समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(1,3),(3,4),(1,4)\}\) दिया है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(1,3),(3,4),(1,4)\}\) is given. Choose the correct classification.
#types-of-relations
#reflexive
#not-symmetric
#not-transitive
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A परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक / Reflexive but neither symmetric nor transitive
B परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
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Correct Answer
A. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक / Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) are present but ((2,4)) is missing, so transitivity also fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\mid b\)। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4,6\}\), (aRb) if and only if \(a\mid b\). What type of relation is it?
#divisibility
#reflexive
#transitive
#not-symmetric
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A परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D केवल सममित है / Only symmetric
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Correct Answer
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संक्रामकता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid4\) सही है पर \(4\mid2\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2\mid4\) is true but \(4\mid2\) is not, so it is not symmetric.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी है जब (a-b) (7) से विभाज्य हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On integers, (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (7). Choose the correct conclusion.
#modular-relation
#equivalence-relation
#integers
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A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह केवल परावर्ती है / It is only reflexive
C यह सममित है पर संक्रामक नहीं / It is symmetric but not transitive
D यह संक्रामक है पर सममित नहीं / It is transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (7) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is divisible by (7), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (7) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (7) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (7), then (b-a) is also divisible by (7), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो (7) से विभाज्य अंतरों का योग भी (7) से विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of two differences divisible by (7) is also divisible by (7), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब \(|a-b|\le2\)। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if \(|a-b|\le2\). Choose the correct statement.
#absolute-difference
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
D परावर्ती नहीं है / Not reflexive
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Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le2\), इसलिए हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / \(|a-a|=0\le2\), so every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए संबंध सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध किस प्रकार का है?
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2=b^2\). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#square-relation
#real-numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D केवल संक्रामक है / Only transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^2=a^2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a^2=a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग का संबंध तीसरे तत्व तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Equality of squares passes through a third element, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a-b) परिमेय संख्या हो। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is rational. Choose the correct classification.
#equivalence-relation
#rational-difference
#real-numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D केवल संक्रामक है / Only transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) परिमेय है, तो (b-a) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is rational, then (b-a) is rational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of rational differences is rational, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a-b) अपरिमेय संख्या हो। सही निष्कर्ष क्या है?
On real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is irrational. What is the correct conclusion?
#irrational-difference
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / (a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(0R\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}R0\) सही हैं पर (0R0) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / \(0R\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}R0\) hold but (0R0) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b=5)। संबंध का सही प्रकार चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a+b=5). Choose the correct type of the relation.
#sum-relation
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए (a+a=5) नहीं होता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a+a=5) is not true for every (a), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) होने पर (b+a=5) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,4)) and ((4,1)) exist but ((1,1)) does not, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=5)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=5). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#partition
#sum-relation
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं है / Not reflexive
D सममित नहीं है / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) जैसे बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so it is also transitive.
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो (A) पर परावर्ती और सममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (5) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?
#counting-relations
#reflexive-symmetric
#expert
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A \(2^{10}\)
B \(2^{15}\)
C \(2^{20}\)
D \(2^{25}\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
परावर्तन के कारण (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (5) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े बचते हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / For symmetry, each such pair is either included in both directions or excluded, so the number is \(2^{10}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कौन सी है?
If (A) has (n) elements, which is the number of symmetric relations on (A)?
#counting-relations
#symmetric-relation
#general-formula
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A \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
(n) स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर कुल परावर्ती संबंधों की संख्या और कुल संबंधों की संख्या का अनुपात क्या होगा?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the ratio of the number of reflexive relations to the number of all relations on (A)?
#counting-relations
#reflexive-relation
#ratio
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A \(1:2^4\)
B \(2^4:1\)
C \(1:2^{12}\)
D \(2^{12}:1\)
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Correct Answer
A. \(1:2^4\)
Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{16}\) है। / The total number of relations is \(2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों में (4) स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / Reflexive relations have (4) compulsory self-pairs, so their number is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात \(2^{12}:2^{16}=1:2^4\) होगा। / The ratio is \(2^{12}:2^{16}=1:2^4\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{3}\). What is the equivalence class of (1)?
#equivalence-class
#modulo
#relations
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A ({1,4})
B ({1,3,6})
C ({1,2,4})
D ({1,5})
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Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि दोनों का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means both have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (4) दोनों का शेषफल (1) है। / (1) and (4) both leave remainder (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) का तुल्यता वर्ग ({1,4}) है। / Hence the equivalence class of (1) is ({1,4}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के तुल्यता वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं। (R) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes of (R) are ({1,2}) and ({3,4}). How many ordered pairs are in (R)?
#equivalence-relation
#equivalence-classes
#counting
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A (8)
B (4)
C (10)
D (16)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) से \(2^2=4\) और ({3,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs and ({3,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,3,5}) और ({2,4}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the classes of (R) are ({1,3,5}) and ({2,4}). How many pairs will be in (R)?
#equivalence-classes
#counting
#expert
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A (13)
B (10)
C (25)
D (7)
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Step 1
Concept
प्रत्येक तुल्यता वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म बनते हैं। / All ordered pairs are formed inside each equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या (9+4=13) होगी। / The total number is (9+4=13).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) का सबसे छोटा संक्रामक विस्तार कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), what is the smallest transitive extension of \(R=\{(1,2),(2,3)\}\)?
#transitive-closure
#minimal-extension
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ({(1,2),(2,3),(1,3)})
B ({(1,2),(2,3),(2,1)})
C ({(1,2),(2,3),(3,2)})
D ({(1,2),(2,3),(1,1)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,3),(1,3)})
Step 1
Concept
संक्रामकता के लिए ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
केवल ((1,3)) जोड़ने पर कोई नई जरूरी शृंखला नहीं टूटती। / Adding only ((1,3)) creates no further missing forced chain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सबसे छोटा संक्रामक विस्तार यही है। / Hence this is the smallest transitive extension.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) को संक्रामक बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), which minimum pairs must be added to make \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) transitive?
#transitive-closure
#minimal-addition
#hard
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A ((1,3),(2,4),(1,4))
B ((2,1),(3,2),(4,3))
C ((1,1),(2,2),(3,3))
D ((1,4)) मात्र / Only ((1,4))
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Correct Answer
A. ((1,3),(2,4),(1,4))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,3)) is required from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / ((2,4)) is required from ((2,3)) and ((3,4)).
Step 3
Exam Tip
फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी अनिवार्य हो जाता है। / Then ((1,4)) is also forced by ((1,3)) and ((3,4)).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) को संक्रामक बनाने के लिए न्यूनतम क्या जोड़ना होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), what must be minimally added to make \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) transitive?
#transitive-relation
#minimal-addition
#closure
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A ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
D ((3,3)) मात्र / Only ((3,3))
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Correct Answer
A. ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required.
Step 3
Exam Tip
(3) से कोई शृंखला नहीं बनती, इसलिए यही न्यूनतम जोड़ हैं। / No chain involves (3), so these are the minimum additions.
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यदि (R) और (S) उसी समुच्चय पर परावर्ती संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सत्य है?
If (R) and (S) are reflexive relations on the same set, which statement is always true about \(R\cap S\)?
#intersection
#reflexive-relation
#conceptual
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A \(R\cap S\) परावर्ती होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
B \(R\cap S\) कभी परावर्ती नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be reflexive
C \(R\cap S\) सदैव रिक्त होगा / \(R\cap S\) will always be empty
D \(R\cap S\) सदैव सार्वत्रिक होगा / \(R\cap S\) will always be universal
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) परावर्ती होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती होने से (R) में हर ((a,a)) है। / Since (R) is reflexive, every ((a,a)) belongs to (R).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती होने से (S) में भी हर ((a,a)) है। / Since (S) is reflexive, every ((a,a)) belongs to (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर स्वयुग्म दोनों में साझा होगा और \(R\cap S\) परावर्ती रहेगा। / Therefore all self-pairs belong to \(R\cap S\), so it is reflexive.
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यदि (R) और (S) संक्रामक संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are transitive relations, choose the correct statement about \(R\cap S\).
#intersection
#transitive-relation
#conceptual
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A \(R\cap S\) संक्रामक होगा / \(R\cap S\) will be transitive
B \(R\cap S\) कभी संक्रामक नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be transitive
C \(R\cap S\) सदैव सार्वत्रिक होगा / \(R\cap S\) will always be universal
D \(R\cap S\) केवल सममित होगा / \(R\cap S\) will only be symmetric
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा / \(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों की संक्रामकता से ((a,c)) दोनों में होगा। / Transitivity of both (R) and (S) gives ((a,c)) in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में भी होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(R\cap S\).
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (R) and (S) are symmetric relations, which statement about \(R\cup S\) is correct?
#union
#symmetric-relation
#properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
B \(R\cup S\) कभी सममित नहीं होगा / \(R\cup S\) will never be symmetric
C \(R\cup S\) सदैव तुल्यता संबंध होगा / \(R\cup S\) will always be an equivalence relation
D \(R\cup S\) सदैव परावर्ती होगा / \(R\cup S\) will always be reflexive
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में युग्म है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी में होगा। / In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और संघ सममित रहेगा। / Therefore the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union is symmetric.
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यदि (R) और (S) संक्रामक संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के लिए सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are transitive relations, choose the correct statement about \(R\cup S\).
#union
#transitive-relation
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा संक्रामक नहीं होता / It is not always transitive
B यह हमेशा संक्रामक होता है / It is always transitive
C यह हमेशा परावर्ती होता है / It is always reflexive
D यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता / It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में जुड़े हुए दो युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S).
Step 3
Exam Tip
तब जरूरी तीसरा युग्म संघ में न भी हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / The required third pair may be missing, so the union need not be transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है। \(R^{-1}\) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\). What type of relation is \(R^{-1}\)?
