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\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\) है। परीक्षा में समान करणी काट सकते हैं। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\). In exams common radical factors can be cancelled.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-3=2) और अंश \(8+2\sqrt{15}\) बनता है। सरल रूप \(4+\sqrt{15}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (5-3=2) and numerator \(8+2\sqrt{15}\). The simplified form is \(4+\sqrt{15}\).
हर पद को (2) से भाग देने पर (x+y=7) मिलता है। विलोपन से पहले समीकरण सरल करना उपयोगी है। / Dividing every term by (2) gives (x+y=7). Simplifying equations before elimination is useful.
\( \sqrt{300}=10\sqrt{3} \) और \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \), इसलिए अंतर \(3\sqrt{3}\) है। पहले मूलों को सरल करें। / \( \sqrt{300}=10\sqrt{3} \) and \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \), so the difference is \(3\sqrt{3}\). Simplify the radicals first.
समान मूलों को जोड़ने पर \( \sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}=4\sqrt{29} \) होता है। मूल के अंदर संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। / Adding like radicals gives \( \sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}=4\sqrt{29} \). Do not add the numbers inside radicals directly.
\( \sqrt{245}=\sqrt{49\cdot5}=7\sqrt{5} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \( \sqrt{245}=\sqrt{49\cdot5}=7\sqrt{5} \). Factor out the largest perfect square.
\( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \) और \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \), इसलिए अंतर \(2\sqrt{3}\) है। समान मूलों को ही घटाएँ। / \( \sqrt{108}=6\sqrt{3} \) and \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \), so the difference is \(2\sqrt{3}\). Subtract only like radicals.
\( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \) और \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \), इसलिए अंतर \(3\sqrt{3}\) है। पहले मूलों को सरल करें। / \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \) and \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \), so the difference is \(3\sqrt{3}\). Simplify the radicals first.
समान मूलों को जोड़ने पर \( \sqrt{19}+\sqrt{19}+\sqrt{19}=3\sqrt{19} \) होता है। मूल के अंदर संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। / Adding like radicals gives \( \sqrt{19}+\sqrt{19}+\sqrt{19}=3\sqrt{19} \). Do not add the numbers inside radicals directly.
\( \sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \( \sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5} \). Factor out the largest perfect square.
\( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \) और \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), इसलिए अंतर \(2\sqrt{3}\) है। समान मूलों को ही घटाएँ। / \( \sqrt{75}=5\sqrt{3} \) and \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), so the difference is \(2\sqrt{3}\). Subtract only like radicals.
\( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) और \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), इसलिए योग \(5\sqrt{3}\) है। पहले मूलों को सरल करें। / \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) and \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), so the sum is \(5\sqrt{3}\). Simplify the radicals first.
\( \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \( \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3} \). Factor out the largest perfect square.
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), इसलिए \( \sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2} \)। समान मूलों को ही जोड़ा जाता है। / \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), so \( \sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2} \). Only like radicals can be added.
\( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) और \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), इसलिए अंतर \( \sqrt{3} \) है। पहले मूलों को सरल करें। / \( \sqrt{48}=4\sqrt{3} \) and \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), so the difference is \( \sqrt{3} \). Simplify the radicals first.
समान मूलों को जोड़ने पर \( \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13} \) होता है। मूल के अंदर संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। / Adding like radicals gives \( \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13} \). Do not add the numbers inside the radicals directly.
\( \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5} \) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \( \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5} \). Factor out the largest perfect square.
\( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) और \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) इसलिए अंतर \( \sqrt{3} \) है। समान मूलों को घटाएँ। / \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \) and \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \), so the difference is \( \sqrt{3} \). Subtract like radicals.
\( \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\)। मूल सरल करने के लिए सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \( \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\). To simplify a root, factor out the largest perfect square.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\)। स्थान अनुमान से पहले वर्गमूल को सरल करें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\). Simplify the square root before estimating its position.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\) है। परीक्षा में वर्ग गुणनखंड निकालकर वर्गमूल सरल करें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\). In exams, take out square factors to simplify roots.
अंतर के वर्ग से ((6)(4x+4)=24x+24) मिलता है। पहचान (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) तेज तरीका है। / By difference of squares, ((6)(4x+4)=24x+24). The identity (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) is a quick method.
