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इस बहुपद में \(x^4\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / The term \(x^4\) is not present in this polynomial. A missing term has coefficient (0).
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जाता है। / There is no \(x^3\) term in this polynomial. The coefficient of a missing term is taken as (0).
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / The term \(x^3\) is not present in this polynomial. A missing term has coefficient (0).
इस बहुपद में \(x^3\) पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जा सकता है। / The \(x^3\)-term is not present in this polynomial. Its coefficient may be taken as (0).
(5) से (20) तक तीन समान अंतर हैं इसलिए \(d=\frac{20-5}{3}=5\), अतः (x=10) और (y=15)। दो पदों के बीच समान अंतर बांटकर खाली पद निकालें। / There are three equal gaps from (5) to (20), so \(d=\frac{20-5}{3}=5\), hence (x=10) and (y=15). Find missing terms by splitting the total difference into equal gaps.
समान मानों में अंतर कम होता है इसलिए विरोध कम होता है। परीक्षा में close values को low contrast से जोड़ें। / Similar values have little difference so contrast is low. Exam tip: connect close values with low contrast.
समान जड़ों के लिए ((m-2)2-100=0) होगा। इसलिए \(m-2=\pm10\), अतः (m=12) या (m=-8)। / For equal roots, ((m-2)2-100=0). Thus \(m-2=\pm10\), so (m=12) or (m=-8).
समान जड़ों के लिए ((m+1)2-64=0) होगा। इसलिए \(m+1=\pm8\), अतः (m=7) या (m=-9)। / For equal roots, ((m+1)2-64=0). Thus \(m+1=\pm8\), so (m=7) or (m=-9).
समान जड़ों के लिए ((m-5)2-36=0) होगा। इसलिए \(m-5=\pm6\), अतः (m=11) या (m=-1)। / For equal roots, ((m-5)2-36=0). Thus \(m-5=\pm6\), so (m=11) or (m=-1).
समान जड़ों के लिए (D=0) रखें। इससे \(k^2-3k-4=0\) मिलता है, इसलिए (k=4) या (k=-1)। / For equal roots, put (D=0). This gives \(k^2-3k-4=0\), so (k=4) or (k=-1).
दिए गए शून्यक (-2) और (6) हैं, इसलिए योग (4) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-2) and (6), so the sum is (4). Tip: take only the (x)-values where (p(x)=0).
जहाँ (p(x)=0) है वहीं शून्यक मिलता है। टिप: तालिका में (0) वाला फलन मान खोजें। / A zero occurs where (p(x)=0). Tip: find the function value (0) in the table.
शून्यक वही (x)-मान हैं जिन पर (p(x)=0) है। टिप: तालिका में शून्य (y)-मान खोजें। / Zeroes are the (x)-values for which (p(x)=0). Tip: find zero (y)-values in the table.
जिन (x)-मानों पर (p(x)=0) है वही कटान देते हैं। टिप: (p(a)=0) को सीधे (x=a) कटान मानें। / The (x)-values where (p(x)=0) give the intersections. Tip: read (p(a)=0) directly as an (x=a) cut.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। इसलिए इन दोनों (x)-मानों पर बहुपद का मान (0) होगा। / On the (x)-axis, (y=0). Therefore the polynomial value at both these (x)-values is (0).
A. वस्तु सतह से अलग तैरती लग सकती है/Object may seem floating away from surface
Explanation
Simple Explanation
पड़ी छाया वस्तु को सतह से जोड़ती है। परीक्षा में grounding के लिए cast shadow देखें। / Cast shadow connects object to surface. Exam tip: observe cast shadow for grounding.
D. जमीन से संबंध और गहराई/Contact with ground and depth
Explanation
Simple Explanation
पड़ी छाया वस्तु को जमीन से जोड़ती है और स्थान दिखाती है। परीक्षा में cast shadow को space से जोड़ें। / Cast shadow connects object with ground and shows space. Exam tip: connect cast shadow with space.