#inverse-relation
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
B परावर्ती और संक्रामक / Reflexive and transitive
C सममित और संक्रामक / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(R^{-1}={(2,1),(3,2),(3,1)}) होगा। / (R^{-1}={(2,1),(3,2),(3,1)}).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें कोई स्वयुग्म नहीं है और उल्टे युग्म भी पूरे नहीं हैं। / It has no self-pair and does not contain all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) मौजूद है, इसलिए यह संक्रामक है। / From ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is present, so it is transitive.
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यदि कोई संबंध (R) सममित है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन क्या है?
If a relation (R) is symmetric, what is the correct statement about \(R^{-1}\)?
#inverse-relation
#symmetric-relation
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}\) हमेशा रिक्त होगा / \(R^{-1}\) will always be empty
C \(R^{-1}\) कभी सममित नहीं होगा / \(R^{-1}\) will never be symmetric
D \(R^{-1}\) हमेशा सार्वत्रिक होगा / \(R^{-1}\) will always be universal
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Correct Answer
A. \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध में ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है। / In a symmetric relation, ((b,a)) is present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विलोम संबंध सभी युग्मों को उलटता है। / The inverse relation reverses all pairs.
Step 3
Exam Tip
पहले से उल्टे युग्म मौजूद होने के कारण \(R^{-1}=R\) होता है। / Since the reversed pairs are already present, \(R^{-1}=R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों अभाज्य हों। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are prime. Choose the correct statement.
#prime-relation
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D केवल संक्रामक है / Only transitive
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे। / (1) and (4) are not prime, so their self-pairs are absent.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are prime is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / The relation is complete inside ({2,3}), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) से छोटे हों। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are less than (3). Choose the correct classification.
#subset-relation
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3,4,5) के स्वयुग्म संबंध में नहीं होंगे, इसलिए परावर्तन नहीं है। / Self-pairs of (3,4,5) are not in the relation, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are less than (3) is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete inside ({1,2}), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का अधिकतम मान (5) हो। संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the maximum of (a) and (b) is (5). What type of relation is it?
#maximum-relation
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में अधिकतम मान (1) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the maximum is (1), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम मान क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The maximum value does not change on reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,2)) हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,5)) and ((5,2)) exist but ((1,2)) does not, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का न्यूनतम मान (2) हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the minimum of (a) and (b) is (2). Choose the correct conclusion.
#minimum-relation
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में न्यूनतम मान (1) है, इसलिए सभी स्वयुग्म नहीं मिलते। / For ((1,1)), the minimum is (1), so not all self-pairs occur.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान क्रम बदलने से समान रहता है, इसलिए सममितता है। / The minimum value remains the same when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) और ((2,4)) हैं पर ((3,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((3,2)) and ((2,4)) exist but ((3,4)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(ab\ge0\)। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(ab\ge0\). Choose the correct classification.
#real-numbers
#product-relation
#not-transitive
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
D केवल परावर्ती है / Only reflexive
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Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(a\cdot a=a^2\ge0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a\cdot a=a^2\ge0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(ab=ba), इसलिए सममितता है। / Since (ab=ba), it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R0) और (0R(-1)) सही हैं पर (1R(-1)) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (1R0) and (0R(-1)) hold but (1R(-1)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (ab>0)। संबंध का सही प्रकार क्या है?
On real numbers, (aRb) if and only if (ab>0). What is the correct type of the relation?
#real-numbers
#product-relation
#symmetric
#transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
D केवल परावर्ती है / Only reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), इसलिए (0) अपने आप से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। / \(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(ab>0) होने पर (ba>0), इसलिए सममितता है। / If (ab>0), then (ba>0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध धनात्मकों और ऋणात्मकों के अलग-अलग समूहों में बंद रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation stays within positive and negative groups separately, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a<b)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a<b). Choose the correct conclusion.
#strict-order
#transitive
#not-reflexive
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A संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित / Transitive but neither reflexive nor symmetric
B परावर्ती और संक्रामक है / Reflexive and transitive
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
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Correct Answer
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या स्वयं से छोटी नहीं होती, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No number is less than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(a<b) होने पर (b<a) नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। / If (a<b), then (b<a) cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रामकता है। / From (a<b) and (b<c), we get (a<c), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\le b\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if \(a\le b\). What type of relation is it?
#order-relation
#reflexive
#transitive
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A परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D केवल सममित है / Only symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(1\le2\) is true but \(2\le1\) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b) सम हो। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b) is even. What type of relation is it?
#parity
#equivalence-relation
#types-of-relations
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D परावर्ती नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) सम है, इसलिए परावर्तन है। / (a+a=2a) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / This is the same-parity relation, so it is transitive too.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b) विषम हो। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b) is odd. Choose the correct statement.
#parity
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=2a) सम होता है, इसलिए कोई तत्व स्वयं से संबंधित नहीं है। / (a+a=2a) is even, so no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) विषम होने पर (b+a) भी विषम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are multiples of (3), or both are not multiples of (3). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#divisibility
#partition
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A ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
B ({1,3,5}) और ({2,4,6}) / ({1,3,5}) and ({2,4,6})
C ({1,2,3}) और ({4,5,6}) / ({1,2,3}) and ({4,5,6})
D ({1,6}) और ({2,3,4,5}) / ({1,6}) and ({2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
Step 1
Concept
(3) के गुणज एक वर्ग में रखे जाएंगे। / Multiples of (3) form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (6) गुणज हैं, जबकि (1,2,4,5) गुणज नहीं हैं। / (3) and (6) are multiples, while (1,2,4,5) are not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) होंगे। / Hence the classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)\}\). Choose the correct statement.
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
D संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Transitive but not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए गए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) है। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#partition
#types-of-relations
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं है / Not reflexive
D सममित नहीं है / Not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((2,4)) के उल्टे भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,3)) and ((2,4)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,3}) और ({2,4}) बंद समूह हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / ({1,3}) and ({2,4}) are closed blocks, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a,b) दोनों (2) से बड़े हों। संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both (a,b) are greater than (2). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#partition
#conceptual
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं है / Not reflexive
D सममित नहीं है / Not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) के कारण हर स्वयुग्म संबंध में है। / Because of (a=b), every self-pair is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (2) से बड़े होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती। / The condition that both elements are greater than (2) is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1},{2},{3,4}) बनते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता है। / The classes are ({1},{2},{3,4}), so it is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^3=b^3\)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^3=b^3\). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#cube-relation
#real-numbers
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल परावर्ती / Only reflexive
C सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D परावर्ती नहीं है / Not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a^3=a^3\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान घन होने की शर्त दोनों दिशाओं में समान रहती है, इसलिए सममितता है। / Equality of cubes works in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रामकता है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) if and only if (|a|=|b|). What type of relation is it?
#absolute-value
#equivalence-relation
#real-numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C परावर्ती नहीं / Not reflexive
D संक्रामक नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। / (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान निरपेक्ष मान तीसरे तत्व तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / Equality of absolute values passes through a third element, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन सा संबंध सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं है?
Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is symmetric and transitive but not reflexive?
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
B \(R=A\times A\)
C \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)
D \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
Step 1
Concept
विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / Option A misses ((3,3)), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / All required pairs inside ({1,2}) are present, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कौन सा संबंध केवल परावर्ती है, पर सममित और संक्रामक नहीं?
Which relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) is reflexive only, but neither symmetric nor transitive?
#reflexive-only
#mcq
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)\}\)
B \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\)
C \(R=A\times A\)
D \(R=\{(1,2),(2,1)\}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)\}\)
Step 1
Concept
विकल्प A में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन है। / Option A contains all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so it is not transitive.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), (cRd), which conclusion is necessary?
#equivalence-relation
#transitivity
#logical-conclusion
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (aRd)
B \(a\neq d\)
C (dRa) असंभव है / (dRa) is impossible
D (b) किसी से संबंधित नहीं होगा / (b) will not be related to anyone
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) और (bRc) से (aRc) मिलेगा, फिर (aRc) और (cRd) से (aRd) मिलेगा। / From (aRb) and (bRc), we get (aRc); then from (aRc) and (cRd), we get (aRd).
Step 3
Exam Tip
लंबी शृंखला में मध्य तत्वों को क्रम से हटाते चलें। / In a long chain, remove middle elements step by step.
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यदि (R) किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो कौन सा कथन अनिवार्य है?
If (R) is an equivalence relation on a set and (aRb), which statement is necessary?
#equivalence-relation
#symmetry
#necessary-condition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (bRa)
B हर (c) के लिए (aRc) / (aRc) for every (c)
C हर (c) के लिए (bRc) / (bRc) for every (c)
D (a) और (b) अलग होने ही चाहिए / (a) and (b) must be distinct
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में सममितता अनिवार्य होती है। / Symmetry is compulsory in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) होने पर सममितता से (bRa) मिलेगा। / If (aRb), symmetry gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे तत्व से संबंध बिना अतिरिक्त सूचना के निश्चित नहीं होता। / Relation with any third element is not guaranteed without more information.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) तुल्यता संबंध है। यदि (1R2) और (2R4), तो कौन सा कथन अनिवार्य है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is an equivalence relation. If (1R2) and (2R4), which statement is necessary?
#equivalence-relation
#transitivity
#necessary-conclusion
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1R4)
B (3R4)
C (1R3)
D (2R3)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(1R2) और (2R4) से (1R4) मिलता है। / From (1R2) and (2R4), we get (1R4).
Step 3
Exam Tip
(3) से जुड़ा कोई निष्कर्ष बिना जानकारी के नहीं निकाला जा सकता। / No conclusion involving (3) can be drawn without more information.
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किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन चुनिए।
For the empty relation on a non-empty set (A), choose the correct statement.
#empty-relation
#vacuous-truth
#types-of-relations
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? Hint Small clue
A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
D सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर परावर्तन के लिए स्वयुग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs, but the empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म भी नहीं है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सममित और संक्रामक माना जाता है, पर परावर्ती नहीं। / Hence it is symmetric and transitive, but not reflexive.
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किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के लिए सही कथन कौन सा है?
For a non-empty set (A), which statement is correct for the universal relation \(A\times A\)?
