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A. \(\frac{1}{2}\) और (-4)/\(\frac{1}{2}\) and (-4)
Explanation
Simple Explanation
(2x-1=0) से \(x=\frac{1}{2}\) और (x+4=0) से (x=-4) मिलता है। परीक्षा में प्रत्येक रैखिक गुणनखंड अलग हल करें। / From (2x-1=0), \(x=\frac{1}{2}\), and from (x+4=0), (x=-4). In exams, solve each linear factor separately.
D. \(-\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\)/\(-\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-7=0\) से \(x=\pm\sqrt{7}\) मिलता है। परीक्षा में वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्गमूल लें। / From \(x^2-7=0\), \(x=\pm\sqrt{7}\). In exams, take both positive and negative square roots in a square equation.
(p(1)=0) से (a+b=9) और (p(5)=0) से (5a+b=-23), इसलिए (a=-8) नहीं बल्कि (a=-8) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=9) and (p(5)=0) gives (5a+b=-23), so (a=-8). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (1+a+b+18=0), इसलिए (a+b=-19)। पूछे गए योग के लिए यह शर्त सीधे पर्याप्त है। / From (p(1)=0), (1+a+b+18=0), so (a+b=-19). This condition is directly enough for the asked sum.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(1)=1+a+b+4=0) और (p(-1)=-1+a-b+4=0), इसलिए (2a+4=0) नहीं बल्कि जोड़ने पर (2a+8=0), अतः (a=-4)। संकेतों को सावधानी से जोड़ें। / (p(1)=1+a+b+4=0) and (p(-1)=-1+a-b+4=0); adding gives (2a+8=0), so (a=-4). Add signs carefully.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
शून्यक की परिभाषा: किसी बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए \(p(x)=0\) होता है। यहाँ \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(6)=0\) हैं, अतः तीन शून्यक हैं। \(p(-4)=2\) शून्य नहीं है इसलिए इसे गिनना गलत होगा। नज़दीकी गलती: कुछ विद्यार्थी केवल दो शून्यक गिन सकते हैं यदि वे किसी एक को मिस कर दें; चार चुनने वाले ने संभवतः \(p(-4)=2\) को भी शून्य समझ लिया। परीक्षा टिप: हर दिए हुए बिंदु पर सीधे \(p(x)\) का मान जांचें — केवल तभी उसे शून्यक मानें जब वह ठीक-ठीक \(0\) हो। / Definition: an x-value is a zero (root) of a polynomial when \(p(x)=0\). Here \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(6)=0\), so there are three zeros. Since \(p(-4)=2\) (not zero), it must not be counted. Closest distractor: choosing two usually means one zero was overlooked; choosing four means incorrectly counting \(x=-4\). Exam tip: always check the given \(p(x)\) values and count only those equal to \(0\).
ग्राफ के शून्यक x = 7 और x = -4 हैं। स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है (समान्यतः सम घातांक — multiplicity — पर स्पर्श होता है), इसलिए शून्यकों का योग 7 + (−4) = 3 है। विकल्प B (11) तब होता यदि दोनों मानों का परस्पर संकेत न लिया जाता; विकल्प D (−3) केवल संकेत उल्टा करने पर मिलता। परीक्षा टिप: ग्राफ का स्पर्श बिंदु भी शून्यक माना जाता — केवल स्पर्श या क्रॉस होने से उसके मान में कोई बदलाव नहीं आता, केवल घातांक (multiplicity) बदलता है। / The zeros are x = 7 and x = −4. A touching point still gives a zero (typically with even multiplicity), so the sum is 7 + (−4) = 3. Option B (11) would arise if you added absolute values 7 + 4 ignoring the sign; option D (−3) is the negative of the correct sum. Exam tip: count a touching point as a root — touching vs crossing affects multiplicity (shape), not the x-value of the zero.
स्पर्श करने और काटने दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक होने का संकेत हैं; इसलिए शून्यक x-निर्देशांक 5 और -3 हैं। उन दोनों का योग 5 + (−3) = 2 है। नज़दीकी ग़लत विकल्प पर टिप्पणी: −2 केवल साइन में उलट है जबकि 8 और −8 गणना‑त्रुटि या परिमाणों का जोड़ है। परीक्षा की युक्ति: किसी बिंदु पर स्पर्श भी शून्यक माना जाता है; शून्यक की मानों को सीधे जोड़ें। / Both touching and crossing at the x-axis indicate roots; the roots (x-coordinates) are 5 and −3. Their sum is 5 + (−3) = 2. Note on distractors: −2 is a sign error, while 8 or −8 result from arithmetic or absolute-value mistakes. Exam tip: A touching point is still a root—use the x-coordinates of the intercepts to find the sum of zeros unless multiplicities are explicitly counted.
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
दिए गए बिंदु बतलाते हैं कि बहुपद के शून्यक \(0\) और \(a\) हैं। शून्यकों का गुणनफल सीधे उन दोनों का गुणन है: \(0\times a=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। नजदीकी विचलन जैसे \(a\) या \(a^2\) इस कारण गलत हैं कि वे शून्य को ध्यान में नहीं रखते — यदि शून्य शून्यकों में से एक है तो समूचे गुणनफल का मान शून्य ही रहेगा। परीक्षा टिप: यदि किसी बहुपद के शून्यकों में \(0\) शामिल है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा 0 ही होगा, गुणन में किसी भी अन्य मान का प्रभाव नहीं। / The x-intercepts show the zeros are 0 and \(a\). The product of the zeros is \(0\times a=0\). Hence 0 is correct. Closest distractors like \(a\) or \(a^2\) are wrong because they ignore the presence of the zero root — any product containing 0 equals 0. Exam tip: whenever 0 is one of the roots of a polynomial, the product of all roots is 0 regardless of the other roots or their multiplicities.