((x+6)2-(x-2)2=((x+6)-(x-2))((x+6)+(x-2))=8(2x+4)=16x+32)। अंतर के वर्ग की पहचान लगाएं। / ((x+6)2-(x-2)2=((x+6)-(x-2))((x+6)+(x-2))=8(2x+4)=16x+32). Use the difference of squares identity.
प्रत्येक पद को (-3x) से गुणा करने पर \(-6x^3+12x^2-15x\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक के संकेत ध्यान से लगाएं। / Multiplying each term by (-3x) gives \(-6x^3+12x^2-15x\). Apply signs carefully with a negative multiplier.
\(0x^2\) का मान (0) है इसलिए वह पद हट जाता है। बाकी पद जैसे हैं वैसे रहते हैं। / The value of \(0x^2\) is (0), so that term vanishes. The remaining terms stay unchanged.
प्रत्येक पद को (2x) से गुणा करने पर \(6x^3-10x^2+2x\) मिलता है। वितरण नियम का प्रयोग करें। / Multiplying each term by (2x) gives \(6x^3-10x^2+2x\). Use the distributive property.
ऊपर \(6b^{-3}+9b^{-3}=15b^{-3}\) है। \(\frac{15b^{-3}}{3b^{-5}}=5b^{2}\) मिलता है। / The numerator is \(6b^{-3}+9b^{-3}=15b^{-3}\). Thus \(\frac{15b^{-3}}{3b^{-5}}=5b^{2}\).
(\left\(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}})। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\) मिलता है। / We get (\left\(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}}). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\).
(24^{3}=\(2^{3}\cdot3\)^{3}=2^{9}\cdot3^{3})। भाग देने पर \(2^{3}\cdot3=24\) मिलता है, इसलिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / Since (24^{3}=\(2^{3}\cdot3\)^{3}=2^{9}\cdot3^{3}), division leaves \(2^{3}\cdot3=24\), so the correct value is not among the options.
अंदर \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\) है। (-1) घात लेने पर \(9r^{6}s^{-8}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\). Raising to (-1) gives \(9r^{6}s^{-8}\).
(x^{12}-4096=\(x^{6}\)^{2}-64^{2}=\(x^{6}-64\)\(x^{6}+64\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{6}+64\) मिलता है। / Since (x^{12}-4096=\(x^{6}\)^{2}-64^{2}=\(x^{6}-64\)\(x^{6}+64\)), cancelling the common factor gives \(x^{6}+64\).
\(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), और \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), and \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
अंदर \(\frac{x^{-4}y^{5}}{z^{-2}}=x^{-4}y^{5}z^{2}\), इसलिए उल्टा \(x^{4}y^{-5}z^{-2}\) है। \(\frac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\) से गुणा करने पर \(\frac{x^{2}}{y^{2}z^{6}}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-4}y^{5}}{z^{-2}}=x^{-4}y^{5}z^{2}\), so its reciprocal is \(x^{4}y^{-5}z^{-2}\). Multiplying by \(\frac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\) gives \(\frac{x^{2}}{y^{2}z^{6}}\).
अंश \(25x^{-4}\cdot4x^{8}=100x^{4}\) है। \(\frac{100x^{4}}{20x^{4}}=5\) मिलता है। / The numerator is \(25x^{-4}\cdot4x^{8}=100x^{4}\). Thus \(\frac{100x^{4}}{20x^{4}}=5\).
(x^{10}-1024=\(x^{5}\)^{2}-32^{2}=\(x^{5}-32\)\(x^{5}+32\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{5}+32\) बचता है। / We use (x^{10}-1024=\(x^{5}\)^{2}-32^{2}=\(x^{5}-32\)\(x^{5}+32\)). Cancelling the common factor leaves \(x^{5}+32\).
अंदर \(\frac{8x^{-3}y^{2}}{2x^{5}y^{-4}}=4x^{-8}y^{6}\), इसका वर्ग \(16x^{-16}y^{12}\) है। फिर \(\frac{x^{16}}{16y^{12}}\) से गुणा करने पर (1) मिलता है। / Inside, \(\frac{8x^{-3}y^{2}}{2x^{5}y^{-4}}=4x^{-8}y^{6}\), and its square is \(16x^{-16}y^{12}\). Multiplying by \(\frac{x^{16}}{16y^{12}}\) gives (1).