#universal-relation
#equivalence-relation
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह कभी परावर्ती नहीं होता / It is never reflexive
C यह सममित नहीं होता / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं होता / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में हर ((a,a)) होता है, इसलिए परावर्तन है। / The universal relation contains every ((a,a)), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है, इसलिए सममितता है। / For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
सभी संभावित युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी होती है। / Since all possible pairs are present, transitivity also holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\) है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\). Choose the correct classification.
#identity-relation
#equivalence-relation
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल परावर्ती / Only reflexive
C परावर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में सभी स्वयुग्म होते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The identity relation has all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा वही ((a,a)) है, इसलिए सममितता है। / The reverse of ((a,a)) is itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
स्वयुग्मों की शृंखला फिर स्वयुग्म ही देती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / A chain of self-pairs again gives a self-pair, so it is transitive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो परावर्ती संबंध में न्यूनतम कितने युग्म होने चाहिए?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what is the minimum number of pairs in a reflexive relation?
#reflexive-relation
#min-pairs
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (10)
C (20)
D (25)
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Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयुग्म होना जरूरी है। / A reflexive relation must contain the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (5) तत्व हैं, इसलिए (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / There are (5) elements, so (5) self-pairs are compulsory.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम स्थिति में केवल यही (5) युग्म होंगे। / In the minimum case, only these (5) pairs are present.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\). Choose the correct statement.
#symmetric
#not-reflexive
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
कोई भी स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No self-pair is present, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा भी मौजूद है, इसलिए सममितता है। / Every listed pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required but missing, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Choose the correct classification.
#types-of-relations
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
D संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Transitive but not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,3)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\le b\) और \(b-a\le2\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if \(a\le b\) and \(b-a\le2\). What type of relation is it?
#bounded-order
#reflexive
#not-symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
C परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक / Reflexive but neither symmetric nor transitive
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक / Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{5}\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{5}\). What is the equivalence class of (2)?
#equivalence-class
#modulo-five
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \({5k:k\in Z}\)
B \({5k+1:k\in Z}\)
C \({5k+2:k\in Z}\)
D \({2k:k\in Z}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \({5k+2:k\in Z}\)
Step 1
Concept
\(a\equiv 2 \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a) को (5) से भाग देने पर शेषफल (2) हो। / \(a\equiv 2 \pmod{5}\) means (a) leaves remainder (2) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक (5k+2) के रूप में लिखे जाते हैं। / Such integers are written as (5k+2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय समान शेषफल वाले सभी तत्व शामिल करें। / While writing an equivalence class, include all elements with the same remainder.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) (b) को विभाजित करे और (b) (a) को विभाजित करे। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), (aRb) if and only if (a) divides (b) and (b) divides (a). Choose the correct statement.
#equivalence-relation
#divisibility
#mutual-divisibility
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A यह केवल सममित है / It is only symmetric
B यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / It is reflexive and symmetric but not transitive
C यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में दोनों दिशाओं की विभाज्यता पहले से शामिल है, इसलिए सममितता है। / The condition already includes divisibility in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक संख्याओं में दोनों दिशाओं की विभाज्यता समानता देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / For positive numbers, mutual divisibility means equality, so transitivity also holds.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a-b\in Z\)। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in Z\). Choose the correct classification.
#integer-difference
#equivalence-relation
#real-numbers
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A सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
B परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a) भी पूर्णांक है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक रहता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The sum of two integer differences is an integer, so transitivity holds too.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b) (4) से विभाज्य हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b) is divisible by (4). Choose the correct conclusion.
#sum-divisibility
#symmetric
#not-transitive
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A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का मान क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) does not change when the order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(2,4),(4,2)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(2,4),(4,2)\}\). Choose the correct statement.
#equivalence-relation
#partition
#closed-class
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? Hint Small clue
A यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / It is reflexive and symmetric but not transitive
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह परावर्ती है पर सममित नहीं / It is reflexive but not symmetric
D यह संक्रामक है पर सममित नहीं / It is transitive but not symmetric
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Correct Answer
B. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अतिरिक्त युग्मों के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Every extra pair has its reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,4}) एक बंद समूह है और (3) अकेला है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / ({1,2,4}) is a closed block and (3) is alone, so transitivity also holds.
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यदि (A) में (6) तत्व हैं, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या क्या है जो परावर्ती भी हैं और सममित भी?
If (A) has (6) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?
#counting-relations
#reflexive-symmetric
#expert
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? Hint Small clue
A \(2^{15}\)
B \(2^{21}\)
C \(2^{30}\)
D \(2^{36}\)
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Correct Answer
A. \(2^{15}\)
Step 1
Concept
परावर्तन के कारण (6) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (6) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) अनियोजित जोड़े स्वतंत्र चुनाव देते हैं। / The \(\frac{6\cdot5}{2}=15\) unordered pairs of distinct elements give independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{15}\) होगी। / Hence the number of such relations is \(2^{15}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे संबंधों की संख्या क्या है जो केवल स्वयुग्मों पर कोई रोक नहीं रखते पर अलग-अलग तत्वों के युग्म सममित रूप से चुनते हैं?
If (A) has (n) elements, what is the number of relations in which self-pairs are unrestricted and distinct-element pairs are chosen symmetrically?
#symmetric-relation
#counting
#general-formula
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A \(2^{n^2}\)
B \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
स्वयुग्मों के लिए (n) स्वतंत्र चुनाव हैं। / There are (n) independent choices for self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2\le b^2\)। यह संबंध किस प्रकार का है?
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2\le b^2\). What type of relation is it?
#square-order
#reflexive
#transitive
#not-symmetric
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A सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
B परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
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Correct Answer
B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2\le a^2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1^2\le2^2\) सही है पर \(2^2\le1^2\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(1^2\le2^2\) is true but \(2^2\le1^2\) is false, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) का गुण वर्गों पर भी संक्रामक रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / The order relation \(\le\) remains transitive on squares, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2+b^2=0\)। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+b^2=0\). Choose the correct classification.
#real-numbers
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
D न सममित न संक्रामक / Neither symmetric nor transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) केवल (a=0,b=0) पर होता है। / Over real numbers, \(a^2+b^2=0\) only when (a=0,b=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध में केवल ((0,0)) है, जो सममित और संक्रामक है। / So the relation contains only ((0,0)), which is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
सभी वास्तविक संख्याओं के स्वयुग्म नहीं हैं, इसलिए परावर्तन नहीं है। / It is not reflexive because self-pairs for all real numbers are not present.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेषफल मिले। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) have the same remainder when divided by (3). How many equivalence classes are formed?
#equivalence-classes
#modulo
#partition
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A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) ही संभव हैं। / On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल वाले तत्व एक वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder form one class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल (3) तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Therefore (3) equivalence classes are formed.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=6)। सही तुल्यता वर्ग चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). Choose the correct equivalence classes.
#sum-relation
#equivalence-classes
#partition
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A ({1,2},{3,4,5})
B ({1,5},{2,4},{3})
C ({1,3,5},{2,4})
D ({1,4},{2,5},{3})
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Correct Answer
B. ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(a+b=6) से (1) का संबंध (5) से और (2) का संबंध (4) से बनेगा। / The condition (a+b=6) relates (1) with (5), and (2) with (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अपने आप से जुड़ा रहेगा क्योंकि (3+3=6) और स्वयुग्म भी शामिल है। / (3) remains with itself because (3+3=6) and self-pairs are included.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) हैं। / Hence the classes are ({1,5},{2,4},{3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,4),(2,4),(1,4)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,4),(2,4),(1,4)\}\). Choose the correct statement.
#transitive
#not-reflexive
#not-symmetric
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A सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
B संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
C परावर्ती और संक्रामक है / Reflexive and transitive
D तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
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Correct Answer
B. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / There is no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम मौजूद है, इसलिए संबंध संक्रामक है। / Every required result of a forward chain is present, so the relation is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) (b) से कम से कम (2) छोटा हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a) is at least (2) less than (b). Choose the correct conclusion.
#strict-order
#transitive
#not-reflexive
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A परावर्ती और संक्रामक है / Reflexive and transitive
B सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
C संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
D तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
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Correct Answer
C. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या स्वयं से (2) छोटी नहीं हो सकती, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No number can be (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) से कम है, तो (b) (a) से कम नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। / If (a) is less than (b), then (b) cannot be less than (a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए संक्रामकता है। / If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so it is transitive.
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यदि (R) और (S) तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (R) and (S) are equivalence relations, which statement about \(R\cap S\) is correct?
#intersection
#equivalence-relation
#properties
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A यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा / It is always an equivalence relation
B यह कभी तुल्यता संबंध नहीं होगा / It is never an equivalence relation
C यह केवल सममित होगा / It will only be symmetric
D यह हमेशा सार्वत्रिक संबंध होगा / It will always be the universal relation
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Correct Answer
A. यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा / It is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों संबंध परावर्ती हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद भी परावर्ती रहेगा। / Both relations are reflexive, so their intersection remains reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए साझा युग्मों के उल्टे युग्म भी साझा रहेंगे। / Both are symmetric, so reverse pairs of common pairs remain common.
Step 3
Exam Tip
दोनों संक्रामक हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में बनी शृंखला का परिणाम भी प्रतिच्छेद में होगा। / Both are transitive, so the result of a chain in the intersection also lies in the intersection.
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यदि (R) और (S) तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के लिए कौन सा कथन सही है?
If (R) and (S) are equivalence relations, which statement is correct for \(R\cup S\)?
#union
#equivalence-relation
#not-always-transitive
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A यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा / It is always an equivalence relation
B यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं / It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
C यह कभी परावर्ती नहीं होगा / It is never reflexive
D यह हमेशा रिक्त संबंध होगा / It is always the empty relation
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Correct Answer
B. यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं / It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए संघ परावर्ती रहेगा। / Both relations contain all self-pairs, so the union is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए संघ भी सममित रहेगा। / Both are symmetric, so the union is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि शृंखला का एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / Transitivity may fail because one pair of a chain may come from (R) and the other from (S).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। (R) का संक्रामक आवरण बनाने में कौन से स्वयुग्म अनिवार्य होंगे?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Which self-pairs are forced in the transitive closure of (R)?