जो पद लिखा नहीं है उसका गुणांक (0) माना जाता है। इसलिए \(x^4\) का गुणांक (0) है। / A missing term is treated as having coefficient (0). So the coefficient of \(x^4\) is (0).
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। / The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। / If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें। / So write the fraction in lowest form at the start.
D. गीत लोककथा इतिहास और जनभागीदारी जैसे अन्य साधनों की चर्चा/Discussion of other tools like songs folklore history and public participation
Step 1
Concept
ध्वज महत्वपूर्ण प्रतीक है लेकिन अकेला साधन नहीं। / The flag is an important symbol but not the only tool.
Step 2
Why this answer is correct
सामूहिक अपनापन गीत लोककथा इतिहास कला और जनभागीदारी से भी बना। / Collective belonging was also formed through songs folklore history art and public participation.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पूरा उत्तर देने के लिए अनेक उदाहरण जोड़ें। / In exams add multiple examples for a complete answer.
A. वह संस्थाओं उपाधियों चुनावों शिक्षा न्याय और कर के प्रश्नों को छोड़ देगा/The student would miss issues of institutions titles elections education justice and tax
Step 1
Concept
विदेशी वस्त्रों का बहिष्कार आंदोलन का एक पक्ष था। / Boycott of foreign cloth was one part of the movement.
Step 2
Why this answer is correct
असहयोग में कई संस्थागत आर्थिक और नैतिक कदम थे। / Non-Cooperation had many institutional economic and moral steps.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे व्यापक औपनिवेशिक विरोध के रूप में लिखना चाहिए। / Therefore it should be written as a broad anti-colonial protest.
A. बाहरी पहचान होगी पर रूप और सतह कमजोर रहेंगे/Outer identity will remain but form and surface will be weak
Explanation
Simple Explanation
सिलुएट पहचान देता है लेकिन मान रूप बनाते हैं। परीक्षा में outer shape और internal value दोनों देखें। / Silhouette gives identity but values create form. Exam tip: observe both outer shape and internal value.
A. मासूम और कोमल भाव कमजोर हो सकता है/Innocent and soft mood may weaken
Explanation
Simple Explanation
कोमल विषय में नरम आकार और हल्के मान उपयोगी होते हैं। परीक्षा में subject mood और element choice मिलाएं। / Soft shapes and light values suit gentle subjects. Exam tip: match subject mood and element choice.
A. बंद स्थान स्वतंत्रता के खुले भाव से टकरा सकता है/Closed space can conflict with open feeling of freedom
Explanation
Simple Explanation
स्थान और मान संदेश को बदल सकते हैं। परीक्षा में message and element alignment जांचें। / Space and value can change message. Exam tip: check message and element alignment.
A. रूप का परिवर्तन कठोर और कम प्राकृतिक लगेगा/The form transition will look harsh and less natural
Explanation
Simple Explanation
मध्य मान वक्र रूप को कोमल बनाते हैं। परीक्षा में गोले के लिए क्रमिक मान जरूरी है। / Middle values soften curved form. Exam tip: gradual values are necessary for a sphere.
A. प्रकाश से छाया का संक्रमण कठोर लगेगा/Transition from light to shadow will look harsh
Explanation
Simple Explanation
मध्य मान कोमल बदलाव बनाते हैं। परीक्षा में पूरी मान श्रृंखला का अभ्यास करें। / Middle values create smooth transition. Exam tip: practise complete value range.
A. रूप और केंद्र में स्पष्ट विरोध की कमी होगी/Form and focus will lack clear contrast
Explanation
Simple Explanation
एकरंगी चित्र में मान श्रृंखला जरूरी है। परीक्षा में light middle dark range रखें। / A value range is necessary in monochrome picture. Exam tip: keep light middle dark range.