शून्यक वे x-मान होते हैं जिनके लिए p(x)=0 होता है। तालिका में p(-1)=0 और p(3)=0 दिये हैं, अतः शून्यक \\(-1\\) और \\(3\\) हैं। इनका गुणनफल \\((-1)\\times(3)= -3\\) होगा। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वहाँ चिह्न का ध्यान नहीं रखा गया; विकल्प C (0) तब ही सही होता यदि किसी शून्यक का मान 0 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: केवल उन x-मूल्यों को लें जिनके लिए p(x)=0 लिखा हो। / Zeros are the x-values where p(x)=0. From the table p(-1)=0 and p(3)=0, so the zeros are \(-1\) and \(3\). Their product is \((-1)\times(3) = -3\). Option B (3) is incorrect because it ignores the negative sign of \(-1\); option C (0) would be correct only if one of the zeros were 0, which is not the case here. Exam tip: consider only x-values that satisfy p(x)=0 when identifying zeros.
x-अक्ष पर कटान बिंदु शून्यक (roots) होते हैं, यहाँ शून्यक 3 और 12 हैं। उनका अंकगणितीय औसत \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\) है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A (15) केवल 3 और 12 का योग है; विकल्प D (36) उनका गुणनफल है; विकल्प B (9) किसी ग़लत गणना या संख्या के गलत पढ़ने से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के शून्यकों α और β का औसत \\(-\frac{b}{2a}\\) से भी शीघ्र ज्ञात किया जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros (roots) 3 and 12. The arithmetic mean is \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\), so option C is correct. Option A (15) is the sum 3+12; option D (36) is the product 3×12; option B (9) is an incorrect result from a miscalculation or misreading. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the average of the two roots equals \(-\frac{b}{2a}\).
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
बहुलक के शून्य वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता/छूता है, यानी y = 0। दिए गए बिंदुओं में केवल (−3, 0) और (8, 0) की दूसरी निर्देशांक शून्य है, इसलिए वही शून्यक दिखाते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि (0,4) का y = 4 ≠ 0; विकल्प A और D भी गैर‑शून्य y वाले बिंदु शामिल करते हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को चुनते समय उसका दूसरा निर्देशांक (y) अवश्य देखें — y = 0 होना चाहिए। / Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis, i.e. y = 0. From the given points only (−3, 0) and (8, 0) have y = 0, so they are the zeros. Option C is incorrect because (0, 4) has y = 4 ≠ 0; options A and D include points with nonzero y. Exam tip: always check the second coordinate — zeros occur where y = 0 (x‑intercepts).
A. x-अक्ष के साथ मिलने वाले बिंदु/Points where the graph meets the x-axis
Explanation
Simple Explanation
शून्यक वे x मान होते हैं जिनके लिए \\(p(x)=0\\). ग्राफ पर यह उन बिंदुओं के y-निर्देशांक की शून्यता को दर्शाता, यानी \\(y=0\\) होने पर बिंदु x-अक्ष पर होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु \\( (a,0) \\) पर काटता है तो a बहुपद का शून्यक है। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष पर x=0 होता है और वह केवल \\(p(0)\\) देता है — जरूरी नहीं कि यह शून्य हो। विकल्प C गलत है क्योंकि टर्निंग पॉइंट्स पर अक्सर \\(\frac{dp}{dx}=0\\) होता है पर \\(p(x)=0\\) आवश्यक नहीं। विकल्प D सिर्फ उस विशेष स्थिति में सही होगा जब \\(p(0)=0\\), अन्यथा नहीं। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से शून्यक पाने के लिए उन बिंदुओं के x-निर्देशांक नोट करें जहाँ y=0। / Zeros (roots) are x-values for which \\(p(x)=0\\). On the graph these correspond to points with \\(y=0\\), i.e. where the curve meets the x-axis. So if the curve intersects the x-axis at \\( (a,0) \\), then a is a root of \\(p(x)\\). Option B is incorrect because y-axis intersections give \\(p(0)\\) (x=0) and need not be zero. Option C is incorrect since turning points relate to derivative conditions, not necessarily to the function value being zero. Option D is only true in the special case \\(p(0)=0\\). Exam tip: To read zeros from a graph, list the x-coordinates of all intersections with the x-axis.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=5)। / The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=5).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है। / For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=2)। / The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=2).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है। / For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़ों से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है, इसलिए (\min(a,b)=4)। / The number of pairs equals the smaller exponent of (a) and (b), so (\min(a,b)=4).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्य में योग नहीं, छोटी घात गिनी जाती है। / For trailing zeros, count the minimum exponent, not the sum.
शून्यक के रूप में हम केवल x-संयोजक लेते हैं: -4, 6, 16। माध्य = \frac{-4+6+16}{3} = \frac{18}{3} = 6। 16 केवल एक शून्यक है, न कि माध्य; 18 महज योग है जो विभाजन से पहले आता है। टिप: x-अक्ष पर कटान बिंदुओं से सीधे x‑मान पढ़ें और उनका औसत निकालें। / Take the x-coordinates of the intercepts: -4, 6, 16. Mean = \frac{-4+6+16}{3} = \frac{18}{3} = 6. Note that 16 is just one zero, not the mean, and 18 is the sum before dividing. Exam tip: read off the x-values of intercepts and compute their average (sum divided by count).
(x-2=0) से (2) और (x+3=0) से (-3) मिलता है। परीक्षा में हर गुणनखंड को (0) के बराबर रखें। / From (x-2=0) we get (2), and from (x+3=0) we get (-3). In exams, set each factor equal to (0).
(x-2-2x=x(x-2)), इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड निकालना आसान तरीका है। / (x-2-2x=x(x-2)), so the zeros are (0) and (2). In exams, taking a common factor is an easy method.
\(x^2-16=0\) से \(x=\pm4\) मिलता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) के शून्यक दोनों ओर देखें। / From \(x^2-16=0\), \(x=\pm4\). In exams, check both sides for zeros of \(a^2-b^2\).
स्थिर बहुपद \(p(x)=5\) का ग्राफ रेखा \(y=5\) है जो \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। वास्तविक शून्यक वे बिंदु हैं जहाँ \(p(x)=0\)। यहाँ \(5=0\) सम्भव नहीं है, इसलिए कोई भी वैसा \(x\) नहीं मिलेगा। इसीलिए वास्तविक शून्यक की संख्या शून्य है। निकटतम विचलन जैसे “एक” गलत है क्योंकि इससे तर्क यह होगा कि किसी विशेष \(x\) पर बहुपद शून्य होगा — पर ऐसा कोई समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य देखने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) लगा कर हल करें; यदि स्थिर मान शून्य नहीं है तो शून्यक नहीं होंगे। / The graph of the constant polynomial \(p(x)=5\) is the horizontal line \(y=5\), parallel to the x-axis. Real zeros are values of \(x\) for which \(p(x)=0\). Since the equation \(5=0\) has no solution, there is no real \(x\) with \(p(x)=0\). Therefore the number of real zeros is zero. The distractor “one” is incorrect because it assumes some \(x\) makes the polynomial zero, which is impossible here. Exam tip: To check zeros, set \(p(x)=0\) — for nonzero constants this immediately shows there are none.