#transitive-closure
#self-pairs
#expert
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A ((1,1)) और ((3,3)) मात्र / Only ((1,1)) and ((3,3))
B ((2,2)) मात्र / Only ((2,2))
C ((1,1),(2,2),(3,3))
D कोई स्वयुग्म नहीं / No self-pair
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Correct Answer
C. ((1,1),(2,2),(3,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,1)) force ((1,1)) and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)) और ((3,3)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,2)) force ((2,2)) and ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए तीनों स्वयुग्म संक्रामक आवरण में आ जाएंगे। / Hence all three self-pairs appear in the transitive closure.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का संक्रामक आवरण कितने युग्मों वाला होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs will the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) contain?
#transitive-closure
#counting
#relations
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A (3)
B (4)
C (5)
D (6)
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Step 1
Concept
मूल (3) युग्म पहले से हैं। / The original (3) pairs are already present.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से ((1,3)), ((2,4)) और ((1,4)) जोड़ने पड़ेंगे। / Transitivity forces ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (3+3=6) होंगे। / Therefore the total number of pairs is (3+3=6).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\) का सबसे छोटा सममित विस्तार कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the smallest symmetric extension of \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\)?
#symmetric-closure
#minimal-extension
#relations
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A \(R\cup{(4,3)}\)
B \(R\cup{(1,1),(2,2)}\)
C \(R\cup{(2,3)}\)
D \(R\cup{(3,3),(4,4)}\)
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Correct Answer
A. \(R\cup{(4,3)}\)
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are already balanced.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) का उल्टा ((4,3)) गायब है। / The reverse of ((3,4)), namely ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
केवल ((4,3)) जोड़ने से सममितता पूरी हो जाती है। / Adding only ((4,3)) completes symmetry.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का सबसे बड़ा समापवर्तक (1) हो। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the greatest common divisor of (a) and (b) is (1). Choose the correct statement.
#coprime-relation
#symmetric
#not-transitive
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) के लिए सबसे बड़ा समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change on reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2R3) और (3R4) सही हैं पर (2R4) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (2R3) and (3R4) hold but (2R4) does not, so it is not transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a+b=0)। संबंध का सही प्रकार क्या है?
On real numbers, (aRb) if and only if (a+b=0). What is the correct type of the relation?
#sum-zero
#symmetric
#not-transitive
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A परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
B सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
C संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=0) हर वास्तविक संख्या के लिए सही नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a+a=0) is not true for every real number, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=0) होने पर (b+a=0) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (a+b=0), then (b+a=0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R(-1)) और ((-1)R1) हैं पर (1R1) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R(-1)) and ((-1)R1) hold but (1R1) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a=-b)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if (a=b) or (a=-b). Choose the correct conclusion.
#absolute-value
#equivalence-relation
#real-numbers
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? Hint Small clue
A यह परावर्ती है पर सममित नहीं / It is reflexive but not symmetric
B यह सममित है पर संक्रामक नहीं / It is symmetric but not transitive
C यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a=a) होने से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / Since (a=a), every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) या (a=-b) की शर्त उलटने पर भी सही रहती है। / The condition (a=b) or (a=-b) remains true when reversed.
Step 3
Exam Tip
यह समान निरपेक्ष मान का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / This is equality of absolute values, which is also transitive, so it is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (2) से विभाज्य न हों। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are divisible by (2), or both are not divisible by (2). What is the equivalence class of (4)?
#equivalence-class
#parity
#divisibility
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A ({1,3,5})
B ({4})
C ({2,4,6})
D ({1,2,3,4,5,6})
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Correct Answer
C. ({2,4,6})
Step 1
Concept
यह संबंध सम और विषम तत्वों को अलग-अलग वर्गों में बांटता है। / This relation divides elements into even and odd classes.
Step 2
Why this answer is correct
(4) सम है, इसलिए इसका वर्ग सभी सम तत्वों वाला होगा। / (4) is even, so its class contains all even elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में सम तत्व (2,4,6) हैं, इसलिए वर्ग ({2,4,6}) है। / The even elements in (A) are (2,4,6), so the class is ({2,4,6}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या ({a,b}={1,3})। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or ({a,b}={1,3}). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#partition
#set-condition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}={1,3}) क्रम पर निर्भर नहीं है, इसलिए सममितता है। / ({a,b}={1,3}) is independent of order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,3},{2},{4}) बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / The classes are ({1,3},{2},{4}), so transitivity holds too.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a-b) सम हो। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a-b) is even. How many ordered pairs will the relation contain?
#parity
#equivalence-relation
#counting
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A (4)
B (6)
C (8)
D (16)
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Step 1
Concept
(a-b) सम होने का अर्थ है कि दोनों संख्याएं समान सम-विषम प्रकार की हों। / (a-b) being even means the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या क्या है जो परावर्ती हैं पर सार्वत्रिक नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\), how many relations on (A) are reflexive but not universal?
#counting-relations
#reflexive
#not-universal
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A \(2^6\)
B \(2^6-1\)
C \(2^9-1\)
D \(2^3-1\)
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Correct Answer
B. \(2^6-1\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें सार्वत्रिक संबंध भी एक परावर्ती संबंध है। / The universal relation is one of these reflexive relations.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को हटाने पर संख्या \(2^6-1\) होगी। / Removing it gives \(2^6-1\).
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किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध समान कब होंगे?
For a non-empty set (A), when will the identity relation and the universal relation be the same?
#identity-relation
#universal-relation
#conceptual
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A जब (A) में ठीक एक तत्व हो / When (A) has exactly one element
B जब (A) में दो तत्व हों / When (A) has two elements
C जब (A) रिक्त न हो / Whenever (A) is non-empty
D वे कभी समान नहीं हो सकते / They can never be equal
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Correct Answer
A. जब (A) में ठीक एक तत्व हो / When (A) has exactly one element
Step 1
Concept
पहचान संबंध में केवल स्वयुग्म होते हैं। / The identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सार्वत्रिक संबंध में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / The universal relation contains every possible ordered pair.
Step 3
Exam Tip
यदि समुच्चय में केवल एक तत्व हो, तो दोनों में वही एक स्वयुग्म रहेगा और दोनों समान होंगे। / If the set has only one element, both contain the same single self-pair, so they are equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध के विलोम संबंध के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about the inverse of the empty relation on \(A=\{1,2,3\}\).
#empty-relation
#inverse-relation
#conceptual
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A यह सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
B यह पहचान संबंध है / It is the identity relation
C यह रिक्त संबंध ही है / It is the empty relation itself
D यह परावर्ती संबंध है / It is a reflexive relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. यह रिक्त संबंध ही है / It is the empty relation itself
Step 1
Concept
विलोम संबंध बनाने के लिए मौजूद युग्मों को उलटा जाता है। / To form the inverse relation, existing pairs are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म है ही नहीं, इसलिए उलटने के लिए भी कुछ नहीं है। / The empty relation has no pair, so there is nothing to reverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उसका विलोम संबंध भी रिक्त संबंध ही होगा। / Therefore its inverse relation is also the empty relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4)\}\) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम क्या जोड़ना होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what must be minimally added to make \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4)\}\) symmetric?
#symmetric-closure
#minimal-addition
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((4,3))
B ((1,3))
C ((2,4))
D ((4,4))
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Correct Answer
A. ((4,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से दोनों हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are already both present.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) का उल्टा ((4,3)) संबंध में नहीं है। / The reverse of ((3,4)), which is ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
केवल ((4,3)) जोड़ने से सममितता पूरी हो जाएगी। / Adding only ((4,3)) makes the relation symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) का संक्रामक आवरण बनाने पर कौन सा युग्म अनिवार्य रूप से आएगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair must necessarily appear when forming the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)?
#transitive-closure
#necessary-pair
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((4,4))
B ((1,3))
C ((2,4))
D ((4,1))
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Correct Answer
B. ((1,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) जरूरी होगा। / Transitivity therefore forces ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
(4) से कोई दिया हुआ युग्म नहीं है, इसलिए (4) वाले युग्म अनिवार्य नहीं हैं। / No given pair involves (4), so pairs with (4) are not forced.
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यदि (R) सममित संबंध है और \(S\subseteq R\), तो (S) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is a symmetric relation and \(S\subseteq R\), which statement about (S) is correct?
#subrelation
#symmetric-relation
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (S) हमेशा सममित होगा / (S) will always be symmetric
B (S) सममित हो भी सकता है और नहीं भी / (S) may or may not be symmetric
C (S) कभी सममित नहीं होगा / (S) will never be symmetric
D (S) हमेशा तुल्यता संबंध होगा / (S) will always be an equivalence relation
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Correct Answer
B. (S) सममित हो भी सकता है और नहीं भी / (S) may or may not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध के सममित होने से उसके हर उपसंबंध में उल्टे युग्म अपने आप नहीं आते। / A symmetric larger relation does not force every subrelation to contain reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (S) में ((a,b)) रखा गया पर ((b,a)) नहीं रखा गया, तो सममितता टूट जाएगी। / If (S) contains ((a,b)) but not ((b,a)), symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उपसंबंध सममित हो भी सकता है और नहीं भी। / Hence (S) may or may not be symmetric.
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यदि (R) परावर्ती संबंध है और \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), तो (S) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is reflexive and \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), what is true about (S)?
#reflexive-relation
#subset
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (S) परावर्ती होगा / (S) will be reflexive
B (S) कभी परावर्ती नहीं होगा / (S) will never be reflexive
C (S) सममित अवश्य होगा / (S) must be symmetric
D (S) संक्रामक अवश्य होगा / (S) must be transitive
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Correct Answer
A. (S) परावर्ती होगा / (S) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी स्वयुग्म हैं। / Since (R) is reflexive, it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से वे सभी स्वयुग्म (S) में भी होंगे। / Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) परावर्ती अवश्य रहेगा। / Therefore (S) must be reflexive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(2,2)}\) है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(2,2)}\). Choose the correct classification.