क्योंकि (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
मान लें \(A=x^{-2}\) और \(B=y^{-2}\), तो \(\frac{A^{2}-B^{2}}{A-B}=A+B\)। इसलिए उत्तर \(x^{-2}+y^{-2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\) है। / Let \(A=x^{-2}\) and \(B=y^{-2}\). Then \(\frac{A^{2}-B^{2}}{A-B}=A+B\), so the answer is \(x^{-2}+y^{-2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\).
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(169^{-1}=13^{-2}\) और \(2197^{-1}=13^{-3}\), इसलिए \(\frac{13^{4}\cdot13^{-2}}{13^{-3}}=13^{5}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करते समय घात जुड़ती है। / Here \(169^{-1}=13^{-2}\) and \(2197^{-1}=13^{-3}\), so \(\frac{13^{4}\cdot13^{-2}}{13^{-3}}=13^{5}\). In exams, division by a negative power adds the exponent.
अंदर (p^{-5-(-1)}q^{4-(-2)}=p^{-4}q^{6}) है। (-2) घात देने पर \(p^{8}q^{-12}\) मिलता है। / Inside, (p^{-5-(-1)}q^{4-(-2)}=p^{-4}q^{6}). Raising to (-2) gives \(p^{8}q^{-12}\).
\(25^{-2}=5^{-4}\) और \(125=5^{3}\), इसलिए कुल घात (9-4+3-4=4) है। परीक्षा में सभी पदों को समान आधार में बदलें। / Since \(25^{-2}=5^{-4}\) and \(125=5^{3}\), the total exponent is (9-4+3-4=4). In exams, convert all terms to the same base.
\(\frac{4x^{-2}}{x^{3}}=4x^{-5}\), इसलिए व्युत्क्रम \(\frac{x^{5}}{4}\) है और \(x^{-4}\) से गुणा करने पर \(\frac{x}{4}\) मिलता है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / Here \(\frac{4x^{-2}}{x^{3}}=4x^{-5}\), so its reciprocal is \(\frac{x^{5}}{4}\), and multiplying by \(x^{-4}\) gives \(\frac{x}{4}\). In exams, simplify the bracket first.
ऊपर \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\) है। \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\) मिलता है। / The numerator is \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\). Thus \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\).
(\left\(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}})। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\) मिलता है। / We get (\left\(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}}). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\).
(18^{3}=\(2\cdot3^{2}\)^{3}=2^{3}\cdot3^{6})। भाग देने पर \(2^{1}\cdot3^{1}=6\) मिलता है। / Since (18^{3}=\(2\cdot3^{2}\)^{3}=2^{3}\cdot3^{6}), division leaves \(2^{1}\cdot3^{1}=6\).
अंदर \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\) है। (-1) घात लेने पर \(7r^{5}s^{-6}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\). Raising to (-1) gives \(7r^{5}s^{-6}\).
(x^{8}-81=\(x^{4}\)^{2}-9^{2}=\(x^{4}-9\)\(x^{4}+9\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{4}+9\) मिलता है। / Since (x^{8}-81=\(x^{4}\)^{2}-9^{2}=\(x^{4}-9\)\(x^{4}+9\)), cancelling the common factor gives \(x^{4}+9\).
\(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), और \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), and \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
अंदर \(\frac{x^{-2}y^{4}}{z^{-3}}=x^{-2}y^{4}z^{3}\), इसलिए उल्टा \(x^{2}y^{-4}z^{-3}\) है। \(\frac{y^{2}}{x^{3}z^{2}}\) से गुणा करने पर \(\frac{1}{xy^{2}z^{5}}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-2}y^{4}}{z^{-3}}=x^{-2}y^{4}z^{3}\), so its reciprocal is \(x^{2}y^{-4}z^{-3}\). Multiplying by \(\frac{y^{2}}{x^{3}z^{2}}\) gives \(\frac{1}{xy^{2}z^{5}}\).
अंश \(16x^{-2}\cdot9x^{6}=144x^{4}\) है। \(\frac{144x^{4}}{12x^{4}}=12\) मिलता है। / The numerator is \(16x^{-2}\cdot9x^{6}=144x^{4}\). Thus \(\frac{144x^{4}}{12x^{4}}=12\).
(x^{6}-64=\(x^{3}\)^{2}-8^{2}=\(x^{3}-8\)\(x^{3}+8\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{3}+8\) बचता है। / We use (x^{6}-64=\(x^{3}\)^{2}-8^{2}=\(x^{3}-8\)\(x^{3}+8\)). Cancelling the common factor leaves \(x^{3}+8\).