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ बहुपद शून्य हो। गुणनखंड -(x-3)(x+1) में बाहरी ऋण चिह्न मान्यताओं को बदलता है पर शून्यक नहीं बदलता। इसलिए (x-3)=0 से x=3 और (x+1)=0 से x=−1 मिलता है। निकटवर्ती विचलन: विकल्प D में दूसरा शून्य +1 है जो (x+1) को गलत पढ़ने पर आ सकता है; विकल्प C में 0 को शामिल करना तब होता है जब किसी ने x के किसी कारक को ग़लत तरीके से मान लिया हो। परीक्षा टिप: हर गुणनखंड को 0 के बराबर करके सीधे शून्यक निकालें और साइन के चिह्न से भ्रमित न हों। / Zeros of a polynomial are the x-values that make it zero. For p(x)=-(x-3)(x+1) the leading negative sign does not change the zeros. Set each factor to zero: x-3=0 gives x=3, x+1=0 gives x=−1. Why other choices are wrong: choice D mistakenly uses +1 instead of −1; choice C includes 0 which would require a factor x, not present. Exam tip: set each linear factor equal to zero; ignore an overall constant factor (including a minus sign) when finding zeros.
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं किया जा सकता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
y‑प्रतिच्छेद बताता है कि x = 0 पर बहुपद का मान क्या है; यहाँ यह दर्शाता है कि \(p(0) = -8\)। शून्यक वे x‑मूल्य होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) अर्थात् ग्राफ x‑अक्ष को काटता है। इसलिए केवल y‑प्रतिच्छेद से शून्यक निर्धारित नहीं किए जा सकते। विकल्प B यह भूल है कि y‑मान (-8) को शून्यक समझ लिया गया; विकल्प C तब भी गलत है क्योंकि p(0) = -8 ≠ 0; विकल्प D कोई तर्कसंगत संबंध नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए ग्राफ के x‑अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं (x‑intercepts) देखें, y‑प्रतिच्छेद केवल \(p(0)\) देता है। / The y‑intercept gives the value of the polynomial at x = 0; here it shows \(p(0) = -8\). Zeros (roots) are x values for which \(p(x)=0\), i.e. where the graph intersects the x‑axis. Thus a y‑intercept alone does not determine the zeros. Option B mistakes the y‑value (-8) for a root; option C is wrong because p(0) = -8 ≠ 0; option D is unrelated. Exam tip: to find zeros look for x‑intercepts (points where y=0); y‑intercept only gives \(p(0)\).
एक मान \(x_0\) तभी शून्यक होता है जब \(p(x_0)=0\)। यहाँ \(p(-10)=0,\; p(3)=0,\; p(12)=0\) हैं, इसलिए \(-10,\;3,\;12\) तीन शून्यक हैं। \(p(-1)=4\) शून्य नहीं है इसलिए उसे गिना नहीं जाएगा। परीक्षा सुझाव: प्रत्येक दिए गए मान पर सीधे \(p(x)\) की मान जाँचें — केवल वही मान शून्यक होंगे जिनके लिए \(p(x)=0\) हो। / A value \(x_0\) is a zero (root) of the polynomial only if \(p(x_0)=0\). Here \(p(-10)=0,\; p(3)=0,\; p(12)=0\), so the three values \(-10,\;3,\;12\) are zeros. Since \(p(-1)=4\ne0\), \(-1\) is not a zero. Exam tip: check each given x by evaluating \(p(x)\); count only those with value 0 — do not assume values that are nonzero are roots.
x-अक्ष पर कटान बिंदु बहुपद के शून्य (roots) के x‑निर्देशांक होते हैं: 0, d और −d। इनके गुणनफल से मिलता है \(0\times d\times(-d)=0\)। निकटभ्रामक विकल्प \(-d^2\) केवल d और −d के गुणनफल से आता है और उस में 0 को शामिल नहीं करता — परन्तु यहाँ 0 भी एक शून्य है, इसलिए संपूर्ण गुणनफल 0 होगा। परीक्षा टिप: यदि शून्य (0) किसी भी शून्य में से मौजूद हो तो कुल गुणनफल तुरंत 0 हो जाता है। / The x-intercepts give the polynomial's zeros: 0, d and −d. Their product is \(0\times d\times(-d)=0\). The closest distractor \(-d^2\) is the product of d and −d only, which ignores the zero root; since 0 is one of the zeros the overall product is 0. Exam tip: whenever one root is 0 (graph passes through origin), the product of all roots is immediately 0.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point also lies on the x-axis
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद y = p(x) का शून्यक वह x‑मान है जिसके लिए p(x)=0, यानी ग्राफ़ x-अक्ष (y=0) को छूता या काटता है। बिंदु (0,0) पर y का मान 0 है, अतः p(0)=0 और x=0 बहुपद का शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि (0,0) में y=0 होने से स्पष्ट रूप से p(0)=0 मिलता है; इसे केवल y‑कटान मानने या निष्कर्ष न निकाले जाने का तर्क गलत है। परीक्षा टिप: किसी दिए बिंदु को देखकर सीधे उसके y‑निर्देशांक की जाँच करें — यदि y=0 है तो उसका x शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial y = p(x) is an x-value for which p(x)=0, i.e. a point on the x-axis (y=0). The point (0,0) has y=0, so p(0)=0 and x=0 is a root. Options B and C are incorrect because the origin being on the graph directly gives p(0)=0; it is not merely a y‑intercept that excludes being a root nor is it inconclusive. Exam tip: check the y‑coordinate of the intersection — if y=0, the corresponding x is a root (here x=0).
