Topic Quiz • 150 questions • 60 seconds per question.
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If (f(x)=x+2) and (g(x)=3x), what is ((f+g)(x))?
A. (4x+2)
योग में समान (x) पद जोड़े जाते हैं, इसलिए ((f+g)(x)=x+2+3x=4x+2)। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलें। / In addition, like (x) terms are added, so ((f+g)(x)=x+2+3x=4x+2). In exams, open brackets first.
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If f(x)=5x-1 and g(x)=2x+4, what is the value of (f-g)(x)?
A. 3x-5
फलनों का अंतर (f-g)(x)=f(x)-g(x) होता है। इसलिए (5x-1)-(2x+4)=5x-1-2x-4=3x-5। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत है, क्योंकि दूसरे फलन को घटाते समय उसके सभी पदों के चिह्न बदलते हैं। परीक्षा टिप: पूरे g(x) को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / The difference of two functions is defined as (f-g)(x)=f(x)-g(x). Thus, (5x-1)-(2x+4)=5x-1-2x-4=3x-5. Option C has the wrong sign for the constant term because the signs of all terms of the second function change during subtraction. Exam tip: enclose the second function in brackets before subtracting.
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If \(f(x)=x+1\) and \(g(x)=x-1\), what is the value of \((fg)(x)\)?
A. \(x^2-1\)
दो वास्तविक फलनों के गुणन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। अतः \((fg)(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1\), जहाँ \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) की पहचान का उपयोग किया गया है। विकल्प C \(2x\) फलनों के योग से मिलता है, गुणन से नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों के गुणन और \((f\circ g)(x)\) को संयोजन समझकर अलग रखें। / For the product of two real functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1\), using the identity \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Option C, \(2x\), results from adding the functions, not multiplying them. In an exam, distinguish the product \((fg)(x)\) from the composition \((f\circ g)(x)\).
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If \(f(x)=2x+6\) and \(g(x)=2\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(x+3\)
दो फलनों के भागफल की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। इसलिए \(\frac{2x+6}{2}=x+3\)। विकल्प B में केवल स्थिर पद को 2 से भाग दिया गया है, जो सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन में पूरे अंश को हर फलन से भाग दें और जाँचें कि हर शून्य न हो; यहाँ \(g(x)=2\) होने से सभी वास्तविक \(x\) मान्य हैं। / By the definition of the quotient of two functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Hence, \(\frac{2x+6}{2}=x+3\). Option B results from dividing only the constant term by 2, which is incorrect. Exam tip: divide the entire numerator by the denominator and check that the denominator is non-zero; here \(g(x)=2\), so every real \(x\) is allowed.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=4\), what is the value of \((f+g)(2)\)?
A. 8
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=2^2+4=4+4=8\)। विकल्प B केवल \(f(2)\) का मान दर्शाता है, उसमें \(g(2)\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: \((f+g)(a)\) में दोनों फलनों के \(a\) पर मान जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=2^2+4=4+4=8\). Option B gives only \(f(2)\) and does not include \(g(2)\). Exam tip: For \((f+g)(a)\), find the values of both functions at \(a\) and add them.
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If \(f(x)=3x\) and \(g(x)=x+5\), find the value of \((f-g)(1)\).
A. -3
\((f-g)(1)=f(1)-g(1)\)। यहाँ \(f(1)=3\) और \(g(1)=1+5=6\), इसलिए \((f-g)(1)=3-6=-3\)। विकल्प B में घटाव का क्रम उलट जाता है। परीक्षा-युक्ति: \((f-g)(a)\) में हमेशा पहले फलन का मान दूसरे फलन के मान से घटाएँ। / \((f-g)(1)=f(1)-g(1)\). Here, \(f(1)=3\) and \(g(1)=1+5=6\), so \((f-g)(1)=3-6=-3\). Option B results from reversing the subtraction order. Exam tip: In \((f-g)(a)\), always subtract the value of the second function from that of the first.
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A. 12
(fg)(1)=f(1)×g(1)=(1+2)(1+3)=3×4=12। इसलिए सही उत्तर 12 है। 7, f(1)+g(1) निकालने पर मिलता है, जो यहाँ आवश्यक गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: (fg)(x) को पहले f(x)g(x) के रूप में लिखकर फिर दिए गए मान पर गणना करें। / (fg)(1)=f(1)×g(1)=(1+2)(1+3)=3×4=12, so the correct answer is 12. The value 7 results from adding f(1) and g(1), but the question asks for their product. Exam tip: Rewrite (fg)(x) as f(x)g(x) before substituting the given value.
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If \(f(x)=x^2-4\) and \(g(x)=x-2\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(3)\)?
A. (5)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(3)=\frac{9-4}{3-2}=5\)। भाग में हर का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(3)=\frac{9-4}{3-2}=5\). In division, the denominator value must not be zero.
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If f(x) = x² + 1 and g(x) = 2x, then what is (f + g)(x) equal to?
A. x² + 2x + 1
दो फलनों के योग की परिभाषा है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(x²+1)+2x=x²+2x+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 2x का चिह्न गलत रूप से ऋणात्मक लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों को जोड़ते समय उसी इनपुट x पर उनके मानों को जोड़ें और फिर समान पदों को व्यवस्थित करें। / The sum of two functions is defined as \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=(x²+1)+2x=x²+2x+1\), so option A is correct. Option B incorrectly changes the sign of 2x. Exam tip: In function addition, add the function values at the same input x and then combine like terms.
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If \(f(x)=4x+7\) and \(g(x)=x-3\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(3x+10\)
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=(4x+7)-(x-3)=4x+7-x+3=3x+10\)। विकल्प C में स्थिर पदों का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: किसी फलन को घटाते समय उसके पूरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined by \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(4x+7)-(x-3)=4x+7-x+3=3x+10\). In option C, the sign of the constant term has been handled incorrectly. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term inside its bracket.
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If f(x)=2x and g(x)=x-2, what is the value of (fg)(x)?
A. \(2x^3\)
दो फलनों के गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए (fg)(x)=(2x)\(x^2\)=2x-3। विकल्प B, 2x-2, f(g(x)) का मान है, जो फलनों का संयोजन है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f(g(x)) से अलग पहचानें। / For the product of two functions, (fg)(x)=f(x)g(x). Hence, (fg)(x)=(2x)\(x^2\)=2x-3. Option B, 2x-2, represents f(g(x)), the composition of the functions, not their product. Exam tip: distinguish (fg)(x) from f(g(x)).
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If \(f(x)=6x^2\) and \(g(x)=3x\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\), where \(x\neq0\)?
A. (2x)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{6x^2}{3x}=2x\), क्योंकि \(x\neq0\)। भाग में पहले शर्त जाँचें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{6x^2}{3x}=2x\), because \(x\neq0\). In quotient questions, check the condition first.
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A. 2x+8
किसी फलन f का 2f से गुणन करने पर (2f)(x)=2f(x) होता है। इसलिए (2f)(x)=2(x+4)=2x+8। विकल्प C में केवल x का गुणांक 2 किया गया है, स्थिरांक 4 को नहीं। परीक्षा टिप: संख्यात्मक गुणक फलन के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। / Multiplying a function f by 2 gives (2f)(x)=2f(x). Hence, (2f)(x)=2(x+4)=2x+8. Option C is incorrect because it multiplies only the x-term, not the constant term 4. Exam tip: Distribute a scalar multiplier to every term of the function.
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If \(f(x)=3x-2\), what is \((-f)(x)\) equal to?
A. \(-3x+2\)
\((-f)(x)=-f(x)=-(3x-2)=-3x+2\)। ऋण चिह्न पूरे फलन के मान पर लागू होता है, इसलिए दोनों पदों के चिह्न बदल जाते हैं। विकल्प B में केवल स्थिर पद का चिह्न बदला गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के बाहर का ऋण चिह्न लगाते समय कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \((-f)(x)=-f(x)=-(3x-2)=-3x+2\). The negative sign applies to the entire function, so the signs of both terms change. Option B changes only the sign of the constant term and is therefore incorrect. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, change the sign of every term inside it.
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If \\(f(x)=x^2\\), what is the value of \\((f+f)(x)\\)?
A. \\(2x^2\\)
दो फलनों का योग बिंदुवार निकाला जाता है: \\((f+f)(x)=f(x)+f(x)=x^2+x^2=2x^2\\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में पदों को गुणा करने जैसा भ्रम है, जबकि यहाँ जोड़ करना है। परीक्षा टिप: समान चर और समान घात वाले पदों को जोड़ते समय उनके गुणांक जोड़ें, घात नहीं। / The sum of two functions is found pointwise: \\((f+f)(x)=f(x)+f(x)=x^2+x^2=2x^2\\). Hence, option A is correct. Option B results from incorrectly multiplying the terms, but the operation here is addition. Exam tip: when adding like terms, add their coefficients and keep the common power unchanged.
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If \(f(x)=x+1\), what is \((ff)(x)\) when \(ff\) denotes the product of the functions?
A. \(x^2+2x+1\)
फलनों के गुणनफल के लिए \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)=(x+1)(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(f(x)+f(x)=2x+2\), फलनों के योग को दर्शाता है, गुणनफल को नहीं। परीक्षा में \(ff\) और \(f+f\) के बीच का अंतर ध्यान से देखें। / For the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)=(x+1)(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\). Hence, option A is correct. Option B, \(f(x)+f(x)=2x+2\), represents the sum of the functions, not their product. In exams, carefully distinguish between \(ff\) and \(f+f\).
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If (f(x)=x+5) and (g(x)=x+5), what is ((f-g)(x))?
A. (0)
दोनों फलन समान हैं, इसलिए ((f-g)(x)=(x+5)-(x+5)=0)। समान फलनों का अंतर शून्य होता है। / Both functions are equal, so ((f-g)(x)=(x+5)-(x+5)=0). The difference of equal functions is zero.
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If (f(x)=0) and (g(x)=x-2+3), what is ((f+g)(x))?
A. \(x^2+3\)
शून्य फलन जोड़ने से फलन नहीं बदलता, इसलिए ((f+g)(x)=x-2+3)। यह योग का पहचान गुण है। / Adding the zero function does not change the function, so ((f+g)(x)=x-2+3). This is the identity property of addition.
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If (f(x)=1) and (g(x)=x-2-2x), what is ((fg)(x))?
A. \(x^2-2x\)
एकक फलन (1) से गुणा करने पर ((fg)(x)=g(x)) रहता है। गुणन में (1) पहचान तत्व है। / Multiplying by the unit function (1) gives ((fg)(x)=g(x)). In multiplication, (1) is the identity element.
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If \(f(x)=x-2\) and \(g(x)=x+2\), what is the sum of the functions, \((f+g)(x)\)?
A. \(2x\)
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(x-2)+(x+2)=2x\), क्योंकि \(-2\) और \(+2\) एक-दूसरे को काट देते हैं। विकल्प B फलनों के गुणनफल \(f(x)g(x)\) से संबंधित है, जबकि विकल्प C केवल स्थिर पदों के योग को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(f+g\) में संबंधित फलनों को जोड़ा जाता है, गुणा नहीं किया जाता। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=(x-2)+(x+2)=2x\), because the constant terms \(-2\) and \(+2\) cancel each other. Option B corresponds to the product \(f(x)g(x)\), while option C considers only the constant terms. Exam tip: In \(f+g\), add the function values; do not multiply them.
