पर भी लंबी श्रृंखला की कमी अलग से जाँचना जरूरी है।
\(a\equiv b \pmod{6}\) means (a-b) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
If (b-c) is also divisible by (6), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
For congruence relations, prove transitivity by adding differences. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{6}\) का अर्थ है (a-b) संख्या (6) से विभाज्य है। चरण 2: (b-c) भी (6) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (6) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता के हर ऐसे संबंध में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता सिद्ध करें।
((1,2)) is in the relation because (1<2) and (2-1) is odd. ((2,3)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2) is even.
Step 3
Exam Tip
Two odd-difference links can combine into an even difference. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1<2) और (2-1) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2) सम है। चरण 3: विषम अंतर की दो कड़ियाँ मिलकर सम अंतर दे सकती हैं।
If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
An increasing chain with even differences remains transitive. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c)। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: सम अंतर वाली बढ़ती श्रृंखला संक्रामक रहती है।
(3R2) is true because (3=2+1), and (2R1) is true because (2=1+1).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires (3R1), but neither (3=1) nor (3=1+1) is true.
Step 3
Exam Tip
Adding one-step allowance to equality can fail after two steps. चरण 1: (3R2) सत्य है क्योंकि (3=2+1), और (2R1) सत्य है क्योंकि (2=1+1)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (3R1) चाहिए, पर (3=1) नहीं और (3=1+1) भी नहीं। चरण 3: बराबरी के साथ एक कदम की अनुमति जोड़ने पर दो कदम समस्या बना सकते हैं।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
When reverse links appear, check the self-pairs they force. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। चरण 3: दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
First convert a word-based relation into mathematical form. चरण 1: दिया गया नियम \(a\le b\) के समान है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: शब्दों में दिए संबंध को पहले गणितीय रूप में बदलें।
((-1)R2) is true because \(-1+2=1\ge 0\). Also (2R(-1)) is true because (2+(-1)=1\ge 0).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require ((-1)R(-1)), but (-1+(-1)=-2), which is not at least (0).
Step 3
Exam Tip
Choose a chain where the required third pair truly fails. चरण 1: (5R(-4)) सत्य है क्योंकि (5+(-4)=1\ge 0)। ((-4)R5) भी सत्य है क्योंकि ((-4)+5=1\ge 0)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (5R5) तो सत्य है, इसलिए यह प्रतिवाद नहीं है; सही प्रतिवाद लें: ((-1)R2) और (2R(-1)) से ((-1)R(-1)) चाहिए, पर \(-2\ge 0\) असत्य है। चरण 3: विकल्प देखते समय ऐसी श्रृंखला चुनें जहाँ तीसरी जोड़ी सच में असफल हो।
If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are multiples of (3). If ((b,c)) is also in the relation, then (c) is also a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (a) and (c) are both multiples of (3), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
For shared-property group relations, check the first and third elements. चरण 1: यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (c) भी (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए (a) और (c) दोनों (3) के गुणज होंगे, अतः ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: समान गुण वाले समूह संबंधों में पहला और तीसरा तत्व जाँचें।
In cyclic relations, each element may require its self-pair. चरण 1: ((3,1)) और ((1,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((3,3)) चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। चरण 3: चक्र वाले संबंध में हर तत्व की स्वयंजोड़ी की जरूरत बन सकती है।
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
Intersection is safe, but union is not always transitive. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी। चरण 2: (R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में होगा। चरण 3: प्रतिच्छेद सुरक्षित रहता है, पर संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) with itself requires ((2,2)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
In a small list, a self-pair may only require the same pair again. चरण 1: ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) और ((2,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: छोटी सूची में स्वयंजोड़ी के कारण वही जोड़ी दोबारा मांग में आ सकती है।
(0.8R0) is true because \(0.8^2+0^2=0.64\le 1\). Also (0R0.8) is true.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires (0.8R0.8), but \(0.8^2+0.8^2=1.28>1\).
Step 3
Exam Tip
For region or bound-based relations, counterexamples are very useful. चरण 1: (0.8R0) सत्य है क्योंकि \(0.8^2+0^2=0.64\le 1\)। (0R0.8) भी सत्य है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (0.8R0.8) चाहिए, पर \(0.8^2+0.8^2=1.28>1\)। चरण 3: क्षेत्र या सीमा वाले संबंधों में प्रतिवाद बहुत उपयोगी होता है।
If (a,b,c) are all divisible by (3), then ((a,c)) also satisfies the rule.
Step 3
Exam Tip
Check whether both order and property pass forward. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। चरण 2: यदि (a,b,c) सभी (3) से विभाज्य हैं, तो ((a,c)) भी उसी नियम को पूरा करेगा। चरण 3: क्रम और गुण दोनों आगे चलते हैं या नहीं, यह साथ-साथ देखें।
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) is odd, and (2+3=5) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
But (1+3=4) is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must be false. चरण 1: (1+2=3) विषम है और (2+3=5) भी विषम है। चरण 2: लेकिन (1+3=4) सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: प्रतिवाद में पहली दो जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी असत्य होनी चाहिए।
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
A relation of equal or opposite sign is easier to understand through equality of squares. चरण 1: यह संबंध \(a^2=b^2\) के समान है। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए (aRc)। चरण 3: बराबर या विपरीत चिन्ह वाले संबंध को वर्ग बराबरी से समझना आसान है।
Check self-pairs forced by reverse pairs in each separate group. चरण 1: ((2,3)) और ((3,2)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((2,2)) होना चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। चरण 3: अलग-अलग समूहों में बनी उल्टी जोड़ियों की स्वयंजोड़ियाँ अलग से जाँचें।
All pairs among even numbers are in the relation, and every number is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If both links are within the even group, the first and third are also even; if an equality link is involved, the required pair remains valid.
Step 3
Exam Tip
In a mixed relation, think through both types of cases separately. चरण 1: सम संख्याओं के बीच सभी जोड़ियाँ संबंध में हैं और हर संख्या अपने आप से भी संबंध में है। चरण 2: यदि दो कड़ियाँ सम समूह में हैं तो पहली और तीसरी भी सम होंगी; यदि बराबरी वाली कड़ी है तो वही जोड़ी बनी रहती है। चरण 3: मिश्रित संबंध में दोनों प्रकार के मामलों को अलग-अलग सोचें।
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
\(R\cap S\) contains pairs where (a<b) and both numbers are odd.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c); and if all three are in the odd group, ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In an intersection, check that both conditions pass forward together. चरण 1: \(R\cap S\) में वे जोड़ियाँ होंगी जहाँ (a<b) और दोनों संख्याएँ विषम हैं। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c); और यदि तीनों एक ही विषम समूह में हैं, तो ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: प्रतिच्छेद में दोनों शर्तों को साथ-साथ आगे बढ़ते देखें।