बहुपद के शून्यक वे मान हैं जिनपर बहुपद शून्य हो जाता है। गुणनखंड रूप \((x-1)(x+4)\) में शून्य प्राप्त करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखें: \(x-1=0\) से \(x=1\), और \(x+4=0\) से \(x=-4\)। बाहरी ऋण चिह्न केवल संपूर्ण मान बदलता है, शून्यक नहीं। करीबी ध्रुवीकरण (option B) गलत है क्योंकि वहाँ चिन्ह उल्टे कर दिए गए हैं। टिप: किसी बहुपद में किसी भी गैर‑शून्य समिश्र गुणांक (जैसे −1) से शून्यक प्रभावित नहीं होते—हर गुणनखंड को शून्य मानकर जड़ों को खोजें। / Zeros are values of x that make the polynomial equal to zero. From the factor form \((x-1)(x+4)\) set each factor to zero: \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+4=0\) gives \(x=-4\). The leading negative sign only multiplies the polynomial and does not change its roots. The closest distractor (option B) merely has the signs swapped, so it is incorrect. Exam tip: multiplying the polynomial by any nonzero constant does not change its zeros—solve each factor = 0 to find roots.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
दोहराया शून्यक 5 को अलग (distinct) शून्यकों में केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 5 और -1 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें शून्यक की आवृत्ति (multiplicity) सहित सभी दर्ज हैं, जबकि प्रश्न अलग मान पूछ रहा है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे दूसरे शून्यक को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: 'distinct' या 'अलग' का अर्थ है हर अलग मान को एक बार लिखें। / A repeated root is counted only once when listing distinct zeros. So the distinct real zeros are 5 and -1. Option C is incorrect because it lists zeros with multiplicity; B and D are wrong because they omit the other root. Exam tip: when asked for distinct/unique values, list each value once regardless of multiplicity.
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-समन्वय बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं ",-1", "2" और "4"। अतः गुणनफल \\((-1)\times2\times4=-8\\) होता है। सबसे निकटभ्रष्ट विकल्प C (8) केवल संख्याओं का गुणन सही है पर् चिन्ह गलत है; A और D स्पष्ट अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर दिए गए x-समन्वयों को सीधे गुणा करें, और ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखें। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -1, 2 and 4, so the product is \\((-1)\times2\times4=-8\\). The closest distractor C (8) results from ignoring the negative sign; A and D are simple arithmetic mismatches. Exam tip: multiply the x-intercepts (including their signs) to get the product of zeros.
B. यह शून्यकों को नहीं बदलता/It does not change the zeros
Explanation
Simple Explanation
यदि हम \(p(x)=3(x+4)(x-2)\) के शून्य खोजें तो शून्य वही होंगे जहाँ \((x+4)(x-2)=0\), अर्थात् \(x=-4\) और \(x=2\)। गैर-शून्य स्थिर गुणक (यहाँ \(3\)) को दोनों पक्षों से विभाजित करने पर समीकरण \(p(x)=0\) के हल नहीं बदलते। इसलिए शून्यकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। निकटतम भ्रम (विकल्प A): स्थिर गुणक केवल फलन के मानों को स्केल करता है, शून्यकारकों को नहीं। परीक्षा टिप: शून्य जानने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और कारकों को शून्य के बराबर मानें। / Zeros are solutions of \(p(x)=0\). For \(p(x)=3(x+4)(x-2)\), setting \(p(x)=0\) gives \((x+4)(x-2)=0\), so zeros are \(x=-4\) and \(x=2\). A nonzero constant multiplier (3) scales the polynomial values but does not change where it becomes zero. Why A is wrong: multiplying the polynomial by 3 does not multiply the roots. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve the factor equation to find zeros quickly.
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, अतः शून्यक \(-5\) और \(4\) हैं। शेष दिए गए: \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं क्योंकि उनके लिए फलन मान 0 नहीं है। परीक्षीय सुझाव: तालिका में सीधे उन पंक्तियों को देखें जहाँ फलन मान 0 लिखा हो। / A root (zero) of a polynomial is any \(x\) for which \(p(x)=0\). From the table \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so the zeros are \(-5\) and \(4\). The other entries give \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\), which are not zero, so options A and B are incorrect and D is false because not all given x produce 0. Exam tip: when a table lists \(p(x)\) values, locate the rows where the function value equals 0 and read the corresponding \(x\).
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका आलेख x-अक्ष से मिलता है। \( (2,0) \) और \( (5,0) \) पर मिलने का अर्थ है दो अलग x-मूल्य: 2 और 5। ध्यान दें कि "स्पर्श" होने पर उस स्थान पर बहुपद की शून्यक की गुणात्मक बहुलकता सम (even) हो सकती है और "काटने" पर बहुलकता विषम (odd) हो सकती है — पर यह गुणात्मक बहुलकता अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या बदलती नहीं है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। टिप: परीक्षा में केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; गुणात्मक बहुलकता केवल आलेख का व्यवहार बताती है। / Distinct real zeros are the distinct x-values where the graph meets the x-axis. Here the graph meets at x=2 (touching) and x=5 (crossing), so there are two distinct zeros: 2 and 5. "Touching" usually indicates an even multiplicity and "crossing" an odd multiplicity, but multiplicity affects behavior, not the count of distinct zeros. Thus the answer is two. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the axis; multiplicity matters only for the shape at each root.
काटना (crossing) और स्पर्श (touching) दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक दर्शाते हैं। काटने वाला बिंदु सामान्यतः विषम गुणांक (odd multiplicity) वाला शून्यक होता है (यहाँ x=2), जबकि स्पर्श करने वाला बिंदु सम गुणांक (even multiplicity) वाला शून्यक होता है और वह भी एक ही x-मूल्य पर केवल एक अलग शून्यक गिना जाएगा (यहाँ x=-1)। अतः अलग वास्तविक शून्यक x=2 और x=-1 — कुल 2 हैं। निकटतम विकर्षक (तीन) इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श करने से एक ही x-मूल्य पर दो अलग शून्यक नहीं बनते; गुणांक दो होने पर वह एक ही शून्यक है। परीक्षा युक्ति: अलग शून्यकों की गिनती के लिये केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; multiplicity को अलग-गिणती मत समझें। / Both a crossing and a touching point are x-axis zeros. A crossing point typically corresponds to an odd multiplicity root (here x=2), while a touching point corresponds to an even multiplicity root but still represents one distinct x-value (here x=-1). Therefore the distinct real zeros are x=2 and x=-1 — two in total. The choice 'three' is wrong because a touch (even multiplicity) does not create an additional distinct x-value. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the x-axis; multiplicity does not increase the count of distinct zeros.