A. मान संरचना मजबूत करना/Strengthen value structure
Explanation
Simple Explanation
मान संरचना स्पष्टता और रूप बनाती है। परीक्षा में रंगीन चित्र को धूसर मान में भी जांचें। / Value structure creates clarity and form. Exam tip: check coloured picture in grey values too.
A. प्रकाश से छाया का संक्रमण कठोर लगेगा/Transition from light to shadow will look harsh
Explanation
Simple Explanation
मध्य मान smooth transition बनाते हैं। परीक्षा में value scale में full range रखें। / Middle values create smooth transition. Exam tip: keep full range in value scale.
कोमल मान शांत और हल्का भाव देते हैं। परीक्षा में low contrast को soft mood से जोड़ें। / Soft values create calm and light mood. Exam tip: connect low contrast with soft mood.
A. सतहों की दिशा और प्रकाश दिखाने के लिए/To show direction of faces and light
Explanation
Simple Explanation
अलग मान घन की सतहों को अलग दिखाते हैं। परीक्षा में cube shading में प्रकाश दिशा याद रखें। / Different values separate the faces of a cube. Exam tip: remember light direction in cube shading.
क्रॉस हैचिंग में काटती रेखाएं गहरे मान बनाती हैं। परीक्षा में crossed lines को cross hatching से जोड़ें। / In cross hatching crossing lines create darker values. Exam tip: connect crossed lines with cross hatching.
मानों का बड़ा अंतर उच्च विरोध बनाता है। परीक्षा में contrast को value difference से समझें। / A large difference in values creates high contrast. Exam tip: understand contrast through value difference.
D. सतहों की दिशा और गहराई/Direction of surfaces and depth
Explanation
Simple Explanation
अलग मान डिब्बे की अलग सतहें और गहराई दिखाते हैं। परीक्षा में cube shading में light side dark side याद रखें। / Different values show different surfaces and depth of a box. Exam tip: remember light side and dark side in cube shading.
हल्के और गहरे का बड़ा अंतर उच्च विरोध बनाता है। परीक्षा में विरोध को मान अंतर से समझें। / A large gap of light and dark makes high contrast. Exam tip: understand contrast through value gap.
अलग मान घन की अलग सतहें दिखाते हैं। परीक्षा में घन में उजले और गहरे भाग याद रखें। / Different values show different faces of a cube. Exam tip: remember light side and dark side in cube.
हल्के और गहरे मानों का बड़ा अंतर उच्च विरोध बनाता है। परीक्षा में contrast को value difference से जोड़ें। / A large difference between light and dark values creates high contrast. Exam tip: connect contrast with value difference.
कम विरोध में मानों का अंतर कम होता है। परीक्षा में low contrast को close values से जोड़ें। / In low contrast the difference between values is small. Exam tip: connect low contrast with close values.
A. प्राचीन संसद और प्लेट सीमा/Ancient assembly and plate boundary
Explanation
Simple Explanation
थिंगवेल्लिर आइसलैंड में ऐतिहासिक सभा और भूवैज्ञानिक प्लेट सीमा दोनों से जुड़ा है। परीक्षा में मिश्रित समझ रखें। / Thingvellir in Iceland is linked with both historic assembly and geological plate boundary. For exams keep a mixed understanding.
A. प्राकृतिक प्रवाह के साथ सहज कर्म/Effortless action with natural flow
Explanation
Simple Explanation
वू वेई स्वाभाविकता और प्रकृति के साथ संतुलन पर बल देता है। परीक्षा में इसे ताओवाद का केंद्रीय विचार मानें। / Wu wei emphasizes naturalness and harmony with nature. Treat it as a central idea of Taoism.
अद्वितीय न होने के लिए ((z+2)(z-1)-18=0) होना चाहिए। इससे (z=4) या (z=-3) मिलता है। / For non-unique solutions, ((z+2)(z-1)-18=0) must hold. This gives (z=4) or (z=-3).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (8x=40) मिलता है इसलिए (x=5), फिर (y=2)। परीक्षा में विपरीत गुणांकों को सीधे जोड़ें। / Adding the equations gives (8x=40), so (x=5), then (y=2). In exams, add directly when coefficients are opposite.