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If f(x)=x-2+2x and g(x)=x-2-x, what is the value of (f-g)(x)?
A. 3x
दो फलनों का अंतर (f-g)(x)=f(x)-g(x) होता है। इसलिए (f-g)(x)=x-2+2x-\(x^2-x\)=x-2+2x-x-2+x=3x। विकल्प B में घटाने के बजाय पदों को जोड़ने जैसी गलती हुई है। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न होने पर दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined by (f-g)(x)=f(x)-g(x). Thus, (f-g)(x)=x-2+2x-\(x^2-x\)=x-2+2x-x-2+x=3x. Option B results from adding the functions instead of subtracting them. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, change the sign of every term inside the bracket.
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If \(f(x)=x+2\) and \(g(x)=2x+1\), what is the value of \((fg)(0)\)?
A. 2
फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \(f(0)=2\) और \(g(0)=1\), इसलिए \((fg)(0)=2\times1=2\)। विकल्प D केवल \(g(0)\) का मान है, जबकि विकल्प C दोनों फलनों के मानों का योग है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों का गुणनफल समझें, संयोजन नहीं। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(0)=2\) and \(g(0)=1\), so \((fg)(0)=2\times1=2\). Option D is only \(g(0)\), while option C represents the sum of the two values. Exam tip: interpret \((fg)(x)\) as the product of functions, not their composition.
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If \(f(x)=x^2+3\) and \(g(x)=x^2-1\), what is the value of \((f-g)(2)\)?
A. 4
फलनों के अंतर के अनुसार \((f-g)(2)=f(2)-g(2)\)। यहाँ \(f(2)=2^2+3=7\) और \(g(2)=2^2-1=3\), इसलिए \((f-g)(2)=7-3=4\)। विकल्प 8 जोड़ करने से प्राप्त होता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: \((f-g)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान निकालकर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(2)=f(2)-g(2)\). Here, \(f(2)=2^2+3=7\) and \(g(2)=2^2-1=3\), so \((f-g)(2)=7-3=4\). The value 8 results from adding the two function values, so it is incorrect. Exam tip: For \((f-g)(a)\), evaluate both functions at \(a\) and then subtract.
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If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x-4), what is the value of ((f+g)(-1))?
A. (-8)
((f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=-1+(-5)=-6) नहीं, ध्यान दें (f(-1)=-1) और कुल (-6) है। सही विकल्प (-6) होना चाहिए। / ((f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=-1+(-5)=-6). Check signs carefully for negative input.
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If \(f(x)=3x+2\) and \(g(x)=x+1\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(1)\)?
A. \(\frac{5}{2}\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{5}{2}\)। हर का मान (2) है, इसलिए भाग संभव है। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{5}{2}\). The denominator value is (2), so division is allowed.
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If \(f(x)=\sqrt{x}\) and \(g(x)=x+1\), what is the value of \((f+g)(4)\)?
A. 7
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(4)=\sqrt{4}+(4+1)=2+5=7\)। विकल्प B केवल \(g(4)\) का मान है, जबकि दोनों फलनों के मान जोड़ने आवश्यक हैं। परीक्षा-युक्ति: \((f+g)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान निकालकर जोड़ें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(4)=\sqrt{4}+(4+1)=2+5=7\). Option B is only the value of \(g(4)\), whereas the values of both functions must be added. Exam tip: For \((f+g)(a)\), find both \(f(a)\) and \(g(a)\), then add them.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=\sqrt{x}\), what is the value of \((fg)(9)\)? Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)\).
A. 243
गुणनफल फलन के अनुसार \((fg)(9)=f(9)g(9)=9^2\times\sqrt{9}=81\times3=243\)। इसलिए सही उत्तर 243 है। 81 वह मान है जो केवल \(f(9)=9^2\) लेने पर मिलता है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों के गुणनफल के रूप में पढ़ें, संयोजन के रूप में नहीं। / For the product of functions, \((fg)(9)=f(9)g(9)=9^2\times\sqrt{9}=81\times3=243\). Therefore, 243 is correct. The value 81 results from calculating only \(f(9)=9^2\) and ignoring \(g(9)\). In an exam, read \((fg)(x)\) as the product of the two functions, not their composition.
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If \(f(x)=\frac{1}{x}\) and \(g(x)=x\), what is the value of the product function \((fg)(2)\)?
A. 1
फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \((fg)(2)=f(2)g(2)=\frac{1}{2}\times2=1\)। विकल्प C केवल \(f(2)\) का मान है, जबकि यहाँ दोनों फलनों का गुणन करना है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को फलनों के गुणनफल के रूप में पहचानें, संयोजन के रूप में नहीं। / For the product of functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)g(2)=\frac{1}{2}\times2=1\). Option C is only the value of \(f(2)\), whereas the product of both function values is required. In exams, identify \((fg)(x)\) as the product of functions, not their composition.
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If \(f(x)=x+6\) and \(g(x)=x+2\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)\)?
A. 3
भागफल फलन के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}\)। यहाँ \(f(0)=6\) और \(g(0)=2\), इसलिए \(\frac{6}{2}=3\)। हर शून्य नहीं है, इसलिए यह मान परिभाषित है। विकल्प B में केवल \(f(0)\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन में पहले दोनों फलनों के मान निकालकर फिर भाग दें। / For quotient functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}\). Here, \(f(0)=6\) and \(g(0)=2\), so \(\frac{6}{2}=3\). Since the denominator is non-zero, the value is defined. Option B gives only \(f(0)\) and ignores the division by \(g(0)\). Exam tip: evaluate both functions first, then divide.
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A. \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
यहाँ \((fg)(x)=(x-1)(x+1)\) है। यह \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) पहचान के रूप में है, जहाँ \(a=x\) और \(b=1\)। इसलिए \((fg)(x)=x^2-1\)। विकल्प B और D वर्ग के विस्तार से संबंधित हैं, जबकि विकल्प C घनों के योग के लिए है। परीक्षा में विपरीत चिह्न वाले दो द्विपदों का गुणनफल दिखे, तो अंतर के वर्ग की पहचान याद रखें। / Here, \((fg)(x)=(x-1)(x+1)\). This matches the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), with \(a=x\) and \(b=1\). Hence, \((fg)(x)=x^2-1\). Options B and D are identities for squaring a binomial, while option C is for the sum of two cubes. Exam tip: when two binomials have opposite signs and the same terms, use the difference-of-squares identity.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=2x+1\), what is the value of \((f+g)(3)\)?
A. 16
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(3)=f(3)+g(3)=3^2+(2\times3+1)=9+7=16\)। विकल्प B केवल \(f(3)+g(1)\) जैसी गलत गणना से आ सकता है; परीक्षा में दोनों फलनों में समान इनपुट रखने का ध्यान रखें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(3)=f(3)+g(3)=3^2+(2\times3+1)=9+7=16\). Option B can result from using an incorrect input in one function; in such questions, substitute the same input into both functions.
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If 8f(x)=2x-29 and 8g(x)=x-2+59, what is 8f-g98x9?
A. \(x^2-5\)
दो फलनों का अंतर 8f-g98x9=f8x9-g8x9 होता है। इसलिए 8f-g98x9=2x-2-8x-2+59=2x-2-x-2-5=x-2-5। विकल्प B में फलनों को घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है। परीक्षा में ऋण चिह्न वाले कोष्ठक को खोलते समय अंदर के दोनों पदों के चिह्न बदलना याद रखें। / The difference of two functions is defined by 8f-g98x9=f8x9-g8x9. Hence, 8f-g98x9=2x-2-8x-2+59=2x-2-x-2-5=x-2-5. Option B results from effectively adding the functions instead of subtracting them. In an exam, remember to change the signs of both terms inside a bracket preceded by a minus sign.
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If \(f(x)=x+3\) and \(g(x)=x\), what is the value of the product function \((fg)(x)=f(x)g(x)\)?
A. \(x^2+3x\)
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+3)x=x^2+3x\)। विकल्प B, \(2x+3\), वास्तव में \((f+g)(x)\) का मान है, गुणनफल का नहीं। परीक्षा-टिप: \(fg\) को \(f+g\) न समझें; पहले दोनों फलनों के मानों का गुणा करें। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+3)x=x^2+3x\). Option B, \(2x+3\), is the value of \((f+g)(x)\), not the product. Exam tip: Do not confuse \(fg\) with \(f+g\); multiply the two function values first.
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If \\(f(x)=2x-3\\) and \\(g(x)=x+4\\), what is \\((f+g)(x)\\)?
A. \\(3x+1\\)
दो फलनों का योग परिभाषित होता है: \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\\)। इसलिए \\((2x-3)+(x+4)=3x+1\\)। विकल्प B में \\(2x\\) पद छूट गया है, जबकि विकल्प D गुणनफल \\(f(x)g(x)\\) से प्राप्त होता है, योग से नहीं। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान घात वाले पदों को जोड़ें और अचर पदों का अलग से योग करें। / The sum of two functions is defined by \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\\). Hence, \\((2x-3)+(x+4)=3x+1\\). Option B omits the additional \\(2x\\) term, while option D results from multiplying the two functions, not adding them. Exam tip: combine like powers of \\(x\\) and then combine the constant terms separately.
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If \(f(x)=5\) and \(g(x)=x^2\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(5-x^2\)
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=5-x^2\)। विकल्प B में घटाव का क्रम उलट दिया गया है, जबकि विकल्प C गुणन और विकल्प D योग दर्शाते हैं। परीक्षा में \((f-g)\) को हमेशा पहले फलन में से दूसरे फलन को घटाकर हल करें। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=5-x^2\). Option B reverses the order of subtraction, while options C and D represent multiplication and addition, respectively. In an exam, remember to subtract the second function from the first in \((f-g)\).
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A. (x-3)
\(\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3\), जहाँ \(x\neq-3\)। काटने से पहले शर्त लिखें। / \(\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3\), where \(x\neq-3\). Write the condition before cancellation.
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A. \(x+1\)
फलनों के भागफल की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। यहाँ \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), इसलिए \(\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1\), बशर्ते \(x\ne -1\)। विकल्प D \(1\) केवल एक \((x+1)\) काटने के बाद शेष हर को भी गलत तरीके से काटने पर प्राप्त होगा। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / By the definition of the quotient of functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Since \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), we get \(\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1\), provided \(x\ne -1\). Option D, \(1\), results from incorrectly cancelling both factors. Exam tip: always exclude the value that makes the denominator zero.
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If \(f(x)=x+2\) and \(g(x)=x-5\), what is the value of \((f+g)(5)\)?
A. 7
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \(f(5)=5+2=7\) और \(g(5)=5-5=0\), अतः \((f+g)(5)=7+0=7\)। विकल्प 12 केवल \(f(5)\) और \(g(5)\) को गलत तरीके से जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान निकालें, फिर उनका योग करें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(5)=5+2=7\) and \(g(5)=5-5=0\), so \((f+g)(5)=7+0=7\). The value 12 results from an incorrect evaluation of the two functions. Exam tip: evaluate each function at the given input first, then add the results.
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If \(f(x)=4x\) and \(g(x)=x+2\), find the value of \((fg)(2)\).