B. वे परस्पर विपरीत हैं/They are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर काटने के बिंदु उस फलन के शून्यक (zeros) के x-मान देते हैं; यहाँ शून्यक -4 और 4 हैं। ये एक-दूसरे के विपरीत हैं क्योंकि 4 = -(-4)। विकल्प A गलत है क्योंकि -4 ≠ 4; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि एक शून्य धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है। परीक्षा सुझाव: यदि x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु ±a के रूप में होते हैं तो शून्यकों का योग 0 होता है और बहुपद में \(x^2 - a^2\) गुणक होगा। / The x-intercepts give the zeros of the function: here the zeros are -4 and 4. They are opposites because 4 = -(-4). Option A is incorrect since -4 and 4 are not equal; options C and D are wrong because one root is positive and the other is negative. Exam tip: zeros at ±a imply sum 0 and the polynomial has factor \(x^2 - a^2\), which helps quickly identify symmetric roots.
दूरी का अर्थ है दो बिंदुओं के बीच का सकारात्मक अंतर, यानी अनुप्रयोग में हम absolute difference लेते हैं। यहाँ दूरी = |9 - (-3)| = |12| = 12। विकल्प A (6) आम गलती है यदि कोई दूरी की बजाय मध्यबिंदु या दूरी को आधा मान लेता है। विकल्प B (9) तब आती है जब कोई केवल 9 का मान ले लेता है और -3 को नजरअंदाज करता है — यह सही तरीका नहीं है। विकल्प D (-12) गलत है क्योंकि दूरी कभी नकारात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी दो x-स्थानांकों के बीच दूरी = |x2 - x1| लिखकर तुरंत निकालें। / Distance between two zeros on the x-axis is the absolute difference of their x-coordinates. Here distance = |9 - (-3)| = |12| = 12, so option C is correct. Option A (6) could arise from mistakenly taking half the separation (confusing midpoint with distance). Option B (9) reflects ignoring the negative sign of -3 and using only 9, which is incorrect. Option D (-12) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: compute distance as |x2 - x1| to avoid sign errors.
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
यदि \(p(-6)=0\) है तो बहुपद का मान \(x=-6\) पर शून्य है, यानी ग्राफ का य‑निर्मित मान \(y=0\) होगा। इसलिए बिंदु \((-6,0)\) ग्राफ पर होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ x का मान +6 है न कि −6; विकल्प C और D y‑अवरोधक (x=0 पर y≠0) हैं, जो शून्य होने की परिभाषा से मेल नहीं खाते। परीक्षा‑टिप: किसी भी रूप में दिए गए "zero" या "root" का मतलब है कि वह x‑मान ग्राफ का x‑अक्ष (y=0) पर इंटरसेप्ट देता है। / \(p(-6)=0\) means the polynomial equals zero at \(x=-6\), so the graph has \(y=0\) when \(x=-6\). Hence the point \((-6,0)\) lies on the graph. Option B is wrong because it uses \(x=6\) instead of \(x=-6\). Options C and D are y‑intercepts (x=0) and do not represent a zero of the polynomial. Exam tip: a root/zero \(p(a)=0\) corresponds to the x‑intercept \((a,0)\).
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
x-अक्ष पर काटने के बिंदु किसी बहुपद (यहाँ परवलय) के वास्तविक शून्यक (zeros) होते हैं। दो अलग‑अलग कटाव होने का मतलब है दो अलग‑अलग वास्तविक शून्यक हैं; यहाँ शून्यक -1 और 5 हैं। विकल्प B (एक) तब होता है जब परवलय स्पर्शक हो और शून्यक की गुणांकिता अधिक हो (दोहऱा शून्यक), विकल्प C गलत है क्योंकि वे बिंदु intersections हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि द्विघातीय बहुपद की अधिकतम वास्तविक शून्यकों की संख्या 2 होती है। परीक्षा सुझाव: किसी परवलय के x-अक्ष पर कितने बिंदु काटे जा रहे हैं यह सीधे वास्तविक शून्यकों की संख्या देता है; द्विघात के लिए अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं। / Points where a parabola meets the x-axis are its real zeros. Two distinct intersections therefore mean two distinct real zeros; here the zeros are x = -1 and x = 5. Option B (one) would correspond to a tangent (a repeated root), option C (none) is impossible because intersections are given, and option D (three) is impossible for a quadratic since a parabola (degree 2) can have at most two real zeros. Exam tip: Count x-axis intersections for real zeros; for quadratics the maximum is 2 and a single intersection implies a repeated root.
A. नहीं, क्योंकि \(y\ne 0\) है — शून्यक होने के लिए \(y=0\) होना चाहिए/No, because \(y\ne 0\) — to be a zero we must have \(y=0\).
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन का शून्यक वह \(x\)-मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है (यानी x‑अक्ष पर बिंदु)। बिंदु \((0,4)\) में \(y=4\) है, अतः \(x=0\) शून्यक नहीं है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (B) गलत है क्योंकि केवल \(x=0\) होना पर्याप्त नहीं; \(y\) का शून्य होना आवश्यक है। परीक्षा‑टिप: किसी बिंदु से शून्यक जानने के लिए हमेशा उसकी \(y\)-कोऑर्डिनेट देखें — यदि वह \(0\) है तो वही x‑मान शून्यक है। / A zero (root) is an x‑value where the function's value is \(y=0\) (an x‑intercept). At \((0,4)\) the value is \(y=4\), so \(x=0\) is not a zero. The closest distractor (B) is wrong because \(x=0\) alone does not imply a zero unless \(y=0\). Exam tip: to check if an x‑value is a root, check the corresponding y‑coordinate — it must be zero for a root.