#universal-minus-pair
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((2,2)) गायब है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / ((2,2)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हटाया गया युग्म स्वयं का उल्टा है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The removed pair is its own reverse, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,2)) मौजूद हैं पर ((2,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((2,1)) and ((1,2)) are present but ((2,2)) is missing, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A-{(1,2),(2,1)}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=A\times A-{(1,2),(2,1)}\). Choose the correct statement.
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
#universal-minus
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / It is reflexive and symmetric but not transitive
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
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Correct Answer
B. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair is removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हटे हैं, इसलिए सममितता बनी है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are removed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
बचे हुए वर्ग ({1},{2},{3}) नहीं, बल्कि जांचने पर ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए जो नहीं है; इसलिए यह संक्रामक नहीं है। / But ((1,3)) and ((3,2)) are present while ((1,2)) is missing, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A-{(1,2),(2,1)}\) है। सही वर्गीकरण क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=A\times A-{(1,2),(2,1)}\). What is the correct classification?
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C सममित नहीं है / Not symmetric
D परावर्ती नहीं है / Not reflexive
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Correct Answer
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म अभी भी मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are still present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,2)) मौजूद हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,3)) and ((3,2)) are present but ((1,2)) is missing, so transitivity fails.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है और (R) का वर्ग-विभाजन ({1,2,3},{4}) है, तो (R) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and the partition for (R) is ({1,2,3},{4}), how many ordered pairs will be in (R)?
#equivalence-relation
#partition
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (6)
B (9)
C (10)
D (16)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म आते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs inside each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से \(1^2=1\) युग्म मिलेगा। / ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives \(1^2=1\) pair.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+1=10) युग्म होंगे। / Total pairs are (9+1=10).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर शेषफल अलग हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) have different remainders when divided by (2). Choose the correct conclusion.
#different-parity
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
C. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
किसी संख्या का शेषफल अपने आप से अलग नहीं हो सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / A number cannot have a different remainder from itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition of different remainders remains true when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R3) सही हैं पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (1R2) and (2R3) hold but (1R3) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a+b\le5\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if \(a+b\le5\). What type of relation is it?
#sum-relation
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
B सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((3,3)) के लिए योग (6) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((3,3)), the sum is (6), so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
\(a+b\le5\) में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / In \(a+b\le5\), reversing order does not change the sum, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((4,1)) और ((1,4)) हैं पर ((4,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((4,1)) and ((1,4)) exist but ((4,4)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (|a-b|<2)। सही कथन चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if (|a-b|<2). Choose the correct statement.
#absolute-difference
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
C परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
D परावर्ती नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
C. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<2), इसलिए परावर्तन है।
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R1.5) और (1.5R3) सही हैं पर (0R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R1.5) and (1.5R3) hold but (0R3) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों विषम हों या (a=b)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are odd or (a=b). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#odd-elements
#partition
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
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Correct Answer
B. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों विषम होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both are odd is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
विषम तत्व ({1,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और सम तत्व अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता है। / Odd elements ({1,3,5}) form one closed class and even elements stay single, so it is transitive.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और ([a]=[b]), तो कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and ([a]=[b]), which statement is correct?
#equivalence-class
#equivalence-relation
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (aRb)
B (a) और (b) समान तत्व होने चाहिए / (a) and (b) must be the same element
C (a) किसी से संबंधित नहीं है / (a) is not related to anyone
D (bRa) असंभव है / (bRa) is impossible
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Step 1
Concept
समान तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि दोनों तत्व एक ही समूह में हैं। / Equal equivalence classes mean both elements are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही तुल्यता वर्ग के दो तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / Two elements in the same equivalence class are related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([a]=[b]) होने पर (aRb) अवश्य होगा। / Therefore ([a]=[b]) implies (aRb).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (a) तथा (b) अलग-अलग तुल्यता वर्गों में हैं, तो (aRb) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is an equivalence relation and (a) and (b) lie in different equivalence classes, what is true about (aRb)?
#equivalence-classes
#partition
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (aRb) अवश्य सत्य होगा / (aRb) must be true
B (aRb) अवश्य असत्य होगा / (aRb) must be false
C (aRb) से कोई संबंध नहीं / (aRb) is unrelated
D (aRb) केवल तब सत्य होगा जब (a=b) / (aRb) is true only when (a=b)
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Correct Answer
B. (aRb) अवश्य असत्य होगा / (aRb) must be false
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into disjoint parts.
Step 2
Why this answer is correct
अलग वर्गों के तत्व एक-दूसरे से संबंधित नहीं होते। / Elements from different classes are not related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग तुल्यता वर्गों में होने पर (aRb) असत्य होगा। / Hence if (a) and (b) are in different equivalence classes, (aRb) is false.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4,5},{6}) हैं। (R) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), the classes of (R) are ({1,2},{3,4,5},{6}). How many ordered pairs are in (R)?
#equivalence-relation
#partition
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (10)
B (12)
C (14)
D (36)
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Step 1
Concept
हर तुल्यता वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म बनते हैं। / Every equivalence class contributes all ordered pairs within it.
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों से क्रमशः \(2^2=4\), \(3^2=9\), और \(1^2=1\) युग्म मिलते हैं। / The classes contribute \(2^2=4\), \(3^2=9\), and \(1^2=1\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+9+1=14) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+9+1=14).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने संबंध हैं जिनमें सभी स्वयुग्म नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many relations on (A) do not contain all self-pairs?
#counting-relations
#not-reflexive
#expert
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A \(2^{16}-2^{12}\)
B \(2^{12}\)
C \(2^4\)
D \(2^{16}\)
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Correct Answer
A. \(2^{16}-2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{16}\) है। / The total number of relations is \(2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी स्वयुग्म रखने वाले परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{12}\) है। / The number of relations containing all self-pairs is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयुग्म न रखने वाले संबंधों की संख्या \(2^{16}-2^{12}\) होगी। / Hence the number not containing all self-pairs is \(2^{16}-2^{12}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (4) से छोटे हों। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are less than (4). Choose the correct classification.
#subset-relation
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(4) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (4) is not related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (4) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है। / The condition that both elements are less than (4) remains true after reversal.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete inside ({1,2,3}), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a) और (b) दोनों (3) से छोटे हों। सही तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both (a) and (b) are less than (3). What are the correct equivalence classes?
#equivalence-classes
#partition
#subset-condition
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A ({1,2},{3},{4})
B ({1,3},{2,4})
C ({1,2,3},{4})
D ({1},{2},{3,4})
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Correct Answer
A. ({1,2},{3},{4})
Step 1
Concept
(1) और (2) दोनों (3) से छोटे हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) are both less than (3), so they lie in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (4) केवल अपने स्वयुग्मों से जुड़े हैं। / (3) and (4) are related only to themselves.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2},{3},{4}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2},{3},{4}).
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यदि (R) किसी समुच्चय पर संक्रामक है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) is transitive on a set, choose the correct statement about \(R^{-1}\).
#inverse-relation
#transitive-relation
#proof
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A \(R^{-1}\) भी संक्रामक होगा / \(R^{-1}\) will also be transitive
B \(R^{-1}\) कभी संक्रामक नहीं होगा / \(R^{-1}\) will never be transitive
C \(R^{-1}\) अवश्य परावर्ती होगा / \(R^{-1}\) must be reflexive
D \(R^{-1}\) अवश्य सार्वत्रिक होगा / \(R^{-1}\) must be universal
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\) भी संक्रामक होगा / \(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R^{-1}\) में हैं, तो ((b,a)) और ((c,b)) (R) में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((c,a)) (R) में होगा। / By transitivity of (R), ((c,a)) is in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R^{-1}\) में होगा और \(R^{-1}\) संक्रामक है। / Therefore ((a,c)) is in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive.
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यदि (R) परावर्ती संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is a reflexive relation, which statement about \(R^{-1}\) is correct?
#inverse-relation
#reflexive-relation
#conceptual
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A \(R^{-1}\) परावर्ती होगा / \(R^{-1}\) will be reflexive
B \(R^{-1}\) सममित नहीं हो सकता / \(R^{-1}\) cannot be symmetric
C \(R^{-1}\) रिक्त होगा / \(R^{-1}\) will be empty
D \(R^{-1}\) हमेशा (R) से अलग होगा / \(R^{-1}\) will always differ from (R)
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\) परावर्ती होगा / \(R^{-1}\) will be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में हर ((a,a)) मौजूद होता है। / A reflexive relation contains every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा फिर ((a,a)) ही होता है। / The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए विलोम संबंध में भी सभी स्वयुग्म रहेंगे और वह परावर्ती होगा। / Hence all self-pairs remain in the inverse relation, so it is reflexive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) है। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#partition
#types-of-relations
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? Hint Small clue
A यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / It is reflexive and symmetric but not transitive
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
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Correct Answer
B. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) के बीच सभी उल्टे युग्म मौजूद हैं और (4) अपने आप से जुड़ा है, इसलिए सममितता है। / Within ({1,2,3}), all reverse pairs are present and (4) is related to itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) एक पूरा बंद वर्ग है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संक्रामकता भी है। / ({1,2,3}) is a complete closed class and (4) is a singleton class, so transitivity holds too.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4)\}\) है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4)\}\). Choose the correct classification.
#types-of-relations
#reflexive
#transitive
#not-symmetric
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
C सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / Every needed forward-chain result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{2,3,4,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का सबसे बड़ा समापवर्तक (1) से बड़ा हो। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{2,3,4,6\}\), (aRb) if and only if the greatest common divisor of (a) and (b) is greater than (1). What type of relation is it?