अंदर \(\frac{6x^{-2}y^{3}}{3x^{4}y^{-1}}=2x^{-6}y^{4}\), इसका वर्ग \(4x^{-12}y^{8}\) है। फिर \(\frac{x^{12}}{4y^{8}}\) से गुणा करने पर (1) मिलता है। / Inside, \(\frac{6x^{-2}y^{3}}{3x^{4}y^{-1}}=2x^{-6}y^{4}\), and its square is \(4x^{-12}y^{8}\). Multiplying by \(\frac{x^{12}}{4y^{8}}\) gives (1).
क्योंकि (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
अंश \(\frac{y^{3}-x^{3}}{x^{3}y^{3}}\) और हर \(\frac{y-x}{xy}\) है। भाग देने पर \(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\) मिलता है। / The numerator is \(\frac{y^{3}-x^{3}}{x^{3}y^{3}}\), and the denominator is \(\frac{y-x}{xy}\). Division gives \(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\).
\(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(121^{-2}=11^{-4}\) और \(1331^{-1}=11^{-3}\), इसलिए \(\frac{11^{5}\cdot11^{-4}}{11^{-3}}=11^{4}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करते समय घात जुड़ती है। / Here \(121^{-2}=11^{-4}\) and \(1331^{-1}=11^{-3}\), so \(\frac{11^{5}\cdot11^{-4}}{11^{-3}}=11^{4}\). In exams, division by a negative power adds the exponent.
अंदर \(m^{-4-2}n^{3-(-5)}=m^{-6}n^{8}\) है। (-1) घात लेने पर \(m^{6}n^{-8}\) मिलता है। / Inside, \(m^{-4-2}n^{3-(-5)}=m^{-6}n^{8}\). Raising to (-1) gives \(m^{6}n^{-8}\).
सभी पदों को आधार (3) में लिखने पर कुल घात (8-3+8-10=3) नहीं बल्कि (3) है। इसलिए सही मान \(3^{3}\) है और विकल्पों में \(3^{3}\) चुनना चाहिए। / Writing all terms with base (3), the total exponent is (8-3+8-10=3). Therefore, the value is \(3^{3}\), so choose the option \(3^{3}\).
अंदर \(\frac{2x^{-3}}{x^{2}}=2x^{-5}\) है, इसलिए (\left\(2x^{-5}\right\)^{-2}x^{-4}=\frac{x^{10}}{4}x^{-4}=\frac{x^{6}}{4})। परीक्षा में पहले अंदर की घातें घटाएं। / Inside, \(\frac{2x^{-3}}{x^{2}}=2x^{-5}\), so (\left\(2x^{-5}\right\)^{-2}x^{-4}=\frac{x^{10}}{4}x^{-4}=\frac{x^{6}}{4}). In exams, subtract the inner exponents first.
ऊपर \(2a^{-1}+3a^{-1}=5a^{-1}\) है। इसलिए \(\frac{5a^{-1}}{5a^{-2}}=a^{1}=a\)। / The numerator is \(2a^{-1}+3a^{-1}=5a^{-1}\). Hence \(\frac{5a^{-1}}{5a^{-2}}=a^{1}=a\).
(\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), इसलिए \(-\frac{1}{3}\) घात देने पर उसका व्युत्क्रम \(\frac{2xy^{2}}{3}\) है। परीक्षा में भिन्न घात के बाद ऋणात्मक संकेत को व्युत्क्रम मानें। / We get (\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), so the power \(-\frac{1}{3}\) gives its reciprocal \(\frac{2xy^{2}}{3}\). In exams, treat the negative fractional power as a reciprocal after rooting.
(12^{4}=\(2^{2}\cdot3\)^{4}=2^{8}\cdot3^{4}), इसलिए भाग देने पर \(2^{3}\cdot3\) बचता है। परीक्षा में पहले अभाज्य गुणनखंड करें। / Since (12^{4}=\(2^{2}\cdot3\)^{4}=2^{8}\cdot3^{4}), division leaves \(2^{3}\cdot3\). In exams, prime-factorize first.
अंदर \(\frac{5m^{-2}n^{3}}{25m^{4}n^{-1}}=\frac{1}{5}m^{-6}n^{4}\), इसलिए (-1) घात लेने पर \(5m^{6}n^{-4}\) है। परीक्षा में गुणांक भी उलटना न भूलें। / Inside, \(\frac{5m^{-2}n^{3}}{25m^{4}n^{-1}}=\frac{1}{5}m^{-6}n^{4}\), so raising to (-1) gives \(5m^{6}n^{-4}\). In exams, do not forget to invert the coefficient too.