माध्य (\frac{(s-4)+(s+1)+(s+7)}{3}=s+\frac{4}{3}) है। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The mean is (\frac{(s-4)+(s+1)+(s+7)}{3}=s+\frac{4}{3}). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
(p(x)=x(x-3)(x-6)) है इसलिए शून्यक (0), (3), (6) और माध्य (3) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-3)(x-6)), so the zeroes are (0), (3), (6), and the mean is (3). Tip: factor first.
कोर विचार: बहुपद के शून्यक x-अक्ष के छेदन बिंदु के x-मान होते हैं; इनका माध्य साधारण औसत है। गणना: \\(
\frac{-3+5+13}{3}=\frac{15}{3}=5
\\) इसलिए उत्तर 5 है। नजदीकी विकर्षक क्यों गलत है: विकल्प B (15) भ्रम तब होता है जब जोड़ (
-3+5+13=15
) कर के भाग नहीं किया गया; विकल्प C (-5) संकेतों में गलती दिखाता है; विकल्प D (13) केवल सबसे बड़ा शून्यक है, माध्य नहीं। परीक्षा टिप: पहले छेदन बिंदुओं से सिर्फ x-मान उठाकर जोड़ें और कुल संख्या से भाग करें। / Core concept: the zeroes correspond to the x-coordinates of x-axis intersections, and their mean is the arithmetic average. Calculation: \\(
\frac{-3+5+13}{3}=\frac{15}{3}=5
\\) so 5 is correct. Why the closest distractor is wrong: option B (15) is the sum without dividing by 3; option C (-5) reflects a sign error; option D (13) is just the largest root, not the mean. Exam tip: extract only the x-values from the intercepts, add them, then divide by the number of zeroes.
शून्यकों के मान हैं r-1, r+2 और r+5। माध्य निकालने के लिए उनका जोड़ विभाजित 3 से करें: \(\frac{(r-1)+(r+2)+(r+5)}{3}=\frac{3r+6}{3}=r+2\)। इसलिए सही उत्तर r+2 है। सबसे नज़दीकी प्रभावी भ्रम (r+1) तब होता यदि जोड़ में -1 या +1 की ग़लत गणना हुई हो — ध्यान रखें कि समपदों का योग करके ही औसत निकालते हैं। परीक्षा टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों का औसत निकालने का तरीका वही है जो संख्याओं के लिए है — पहले जोड़ें, फिर भाग करें। / The zeroes are r-1, r+2 and r+5. Take their average: \(\frac{(r-1)+(r+2)+(r+5)}{3}=\frac{3r+6}{3}=r+2\). Thus r+2 is correct. A common close distractor is r+1, which would result from an arithmetic mistake when summing the terms (for example misadding +2 and +5). Exam tip: for symbolic roots, always sum the expressions first, simplify like terms, then divide by the number of roots.
(p(x)=x(x-5)(x-2)) है, इसलिए शून्यक (0), (2), (5) और माध्य \(\frac{7}{3}\) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-5)(x-2)), so the zeroes are (0), (2), (5), and the mean is \(\frac{7}{3}\). Tip: factor first.
शून्यक के रूप में उन बिंदुओं के x‑मान लें: -2, 4 और 10। माध्य = \\(
\frac{-2+4+10}{3}=4
\\)। विकल्प B (12) कुल योग है, न कि माध्य — कुछ विद्यार्थी योग को ही उत्तर मान लेते हैं। विकल्प C (-4) संकेत त्रुटि से आता है और विकल्प D (10) केवल एक अकेला x‑मान है। परीक्षा टिप: पहले छेदन बिंदुओं से केवल x‑मान पढ़ें और फिर कुल जोड़ को तत्वों की संख्या से भाग दें। / Take the x‑values of the intersections: -2, 4 and 10. The mean = \\(
\frac{-2+4+10}{3}=4
\\). Option B (12) mistakes the sum for the mean. Option C (-4) is a sign/error slip, and option D (10) is just the largest root, not the average. Exam tip: always extract the x‑coordinates first, then apply mean = (sum of x‑values)/(number of zeros).
शून्यक (m), (n), (r) हैं इसलिए माध्य \(\frac{m+n+r}{3}\) है। टिप: प्रतीकात्मक बिंदुओं में भी पहला निर्देशांक लें। / The zeroes are (m), (n), (r), so the mean is \(\frac{m+n+r}{3}\). Tip: take the first coordinate even in symbolic points.
शून्यकों के माध्य की परिभाषा उनके मानों का योग भागा संख्या पर:
माध्य = \(\frac{-1+3+7}{3}=\frac{9}{3}=3\). विकल्प B (9) कुल योग है, न कि माध्य; विकल्प C (-3) चिह्न की गलती का परिणाम होगा; विकल्प D (7) केवल सबसे बड़ा शून्यक है। परीक्षा-टिप: छेदन-बिंदुओं से केवल x-मान लें और उनका औसत निकालें। / Mean of the zeroes is the average of their x-values:
Mean = \(\frac{-1+3+7}{3}=\frac{9}{3}=3\). Option B (9) is the sum of the roots, not the mean; option C (-3) results from a sign error; option D (7) is just the largest root. Exam tip: read only the x-coordinates of the intercepts and compute their average.
शर्तों से (a+b=-21) और (4a-b=11) मिलते हैं, इसलिए (a=-2), (b=-19) और (a-b=17)। दो शून्य दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (a+b=-21) and (4a-b=11), so (a=-2), (b=-19), and (a-b=17). When two zeros are given, form two equations.
(p(4)=0) और (p(5)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(4)=0) and (p(5)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
(p(6)=0) और (p(-2)=0), इसलिए अंतर (0) है। दोनों मान अलग निकालकर ही घटाएं। / (p(6)=0) and (p(-2)=0), so the difference is (0). Find both values separately before subtracting.
शून्य (-4) और (1) होने पर बहुपद ((x+4)(x-1)=x-2+3x-4) है। इसलिए (b=-4)। / With zeros (-4) and (1), the polynomial is ((x+4)(x-1)=x-2+3x-4). Hence (b=-4).
शून्य (-2) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10) है। अतः (a+b=-3-10=-13)। / The zeros are (-2) and (5), so the polynomial is ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10). Hence (a+b=-3-10=-13).
शर्तों से (2a+b=2) और (3a+b=-5) मिलते हैं, इसलिए (a=-7), (b=16) और (a+b=9)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=2) and (3a+b=-5), so (a=-7), (b=16), and (a+b=9). When two values are given, form two equations.