#gcd-relation
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
D सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
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Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
हर तत्व का अपने साथ सबसे बड़ा समापवर्तक वही तत्व है, इसलिए परावर्तन है। / The greatest common divisor of each element with itself is the element, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(\frac{a}{b}\) परिमेय हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On non-zero real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{a}{b}\) is rational. Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#real-numbers
#rational-ratio
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A यह केवल सममित है / It is only symmetric
B यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C यह परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / It is reflexive but not transitive
D यह सममित है पर परावर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive
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Correct Answer
B. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1\) परिमेय है, इसलिए परावर्तन है। / \(\frac{a}{a}=1\) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational, then \(\frac{b}{a}\) is rational, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{a}{b}\) और \(\frac{b}{c}\) परिमेय हों तो \(\frac{a}{c}\) भी परिमेय होगा, इसलिए संक्रामकता है। / If \(\frac{a}{b}\) and \(\frac{b}{c}\) are rational, then \(\frac{a}{c}\) is rational, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b) अभाज्य संख्या हो। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b) is a prime number. Choose the correct classification.
#prime-sum
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) अभाज्य है, पर ((2,2)) में योग (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum (2) is prime, but for ((2,2)), the sum (4) is not, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) भी है; संक्रामकता की टूटन के लिए ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) hold, but ((2,4)) does not, so transitivity fails.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी है जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (4). What is the equivalence class of (3)?
#equivalence-class
#modulo-four
#integers
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A \({4k:k\in Z}\)
B \({4k+1:k\in Z}\)
C \({4k+2:k\in Z}\)
D \({4k+3:k\in Z}\)
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Correct Answer
D. \({4k+3:k\in Z}\)
Step 1
Concept
(a-b) का (4) से विभाज्य होना समान शेषफल दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (4) means the same remainder modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) का शेषफल (3) है, इसलिए उसके वर्ग में (4k+3) रूप वाले सभी पूर्णांक होंगे। / The remainder of (3) is (3), so its class contains all integers of the form (4k+3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय केवल समान शेषफल वाले तत्व ही शामिल करें। / Include only elements with the same remainder in the class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (3) से विभाज्य हों। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a,b) are divisible by (2) or both (a,b) are divisible by (3). Choose the correct conclusion.
#divisibility
#symmetric
#not-transitive
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
C परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
D परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
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Correct Answer
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(1) न (2) से और न (3) से विभाज्य है, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा और परावर्तन नहीं है। / (1) is divisible by neither (2) nor (3), so ((1,1)) is not in the relation and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं, इसलिए सममितता है। / Both conditions are unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(1,4),(4,1)}\) है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(1,4),(4,1)}\). Choose the correct classification.
#universal-minus-pairs
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
D सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
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Correct Answer
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair has been removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं, पर ((1,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is missing, so transitivity fails.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या और परावर्ती तथा सममित संबंधों की संख्या का अनुपात क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the ratio of the number of symmetric relations to the number of reflexive and symmetric relations?
#counting-relations
#symmetric
#reflexive-symmetric
#ratio
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A \(1:2^4\)
B \(2^4:1\)
C \(2^6:1\)
D \(1:2^6\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(2^4:1\)
Step 1
Concept
(4) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{10}\) है। / The number of symmetric relations on (4) elements is \(2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती और सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है। / The number of reflexive and symmetric relations is \(2^6\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात \(2^{10}:2^6=2^4:1\) होगा। / The ratio is \(2^{10}:2^6=2^4:1\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=6)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). How many ordered pairs are in the relation?
#sum-relation
#counting
#equivalence-relation
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A (5)
B (7)
C (9)
D (13)
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Step 1
Concept
स्वयुग्मों से (5) युग्म मिलते हैं। / Self-pairs give (5) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) से ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)) अतिरिक्त युग्म मिलते हैं; ((3,3)) पहले से गिना जा चुका है। / The condition (a+b=6) adds ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)); ((3,3)) is already counted.
Step 3
Exam Tip
कुल (5+4=9) युग्म होंगे। / Total pairs are (5+4=9).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2-b^2\ge0\)। सही कथन चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2-b^2\ge0\). Choose the correct statement.
#square-order
#reflexive
#transitive
#not-symmetric
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A परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
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Correct Answer
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2-1^2\ge0\) सही है, पर \(1^2-2^2\ge0\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2^2-1^2\ge0\) is true, but \(1^2-2^2\ge0\) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\ge b^2\) और \(b^2\ge c^2\) से \(a^2\ge c^2\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a^2\ge b^2\) and \(b^2\ge c^2\) imply \(a^2\ge c^2\), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{2}\) और \(a\equiv b \pmod{3}\)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{2}\) and \(a\equiv b \pmod{3}\). Choose the correct conclusion.
#modular-relation
#equivalence-relation
#singleton-classes
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? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं / It is an equivalence relation with singleton classes
B यह सममित है पर संक्रामक नहीं / It is symmetric but not transitive
C यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं / It is an equivalence relation with singleton classes
Step 1
Concept
दोनों समान शेषफल वाली शर्तें परावर्ती, सममित और संक्रामक होती हैं। / Both same-remainder conditions are reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों के लिए समान शेषफल होने का अर्थ इस छोटे समुच्चय में समान संख्या होना है। / Having the same remainders modulo (2) and modulo (3) means being the same number in this set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर तत्व अपना अलग वर्ग बनाता है और संबंध तुल्यता है। / Hence every element forms a singleton class and the relation is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) है। (R) में कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\). How many equivalence classes does (R) have?
#equivalence-classes
#partition
#counting
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A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
(1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are related to each other in all directions, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) केवल अपने आप से जुड़ा है, इसलिए वह अलग वर्ग है। / (4) is related only to itself, so it forms another class.
Step 3
Exam Tip
कुल वर्ग ({1,2,3}) और ({4}) हैं, यानी (2) वर्ग। / The classes are ({1,2,3}) and ({4}), so there are (2) classes.
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) and (S) are symmetric relations, which statement about \(R\cap S\) is correct?
#intersection
#symmetric-relation
#properties
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A यह हमेशा सममित होगा / It is always symmetric
B यह कभी सममित नहीं होगा / It is never symmetric
C यह हमेशा तुल्यता संबंध होगा / It is always an equivalence relation
D यह हमेशा परावर्ती होगा / It is always reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमेशा सममित होगा / It is always symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) \(R\cap S\) में है, तो वह (R) और (S) दोनों में है। / If ((a,b)) is in \(R\cap S\), it is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) is in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((b,a)) \(R\cap S\) में भी होगा और प्रतिच्छेद सममित रहेगा। / Hence ((b,a)) is in \(R\cap S\), so the intersection is symmetric.
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यदि (R) और (S) परावर्ती संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are reflexive relations, choose the correct statement about \(R\cup S\).
#union
#reflexive-relation
#properties
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A यह हमेशा परावर्ती होगा / It is always reflexive
B यह कभी परावर्ती नहीं होगा / It is never reflexive
C यह हमेशा सममित होगा / It is always symmetric
D यह हमेशा संक्रामक होगा / It is always transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमेशा परावर्ती होगा / It is always reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती होने से (R) में हर स्वयुग्म है। / Since (R) is reflexive, it contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में भी हर स्वयुग्म है। / (S) also contains every self-pair.
Step 3
Exam Tip
संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आते हैं, इसलिए सभी स्वयुग्म भी रहेंगे और संघ परावर्ती होगा। / The union contains all pairs from both relations, so all self-pairs remain and the union is reflexive.
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यदि (R) और (S) संक्रामक संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are transitive relations, choose the correct statement about \(R\cap S\).
#intersection
#transitive-relation
#proof
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A यह हमेशा संक्रामक होगा / It is always transitive
B यह कभी संक्रामक नहीं होगा / It is never transitive
C यह केवल सममित होगा / It will only be symmetric
D यह हमेशा सार्वत्रिक होगा / It will always be universal
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Correct Answer
A. यह हमेशा संक्रामक होगा / It is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R\cap S\) में हैं, तो दोनों युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), both pairs are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((a,c)) (R) में और (S) की संक्रामकता से (S) में होगा। / Transitivity of (R) puts ((a,c)) in (R), and transitivity of (S) puts it in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) प्रतिच्छेद में होगा। / Hence ((a,c)) is in the intersection.
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यदि (R) और (S) संक्रामक संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के लिए सही कथन कौन सा है?
If (R) and (S) are transitive relations, which statement is correct about \(R\cup S\)?
#union
#transitive-relation
#counterexample-concept
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A यह हमेशा संक्रामक होगा / It is always transitive
B यह हमेशा परावर्ती होगा / It is always reflexive
C यह हमेशा संक्रामक नहीं होता / It is not always transitive
D यह हमेशा रिक्त होगा / It is always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता / It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता के लिए दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In a union, one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
ऐसा होने पर जरूरी तीसरा युग्म संघ में न हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Then the required third pair may be absent, so the union is not always transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का संक्रामक आवरण कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\)?
#transitive-closure
#minimal-extension
#relations
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A \(R\cup{(1,3),(2,4),(1,4)}\)
B \(R\cup{(2,1),(3,2),(4,3)}\)
C \(R\cup{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}\)
D (R) स्वयं / (R) itself
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R\cup{(1,3),(2,4),(1,4)}\)
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,3)) is required from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / ((2,4)) is required from ((2,3)) and ((3,4)).
Step 3
Exam Tip
आगे ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी जरूरी है। / Further, ((1,4)) is required from ((1,3)) and ((3,4)).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) का सबसे छोटा सममित विस्तार क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), what is the smallest symmetric extension of \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\)?
#symmetric-closure
#minimal-addition
#relations
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A \(R\cup{(3,2)}\)
B \(R\cup{(1,1),(2,2),(3,3)}\)
C \(R\cup{(1,3)}\)
D (R) स्वयं / (R) itself
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Correct Answer
A. \(R\cup{(3,2)}\)
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से दोनों दिशाओं में हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are already present in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) का उल्टा ((3,2)) गायब है। / The reverse of ((2,3)), namely ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
केवल ((3,2)) जोड़ने से संबंध सममित हो जाएगा। / Adding only ((3,2)) makes the relation symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)\}\) है। इसे संक्रामक बनाने पर कौन सा युग्म अनिवार्य रूप से आएगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)\}\). Which pair must necessarily appear when making it transitive?