दिए समीकरण (x+y=24) और (x-y=10) बनते हैं। जोड़ने पर (x=17) और (y=7)। / The given equations become (x+y=24) and (x-y=10). Adding gives (x=17) and (y=7).
(2x+y=11) से (y=11-2x) रखकर पहला समीकरण हल करें। परीक्षा में प्रतिस्थापन के बाद सभी पद सही जोड़ें। / From (2x+y=11), put (y=11-2x) in the first equation. In exams, combine all terms correctly after substitution.
(5x-y=11) से (y=5x-11) रखकर पहला समीकरण हल करें। परीक्षा में प्रतिस्थापन के बाद पदों को सावधानी से जोड़ें। / From (5x-y=11), put (y=5x-11) in the first equation and solve. In exams, combine terms carefully after substitution.
दिए समीकरण (x+y=18) और (x-y=6) बनते हैं। जोड़ने पर (x=12) और फिर (y=6)। / The given equations become (x+y=18) and (x-y=6). Adding gives (x=12), then (y=6).
(x=10-y) रखने पर (3(10-y)+2y=24), इसलिए (y=6) और (x=4)। योग वाले समीकरण से प्रतिस्थापन आसान बनता है। / Putting (x=10-y) gives (3(10-y)+2y=24), so (y=6) and (x=4). A sum equation makes substitution easier.
पहले समीकरण से (y=15-3x); रखने पर (x+45-9x=13), इसलिए (x=4) और (y=3)। प्रतिस्थापन में सरल चर अलग करें। / From the first equation (y=15-3x); substituting gives (x+45-9x=13), so (x=4) and (y=3). Isolate the simpler variable in substitution.
दूसरे समीकरण से (x=y+4); रखने पर (5y+4=19), इसलिए (y=3) और (x=7)। प्रतिस्थापन के लिए सरल समीकरण चुनें। / From the second equation (x=y+4); substituting gives (5y+4=19), so (y=3) and (x=7). Choose the simpler equation for substitution.
(y=x+2) रखने पर (4x+2=18), इसलिए (x=4) और (y=6)। पहले (x) निकालें फिर (y) में रखें। / Substituting (y=x+2) gives (4x+2=18), so (x=4) and (y=6). Find (x) first, then substitute for (y).
(x=y+2) रखने पर (2y+4+4y=28), इसलिए (y=4) और (x=6)। प्रतिस्थापन से पहले सरल संबंध चुनें। / Substituting (x=y+2) gives (2y+4+4y=28), so (y=4) and (x=6). Choose a simple relation before substitution.
दूसरे समीकरण से (x=y+2); रखने पर (3y+2=20), इसलिए (y=6) और (x=8)। सरल समीकरण से चर अलग करें। / From the second equation (x=y+2); substituting gives (3y+2=20), so (y=6) and (x=8). Isolate a variable from the simpler equation.
(x=3y) रखने पर (4y=16), इसलिए (y=4) और (x=12)। गुणज वाले रूप में प्रतिस्थापन तेज होता है। / Substituting (x=3y) gives (4y=16), so (y=4) and (x=12). Substitution is fast when one variable is a multiple of another.
दूसरे समीकरण से (x=y+4); रखने पर (4y+4=16), इसलिए (y=3) और (x=7)। प्रतिस्थापन में सरल समीकरण चुनें। / From the second equation (x=y+4); substituting gives (4y+4=16), so (y=3) and (x=7). Choose the simpler equation for substitution.
पहले समीकरण से दूसरा घटाने पर (2x=10), इसलिए (x=5) और (y=4)। समान (y) हटाने के लिए घटाना सही है। / Subtracting the second equation from the first gives (2x=10), so (x=5) and (y=4). Subtraction is correct to remove equal (y) terms.