(p(3)=0) और (p(4)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(3)=0) and (p(4)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
शून्य (-1) और (5) होने पर बहुपद ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5) है। इसलिए (b=-5)। / With zeros (-1) and (5), the polynomial is ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5). Hence (b=-5).
शून्य (2) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8) है। अतः (a+b=-6+8=2)। / The zeros are (2) and (4), so the polynomial is ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8). Hence (a+b=-6+8=2).
(p(2)=0) और (p(3)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान बहुपद के शून्य हैं। / (p(2)=0) and (p(3)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of the polynomial.
शर्तों से (1+a+b=0) और (4+2a+b=0), इसलिए (a=-3), (b=2) और (a+b=-1)। सही विकल्प (-1) है। / The conditions give (1+a+b=0) and (4+2a+b=0), so (a=-3), (b=2), and (a+b=-1). The correct option is (-1).
\(p(x)=x^2-11x+30\) को गुणनखण्डों में लिखें: \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\). इसलिए शून्य तब होगा जब \(x-5=0\) या \(x-6=0\), अर्थात् \(x=5\) और \(x=6\)। ग्राफ \(x\)-अक्ष को बिंदु \((5,0)\) और \((6,0)\) पर काटता है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B है जिसमें संकेत उल्टा दिया गया है (\(-5,-6\) नहीं)। विकल्प C \(y\)-अक्ष पर बिंदु दर्शाता है (\(x=0\)) और D में दिए गए अंक पद के गुणांक/स्थायी पद हैं, वे जड़ें नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: किसी द्विघात को तेज़ी से जाँचने के लिए गुणनखण्ड निकालें या मूलों का योग व गुणन (\(\alpha+\beta=11,\;\alpha\beta=30\)) सत्यापित करें। / Factorise: \(p(x)=x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\). Hence the roots are \(x=5\) and \(x=6\), so the graph meets the x-axis at \((5,0)\) and \((6,0)\). The closest distractor B flips the signs (\(-5,-6\)), which would give sum \(-11\) not \(+11\). Option C lists points on the y-axis (\(x=0\)), and D uses the constant and coefficient values which are not the roots. Exam tip: quickly check factorisation or use sum/product of roots \((\alpha+\beta=11,\;\alpha\beta=30)\) to confirm answers.
बिंदु \\((9,0)\\) x-अक्ष पर है, अतः बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। यदि ग्राफ किसी बहुपद p(x) का है तो \\((p(9)=0)\\) होगा — इसका अर्थ है कि x=9 उस बहुपद का शून्यक (root) है। प्रश्न में ऊपर से नीचे क्रॉस होना संकेत देता है कि बहुपद का मान उस बिंदु पर साइन बदलता है (positive से negative) — यह केवल x-अक्ष पर मौजूद सामान्य बिंदु होने का बयान (विकल्प D) गलत ठहराता है; विकल्प C भी गलत है क्योंकि वहाँ y=0 होना चाहिए न कि 9। परीक्षा-टिप: किसी भी बिंदु के शून्यक होने की जाँच के लिए बिंदु का y-निर्देशांक देखें — यदि y=0 तो संबंधित x मान root है। / The point \\((9,0)\\) lies on the x-axis, so its y-coordinate is zero. For a graph of a polynomial p(x), this means \\((p(9)=0)\\) — therefore x=9 is a root (zero) of the polynomial. The fact that the curve goes from above to below shows a sign change at x=9 (crossing the axis). Option D is wrong because a point on the x-axis with y=0 is by definition a zero; option C is wrong because it asserts p(9)=9 whereas the y-value is 0. Exam tip: always check the y-coordinate — if y=0 the corresponding x is a zero of the polynomial.
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए ग्राफ x‑अक्ष को काटता (y = 0)। प्रतिच्छेद \(-\sqrt{3},0\) में x‑निर्देशांक -\sqrt{3} है, इसलिए शून्यक -\sqrt{3} होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत विपरीत है; विकल्प C केवल y‑निर्देशांक (यहाँ 0) है, जो शून्यक नहीं है; विकल्प D पूरे बिंदु को दर्शाता है, जबकि शून्यक एक मात्रांक (x‑मान) होता है। परीक्षा सुझाव: x‑अक्ष का प्रतिच्छेद हमेशा (x,0) के रूप में लिखें — शून्यक वही x होगा। / A zero of a polynomial is the x‑value where its graph meets the x‑axis (y = 0). The intercept \(-\sqrt{3}, 0\) has x‑coordinate -\sqrt{3}, so the zero is -\sqrt{3}. Option B has the wrong sign; option C is the y‑coordinate (0) not the x‑value; option D gives the ordered pair, not the zero (a single x‑value). Exam tip: remember x‑axis intercepts are of the form (x,0); the zero is the x in that pair.
x-अक्ष पर मिलने के लिये p(x)=0 होना चाहिए। इसलिए
\(x^2-2x-8=0\)
इसे गुणनखण्डित करें: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\)। अतः \(x=4\) और \(x=-2\)। इसलिए x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु (-2,0) और (4,0) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह जड़ें x=2 और x=-4 देता है जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करतीं; विकल्प C साथों (y)-अक्ष पर बिंदु दिखा रहा है; विकल्प D यादृच्छिक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदने के बिंदु पाने के लिये हमेशा p(x)=0 रखें और गुणनखंड या द्विघाती सूत्र से हल करें। / To meet the x-axis we set p(x)=0. So
\(x^2-2x-8=0\).
Factorizing gives \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). Thus \(x=4\) and \(x=-2\), so the intersection points are (-2,0) and (4,0). Option B is incorrect because it corresponds to roots x=2 and x=-4 which do not satisfy the equation; option C lists points on the y-axis; option D is unrelated. Exam tip: Always set p(x)=0 to find x-intercepts and solve by factoring or the quadratic formula to avoid sign mistakes.