A. 32
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)\) है, इसलिए \(f(2)=8\) और \(g(2)=4\)। अतः \((fg)(2)=8\times4=32\)। विकल्प 16, \(f(g(2))\) अर्थात संयोजन का मान है, गुणन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) और \((f\circ g)(x)\) को संयोजन समझें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)\), so \(f(2)=8\) and \(g(2)=4\). Therefore, \((fg)(2)=8\times4=32\). The value 16 represents \(f(g(2))\), which is composition rather than multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)=f(x)g(x)\) from \((f\circ g)(x)\), which denotes composition.
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If \(f(x)=x^2-1\) and \(g(x)=x^2+1\), what is \((f+g)(x)\)?
A. \(2x^2\)
दो फलनों का योग प्रत्येक \(x\) के लिए उनके मानों का योग होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-1)+(x^2+1)=2x^2\)। यहाँ \(-1\) और \(+1\) आपस में कट जाते हैं। विकल्प C गुणनफल \(f(x)g(x)\) है, योग नहीं। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान \(x\) पर दोनों फलनों के मान जोड़ें। / The sum of two functions is obtained by adding their values at the same input: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-1)+(x^2+1)=2x^2\). The constant terms \(-1\) and \(+1\) cancel each other. Option C represents the product \(f(x)g(x)\), not the sum. Exam tip: For function addition, add the two expressions term by term.
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If \(f(x)=3x^2+1\) and \(g(x)=x^2-4\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(2x^2+5\)
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=(3x^2+1)-(x^2-4)=3x^2+1-x^2+4=2x^2+5\)। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले कोष्ठक को हटाते समय कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / By definition, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(3x^2+1)-(x^2-4)=3x^2+1-x^2+4=2x^2+5\). Option C results from keeping the constant term as \(-4\) instead of changing it to \(+4\). Exam tip: when removing a bracket preceded by a minus sign, change the sign of every term inside it.
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A. \(2x+2\)
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=(x+1)\cdot2=2x+2\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B जोड़ \(f(x)+g(x)\) से मिलता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \(fg\) को गुणनफल और \(f\circ g\) को संयोजन फलन के रूप में अलग-अलग पहचानें। / By the definition of the product of functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+1)\cdot2=2x+2\), so option A is correct. Option B represents the sum \(f(x)+g(x)\), not the product. In exams, distinguish \(fg\), which denotes a product here, from \(f\circ g\), which denotes composition.
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If \(f(x)=8x+4\) and \(g(x)=4\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(2x+1\)
भागफल फलन की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। इसलिए \(\frac{8x+4}{4}=\frac{8x}{4}+\frac{4}{4}=2x+1\)। विकल्प B में \(8x\) को 4 से सही तरह विभाजित नहीं किया गया है, जबकि विकल्प C में स्थिर पद गलत है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन के प्रत्येक पद को स्थिर हर से अलग-अलग भाग दें। / By the definition of the quotient of two functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Thus, \(\frac{8x+4}{4}=\frac{8x}{4}+\frac{4}{4}=2x+1\). In option B, the term \(8x\) has not been divided correctly by 4, while option C has an incorrect constant term. Exam tip: when dividing a polynomial by a nonzero constant, divide every term by that constant.
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If \(f(x)=x-7\) and \(g(x)=7-x\), what is the value of \((f+g)(x)\)?
A. 0
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(x-7)+(7-x)=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि विपरीत पदों का योग शून्य होता है; \(x^2-49\) गुणन से प्राप्त होता, योग से नहीं। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=(x-7)+(7-x)=0\), so option A is correct. Remember that opposite terms cancel in addition; \(x^2-49\) would arise from multiplication, not addition.
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If f(x)=2x+5 and g(x)=2x−5, what is the value of (f−g)(x)?
A. 10
दो फलनों का अंतर (f−g)(x)=f(x)−g(x) होता है। इसलिए (f−g)(x)=(2x+5)−(2x−5)=2x+5−2x+5=10। x वाले पद आपस में कट जाते हैं। विकल्प B में घटाने के बजाय पदों को जोड़ने जैसा प्रभाव आता है। परीक्षा में ऋण चिह्न के बाद कोष्ठक खोलते समय सभी चिह्न बदलने का ध्यान रखें। / The difference of two functions is defined as (f−g)(x)=f(x)−g(x). Hence, (f−g)(x)=(2x+5)−(2x−5)=2x+5−2x+5=10. The terms containing x cancel each other. Option B results from effectively adding the functions instead of subtracting them. In an exam, remember to change the signs of every term when removing the parentheses after a minus sign.
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=x^3\), what is the value of the product function \((fg)(x)\)?
A. \(x^5\)
गुणनफल फलन की परिभाषा के अनुसार \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5\)। विकल्प B \(x^6\) फलनों की रचना \(f(g(x))\) से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें। / By definition of the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5\). Option B, \(x^6\), would result from the composition \(f(g(x))\), not from multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\) from \(f(g(x))\).
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If \(f(x)=x^4\) and \(g(x)=x^2\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\), where \(x\neq0\)?
A. \(x^2\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^4}{x^2}=x^2\), जहाँ \(x\neq0\)। समान आधार में भाग करते समय घातें घटती हैं। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^4}{x^2}=x^2\), where \(x\neq0\). In division with the same base, powers are subtracted.
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If (f(x)=x+1) and (g(x)=x+2), what is the domain of ((f+g)(x)), if both have domain \(\mathbb{R}\)?
A. \(\mathbb{R}\)
दोनों रैखिक फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं, इसलिए योग का डोमेन भी \(\mathbb{R}\) है। डोमेन में साझा मान देखें। / Both linear functions are defined on all \(\mathbb{R}\), so the domain of the sum is also \(\mathbb{R}\). Check common allowed values for domain.
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If (f(x)=\frac{1}{x}) and (g(x)=x+1), what is the domain of ((f+g)(x))?
A. \(\mathbb{R}-{0}\)
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) मान्य नहीं है, इसलिए योग का डोमेन \(\mathbb{R}-{0}\) है। साझा डोमेन लें। / In \(\frac{1}{x}\), (x=0) is not allowed, so the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{0}\). Take the common domain.
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If \(f(x)=x+1\) and \(g(x)=x-3\), what will be the domain of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(\mathbb{R}-{3}\)
भाग में हर \(g(x)=x-3\) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\neq3\)। अतः डोमेन \(\mathbb{R}-{3}\) है। / In division, the denominator \(g(x)=x-3\) must not be zero, so \(x\neq3\). Hence the domain is \(\mathbb{R}-{3}\).
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If \(f(x)=2x+3\) and \(g(x)=x-5\), what is \((f+g)(x)\)?
A. 3x-2
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=(2x+3)+(x-5)=3x-2\)। विकल्प B में पदों को सही ढंग से जोड़ने के बजाय घटाव के स्थिरांकों को गलत माना गया है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए उनके समान इनपुट वाले मानों को सीधे जोड़ना याद रखें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=(2x+3)+(x-5)=3x-2\). Option B results from handling the constant terms incorrectly. In exams, remember to add the values of both functions at the same input.
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If (f(x)=7x-4) and (g(x)=2x+9), find ((f-g)(x)).
B. 5x-13
दो फलनों का अंतर ((f-g)(x)=f(x)-g(x)) होता है। इसलिए ((f-g)(x)=(7x-4)-(2x+9)=7x-4-2x-9=5x-13)। यहाँ दूसरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने के कारण उसके दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों को घटाते समय पूरे दूसरे फलन को कोष्ठक में लिखें। / The difference of two functions is ((f-g)(x)=f(x)-g(x)). Thus, ((f-g)(x)=(7x-4)-(2x+9)=7x-4-2x-9=5x-13). The minus sign before the second bracket changes the signs of both terms inside it. Exam tip: Always place the entire function being subtracted in parentheses.
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If f(x) = x + 6 and g(x) = x − 2, what is the expression for (fg)(x)?
A. x² + 4x − 12
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल (fg)(x) = f(x)g(x) होता है। इसलिए (fg)(x) = (x + 6)(x − 2) = x² + 4x − 12। विकल्प C में मध्य पद का गुणांक गलत है। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f(g(x)) से अलग समझें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन है। / The product of two real functions is defined by (fg)(x) = f(x)g(x). Hence, (fg)(x) = (x + 6)(x − 2) = x² + 4x − 12. Option C has an incorrect coefficient for the middle term. Exam tip: distinguish (fg)(x), which denotes the product, from f(g(x)), which denotes composition.
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If \(f(x)=4x^2+8x\) and \(g(x)=4x\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\), where \(x\neq0\)?
A. (x+2)
\(\frac{4x^2+8x}{4x}=\frac{4x(x+2)}{4x}=x+2\), जहाँ \(x\neq0\)। काटने से पहले हर की शर्त देखें। / \(\frac{4x^2+8x}{4x}=\frac{4x(x+2)}{4x}=x+2\), where \(x\neq0\). Check the denominator condition before cancellation.
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If \(f(x)=x^2+2\) and \(g(x)=3x-1\), what is the value of \((f+g)(2)\)?
C. 11
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \(f(2)=2^2+2=6\) और \(g(2)=3(2)-1=5\)। इसलिए \((f+g)(2)=6+5=11\), अतः विकल्प C सही है। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर जोड़ना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(2)=2^2+2=6\) and \(g(2)=3(2)-1=5\). Therefore, \((f+g)(2)=6+5=11\), so option C is correct. In an exam, calculate the values of the two functions separately before adding them to avoid substitution errors.
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If \(f(x)=5x+2\) and \(g(x)=x^2\), what is the value of \((f-g)(3)\)?
A. 8
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \(f(3)=5(3)+2=17\) और \(g(3)=3^2=9\), अतः \((f-g)(3)=17-9=8\)। ध्यान रखें कि \((g-f)(3)\) लेने पर उत्तर \(-8\) होगा। परीक्षा-टिप: पहले दोनों फलनों के मान निकालकर दिए गए क्रम में घटाएँ। / The difference of two functions is defined by \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(3)=5(3)+2=17\) and \(g(3)=3^2=9\), so \((f-g)(3)=17-9=8\). Reversing the order, as in \((g-f)(3)\), would give \(-8\). Exam tip: Evaluate both functions first and subtract them in the stated order.
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If \(f(x)=2x-1\) and \(g(x)=x+4\), what is the value of \((fg)(2)\)?
B. 18
फलनों के गुणन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \(f(2)=2(2)-1=3\) और \(g(2)=2+4=6\), अतः \((fg)(2)=3\times6=18\)। 21 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि हो सकती है; परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर उनका गुणा करें। / For the product of functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(2)=2(2)-1=3\) and \(g(2)=2+4=6\), so \((fg)(2)=3\times6=18\). An answer such as 21 results from an arithmetic mistake; in the exam, evaluate both functions first and then multiply their values.
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If \(f(x)=x^2-16\) and \(g(x)=x-4\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(5)\)?
C. (9)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(5)=\frac{25-16}{5-4}=9\)। भाग में हर का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(5)=\frac{25-16}{5-4}=9\). In division, the denominator value must not be zero.
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If \(f(x)=3x^2\) and \(g(x)=2x^2+1\), then \((f+g)(x)\) is equal to which of the following?