#transitive-closure
#forced-pairs
#expert
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? Hint Small clue
A ((1,3))
B ((1,4))
C ((4,1))
D ऊपर के सभी / All of the above
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Correct Answer
D. ऊपर के सभी / All of the above
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,3)) is forced by ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
नई शृंखलाओं और दिए युग्मों से ((1,4)) तथा उल्टी दिशा में ((4,1)) भी आएंगे। / New chains and given pairs also force ((1,4)) and, in the reverse direction, ((4,1)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामक आवरण बनाते समय नए युग्मों से बनने वाली आगे की शृंखलाएं भी जांचनी होती हैं। / While forming transitive closure, chains created by newly added pairs must also be checked.
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यदि (R) परावर्ती और संक्रामक है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सत्य है?
If (R) is reflexive and transitive, which statement is always true about \(R^{-1}\)?
#inverse-relation
#reflexive
#transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा / \(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
B \(R^{-1}\) सममित अवश्य होगा / \(R^{-1}\) must be symmetric
C \(R^{-1}\) कभी संक्रामक नहीं होगा / \(R^{-1}\) will never be transitive
D \(R^{-1}\) रिक्त होगा / \(R^{-1}\) will be empty
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा / \(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
Step 1
Concept
स्वयुग्म उलटने पर वही रहते हैं, इसलिए \(R^{-1}\) परावर्ती रहेगा। / Self-pairs remain the same after reversal, so \(R^{-1}\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (R) में उल्टी दिशा की शृंखला संक्रामक है, तो विलोम में भी शृंखला का परिणाम मिलेगा। / Transitive chains in (R) reverse into transitive chains in the inverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्तन और संक्रामकता दोनों विलोम में सुरक्षित रहते हैं। / Therefore reflexivity and transitivity are both preserved in the inverse.
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यदि (R) सममित और संक्रामक है, तो क्या (R) हमेशा परावर्ती होगा? सही विकल्प चुनिए।
If (R) is symmetric and transitive, is (R) always reflexive? Choose the correct option.
#counterexample
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, हमेशा / Yes, always
B नहीं, जैसे \(A=\{1,2\}\) पर \(R=\{(1,1)\}\) / No, for example \(R=\{(1,1)\}\) on \(A=\{1,2\}\)
C हाँ, यदि समुच्चय अरिक्त हो / Yes, if the set is non-empty
D नहीं, क्योंकि संक्रामक संबंध परावर्ती नहीं हो सकता / No, because a transitive relation cannot be reflexive
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Correct Answer
B. नहीं, जैसे \(A=\{1,2\}\) पर \(R=\{(1,1)\}\) / No, for example \(R=\{(1,1)\}\) on \(A=\{1,2\}\)
Step 1
Concept
सममित और संक्रामक होने से सभी स्वयुग्म अपने आप नहीं मिलते। / Symmetry and transitivity do not automatically provide all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए उदाहरण में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / In the given example, ((2,2)) is missing, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में छोटा प्रति-उदाहरण सबसे मजबूत तरीका है। / For such theory questions, a small counterexample is the strongest method.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का अंतर (2) से विभाज्य हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if the difference between (a) and (b) is divisible by (2). Choose the correct conclusion.
#parity
#equivalence-relation
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
B परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
C. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is divisible by (2), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्य अंतरों का योग भी (2) से विभाज्य है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of divisible differences is again divisible by (2), so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (4) से छोटे हों या (a=b)। सही तुल्यता वर्ग चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a,b) are less than (4) or (a=b). Choose the correct equivalence classes.
#equivalence-classes
#partition
#subset-condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2,3},{4},{5},{6})
B ({1,2},{3,4},{5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1},{2},{3},{4,5,6})
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Correct Answer
A. ({1,2,3},{4},{5},{6})
Step 1
Concept
(1,2,3) सभी (4) से छोटे हैं, इसलिए वे आपस में संबंधित हैं। / (1,2,3) are all less than (4), so they are mutually related.
Step 2
Why this answer is correct
(4,5,6) केवल (a=b) के कारण अपने आप से संबंधित हैं। / (4,5,6) are related only to themselves through (a=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2,3},{4},{5},{6}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2,3},{4},{5},{6}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (|a-b|=2)। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (|a-b|=2). Choose the correct statement.
#absolute-difference
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0), इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं मिलता और परावर्तन नहीं है। / (|a-a|=0), so no self-pair occurs and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a-b=2)। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if (a-b=2). Choose the correct classification.
#fixed-difference
#not-reflexive
#not-symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक / Neither reflexive, symmetric, nor transitive
B केवल सममित / Only symmetric
C केवल संक्रामक / Only transitive
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक / Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a-a=0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b=2) होने पर (b-a=-2), इसलिए सममितता नहीं है। / If (a-b=2), then (b-a=-2), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(4R2) और (2R0) सही हैं, पर (4R0) के लिए अंतर (4) है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (4R2) and (2R0) hold, but (4R0) has difference (4), so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a-b\ge2\)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\ge2\). Choose the correct conclusion.
#order-relation
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
B परावर्ती और संक्रामक है / Reflexive and transitive
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(a-a=0), जो (2) से बड़ा या बराबर नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a-a=0), which is not at least (2), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) से कम से कम (2) बड़ा है, तो उल्टा सही नहीं होगा। / If (a) is at least (2) greater than (b), the reverse cannot hold.
Step 3
Exam Tip
\(a-b\ge2\) और \(b-c\ge2\) से \(a-c\ge4\), इसलिए संक्रामकता है। / From \(a-b\ge2\) and \(b-c\ge2\), we get \(a-c\ge4\), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?
#equivalence-closure
#minimal-addition
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
B ((2,4)) और ((4,2)) / ((2,4)) and ((4,2))
C ((1,4)) और ((4,1)) / ((1,4)) and ((4,1))
D ((4,4)) मात्र / Only ((4,4))
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Correct Answer
A. ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
Step 1
Concept
संबंध पहले से परावर्ती और सममित है। / The relation is already reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। / ((2,1)) and ((1,3)) force ((2,3)), while ((3,1)) and ((1,2)) force ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
ये दो युग्म जोड़ने पर ({1,2,3}) बंद वर्ग बन जाएगा और (4) अकेला रहेगा। / Adding these two pairs makes ({1,2,3}) a closed class and leaves (4) alone.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है और तुल्यता वर्गों के आकार (2,2,1) हैं, तो संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and the sizes of equivalence classes are (2,2,1), how many ordered pairs are in the relation?
#equivalence-relation
#counting
#class-sizes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (8)
C (9)
D (25)
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Step 1
Concept
हर तुल्यता वर्ग अपने भीतर सभी क्रमित युग्म देता है। / Each equivalence class contributes all ordered pairs within itself.
Step 2
Why this answer is correct
आकार (2,2,1) से युग्मों की संख्या \(2^2+2^2+1^2\) होगी। / For sizes (2,2,1), the count is \(2^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल (4+4+1=9) युग्म होंगे। / Hence the total is (4+4+1=9).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कुल कितने तुल्यता संबंध हो सकते हैं?
How many equivalence relations can be formed on \(A=\{1,2,3\}\)?
#equivalence-relation
#partitions
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (4)
C (5)
D (8)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
तीन तत्वों के विभाजन हैं: एक-एक अलग, तीनों साथ, और किसी दो का जोड़ा तथा एक अकेला। / For three elements, partitions are all singletons, all together, and one pair with one singleton.
Step 3
Exam Tip
कुल (1+1+3=5) तुल्यता संबंध बनते हैं। / The total is (1+1+3=5).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक दो तुल्यता वर्गों वाला संबंध कौन सा हो सकता है?
Which relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) can have exactly two equivalence classes?
#equivalence-classes
#partition
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध / Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
B रिक्त संबंध / Empty relation
C केवल ((1,2)) और ((2,1)) वाला संबंध / Relation with only ((1,2)) and ((2,1))
D सभी युग्मों वाला संबंध / Relation containing all pairs
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Correct Answer
A. वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध / Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में वर्ग समुच्चय का पूरा विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a complete partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) और ({3,4}) दो बंद वर्ग हैं और पूरा समुच्चय ढकते हैं। / ({1,2}) and ({3,4}) are two closed classes covering the whole set.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध परावर्ती नहीं और सार्वत्रिक संबंध में केवल एक वर्ग होगा। / The empty relation is not reflexive, and the universal relation has only one class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों विषम हों या दोनों सम हों। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if both (a,b) are odd or both are even. Choose the correct conclusion.
#parity
#equivalence-relation
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह सममित है पर परावर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive
C यह परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / It is reflexive but not transitive
D यह सममित नहीं है / It is not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने ही सम-विषम प्रकार का है, इसलिए परावर्तन है। / Every element has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान सम-विषम प्रकार क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same parity is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की शृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / A chain of the same parity remains in the same parity, so transitivity also holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर शेषफल अलग हो। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) have different remainders when divided by (2). What type of relation is it?
#different-parity
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
कोई तत्व अपने ही शेषफल से अलग शेषफल नहीं रख सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No element can have a different remainder from itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही है, इसलिए सममितता है। / The different-remainder condition remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R2) and (2R3) hold, but (1R3) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2+b^2=1\)। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2+b^2=1\). Choose the correct classification.
#circle-relation
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(aRa) के लिए \(2a^2=1\) चाहिए, जो हर वास्तविक (a) के लिए सत्य नहीं है। / For (aRa), we need \(2a^2=1\), which is not true for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2+b^2\) में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / \(a^2+b^2\) is unchanged when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(0R1) और (1R0) सही हैं, पर (0R0) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R1) and (1R0) hold, but (0R0) does not, so transitivity fails.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो सही कथन कौन सा है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which statement is correct?