दूसरे समीकरण से (x=y+2); रखने पर (3y+2=11), इसलिए (y=3) और (x=5)। अलग किए हुए चर को ध्यान से रखें। / From the second equation (x=y+2); substituting gives (3y+2=11), so (y=3) and (x=5). Substitute the isolated variable carefully.
(y=x+1) को (x+y=7) में रखने पर (2x+1=7), इसलिए (x=3) और (y=4)। परीक्षा में बने हुए रूप का उपयोग करें। / Substituting (y=x+1) in (x+y=7) gives (2x+1=7), so (x=3) and (y=4). Use the already isolated variable in exams.
( |x-1.5|=4.25 ) का अर्थ (x) की (1.5) से दूरी (4.25) है। दोनों दिशाओं में ( -2.75 ) और (5.75) मिलते हैं। / ( |x-1.5|=4.25 ) means the distance of (x) from (1.5) is (4.25). Moving both directions gives ( -2.75 ) and (5.75).
( |x+2.5|=3.75 ) का अर्थ (x) की (-2.5) से दूरी (3.75) है। दोनों दिशाओं में (1.25) और (-6.25) मिलते हैं। / ( |x+2.5|=3.75 ) means the distance of (x) from (-2.5) is (3.75). Moving both ways gives (1.25) and (-6.25).
A. \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{15}{2} \)/\( \frac{1}{2} \) and \( \frac{15}{2} \)
Explanation
Simple Explanation
\( |x-4|=\frac{7}{2} \) का अर्थ (x) की (4) से दूरी \( \frac{7}{2} \) है। दोनों दिशाओं में \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{15}{2} \) मिलते हैं। / \( |x-4|=\frac{7}{2} \) means (x) is at distance \( \frac{7}{2} \) from (4). Moving both directions gives \( \frac{1}{2} \) and \( \frac{15}{2} \).
( |x+3|=2.5 ) का अर्थ (x) की (-3) से दूरी (2.5) है। दोनों दिशाओं में जाने पर (-0.5) और (-5.5) मिलते हैं। / ( |x+3|=2.5 ) means the distance of (x) from (-3) is (2.5). Moving both ways gives (-0.5) and (-5.5).
( |x-2|=3) का अर्थ (x) की (2) से दूरी (3) है, इसलिए (x=-1) या (x=5)। दूरी वाले प्रश्न में दोनों दिशाएँ जाँचें। / ( |x-2|=3) means the distance of (x) from (2) is (3), so (x=-1) or (x=5). Check both directions in distance questions.
(|x-2|=3) का अर्थ है (x), (2) से (3) इकाई दूर है, इसलिए (x=-1,5)। केंद्र से दोनों ओर दूरी लगाएँ। / (|x-2|=3) means (x) is (3) units away from (2), so (x=-1,5). Place the distance on both sides of the center.
\(\sqrt{5}\approx2.24\), जो दिए गए विकल्पों में (2) के सबसे पास है। निकटता के लिए प्रत्येक दूरी की तुलना करें। / \(\sqrt{5}\approx2.24\), which is closest to (2) among the options. Compare each distance for closeness.
(-0.1) शून्य से छोटा है इसलिए (0) और (1) के बीच नहीं है। बीच की जांच में दोनों सीमाओं से तुलना करें। / (-0.1) is less than zero, so it is not between (0) and (1). Compare with both bounds when checking between values.
A. \(h=\frac{7}{4}\) या \(h=-\frac{7}{4}\)/\(h=\frac{7}{4}\) or \(h=-\frac{7}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(49-16h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=\frac{49}{16}\), अतः \(h=\pm\frac{7}{4}\)। / For equal roots \(49-16h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=\frac{49}{16}\), hence \(h=\pm\frac{7}{4}\).