A. \(5x^2+1\)
फलनों का योग बिंदुवार किया जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x^2+(2x^2+1)=5x^2+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में गुणा और घातों का गलत प्रयोग किया गया है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों के गुणांक जोड़ें, घात नहीं। / The sum of two functions is found pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x^2+(2x^2+1)=5x^2+1\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly combines the expressions as if they were multiplied and also changes the powers. Exam tip: when adding like terms, add their coefficients and keep the common power unchanged.
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If \(f(x)=9x-2\) and \(g(x)=4x-7\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(5x+5\)
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=(9x-2)-(4x-7)=9x-2-4x+7=5x+5\)। ध्यान रखें कि \(-(4x-7)=-4x+7\) होता है; कोष्ठक हटाते समय दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं। परीक्षा-युक्ति: घटाव वाले कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न हो, तो उसके अंदर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined as \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(9x-2)-(4x-7)=9x-2-4x+7=5x+5\). The key step is that \(-(4x-7)=-4x+7\), so both signs inside the brackets change. Exam tip: when subtracting a bracketed expression, reverse the sign of every term inside it.
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If \(f(x)=x^3\) and \(g(x)=2x\), what is the value of \((fg)(x)\)?
C. \(2x^4\)
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=x^3\cdot 2x=2x^{3+1}=2x^4\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प B में गुणांक 2 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार की घातों को गुणा करते समय घातांक जोड़ें। / The product of two real functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=x^3\cdot 2x=2x^{3+1}=2x^4\), so option C is correct. Option B misses the coefficient 2. Exam tip: when multiplying powers with the same base, add their exponents.
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If \(f(x)=10x^3\) and \(g(x)=5x\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\), where \(x\neq0\)?
A. \(2x^2\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{10x^3}{5x}=2x^2\), जहाँ \(x\neq0\)। भाग में घातें घटती हैं। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{10x^3}{5x}=2x^2\), where \(x\neq0\). In division, powers are subtracted.
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C. 3x-24
फलनों के बीजीय संक्रियाओं में 3f(x) का अर्थ है 3 को पूरे फलन f(x) से गुणा करना। इसलिए 3f(x)=3(x-8)=3x-24। विकल्प A में 3 केवल x से गुणा किया गया है, जबकि स्थिर पद -8 भी 3 से गुणा होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन को स्थिरांक से गुणा करते समय कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद को उस स्थिरांक से गुणा करें। / In algebra of functions, 3f(x) means multiplying the entire function f(x) by 3. Hence, 3f(x)=3(x-8)=3x-24. Option A is incorrect because it multiplies only x by 3, not the constant term -8. Exam tip: When multiplying a function by a constant, multiply every term inside the expression by that constant.
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If \(f(x)=4x+6\), what will \(\left(\frac{1}{2}f\right)(x)\) be?
A. (2x+3)
\(\left(\frac{1}{2}f\right)(x)=\frac{1}{2}(4x+6)=2x+3\)। भिन्न गुणक को हर पद पर लगाएँ। / \(\left(\frac{1}{2}f\right)(x)=\frac{1}{2}(4x+6)=2x+3\). Apply the fractional multiplier to every term.
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If \(f(x)=2x^2-5\), then what is \((-f)(x)\) equal to?
A. \(-2x^2+5\)
\((-f)(x)=-f(x)=-(2x^2-5)=-2x^2+5\)। ऋण चिह्न पूरे फलन के प्रत्येक पद पर लागू होता है, इसलिए \(-5\) का चिह्न बदलकर \(+5\) हो जाता है। विकल्प D मूल फलन \(f(x)\) है, जबकि विकल्प B में \(2x^2\) का चिह्न नहीं बदला गया है। परीक्षा-टिप: पूरे फलन के आगे ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक खोलते समय हर पद का चिह्न बदलें। / \((-f)(x)=-f(x)=-(2x^2-5)=-2x^2+5\). The negative sign applies to every term inside the function, so the sign of \(-5\) changes to \(+5\). Option D is the original function \(f(x)\), while option B fails to change the sign of \(2x^2\). Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, reverse the sign of every term while expanding it.
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If the function \(f(x)=x^2+4x\), what is the expression for \((f+f)(x)\)?
B. \(2x^2+8x\)
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)\)। इसलिए \((f+f)(x)=2(x^2+4x)=2x^2+8x\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प C में केवल \(x^2\) का गुणांक 1 रखा गया है, जबकि दोनों समान फलनों को जोड़ने पर प्रत्येक पद दोगुना होता है। परीक्षा-युक्ति: \(f+f\) को \(2f\) लिखकर दिए गए फलन से गुणा करें। / By the definition of addition of functions, \((f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)\). Hence, \((f+f)(x)=2(x^2+4x)=2x^2+8x\), so option B is correct. In option C, only the \(4x\) term has effectively been doubled, whereas adding two identical functions doubles every term. Exam tip: Rewrite \(f+f\) as \(2f\) before substituting the given function.
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If \(f(x)=x-3\), what is the value of the product of the functions, \((ff)(x)\)?
C. \(x^2-6x+9\)
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\)। इसलिए \((ff)(x)=(x-3)(x-3)=(x-3)^2=x^2-6x+9\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प A \(f(x)+f(x)\) से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) और \((f+g)(x)\) को \(f(x)+g(x)\) के रूप में पहचानें। / By the definition of the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\). Hence, \((ff)(x)=(x-3)(x-3)=(x-3)^2=x^2-6x+9\), so option C is correct. Option A results from adding \(f(x)\) to itself, not from multiplying the functions. Exam tip: interpret \((fg)(x)\) as \(f(x)g(x)\), whereas \((f+g)(x)\) means \(f(x)+g(x)\).
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If (f(x)=2x+10) and (g(x)=2x+10), what is ((f-g)(x))?
A. (0)
समान फलनों का अंतर (0) होता है, इसलिए ((f-g)(x)=0)। परीक्षा में पहले पहचानें कि दोनों फलन समान हैं। / The difference of equal functions is (0), so ((f-g)(x)=0). In exams, first notice if both functions are equal.
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If (f(x)=0) and (g(x)=3x-2-2), what will ((fg)(x)) be?
B. (0)
शून्य फलन से गुणा करने पर ((fg)(x)=0) होता है। गुणन में (0) पूरे गुणनफल को शून्य कर देता है। / Multiplying by the zero function gives ((fg)(x)=0). In multiplication, (0) makes the whole product zero.
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If \(f(x)=1\) and \(g(x)=5x-6\), what is the value of \((f+g)(x)\)?
A. \(5x-5\)
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=1+(5x-6)=5x-5\)। विकल्प B में स्थिरांक \(1\) को जोड़ना भूल गया है। परीक्षा में फलनों के योग का नियम पहले लिखकर, फिर समान पदों को संयोजित करें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=1+(5x-6)=5x-5\). Option B results from forgetting to add the constant \(1\). In an exam, first write the function-addition rule and then combine like terms.
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If f(x) = x + 9 and g(x) = 9 - x, what is the value of (f + g)(x)?
B. 18
दो फलनों के योग का नियम है: (f + g)(x) = f(x) + g(x)। अतः (f + g)(x) = (x + 9) + (9 - x) = x - x + 18 = 18। इसलिए सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि x और -x एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं; इसे 2x नहीं माना जा सकता। / The sum of two functions is defined pointwise: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Therefore, (f + g)(x) = (x + 9) + (9 - x) = x - x + 18 = 18. Hence, option B is correct. Exam tip: the terms x and -x cancel each other, so the result is not 2x.
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If \(f(x)=x^2+5x\) and \(g(x)=x^2+2x\), what is the value of \((f-g)(x)\)?
B. \(3x\)
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। अतः \((f-g)(x)=(x^2+5x)-(x^2+2x)=3x\)। यहाँ समान \(x^2\) पद एक-दूसरे को काट देते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों का घटाव करते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / The difference of two functions is defined as \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Therefore, \((f-g)(x)=(x^2+5x)-(x^2+2x)=3x\). The like terms \(x^2\) cancel each other. Exam tip: when subtracting functions, change the sign of every term in the second function before combining like terms.
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If f(x)=x+7 and g(x)=3x-2, what is the value of (fg)(1)?
A. 8
दो फलनों का गुणनफल (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए f(1)=1+7=8 और g(1)=3(1)-2=1। अतः (fg)(1)=8×1=8। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f(g(x)) से अलग समझें; पहला फलनों का गुणनफल है, जबकि दूसरा संयोजनफल। / The product of two functions is defined by (fg)(x)=f(x)g(x). Here, f(1)=1+7=8 and g(1)=3(1)-2=1. Therefore, (fg)(1)=8×1=8. Exam tip: Do not confuse (fg)(x), the product of functions, with f(g(x)), their composition.
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If \(f(x)=x^2+10\) and \(g(x)=x^2+4\), what is the value of \((f-g)(1)\)?
C. 6
पहले \(f(1)=1^2+10=11\) और \(g(1)=1^2+4=5\) निकालते हैं। इसलिए \((f-g)(1)=f(1)-g(1)=11-5=6\)। सीधे \(f(x)-g(x)=(x^2+10)-(x^2+4)=6\) भी प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि \(x^2\) वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \((f-g)(a)\) में हमेशा \(f(a)-g(a)\) करें, जोड़ नहीं। / First, \(f(1)=1^2+10=11\) and \(g(1)=1^2+4=5\). Hence, \((f-g)(1)=f(1)-g(1)=11-5=6\). Equivalently, \(f(x)-g(x)=(x^2+10)-(x^2+4)=6\), since the \(x^2\) terms cancel. Exam tip: For \((f-g)(a)\), always calculate \(f(a)-g(a)\), not their sum.
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If \(f(x)=6x+1\) and \(g(x)=2x+3\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)\)?
A. \(\frac{1}{3}\)
भागफल फलन \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) होता है। इसलिए \(f(0)=1\) और \(g(0)=3\), अतः \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{1}{3}\)। विकल्प B में केवल हर का मान लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के दिए गए बिंदु पर मान निकालें, फिर भाग दें; साथ ही जाँचें कि हर शून्य न हो। / The quotient function is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Here, \(f(0)=1\) and \(g(0)=3\), so \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{1}{3}\). Option B gives only the denominator value, not the quotient. Exam tip: evaluate both functions at the given input and divide, ensuring that the denominator is not zero.
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If \(f(x)=\sqrt{x+5}\) and \(g(x)=x\), what is the value of \((f+g)(4)\)?
C. 7
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(4)=f(4)+g(4)=\sqrt{4+5}+4=\sqrt{9}+4=3+4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। परीक्षा-युक्ति: पहले फलनों का योग लिखें, फिर दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें। विकल्प 6 में वर्गमूल का मान गलत लिया गया है। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(4)=f(4)+g(4)=\sqrt{4+5}+4=\sqrt{9}+4=3+4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: write the sum of the functions first and then substitute the given value. The value 6 results from evaluating the square-root term incorrectly.
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A. \(g(x)=-3x^2+2x-5\)
योगात्मक प्रतिलोम में प्रत्येक संगत पद का चिन्ह बदलता है। इसलिए \(g(x)=-(3x^2-2x+5)=-3x^2+2x-5\) होगा। विकल्प B में \(3x^2\) का चिन्ह नहीं बदला है। परीक्षा टिप: पूरे फलन पर ऋण चिह्न लगाएँ। / For an additive inverse, the sign of every corresponding term changes. Thus \(g(x)=-(3x^2-2x+5)=-3x^2+2x-5\). In option B, the sign of \(3x^2\) is unchanged. Exam tip: place a minus sign outside the complete function first.