(x^{6}-1=\(x^{3}-1\)\(x^{3}+1\)), इसलिए समान गुणनखंड कटने पर \(x^{3}+1\) मिलता है। परीक्षा में \(A^{2}-B^{2}\) रूप पहचानें। / Since (x^{6}-1=\(x^{3}-1\)\(x^{3}+1\)), cancelling the common factor gives \(x^{3}+1\). In exams, recognize the \(A^{2}-B^{2}\) form.
\(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), और \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), and \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
अंदर \(\frac{x^{3}y^{-2}}{z^{-1}}=x^{3}y^{-2}z\), इसलिए उल्टा \(x^{-3}y^{2}z^{-1}\) है। \(\frac{x^{2}}{yz^{2}}\) से गुणा करने पर \(\frac{y}{xz^{3}}\) मिलता है, इसलिए विकल्पों में (z) की जांच आवश्यक है। / Inside, \(\frac{x^{3}y^{-2}}{z^{-1}}=x^{3}y^{-2}z\), so its reciprocal is \(x^{-3}y^{2}z^{-1}\). Multiplying by \(\frac{x^{2}}{yz^{2}}\) gives \(\frac{y}{xz^{3}}\), so the (z)-power must be checked carefully.
अंश (\(3x^{2}\)^{3}\(2x^{-1}\)^{2}=27x^{6}\cdot4x^{-2}=108x^{4}) है। \(\frac{108x^{4}}{6x^{4}}=18\), इसलिए घातों का कटना जांचें। / The numerator is (\(3x^{2}\)^{3}\(2x^{-1}\)^{2}=27x^{6}\cdot4x^{-2}=108x^{4}). Then \(\frac{108x^{4}}{6x^{4}}=18\), so check cancellation of powers.
(x^{4}-16=\(x^{2}-4\)\(x^{2}+4\)), इसलिए समान गुणनखंड कटने पर \(x^{2}+4\) बचता है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानें। / Since (x^{4}-16=\(x^{2}-4\)\(x^{2}+4\)), cancelling the common factor leaves \(x^{2}+4\). In exams, recognize the difference of squares.
अंदर \(\frac{4x^{3}y^{-2}}{2x^{-1}y^{4}}=2x^{4}y^{-6}\), इसका वर्ग \(4x^{8}y^{-12}\) है। फिर \(\frac{y^{12}}{x^{4}}\) से गुणा करने पर \(4x^{4}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{4x^{3}y^{-2}}{2x^{-1}y^{4}}=2x^{4}y^{-6}\), and its square is \(4x^{8}y^{-12}\). Multiplying by \(\frac{y^{12}}{x^{4}}\) gives \(4x^{4}\).
क्योंकि (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी को पहचानें। / Because (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\). In exams, recognize a perfect-square surd form.
अंश \(\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}\) और हर \(\frac{y-x}{xy}\) है, इसलिए भाग देने पर \(\frac{x+y}{xy}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घातों को भिन्न में बदलें। / The numerator is \(\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}\) and the denominator is \(\frac{y-x}{xy}\), so division gives \(\frac{x+y}{xy}\). In exams, convert negative powers to fractions.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए मान \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें। / We have \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams, combine only like radicals.
\(49^{-1}=7^{-2}\) और \(343^{-2}=7^{-6}\), इसलिए \(\frac{7^{4}\cdot7^{-2}}{7^{-6}}=7^{8}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करने पर घात जुड़ती है। / Here \(49^{-1}=7^{-2}\) and \(343^{-2}=7^{-6}\), so \(\frac{7^{4}\cdot7^{-2}}{7^{-6}}=7^{8}\). In exams, dividing by a negative power adds the exponent.
अंदर \(a^{-3-2}b^{2-(-4)}=a^{-5}b^{6}\) है, इसलिए (-2) घात देने पर \(a^{10}b^{-12}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घात पर दोनों घातों के चिह्न बदलते हैं। / Inside, \(a^{-3-2}b^{2-(-4)}=a^{-5}b^{6}\), so raising to (-2) gives \(a^{10}b^{-12}\). In exams, a negative outer power changes the signs of both exponents.