A. \(\theta=0\) या \(\theta=3\)/\(\theta=0\) or \(\theta=3\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=4\theta\(\theta-3\)=0) है। अतः \(\theta=0\) या \(\theta=3\)। / For equal roots (D=4\theta\(\theta-3\)=0). Hence \(\theta=0\) or \(\theta=3\).
समान मूलों के लिए \(36-9h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=4\), अतः \(h=\pm2\)। / For equal roots \(36-9h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=4\), hence \(h=\pm2\).
यहाँ (D=4(3k-1)2-8(k+1)2=4\(7k^2-10k-1\)) नहीं, यह विकल्प जाँचने योग्य है। सही समान मूल के लिए सीधे (D=0) हल करें। / Here (D=4(3k-1)2-8(k+1)2). For equal roots, solve (D=0) directly and avoid mental shortcuts.
A. \(q=\frac{5}{2}\) या \(q=-\frac{5}{2}\)/\(q=\frac{5}{2}\) or \(q=-\frac{5}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(25-4q^2=0\) होना चाहिए। इससे \(q^2=\frac{25}{4}\), अतः \(q=\pm\frac{5}{2}\)। / For equal roots \(25-4q^2=0\) is needed. This gives \(q^2=\frac{25}{4}\), hence \(q=\pm\frac{5}{2}\).
A. \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)/\(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए (D=4\lambda\(\lambda-1\)=0) है। इसलिए \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)। / For equal roots (D=4\lambda\(\lambda-1\)=0). Therefore \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\).
(D=0) से ((4k)2-4\cdot4\cdot k=0), यानी (16k(k-1)=0)। इसलिए (k=0) या (k=1), और \(a=4\neq0\) है। / From (D=0), ((4k)2-4\cdot4\cdot k=0), that is (16k(k-1)=0). So (k=0) or (k=1), and \(a=4\neq0\).
बराबर मूलों के लिए (D=0), अतः ((-2k)2-4\cdot1\cdot9=0) से \(k=\pm3\)। परीक्षा में \(k^2\) आए तो दोनों चिह्न जांचें। / For equal roots, (D=0), so ((-2k)2-4\cdot1\cdot9=0) gives \(k=\pm3\). In exams, when \(k^2\) appears, check both signs.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-21)2-4(1)(110)=1) है। इसलिए दो अलग परिमेय वास्तविक मान मिलेंगे। / Here (D=(-21)2-4(1)(110)=1). So two distinct rational real values will be obtained.
समान मूलों के लिए (4(k-5)2-144=0) है। इससे \(k-5=\pm6\), इसलिए (k=11) या (k=-1)। / For equal roots (4(k-5)2-144=0). Thus \(k-5=\pm6\), so (k=11) or (k=-1).
समान मूलों के लिए (4(k+4)2-100=0) है। इससे \(k+4=\pm5\), इसलिए (k=1) या (k=-9)। / For equal roots (4(k+4)2-100=0). Thus \(k+4=\pm5\), so (k=1) or (k=-9).
समान मूलों के लिए (D=m-2-4(2)(18)=0) है। इससे \(m^2=144\), इसलिए \(m=\pm12\)। / For equal roots (D=m-2-4(2)(18)=0). This gives \(m^2=144\), so \(m=\pm12\).
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-15)2-4(1)(56)=1) है। इसलिए दो अलग परिमेय वास्तविक मान मिलेंगे। / Here (D=(-15)2-4(1)(56)=1). So two distinct rational real values will be obtained.
समान मूलों के लिए (4(k-3)2-64=0) है। इससे \(k-3=\pm4\), इसलिए (k=7) या (k=-1)। / For equal roots (4(k-3)2-64=0). Thus \(k-3=\pm4\), so (k=7) or (k=-1).
समान मूलों के लिए (4(k+2)2-36=0) है। इससे \(k+2=\pm3\), इसलिए (k=1) या (k=-5)। / For equal roots (4(k+2)2-36=0). Thus \(k+2=\pm3\), so (k=1) or (k=-5).