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A. 6
फलनों का गुणनफल लेने पर \((fg)(3)=f(3)g(3)\)। यहाँ \(f(3)=\frac{2}{3}\) और \(g(3)=3^2=9\), इसलिए \((fg)(3)=\frac{2}{3}\times 9=6\)। विकल्प C केवल \(f(3)\) का मान है, जबकि विकल्प B केवल \(g(3)\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(a)\) को \(f(a)g(a)\) समझें, इसे फलनों की रचना न मानें। / For the product of two functions, \((fg)(3)=f(3)g(3)\). Here, \(f(3)=\frac{2}{3}\) and \(g(3)=3^2=9\), so \((fg)(3)=\frac{2}{3}\times9=6\). Option C is only \(f(3)\), while option B is only \(g(3)\). Exam tip: interpret \((fg)(a)\) as \(f(a)g(a)\), not as the composition of the functions.
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If \(f(x)=x+12\) and \(g(x)=x+3\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(3)\)?
A. \(\frac{5}{2}\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(3)=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}\)। अंतिम उत्तर को सरल भिन्न में लिखें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(3)=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}\). Write the final answer in simplest fraction form.
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A. \(a^2-b^2\)
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(x-4)\) है। यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) के रूप में है, जहाँ \(a=x\) और \(b=4\); इसलिए परिणाम \(x^2-16\) होगा। विकल्प B और C क्रमशः वर्गों के योग तथा \((a-b)^2\) से संबंधित हैं, इसलिए लागू नहीं होते। परीक्षा में \((a+b)(a-b)\) देखते ही अंतर के वर्ग की पहचान याद रखें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(x-4)\). This matches the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), with \(a=x\) and \(b=4\), giving \(x^2-16\). Options B and C represent the sum of squares and \((a-b)^2\), respectively, so they do not apply. Exam tip: whenever conjugate binomials appear, look for the difference-of-squares identity.
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If f(x)=2x-2+3 and g(x)=x+5, what is the value of (f+g)(1)?
C. 11
दो फलनों के योग के लिए (f+g)(x)=f(x)+g(x)। इसलिए f(1)=2(1)2+3=5 और g(1)=1+5=6। अतः (f+g)(1)=5+6=11, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A केवल g(1) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / For the sum of two functions, (f+g)(x)=f(x)+g(x). Thus, f(1)=2(1)2+3=5 and g(1)=1+5=6. Therefore, (f+g)(1)=5+6=11, so option C is correct. Option A is only the value of g(1), not the sum. Exam tip: evaluate both functions separately and then add their values.
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If \(f(x)=5x^2+2\) and \(g(x)=2x^2-7\), what is \((f-g)(x)\)?
C. \(3x^2+9\)
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। अतः \((f-g)(x)=(5x^2+2)-(2x^2-7)=5x^2+2-2x^2+7=3x^2+9\)। विकल्प A में स्थिर पद का चिह्न गलत है, क्योंकि \(-(-7)=+7\) होता है। परीक्षा युक्ति: कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक के भीतर प्रत्येक पद का चिह्न बदल दें। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Therefore, \((f-g)(x)=(5x^2+2)-(2x^2-7)=5x^2+2-2x^2+7=3x^2+9\). Option A has the wrong constant-term sign because \(-(-7)=+7\). Exam tip: when a minus sign precedes parentheses, change the sign of every term inside them.
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If \(f(x)=x-6\) and \(g(x)=x\), what is the value of the product function \((fg)(x)=f(x)g(x)\)?
A. \(x^2-6x\)
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x-6)x=x^2-6x\)। विकल्प B, \(f(x)+g(x)\), का मान है, गुणनफल का नहीं। परीक्षा टिप: \((fg)(x)\) को सामान्यतः फलनों के गुणनफल के रूप में पढ़ें, जबकि \(f\circ g\) संयोजन फलन को दर्शाता है। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x-6)x=x^2-6x\). Option B represents \(f(x)+g(x)\), not their product. Exam tip: \((fg)(x)\) denotes the product of functions, whereas \(f\circ g\) denotes function composition.
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If \(f(x)=4x+11\) and \(g(x)=x-6\), what is the value of \((f+g)(x)\)?
A. \(5x+5\)
फलनों के योग की परिभाषा है \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((f+g)(x)=(4x+11)+(x-6)=5x+5\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(f(x)-g(x)\) निकालने पर मिलता है, जबकि विकल्प D, \(f(x)g(x)\) का गुणनफल है। परीक्षा-टिप: फलनों को जोड़ते समय समान प्रकार के पदों और स्थिरांकों को अलग-अलग जोड़ें। / The sum of functions is defined as \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=(4x+11)+(x-6)=5x+5\), so option A is correct. Option B is obtained from \(f(x)-g(x)\), whereas option D is the product \(f(x)g(x)\). Exam tip: while adding functions, combine like terms and constants separately.
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If \(f(x)=8\) and \(g(x)=x^2-3x\), what is \((f-g)(x)\)?
B. \(8-x^2+3x\)
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=8-(x^2-3x)=8-x^2+3x\)। विकल्प A में घटाने का क्रम उलट गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न होने पर अंदर के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=8-(x^2-3x)=8-x^2+3x\). Option A reverses the order of subtraction. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, the signs of all terms inside the bracket change.
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A. \(x-5\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-25}{x+5}\)। अंतर के वर्ग का सूत्र लगाने पर \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), इसलिए \(\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5\)। यहाँ \(x\ne -5\) आवश्यक है, क्योंकि मूल भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) पहचानकर गुणनखंड करें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-25}{x+5}\). Using the difference of squares, \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), so \(\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5\). The restriction \(x\ne -5\) is essential because the original denominator cannot be zero. Exam tip: look for the identity \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) before simplifying.
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If \(f(x)=x^2-4x+4\) and \(g(x)=x-2\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) for \(x\ne 2\)?
A. \(x-2\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}\)। अंश को \((x-2)^2\) के रूप में गुणनखंडित करने पर \(\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\) मिलता है, बशर्ते \(x\ne2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C केवल उस स्थिति में भागफल बताता है जब अंश और हर समान हों, जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले अंश का गुणनखंडन करें और मूल हर के कारण प्रतिबंधित मान को डोमेन से न हटाएँ। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}\). Factoring the numerator as \((x-2)^2\) gives \(\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\), provided \(x\ne2\). Hence, option A is correct. Option C would be obtained only if the numerator and denominator were identical, which they are not before simplification. Exam tip: factor the numerator first and retain any value excluded by the original denominator.
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If f(x)=x-1 and g(x)=x+10, what is the value of (f+g)(1)?
B. 11
दो फलनों के योग के लिए (f+g)(1)=f(1)+g(1) होता है। यहाँ f(1)=1-1=0 और g(1)=1+10=11, इसलिए (f+g)(1)=0+11=11। ध्यान रखें कि योगफल फलन में दोनों फलनों के मान जोड़े जाते हैं; केवल g(1) लेने पर भी 11 आएगा, लेकिन यह सामान्य नियम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का दिए गए x पर मान निकालें, फिर उन्हें जोड़ें। / For the sum of two functions, (f+g)(1)=f(1)+g(1). Here, f(1)=1-1=0 and g(1)=1+10=11, so (f+g)(1)=0+11=11. Although g(1) alone is also 11 in this case, the general rule requires adding the values of both functions. Exam tip: evaluate each function at the given input first, then add the results.
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B. 60
फलनों का गुणनफल \\( (fg)(x)=f(x)g(x) \\) होता है। इसलिए \\(f(3)=15\\) और \\(g(3)=4\\), अतः \\( (fg)(3)=15\\times4=60\\)। विकल्प 45 केवल आंशिक गणना से प्राप्त हो सकता है, जबकि सही विधि में दोनों फलनों के मानों का गुणन किया जाता है। परीक्षा में \\(fg\\) को संयोजन \\(f\\circ g\\) न समझें; यहाँ यह गुणनफल है। / The product of two functions is defined by \\( (fg)(x)=f(x)g(x) \\). Thus, \\(f(3)=15\\) and \\(g(3)=4\\), so \\( (fg)(3)=15\\times4=60\\). The value 45 can result from incomplete or incorrect calculation, whereas both function values must be multiplied. Exam tip: do not confuse \\(fg\\) with composition \\(f\\circ g\\); here it denotes the product of functions.
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If \(f(x)=x^2-4\) and \(g(x)=x^2+4\), what is \((f+g)(x)\)?
A. \(2x^2\)
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=(x^2-4)+(x^2+4)=2x^2\), क्योंकि \(-4\) और \(+4\) एक-दूसरे को काट देते हैं। विकल्प D में स्थिर पद को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान \(x\) वाले पद और स्थिर पद अलग-अलग जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=(x^2-4)+(x^2+4)=2x^2\), since \(-4\) and \(+4\) cancel each other. Option D incorrectly retains an extra constant term. Exam tip: add like terms separately when combining functions.
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If f(x)=4x-2-3 and g(x)=x-2+8, what is the value of (f-g)(x)?
B. 3x-2-11
फलनों का अंतर (f-g)(x)=f(x)-g(x) होता है। इसलिए (f-g)(x)=\(4x^2-3\)-\(x^2+8\)=4x-2-3-x-2-8=3x-2-11। विकल्प D में x-2 के गुणांक घटाने के बजाय जोड़ दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: दूसरे फलन के पूरे व्यंजक के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके दोनों पदों के चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined as (f-g)(x)=f(x)-g(x). Thus, (f-g)(x)=\(4x^2-3\)-\(x^2+8\)=4x-2-3-x-2-8=3x-2-11. In option D, the coefficients of x-2 have been added instead of subtracted. Exam tip: When subtracting a function in parentheses, change the signs of all its terms.
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If \(f(x)=x-5\) and \(g(x)=3\), what is the value of \((fg)(x)\)?
A. \(3x-15\)
दो फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x-5)\cdot3=3x-15\)। विकल्प C में केवल \(x\) का गुणांक 3 किया गया है, जबकि \(-5\) को भी 3 से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को फलनों के गुणनफल के रूप में पढ़ें, जबकि \(f(g(x))\) संयोजन को दर्शाता है। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x-5)\cdot3=3x-15\). Option C is incorrect because multiplying by 3 must also multiply the constant term \(-5\). Exam tip: \((fg)(x)\) denotes the product of functions, whereas \(f(g(x))\) denotes composition.
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If \(f(x)=12x-6\) and \(g(x)=6\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(2x-1\)
दो फलनों के भागफल की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। इसलिए \(\frac{12x-6}{6}=\frac{12x}{6}-\frac{6}{6}=2x-1\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर हर से भाग देते समय अंश के प्रत्येक पद को उस हर से भाग दें। / By the definition of the quotient of two functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Hence, \(\frac{12x-6}{6}=\frac{12x}{6}-\frac{6}{6}=2x-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: When dividing an algebraic expression by a constant, divide every term in the numerator by that constant.
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If f(x)=2x-11 and g(x)=11-2x, what is the value of (f+g)(x)?