सभी पदों को आधार (2) में लिखने पर घात (7-6+12-8=5) मिलती है। परीक्षा में संयुक्त आधारों को पहले अभाज्य आधार में बदलें। / Writing all terms with base (2), the exponent is (7-6+12-8=5). In exams, first convert composite bases into prime bases.
अंदर \(\frac{3x^{-2}}{x^{3}}=3x^{-5}\), इसलिए (\left\(3x^{-5}\right\)^{-2}\cdot x^{-1}=\frac{x^{10}}{9}\cdot x^{-1}=\frac{x^{9}}{9})। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / Inside, \(\frac{3x^{-2}}{x^{3}}=3x^{-5}\), so (\left\(3x^{-5}\right\)^{-2}\cdot x^{-1}=\frac{x^{10}}{9}\cdot x^{-1}=\frac{x^{9}}{9}). In exams, simplify the bracket first.
(\left\(81x^{4}\right\)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81x^{4}}=9x^{2})। परीक्षा में वर्गमूल में घात आधी हो जाती है। / (\left\(81x^{4}\right\)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81x^{4}}=9x^{2}). In exams, the exponent becomes half under a square root.
(\(a^{2}b^{-1}\)^{-3}=a^{-6}b^{3}), फिर \(\frac{a^{-6}b^{3}}{a^{-4}b^{2}}=a^{-2}b\)। परीक्षा में भाग करते समय समान आधार की घात घटाएं। / (\(a^{2}b^{-1}\)^{-3}=a^{-6}b^{3}), then \(\frac{a^{-6}b^{3}}{a^{-4}b^{2}}=a^{-2}b\). In exams, subtract powers of the same base during division.
\(\frac{3x^{-2}}{y^{-1}}=3x^{-2}y\), इसका घन \(27x^{-6}y^{3}\) है, फिर \(\frac{y^{2}}{27}\) से गुणा करने पर \(x^{-6}y^{5}\) मिलता है। परीक्षा में भाग को ऋणात्मक घात से गुणा में बदलें। / \(\frac{3x^{-2}}{y^{-1}}=3x^{-2}y\), its cube is \(27x^{-6}y^{3}\), and multiplying by \(\frac{y^{2}}{27}\) gives \(x^{-6}y^{5}\). In exams, turn division by a negative power into multiplication.
\(x^{-1}+y^{-1}=\frac{x+y}{xy}\) और ((xy)^{-1}=\frac{1}{xy}), इसलिए भाग करने पर (x+y) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घात को भिन्न में बदलना सुरक्षित तरीका है। / Here \(x^{-1}+y^{-1}=\frac{x+y}{xy}\) and ((xy)^{-1}=\frac{1}{xy}), so division gives (x+y). In exams, converting negative exponents to fractions is safer.
(\(2+\sqrt{3}\)^{2}=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में रूप ((a+b)^{2}) पहचानें। / Since (\(2+\sqrt{3}\)^{2}=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{3}\). In exams, recognize the form ((a+b)^{2}).
(\frac{x^{5}-x^{3}}{x^{3}}=\frac{x^{3}\(x^{2}-1\)}{x^{3}}=x^{2}-1)। परीक्षा में पहले सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें। / (\frac{x^{5}-x^{3}}{x^{3}}=\frac{x^{3}\(x^{2}-1\)}{x^{3}}=x^{2}-1). In exams, take out the common factor first.
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
\(6^{5}=2^{5}\cdot3^{5}\), इसलिए \(\frac{2^{5}3^{5}}{2^{3}3^{4}}=2^{2}\cdot3\)। परीक्षा में मिश्रित आधार को अभाज्य आधारों में तोड़ें। / Since \(6^{5}=2^{5}\cdot3^{5}\), \(\frac{2^{5}3^{5}}{2^{3}3^{4}}=2^{2}\cdot3\). In exams, split a composite base into prime bases.
अंदर \(a^{3-(-1)}b^{-2-2}=a^{4}b^{-4}\), इसलिए वर्ग करने पर \(a^{8}b^{-8}\) है। परीक्षा में ऋणात्मक घात घटाते समय चिह्न पर ध्यान दें। / Inside, \(a^{3-(-1)}b^{-2-2}=a^{4}b^{-4}\), and squaring gives \(a^{8}b^{-8}\). In exams, watch the sign when subtracting negative exponents.