#equivalence-classes
#partition
#conceptual
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A ([a]=[b])
B ([a]) और ([b]) हमेशा अलग होंगे / ([a]) and ([b]) will always be different
C (a) और (b) संबंधित नहीं होंगे / (a) and (b) will not be related
D \([a]\cup[b]=\varnothing\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या पूरी तरह समान होते हैं। / Equivalence classes are either disjoint or exactly the same.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं रह सकते। / If two classes share even one element, they cannot remain distinct.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \([a]\cap[b]\neq\varnothing\) होने पर ([a]=[b]) होगा। / Therefore \([a]\cap[b]\neq\varnothing\) implies ([a]=[b]).
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यदि (R) किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध है और (aRb) नहीं है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is an equivalence relation on a set and (aRb) is false, what is true about ([a]) and ([b])?
#equivalence-classes
#disjoint-classes
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वे समान होंगे / They will be equal
B वे अलग-अलग होंगे / They will be disjoint
C उनका प्रतिच्छेद पूरा समुच्चय होगा / Their intersection will be the whole set
D दोनों रिक्त होंगे / Both will be empty
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Correct Answer
B. वे अलग-अलग होंगे / They will be disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में दो तत्व एक ही वर्ग में तभी होते हैं जब वे संबंधित हों। / In an equivalence relation, two elements lie in the same class exactly when they are related.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) असत्य है, इसलिए (a) और (b) एक वर्ग में नहीं हैं। / Since (aRb) is false, (a) and (b) are not in the same class.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Distinct equivalence classes are disjoint.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a=b\) या a+b सम है}) है। सही निष्कर्ष चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a=b\) or a+b is even}). Choose the correct conclusion.
#parity
#equivalence-relation
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह परावर्ती है पर सममित नहीं / It is reflexive but not symmetric
C यह सममित है पर संक्रामक नहीं / It is symmetric but not transitive
D यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने का अर्थ है समान सम-विषम प्रकार, जो क्रम बदलने पर भी सही रहता है। / (a+b) being even means same parity, which is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषम प्रकार की शृंखला संक्रामक होती है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / A chain of same parity is transitive, so the relation is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a+b\le6\)। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if \(a+b\le6\). Choose the correct statement.
#sum-inequality
#symmetric
#not-transitive
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध / Equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((4,4)) के लिए योग (8) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((4,4)), the sum is (8), so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
\(a+b\le6\) क्रम बदलने पर भी वैसा ही रहता है, इसलिए सममितता है। / \(a+b\le6\) remains the same after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((5,1)) और ((1,5)) हैं पर ((5,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((5,1)) and ((1,5)) exist but ((5,5)) does not, so transitivity fails.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या क्या है जो परावर्ती हैं पर पहचान संबंध नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many relations on (A) are reflexive but not the identity relation?
#counting-relations
#reflexive
#identity-relation
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? Hint Small clue
A \(2^{12}\)
B \(2^{12}-1\)
C \(2^{16}-1\)
D \(2^4-1\)
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Correct Answer
B. \(2^{12}-1\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध भी इन्हीं परावर्ती संबंधों में से एक है। / The identity relation is one of these reflexive relations.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को हटाने पर संख्या \(2^{12}-1\) होगी। / Removing it gives \(2^{12}-1\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने संबंध हैं जो न परावर्ती हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\), how many relations on (A) are not reflexive?
#counting-relations
#not-reflexive
#expert
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? Hint Small clue
A \(2^9-2^6\)
B \(2^6\)
C \(2^3\)
D \(2^9\)
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Correct Answer
A. \(2^9-2^6\)
Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^9\) है। / The total number of relations is \(2^9\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
न परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^9-2^6\) होगी। / Therefore the number of non-reflexive relations is \(2^9-2^6\).
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यदि (R) किसी समुच्चय पर सममित संबंध है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) is a symmetric relation on a set, choose the correct statement about \(R\cup R^{-1}\).
#inverse-relation
#symmetric-relation
#union
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह (R) के बराबर होगा / It will be equal to (R)
B यह रिक्त संबंध होगा / It will be the empty relation
C यह सार्वत्रिक संबंध होगा / It will be the universal relation
D यह परावर्ती अवश्य होगा / It must be reflexive
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Correct Answer
A. यह (R) के बराबर होगा / It will be equal to (R)
Step 1
Concept
सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से मौजूद होता है। / In a symmetric relation, the reverse of every pair is already present.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R^{-1}=R\) होगा। / Therefore \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
\(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\) मिलेगा। / Hence \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\).
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किसी संबंध (R) के लिए \(R\cap R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सही है?
For any relation (R), which statement about \(R\cap R^{-1}\) is always true?
#inverse-relation
#intersection
#symmetric
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? Hint Small clue
A यह सममित होता है / It is symmetric
B यह परावर्ती होता है / It is reflexive
C यह संक्रामक होता है / It is transitive
D यह सार्वत्रिक होता है / It is universal
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Correct Answer
A. यह सममित होता है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) \(R\cap R^{-1}\) में है, तो वह (R) और \(R^{-1}\) दोनों में है। / If ((a,b)) is in \(R\cap R^{-1}\), it is in both (R) and \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे ((b,a)) भी (R) और \(R^{-1}\) दोनों में होगा। / This ensures ((b,a)) is also in both (R) and \(R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिच्छेद में हर युग्म का उल्टा भी रहेगा और यह सममित होगा। / Hence every pair in the intersection has its reverse, so it is symmetric.
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किसी संबंध (R) के लिए \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सत्य है?
For any relation (R), which statement about \(R\cup R^{-1}\) is always true?
#inverse-relation
#union
#symmetric
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? Hint Small clue
A यह सममित होता है / It is symmetric
B यह परावर्ती होता है / It is reflexive
C यह संक्रामक होता है / It is transitive
D यह पहचान संबंध होता है / It is the identity relation
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Correct Answer
A. यह सममित होता है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) \(R\cup R^{-1}\) में है, तो वह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If ((a,b)) is in \(R\cup R^{-1}\), it is in (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थिति में उल्टा युग्म ((b,a)) भी \(R\cup R^{-1}\) में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) also lies in \(R\cup R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सदैव सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) is an equivalence relation, choose the correct statement about \(R^{-1}\).
#equivalence-relation
#inverse-relation
#properties
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध है और \(R^{-1}=R\) / \(R^{-1}\) is also an equivalence relation and \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}\) परावर्ती नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be reflexive
C \(R^{-1}\) सममित नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be symmetric
D \(R^{-1}\) संक्रामक नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be transitive
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध है और \(R^{-1}=R\) / \(R^{-1}\) is also an equivalence relation and \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध सममित होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\) है। / An equivalence relation is symmetric, so \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
वही संबंध परावर्ती, सममित और संक्रामक रहता है। / The same relation remains reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध होगा। / Hence \(R^{-1}\) is also an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b) (5) के बराबर हो। (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=5). What is the equivalence class of (2)?
#equivalence-class
#sum-relation
#partition
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A ({2,3})
B ({1,4})
C ({2})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({2,3})
Step 1
Concept
(2+3=5), इसलिए (2) और (3) संबंधित हैं। / Since (2+3=5), (2) and (3) are related.
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) के कारण (2) स्वयं से भी संबंधित है। / Because of (a=b), (2) is related to itself as well.
Step 3
Exam Tip
(2) का वर्ग ({2,3}) होगा। / The class of (2) is ({2,3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many ordered pairs are in the relation?
#modular-relation
#equivalence-relation
#counting
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A (6)
B (9)
C (12)
D (18)
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Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। / The equivalence classes are ({1,4},{2,5},{3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+4+4=12).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a,b) are multiples of (3), or both are not multiples of (3). How many ordered pairs are in the relation?
#equivalence-relation
#divisibility
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (12)
B (16)
C (20)
D (36)
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Step 1
Concept
वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं। / The classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}).
Step 2
Why this answer is correct
पहले वर्ग से \(2^2=4\) और दूसरे से \(4^2=16\) युग्म मिलते हैं। / The first class gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+16=20) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+16=20).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या दोनों संख्याएं अभाज्य हों। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both numbers are prime. What type of relation is it?
#prime-numbers
#equivalence-relation
#partition
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
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Correct Answer
B. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म शामिल हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) includes all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both numbers are prime is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य तत्व ({2,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और बाकी अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / Prime elements ({2,3,5}) form one closed class and the others stay single, so transitivity holds.
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यदि (R) किसी समुच्चय पर परावर्ती संबंध है, तो \(R\cap I\) के बारे में सही कथन क्या है, जहां (I) पहचान संबंध है?
If (R) is a reflexive relation on a set, what is true about \(R\cap I\), where (I) is the identity relation?
#identity-relation
#intersection
#reflexive
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A \(R\cap I=I\)
B \(R\cap I=R\)
C \(R\cap I=\varnothing\)
D \(R\cap I=A\times A\)
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Correct Answer
A. \(R\cap I=I\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध (R) में सभी स्वयुग्म होते हैं। / A reflexive relation (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध (I) में केवल स्वयुग्म होते हैं। / The identity relation (I) contains only self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए साझा भाग ठीक वही स्वयुग्म होंगे, यानी \(R\cap I=I\)। / Therefore the common part is exactly the identity relation, so \(R\cap I=I\).
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यदि (R) सममित संबंध नहीं है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) is not symmetric, choose the correct statement about \(R\cup R^{-1}\).
#symmetric-closure
#inverse-relation
#union
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A यह सममित होगा / It will be symmetric
B यह सममित नहीं होगा / It will not be symmetric
C यह रिक्त होगा / It will be empty
D यह पहचान संबंध होगा / It will be the identity relation
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Correct Answer
A. यह सममित होगा / It will be symmetric
Step 1
Concept
\(R\cup R^{-1}\) में (R) के हर युग्म के साथ उसका उल्टा भी शामिल हो जाता है। / In \(R\cup R^{-1}\), every pair of (R) is accompanied by its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी युग्म का उल्टा संघ में मौजूद रहेगा। / Therefore the reverse of any pair in the union is also present.
Step 3
Exam Tip
भले (R) स्वयं सममित न हो, \(R\cup R^{-1}\) सममित होता है। / Even if (R) itself is not symmetric, \(R\cup R^{-1}\) is symmetric.
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