A. 0
फलनों का योग बिंदुवार किया जाता है: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-11)+(11-2x)=0। यहाँ 2x और -2x तथा -11 और 11 एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में चिह्नों का सही प्रकार से संयोजन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: विपरीत चिह्न वाले समान पदों को जोड़ते समय उनका योग शून्य होता है। / The sum of two functions is found pointwise: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-11)+(11-2x)=0. The terms 2x and -2x cancel each other, as do -11 and 11. Therefore, option A is correct; option B results from combining the terms with incorrect signs. Exam tip: like terms with opposite signs cancel to zero.
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If \(f(x)=3x+8\) and \(g(x)=3x-8\), what is the value of \((f-g)(x)\)?
B. \(16\)
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=(3x+8)-(3x-8)=3x+8-3x+8=16\)। अतः सही उत्तर 16 है। विकल्प \(6x+16\) जोड़ने पर प्राप्त होता है, घटाने पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर अंदर के प्रत्येक पद का चिह्न बदल दें। / The difference of two functions is defined by \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(3x+8)-(3x-8)=3x+8-3x+8=16\). Therefore, 16 is correct. The expression \(6x+16\) would result from adding the two functions, not subtracting them. Exam tip: when a minus sign precedes parentheses, change the sign of every term inside.
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If \\(f(x)=x^5\\) and \\(g(x)=x^2\\), what is the product function \\((fg)(x)\\)?
A. \\(x^7\\)
फलनों के गुणनफल के लिए \\((fg)(x)=f(x)g(x)\\)। इसलिए \\((fg)(x)=x^5\cdot x^2=x^{5+2}=x^7\\)। विकल्प B, \\(x^{10}\\), फलनों की संरचना जैसे \\(g(f(x))\\) से प्राप्त हो सकता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \\((fg)(x)\\) को \\(f(g(x))\\) से अलग पहचानें। / For the product of two functions, \\((fg)(x)=f(x)g(x)\\). Hence, \\((fg)(x)=x^5\cdot x^2=x^{5+2}=x^7\\). Option B, \\(x^{10}\\), can result from composition such as \\(g(f(x))\\), not from multiplication. Exam tip: distinguish \\((fg)(x)\\) from \\(f(g(x))\\).
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If \(f(x)=x^6\) and \(g(x)=x^3\), what will \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) be, where \(x\neq0\)?
B. \(x^3\)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^6}{x^3}=x^3\), जहाँ \(x\neq0\)। भाग में समान आधार की घातें घटाएँ। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^6}{x^3}=x^3\), where \(x\neq0\). In division, subtract powers of the same base.
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If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x-2+3), both have domain \(\mathbb{R}\), what is the domain of ((fg)(x))?
A. \(\mathbb{R}\)
दोनों बहुपद पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं, इसलिए गुणनफल का डोमेन \(\mathbb{R}\) है। डोमेन सामान्य मानों का समुच्चय होता है। / Both polynomials are defined on all \(\mathbb{R}\), so the product domain is \(\mathbb{R}\). The domain is the set of common allowed values.
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If (f(x)=\sqrt{x}) and (g(x)=x+2), what is the domain of ((f+g)(x))?
A. \([0,\infty\))
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq0\) चाहिए, इसलिए योग का डोमेन \([0,\infty\)) है। साझा डोमेन लें। / For \(\sqrt{x}\), we need \(x\geq0\), so the domain of the sum is \([0,\infty\)). Take the common domain.
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If \(f(x)=x+4\) and \(g(x)=x^2-9\), what is the domain of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(\mathbb{R}-{-3,3}\)
भाग में \(g(x)\neq0\) चाहिए, और \(x^2-9=0\) से \(x=\pm3\) मिलता है। इसलिए डोमेन \(\mathbb{R}-{-3,3}\) है। / In division, \(g(x)\neq0\) is needed, and \(x^2-9=0\) gives \(x=\pm3\). So the domain is \(\mathbb{R}-{-3,3}\).
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A. (x+2)
\(\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\), पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर की शर्त याद रखें। / \(\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\), but \(x\ne 2\). Keep the original denominator restriction even after simplification.
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If \(f(x)=2x-3\), what is the value of \((3f)(x)\)?
A. \(6x-9\)
किसी फलन का स्थिर गुणज इस प्रकार परिभाषित होता है: \((3f)(x)=3f(x)\)। इसलिए \((3f)(x)=3(2x-3)=6x-9\)। विकल्प C में केवल \(2x\) का गुणांक बदला गया है, जबकि 3 को पूरे फलन से गुणा करना चाहिए। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में स्थिर गुणक को प्रत्येक पद पर वितरित करना याद रखें। / A scalar multiple of a function is defined by \((3f)(x)=3f(x)\). Hence, \((3f)(x)=3(2x-3)=6x-9\). Option C changes only the coefficient of \(x\), but the constant term must also be multiplied by 3. Exam tip: distribute the scalar to every term of the function.
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If \(f(x)=7-x\) and \(g(x)=x+1\), what is the value of \((f-g)(3)\)?
A. 0
फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \(f(3)=7-3=4\) और \(g(3)=3+1=4\), अतः \((f-g)(3)=4-4=0\)। ध्यान रखें कि दोनों फलनों में समान \(x\)-मान रखने के बाद घटाव करना है। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(3)=7-3=4\) and \(g(3)=3+1=4\), so \((f-g)(3)=4-4=0\). Exam tip: evaluate both functions at the same input before subtracting.
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If \(f(x)=x+3\) and \(g(x)=2x\), where \((fg)(x)=f(x)g(x)\), what is the value of \((fg)(1)\)?
A. 8
पहले \(f(1)=1+3=4\) और \(g(1)=2\times1=2\) ज्ञात करें। फलनों के गुणन के लिए \((fg)(1)=f(1)g(1)=4\times2=8\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प 6 जोड़ने से प्राप्त होता है, जबकि यहाँ फलनों के मानों का गुणन करना है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन है। / First, \(f(1)=1+3=4\) and \(g(1)=2\times1=2\). Since \((fg)(1)=f(1)g(1)\), we get \((fg)(1)=4\times2=8\), so option A is correct. The value 6 would result from adding the two function values, but the notation here requires multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), which denotes the product of functions, from \(f(g(x))\), which denotes composition.
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If \(f(x)=6x\) and \(g(x)=3x\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(2)\)?
A. (2)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{12}{6}=2\)। हर का मान (0) नहीं होना चाहिए। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{12}{6}=2\). The denominator value must not be (0).
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If \(f(x)=x^2+1\) and \(g(x)=x\), what is the value of \((f+g)(-1)\)?
A. 1
फलनों के योग का नियम है \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \(f(-1)=(-1)^2+1=2\) और \(g(-1)=-1\), अतः \((f+g)(-1)=2+(-1)=1\)। विकल्प C केवल \(f(-1)\) का मान है, उसमें \(g(-1)\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(-1)=(-1)^2+1=2\) and \(g(-1)=-1\), so \((f+g)(-1)=2+(-1)=1\). Option C is only the value of \(f(-1)\), without adding \(g(-1)\). Exam tip: evaluate the two functions separately and then add their values.
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If \(f(x)=x+5\) and \(g(x)=2\), what is the value of the product function \((fg)(x)\)?
A. \(2x+10\)
दो फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+5)\cdot 2=2x+10\)। विकल्प B में फलनों को जोड़ा गया है, गुणा नहीं किया गया। परीक्षा टिप: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+5)\cdot 2=2x+10\). Option B represents addition rather than multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), the product, from \(f(g(x))\), the composition.
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If \(f(x)=4x+1\) and \(g(x)=x-2\), what is the coefficient of \(x\) in \((f+g)(x)\)?
A. 5
फलनों का योग लेने पर \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(4x+1)+(x-2)=5x-1\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x\) का गुणांक 5 है। विकल्प 4 केवल \(f(x)\) में \(x\) का गुणांक है, जबकि यहाँ दोनों फलनों को जोड़ना है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों के गुणांकों को जोड़ें। / Adding the two functions gives \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(4x+1)+(x-2)=5x-1\). Therefore, the coefficient of \(x\) is 5. The value 4 is only the coefficient of \(x\) in \(f(x)\), not in their sum. Exam tip: add the coefficients of like-power terms when combining linear functions.
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If \(f(x)=x-4\) and \(g(x)=x+4\), what is the correct expanded form of \((fg)(x)=f(x)g(x)\)?
A. \(x^2-16\)
यहाँ \((fg)(x)\) का अर्थ \(f(x)g(x)\) है। इसलिए \((fg)(x)=(x-4)(x+4)\)। पहचान \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) लगाने पर \(x^2-4^2=x^2-16\) प्राप्त होता है। विकल्प B में ऋण चिह्न की जगह धन चिह्न गलत है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में संयुग्मी द्विपदों की पहचान करके सीधे \(a^2-b^2\) का उपयोग करें। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product \(f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=(x-4)(x+4)\). Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \(x^2-4^2=x^2-16\). Option B is incorrect because the constant term should be negative, not positive. Exam tip: when two conjugate binomials are multiplied, apply the difference-of-squares identity directly.
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If \(f(x)=\frac{1}{x}\) and \(g(x)=x\), what is the value of \((fg)(x)\), where \(x\ne 0\)?
A. 1
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1\), क्योंकि दिया गया है कि \(x\ne 0\)। विकल्प \(\frac{1}{x^2}\) भाग देने पर प्राप्त होता है, गुणा करने पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को पहले \(f(x)g(x)\) के रूप में लिखें और फिर मान रखें। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1\), since \(x\ne 0\). The expression \(\frac{1}{x^2}\) would result from division, not multiplication. Exam tip: Rewrite \((fg)(x)\) as \(f(x)g(x)\) before substituting the given functions.
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If (f(x)=\sqrt{x}) and (g(x)=x+1), what is the real domain of ((f+g)(x))?
A. \([0,\infty\))
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) चाहिए और (x+1) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। अतः डोमेन \([0,\infty\)) है। / For \(\sqrt{x}\), we need \(x\ge 0\), while (x+1) is defined for all real (x). Hence the domain is \([0,\infty\)).
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If (f(x)=\frac{1}{x-3}) and (g(x)=x-2), what is the domain of ((f+g)(x))?
A. \(\mathbb{R}-{3}\)
\(\frac{1}{x-3}\) में (x=3) पर हर (0) हो जाता है। इसलिए योग का डोमेन \(\mathbb{R}-{3}\) है। / In \(\frac{1}{x-3}\), the denominator becomes (0) at (x=3). So the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{3}\).
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If \(f(x)=x+2\) and \(g(x)=x-5\), what is the domain of \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?
A. \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\)
भागफल \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+2}{x-5}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(x-5\neq 0\), अर्थात् \(x\neq 5\), और डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\) है। विकल्प B में \(-2\) हटाया गया है, जो केवल अंश को शून्य करता है और अनुमत है। परीक्षा-युक्ति: भागफल का डोमेन निर्धारित करते समय केवल हर को शून्य करने वाले मान हटाएँ। / The quotient is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+2}{x-5}\), so its denominator must not be zero. Thus \(x-5\neq 0\), or \(x\neq 5\), giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\). In option B, \(-2\) is excluded even though it only makes the numerator zero, which is allowed. Exam tip: For a quotient, exclude only the values that make the denominator zero.
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If \(f(x)=x^2+3\) and \(g(x)=2x-1\), what is the value of \((2f+g)(x)\)?