पहला गुणनफल (7-5=2) है और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए उत्तर \(2+2\sqrt{5}\) है। परीक्षा में पहले संयुग्म गुणनफल पहचानें। / The first product is (7-5=2), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the answer is \(2+2\sqrt{5}\). In exams, identify the conjugate product first.
अंदर \(\frac{x^{-2}y^{3}}{x^{4}y^{-1}}=x^{-6}y^{4}\), और (-1) घात लेने पर \(x^{6}y^{-4}\) मिलता है। परीक्षा में भाग में घात घटती है। / Inside, \(\frac{x^{-2}y^{3}}{x^{4}y^{-1}}=x^{-6}y^{4}\), and raising to (-1) gives \(x^{6}y^{-4}\). In exams, subtract exponents during division.
(\(2^{5}\)^{3}=2^{15}), \(4^{-2}=2^{-4}\), और \(8^{2}=2^{6}\), इसलिए कुल घात (15-4-6=5) है। परीक्षा में सभी आधार (2) में बदलें। / Here (\(2^{5}\)^{3}=2^{15}), \(4^{-2}=2^{-4}\), and \(8^{2}=2^{6}\), so the net exponent is (15-4-6=5). In exams, convert all bases to (2).
(\left\(ab^{-2}\right\)^{3}=a^{3}b^{-6}), फिर \(a^{-1}b^{5}\) से गुणा करने पर \(a^{2}b^{-1}\) मिलता है। परीक्षा में हर चर की घात अलग-अलग जोड़ें। / We have (\left\(ab^{-2}\right\)^{3}=a^{3}b^{-6}), and multiplying by \(a^{-1}b^{5}\) gives \(a^{2}b^{-1}\). In exams, add exponents separately for each variable.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए परिणाम \(6\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें। / We get \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the result is \(6\sqrt{2}\). In exams, combine only like surd terms.
अंदर \(\frac{4x^{2}y^{-3}}{2x^{-1}y}=2x^{3}y^{-4}\), इसलिए घात (-2) देने पर \(\frac{y^{8}}{4x^{6}}\) मिलता है। परीक्षा में पहले कोष्ठक के अंदर सरल करें। / Inside, \(\frac{4x^{2}y^{-3}}{2x^{-1}y}=2x^{3}y^{-4}\), and raising to (-2) gives \(\frac{y^{8}}{4x^{6}}\). In exams, simplify inside the bracket first.
(\left\(2x^{-3}\right\)^{-2}=2^{-2}x^{6}=\frac{x^{6}}{4}), इसलिए \(x^{-1}\) से गुणा करने पर \(\frac{x^{5}}{4}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घात को पहले धनात्मक रूप में बदलें। / Here (\left\(2x^{-3}\right\)^{-2}=2^{-2}x^{6}=\frac{x^{6}}{4}), so multiplying by \(x^{-1}\) gives \(\frac{x^{5}}{4}\). In exams, first convert negative exponents carefully.
ऊपर \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) और नीचे ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), इसलिए उत्तर (a+b) है। परीक्षा में common denominator बनाएं। / The numerator is \(a^{-1}+b^{-1}=\dfrac{a+b}{ab}\) and the denominator is ((ab)^{-1}=\dfrac{1}{ab}), so the answer is (a+b). In exams, make a common denominator.
क्योंकि (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), इसलिए सरल रूप (x+2) है। परीक्षा में trinomial factorisation को ध्यान से करें। / Because (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), the simplified form is (x+2). In exams, factorise trinomials carefully.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए उत्तर \(8\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहले सभी surds को simplest form में लिखें। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the answer is \(8\sqrt{2}\). In exams, first write all surds in simplest form.
ऊपर ((2x)3\(3x^{-2}\)=8x-3\cdot 3x^{-2}=24x), और \(\dfrac{24x}{12x^{-1}}=2x^2\)। परीक्षा में coefficient और variable दोनों सरल करें। / The numerator is ((2x)3\(3x^{-2}\)=8x-3\cdot 3x^{-2}=24x), and \(\dfrac{24x}{12x^{-1}}=2x^2\). In exams, simplify both coefficient and variable parts.
ऊपर का अंतर (6x-2y+2y-3=2y\(3x^2+y^2\)) है, इसलिए भाग देने पर \(3x^2+y^2\) मिलता है। परीक्षा में common factor निकालें। / The numerator difference is (6x-2y+2y-3=2y\(3x^2+y^2\)), so division gives \(3x^2+y^2\). In exams, take out the common factor.