A. \(2x^2+2x+5\)
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f+g)(x)=2f(x)+g(x)\)। अतः \(2(x^2+3)+(2x-1)=2x^2+6+2x-1=2x^2+2x+5\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में स्थिर पद की गणना गलत है, क्योंकि \(6-1=5\), 2 नहीं। परीक्षा में पहले पूरे फलन को गुणक से गुणा करके समान घात वाले पदों को जोड़ें। / For a linear combination of functions, \((2f+g)(x)=2f(x)+g(x)\). Therefore, \(2(x^2+3)+(2x-1)=2x^2+6+2x-1=2x^2+2x+5\), so option A is correct. In option B, the constant term is calculated incorrectly; \(6-1=5\), not 2. Exam tip: multiply the entire function by its coefficient before combining like terms.
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If \(f(x)=3x+2\) and \(g(x)=x^2\), what is the value of \((f+2g)(1)\)?
A. 7
\((f+2g)(1)=f(1)+2g(1)\)। यहाँ \(f(1)=3(1)+2=5\) और \(g(1)=1^2=1\), इसलिए \((f+2g)(1)=5+2(1)=7\)। विकल्प 5 चुनना \(2g(1)\) को भूलने के कारण गलत है। परीक्षा में पहले संयुक्त फलन का नियम लिखें, फिर मान रखें। / \((f+2g)(1)=f(1)+2g(1)\). Here, \(f(1)=3(1)+2=5\) and \(g(1)=1^2=1\), so \((f+2g)(1)=5+2(1)=7\). The value 5 results from forgetting the coefficient 2 of \(g(1)\). In an exam, write the rule for the combined function before substituting the value.
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If \(f(x)=x\) and \(g(x)=x^2\), then \((f+g)(x)\) is equal to which expression?
A. \(x+x^2\)
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=x+x^2\)। विकल्प \(x^3\), \(f(x)g(x)\) अर्थात् फलनों के गुणन को दर्शाता है, योग को नहीं। परीक्षा-टिप: \((f+g)(x)\) में दोनों फलनों के मान जोड़े जाते हैं। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=x+x^2\). The option \(x^3\) represents \(f(x)g(x)\), the product of the function values, not their sum. Exam tip: For \((f+g)(x)\), add the values of the two functions at the same input.
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If \(f(x)=2x\) and \(g(x)=x+3\), what is the value of \((f-g)(0)\)?
A. -3
फलनों के अंतर के अनुसार \((f-g)(0)=f(0)-g(0)\)। यहाँ \(f(0)=0\) और \(g(0)=3\), इसलिए \((f-g)(0)=0-3=-3\)। विकल्प B में घटाव के क्रम का ध्यान न रखने पर मिलने वाला धनात्मक मान है। परीक्षा-युक्ति: \((f-g)(x)\) में हमेशा पहले फलन का मान दूसरे फलन के मान से घटाएँ। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(0)=f(0)-g(0)\). Since \(f(0)=0\) and \(g(0)=3\), we get \((f-g)(0)=0-3=-3\). Option B results from reversing the subtraction order. Exam tip: In \((f-g)(x)\), subtract the value of the second function from the value of the first function.
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If \(f(x)=x^2-1\) and \(g(x)=x+1\), what is the value of \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)\)?
A. \(-1\)
भागफल फलन के लिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}\)। यहाँ \(f(0)=0^2-1=-1\) और \(g(0)=0+1=1\), इसलिए मान \(\frac{-1}{1}=-1\) है। विकल्प B में अंश के ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा की गई है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन का मान निकालते समय पहले अंश और हर के फलनों के मान अलग-अलग ज्ञात करें और जाँचें कि हर शून्य न हो। / For the quotient function, \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}\). Here, \(f(0)=0^2-1=-1\) and \(g(0)=0+1=1\), so the value is \(\frac{-1}{1}=-1\). Option B is incorrect because it ignores the negative sign in the numerator. Exam tip: For a quotient of functions, evaluate the numerator and denominator separately and verify that the denominator is not zero.
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If \(f(x)=x+6\) and \(g(x)=x-6\), what is the value of the sum function \((f+g)(x)\)?
A. \(2x\)
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((x+6)+(x-6)=2x\), क्योंकि \(+6\) और \(-6\) एक-दूसरे को समाप्त कर देते हैं। विकल्प B फलनों के गुणन से संबंधित है, योग से नहीं। परीक्षा में पहले फलन-संचालक की परिभाषा लिखकर फिर सरलीकरण करें। / By definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((x+6)+(x-6)=2x\), since \(+6\) and \(-6\) cancel each other. Option B would arise from multiplying the functions, not adding them. In an exam, first write the definition of the function operation and then simplify.
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If \(f(x)=2x+1\) and \(g(x)=x+2\), what is the value of \((fg)(0)\)?
A. 2
दो वास्तविक फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \(f(0)=1\) और \(g(0)=2\), अतः \((fg)(0)=1\times2=2\)। परीक्षा-युक्ति: \(fg\) को फलनों का गुणनफल समझें; फलन-संयोजन के लिए \(f\circ g\) लिखा जाता है। / For the product of two real functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Here, \(f(0)=1\) and \(g(0)=2\), so \((fg)(0)=1\times2=2\). Exam tip: interpret \(fg\) as the product of functions; composition is written as \(f\circ g\).
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If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=2x\), what is the value of \((f-g)(2)\)?
A. 0
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। अतः \(f(2)=2^2=4\) और \(g(2)=2\times2=4\), इसलिए \((f-g)(2)=4-4=0\)। विकल्प B केवल \(f(2)\) या \(g(2)\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान निकालकर फिर घटाएँ। / By definition, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(2)=2^2=4\) and \(g(2)=2\times2=4\), so \((f-g)(2)=4-4=0\). Option B is the value of either function separately, not their difference. Exam tip: calculate both function values before subtracting.
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If (f(x)=\sqrt{x-1}) and (g(x)=x), what is the real domain of ((fg)(x))?
A. \([1,\infty\))
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x-1\ge 0\), यानी \(x\ge 1\)। गुणन का डोमेन दोनों डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / For \(\sqrt{x-1}\), \(x-1\ge 0\), so \(x\ge 1\). The product domain is the intersection of both domains.
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If 8f(x)=x+19 and 8g(x)=\frac{1}{x}9, what is the domain of (f+g)(x) ?
A. \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)
योग फलन (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x+1+\frac{1}{x} है। फलन f सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, जबकि g में हर x शून्य नहीं हो सकता। इसलिए दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद \mathbb{R}\setminus\{0\} है। परीक्षा-युक्ति: योग या अंतर फलन का डोमेन संबंधित दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / The sum is (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x+1+\frac{1}{x} . The function f is defined for every real number, but g is undefined at x=0 because its denominator becomes zero. Hence the domain is the intersection of the two domains, \mathbb{R}\setminus\{0\} . Exam tip: The domain of a sum or difference is the intersection of the domains of the individual functions.
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A. −2
\((fg)(x)=\frac{x}{x+2}(x-1)\) है। हर \(x+2\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x+2=0\) रखने पर \(x=-2\) मिलता है। अतः \(-2\) डोमेन से बाहर है। ध्यान रखें कि गुणनफल का डोमेन दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है; केवल अंश के शून्य होने से कोई मान डोमेन से बाहर नहीं होता। / Here, \((fg)(x)=\frac{x}{x+2}(x-1)\). The denominator cannot be zero, so \(x+2=0\) gives \(x=-2\). Therefore, \(-2\) is excluded from the domain. Remember that the domain of a product is the intersection of the domains of the two functions; a zero in the numerator does not by itself exclude a value.
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If \(f(x)=2x^2\) and \(g(x)=x^2+3\), what is \((f+g)(x)\)?
A. \(3x^2+3\)
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=2x^2+(x^2+3)=3x^2+3\)। यहाँ समान घात वाले पद \(2x^2\) और \(x^2\) जोड़े जाते हैं, जबकि स्थिरांक \(3\) अलग रहता है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए पहले \(f(x)+g(x)\) लिखना न भूलें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=2x^2+(x^2+3)=3x^2+3\). The like terms \(2x^2\) and \(x^2\) combine, while the constant 3 remains unchanged. In an exam, first write \(f(x)+g(x)\) when finding the sum of functions.
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If \(f(x)=x^2+5\) and \(g(x)=x^2-2\), what is the value of \((f-g)(x)\)?
A. 7
दो फलनों के अंतर की परिभाषा है: \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=(x^2+5)-(x^2-2)=x^2+5-x^2+2=7\)। दूसरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने के कारण उसके दोनों पदों के चिह्न बदल जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों का घटाव करते समय हमेशा \(f(x)-g(x)\) लिखकर कोष्ठक खोलें। / The difference of two functions is defined as \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=(x^2+5)-(x^2-2)=x^2+5-x^2+2=7\). The minus sign before the second bracket changes both signs inside it. Exam tip: Always write \(f(x)-g(x)\) with brackets before simplifying a function difference.
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If (f(x)=x+2) and (g(x)=x+3), what is the constant term in ((fg)(x))?
A. (6)
((x+2)(x+3)=x-2+5x+6), इसलिए स्थिर पद (6) है। स्थिर पद अक्सर स्थिरों के गुणन से मिलता है। / ((x+2)(x+3)=x-2+5x+6), so the constant term is (6). The constant term often comes from multiplying constants.
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If \(f(x)=4\) and \(g(x)=x^2-1\), what is \((f-g)(x)\)?
A. \(5-x^2\)
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=4-(x^2-1)=4-x^2+1=5-x^2\)। ऋण चिह्न के कारण पूरे \(g(x)\) को घटाते समय कोष्ठक का ध्यान रखें। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) में पहले फलन में से दूसरे फलन को घटाया जाता है। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=4-(x^2-1)=4-x^2+1=5-x^2\). The brackets are important because the minus sign changes the signs inside \(g(x)\). Exam tip: in \(f-g\), subtract the second function from the first.
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If f(x)=x-1 and g(x)=3x+2, what is (g-f)(x)?
A. 2x+3
(g-f)(x) का अर्थ g(x)-f(x) होता है। इसलिए (g-f)(x)=(3x+2)-(x-1)=3x+2-x+1=2x+3। विकल्प D, f(x) और g(x) के गुणनफल (x-1)(3x+2) से प्राप्त होता है, अंतर से नहीं। परीक्षा-युक्ति: फलनों के घटाव में क्रम अवश्य देखें; (g-f) और (f-g) के परिणाम विपरीत हो सकते हैं। / (g-f)(x) means g(x)-f(x). Thus, (g-f)(x)=(3x+2)-(x-1)=3x+2-x+1=2x+3. Option D results from multiplying f(x) and g(x), namely (x-1)(3x+2), not from subtracting them. Exam tip: Always follow the order in function subtraction; (g-f) and (f-g) generally give opposite results.
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If f(x)=x² and g(x)=x, what is the value of (f−g)(−2)?
A. 6
(f−g)(−2)=f(−2)−g(−2)=(-2)²−(-2)=4+2=6। यहाँ ऋणात्मक संख्या को घटाने पर जोड़ हो जाता है। इसलिए सही उत्तर 6 है; 4 केवल f(−2) का मान है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर संक्रिया लागू करें। / (f−g)(−2)=f(−2)−g(−2)=(-2)²−(-2)=4+2=6. Subtracting the negative value of g(−2) changes the subtraction into addition. Thus, 6 is correct; 4 is only the value of f(−2). Exam tip: evaluate both functions first and then apply the indicated operation.
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If \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x+2\), and \(h(x)=x+3\), what is the value of \((f+g+h)(x)\)?
A. \(3x+6\)
फलनों का योग बिंदुवार लिया जाता है: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)\)। अतः \((x+1)+(x+2)+(x+3)=3x+6\)। विकल्प B में \(x\) को केवल एक बार लिया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए उनके समान इनपुट वाले मानों को जोड़ना याद रखें। / The sum of functions is defined pointwise: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)\). Therefore, \((x+1)+(x+2)+(x+3)=3x+6\). Option B is incorrect because it counts the term \(x\) only once. Exam tip: for a sum of functions, add their values at the same input.
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If \(f(x)=2x+5\) and \(g(x)=x\), what is \(\left(\frac{f}{g}\right)(1)\)?
A. (7)
\(\left(\frac{f}{g}\right)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{7}{1}=7\)। भागफल में हर का मान जांचना जरूरी है। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{7}{1}=7\). Always check the denominator value in a quotient.
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A. (x-3)
\(\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3\)। शर्त \(x\ne -3\) मूल हर से आती है। / \(\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3\). The condition \(x\ne -3\) comes from the original denominator.
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A. 1 और -1
\(f+g\) का डोमेन, \(f\) और \(g\) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। \(f(x)\) के लिए \(x-1\neq 0\), इसलिए \(x\neq 1\); और \(g(x)\) के लिए \(x+1\neq 0\), इसलिए \(x\neq -1\)। अतः डोमेन से 1 और -1 दोनों हटेंगे। केवल एक हर को देखकर दूसरा मान छोड़ देना गलत होगा। परीक्षा-टिप: योग या अंतर के डोमेन में सभी संबंधित फलनों की प्रतिबंधित संख्याएँ हटाएँ। / The domain of \(f+g\) is the intersection of the domains of \(f\) and \(g\). For \(f(x)\), \(x-1\neq 0\), so \(x\neq 1\); for \(g(x)\), \(x+1\neq 0\), so \(x\neq -1\). Therefore, both 1 and -1 are excluded. Choosing only one value ignores the restriction from the other denominator. Exam tip: For the sum or difference of functions, exclude every value that makes any relevant denominator zero.
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If \(f(x)=x+4\) and \(g(x)=2x-3\), what is the value of \((f+g)(5)\)?
A. 16
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \(f(5)=5+4=9\) और \(g(5)=2(5)-3=7\), अतः \((f+g)(5)=9+7=16\)। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान निकालकर उन्हें जोड़ें, या सीधे \((f+g)(x)=3x+1\) का उपयोग करें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(5)=5+4=9\) and \(g(5)=2(5)-3=7\), so \((f+g)(5)=9+7=16\). Exam tip: either add the two function values or first simplify to \((f+g)(x)=3x+1\).
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If \(f(x)=3x-2\) and \(g(x)=x+5\), what is the value of \((fg)(2)\)?
A. 28
\(f(2)=3(2)-2=4\) और \(g(2)=2+5=7\)। इसलिए \((fg)(2)=f(2)\,g(2)=4\times7=28\)। ध्यान रखें कि \((fg)(x)\) का अर्थ यहाँ दोनों फलनों के मानों का गुणनफल है, रचना \(f(g(x))\) नहीं। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर गुणा करें। / \(f(2)=3(2)-2=4\) and \(g(2)=2+5=7\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)\,g(2)=4\times7=28\). Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two function values, not the composition \(f(g(x))\). In an exam, evaluate both functions first and then multiply.
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A. \((x+1)^2+1\)
फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2+2x=x^2+2x+2\)। अब \(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2x\) के स्थान पर \(-2x\) प्राप्त होता है। परीक्षा में \(x^2+2x+a=(x+1)^2+(a-1)\) का उपयोग करके शीघ्रता से पूर्ण वर्ग बनाइए। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2+2x=x^2+2x+2\). Completing the square gives \(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\), so option A is correct. Option B would produce the term \(-2x\) instead of \(+2x\). Exam tip: for \(x^2+2x+a\), write it as \((x+1)^2+(a-1)\).
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If (f(x)=x-2) and (g(x)=x-2), what is ((f-g)(x))?
A. (0)
दोनों फलन समान हैं, इसलिए उनका अंतर हर (x) पर (0) है। समान फलनों का अंतर शून्य फलन होता है। / The two functions are identical, so their difference is (0) for every (x). The difference of identical functions is the zero function.
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If cf(x)=1c and cg(x)=x-2+2xc, what is the value of c(fg)(x)c?
A. \(x^2+2x\)
फलनों का गुणनफल c(fg)(x)=f(x)g(x)c होता है। इसलिए c(fg)(x)=1\cdot\(x^2+2x\)=x-2+2xc। विकल्प B जोड़ cf(x)+g(x)c से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा-युक्ति: c(fg)(x) को cf(g(x)) यानी संयोजन से अलग पहचानें। / The product of two functions is defined by c(fg)(x)=f(x)g(x) . Hence, c(fg)(x)=1\cdot\(x^2+2x\)=x-2+2x . Option B would result from adding the functions, not multiplying them. Exam tip: Do not confuse the product c(fg)(x) with the composition cf(g(x)) .
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If \(f(x)=0\) and \(g(x)=x+7\), what is the value of \((f+g)(x)\)?
A. \(x+7\)
फलनों के योग का नियम है \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=0+(x+7)=x+7\)। शून्य फलन जोड़ने पर दूसरा फलन अपरिवर्तित रहता है; अतः विकल्प B नहीं, क्योंकि \(g(x)\) शून्य फलन नहीं है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में पहले दोनों फलनों के \(x\) वाले मानों को जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=0+(x+7)=x+7\). Adding the zero function leaves the other function unchanged, so option B is incorrect because \(g(x)\) is not the zero function. Exam tip: For a sum of functions, add their values at the same input \(x\).
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If \(f(x)=x^2-2x\) and \(g(x)=x\), what is \((f+3g)(x)\)?
A. \(x^2+x\)
फलनों के रैखिक संयोजन में \((f+3g)(x)=f(x)+3g(x)\) होता है। अतः \(x^2-2x+3x=x^2+x\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(3x\) को घटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले संयोजन का नियम लिखें, फिर प्रत्येक फलन का मान रखें। / For the linear combination, \((f+3g)(x)=f(x)+3g(x)\). Therefore, \(x^2-2x+3x=x^2+x\), so option A is correct. Option B results from subtracting \(3x\) instead of adding it. Exam tip: write the combination rule first, then substitute the functions.
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If (f(x)=\frac{1}{x+4}) and (g(x)=x-2), what is the domain of ((f-g)(x))?
A. \(\mathbb{R}-{-4}\)
\(\frac{1}{x+4}\) में (x=-4) पर हर (0) है। अंतर का डोमेन भी \(\mathbb{R}-{-4}\) होगा। / In \(\frac{1}{x+4}\), the denominator is (0) at (x=-4). The domain of the difference is also \(\mathbb{R}-{-4}\).
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If \(f(x)=x+1\) and \(g(x)=x^2+1\), what is the domain of \(\left(\frac{g}{f}\right)(x)\)?
A. \(\mathbb{R}-{-1}\)
\(\frac{g}{f}\) में हर \(f(x)=x+1\) है, इसलिए \(x=-1\) हटेगा। भागफल में हर वाले फलन को ध्यान से देखें। / In \(\frac{g}{f}\), the denominator is \(f(x)=x+1\), so \(x=-1\) is excluded. Identify the denominator function carefully.
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A. \(4x^2-9\)
फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। अतः \((fg)(x)=(2x+3)(2x-3)\)। अंतर के वर्ग का सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगाने पर \((2x)^2-3^2=4x^2-9\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \((fg)(x)\) यहाँ गुणनफल है, फलनों का संयोजन नहीं। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(x)=(2x+3)(2x-3)\). Using the difference-of-squares identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), we get \((2x)^2-3^2=4x^2-9\). Hence, option A is correct. Exam tip: do not confuse the product \((fg)(x)\) with the composition \((f\circ g)(x)\).
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If \(f(x)=x^2+1\) and \(g(x)=x^2+1\), then \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) equals which expression?
A. (1)
क्योंकि \(f(x)=g(x)\), इसलिए \(\frac{f(x)}{g(x)}=1\)। यहाँ \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए सभी वास्तविक (x) मान्य हैं। / Since \(f(x)=g(x)\), \(\frac{f(x)}{g(x)}=1\). Here \(x^2+1\) is never (0), so all real (x) are valid.
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If \(f(x)=x^2+4x\) and \(g(x)=2x^2-x\), what is \((f+g)(x)\)?
A. \(3x^2+3x\)
दो फलनों का योग समान इनपुट पर उनके मानों का योग होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((x^2+4x)+(2x^2-x)=3x^2+3x\)। यहाँ \(x^2\) वाले पदों और \(x\) वाले पदों को अलग-अलग जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों को जोड़ते समय केवल समान घात वाले पदों को मिलाएँ। / The sum of two functions is obtained by adding their values at the same input: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((x^2+4x)+(2x^2-x)=3x^2+3x\). The quadratic terms and linear terms are combined separately. Exam tip: while adding algebraic functions, combine only like terms.
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If (f(x)=5x+2) and (g(x)=2x-7), what is the value of ((f-g)(1))?
A. (12)
(f(1)=7) और (g(1)=-5), इसलिए ((f-g)(1)=7-(-5)=12)। ऋणात्मक मान घटाते समय सावधानी रखें। / (f(1)=7) and (g(1)=-5), so ((f-g)(1)=7-(-5)=12). Be careful while subtracting a negative value.
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If (f(x)=x+2) and (g(x)=x-2-2x), what is ((fg)(2))?
A. (0)
(f(2)=4) और (g(2)=0), इसलिए ((fg)(2)=4\cdot 0=0)। गुणन में किसी एक मान के (0) होने पर उत्पाद (0) होता है। / (f(2)=4) and (g(2)=0), so ((fg)(2)=4\cdot 0=0). In multiplication, if one value is (0), the product is (0).
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If (f(x)=\sqrt{x+2}) and (g(x)=\frac{1}{x-1}), what is the real domain of ((f+g)(x))?
A. \([-2,\infty\)-{1})
\(\sqrt{x+2}\) के लिए \(x\ge -2\) और \(\frac{1}{x-1}\) के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। दोनों शर्तों को साथ लगाएं। / For \(\sqrt{x+2}\), \(x\ge -2\), and for \(\frac{1}{x-1}\), \(x\ne 1\). Apply both conditions together.
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If \(f(x)=x^2-1\) and \(g(x)=x^2+1\), what is the value of \((g-f)(x)\)?
A. 2
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((g-f)(x)=g(x)-f(x)\)। इसलिए \((g-f)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\)। विकल्प B में \(x^2\) पदों का सही निरसन नहीं हुआ है। परीक्षा-टिप: दूसरे फलन को घटाते समय उसके कोष्ठक के अंदर के सभी चिह्न बदल दें। / By the definition of the difference of two functions, \((g-f)(x)=g(x)-f(x)\). Hence, \((g-f)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\). Option B results from not handling the subtraction of the second bracket correctly. Exam tip: When subtracting a bracket, change the signs of every term inside it.
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