शून्यक (zero) वह x‑मान होता है जहाँ फंक्शन का मान शून्य होता है। x‑अक्ष पर कटने का बिंदु \((2.5,0)\) बताता है कि f(2.5)=0, अतः शून्यक संख्या \(2.5\) है। विकल्प B बिंदु है न कि शून्यक; विकल्प C केवल y‑मान (0) है; विकल्प D में निर्देशांक उल्टे हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर इंटरसेप्ट का पहले घटक ही शून्यक होता है — यानी अगर बिंदु \((a,0)\) है तो शून्यक \(a\) है। / A zero of a polynomial is the x‑value where the function equals zero. The intercept \((2.5,0)\) means \(f(2.5)=0\), so the zero is the number \(2.5\). Option B is the coordinate point (not the numerical root); C is the y‑value 0; D has the coordinates reversed. Exam tip: when the graph meets the x‑axis at \((a,0)\), the zero (root) is the x‑coordinate \(a\).
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद के लिये बहुपद के शून्य खोजें: \(p(x)=0\) । यहाँ \(4x=0\) से \(x=0\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((0,0)\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((4,0)\) गलत है क्योंकि \(p(4)=4\times4=16\) शून्य नहीं है। विकल्प \((0,4)\) को भ्रमित करने से बचें — वह y-अक्ष पर बिंदु है (यदि \(p(0)=4\) होता)। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का x-अक्ष पर प्रतिच्छेद खोजने के लिये \(p(x)=0\) करके x के मान निकालें और उत्तर को \((x,0)\) रूप में लिखें। / To find intersection with the x-axis, set the polynomial equal to zero: \(p(x)=0\). Here \(4x=0\) gives \(x=0\), so the intersection point is \((0,0)\). The closest distractor \((4,0)\) is incorrect because \(p(4)=4\times4=16\), not zero. \((0,4)\) is a y-value confusion (it would be the point \((0,y)\) if \(p(0)=4\)). Exam tip: always solve \(p(x)=0\) for x and report the intercept as \((x,0)\).
x-अक्ष पर कटान के लिए p(x)=0 होना चाहिए। \(x^2+2x-15\) को गुणनखंडों में बाँटने पर \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(x+5=0\) से \(x=-5\) तथा \(x-3=0\) से \(x=3\)। अतः x-अक्ष को काटने के मान 3 और -5 हैं। निकटतम भ्रम (जैसे विकल्प B) में चिह्न उल्टा लिया गया है (3 को -3 समझना या -5 को 5 मानना) — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: गुणनखंड न बन रहा हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और जाँच के लिए मूलों का योग \((-b/a)\) और गुणन \(c/a\) से सत्यापित कर लें (यहाँ sum = -2 और product = -15)। / x-intercepts occur where p(x)=0. Factorizing \(x^2+2x-15\) gives \((x+5)(x-3)\). Setting each factor to zero yields \(x=-5\) and \(x=3\), so the graph cuts the x-axis at 3 and -5. A common distractor (option B) flips signs (e.g. taking 3 as -3 or -5 as 5), which is incorrect. Exam tip: if factorisation is unclear, use the quadratic formula and verify roots quickly by checking sum = -b/a and product = c/a (here sum = -2, product = -15).
बिंदु \((r,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=r\) पर है तो \(y=0\)। किसी बहुपद के लिए \(y=p(x)\) होता है, इसलिए \(p(r)=0\) होना चाहिए। विकल्प \(p(0)=r\) गलत है क्योंकि वह \(x=0\) पर बहुपद का मान देता है और \(r\) से जुड़ा नहीं है। \(r=0\) तभी सत्य होगा जब विशेष रूप से शून्यक 0 हो; सामान्य रूप से यह आवश्यक नहीं है। \(p(r)=r\) भी गलत है — यह कहता है कि बहुपद का मान उसी x के बराबर है, जो x-अक्ष पर होने का आवश्यक परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु \((a,0)\) का मतलब सीधे f(a)=0 होता है, इसलिए पहले उसी पर ध्यान दें। / The point \((r,0)\) means that when \(x=r\), the function value \(y=0\). For a polynomial function \(y=p(x)\), this implies \(p(r)=0\). Option \(p(0)=r\) refers to the value at \(x=0\) and is unrelated to the intercept at \(x=r\). \(r=0\) need not hold unless the specific root equals zero. \(p(r)=r\) is incorrect because it equates the function value to the x-coordinate, which is not required for an x-intercept. Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(f(a)=0\).
यदि किसी फलन का ग्राफ केवल बिंदु जहाँ \(x=-6\) पर ही x-अक्ष को काटता है (यानी वहीं \(y=0\) होता है) और अन्य किसी भी बिंदु पर x-अक्ष से दूर रहता है, तो उस फलन का शून्यक (zero) क्या है?
शून्यक वह x–मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है. प्रश्न में स्पष्ट रूप से कहा गया है कि केवल \(x=-6\) पर ही \(y=0\) है और किसी अन्य बिंदु पर नहीं, अत: शून्यक \(-6\) है. विकल्प B (6) और C (0) गलत हैं क्योंकि उन बिंदुओं पर \(y\) का शून्य होने का संकेत नहीं दिया गया है. परीक्षा टिप: ग्राफ पर जहाँ x-अक्ष को काटा गया हो वही x-निर्देशक शून्यक होता है; काटना (cross) और छूना (touch) अलग-अलग गुणसूत्र (multiplicity) दिखाते हैं। / A zero is an x-value where the function value is \(y=0\). The problem states that \(y=0\) occurs only at \(x=-6\) and nowhere else, so the zero is \(-6\). Options 6 and 0 are incorrect because the graph is not said to meet the x-axis at those x-values. Exam tip: read the x-coordinate of points where the graph intersects the x-axis; note also that whether the graph crosses or merely touches the axis indicates multiplicity but does not change the x-value of the zero.
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
शून्यक (root) उस x‑मान को कहते हैं जिस पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए यदि \(p(3)=0\) है तो \(x=3\) बहुपद का शून्यक है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि: \(p(0)=3\) में \(x=3\) का परीक्षण ही नहीं है; ग्राफ यदि \((0,3)\) से गुजरता है तो वह y‑अक्ष पर बिंदु (0,3) दर्शाता है, न कि x‑अक्ष पर शून्य; और \(p(3)=3\) में मान शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी कथित शून्य के लिए सीधे बहुपद में वह x‑मान रखकर मान जांचें (p(a) देखें)। / A zero (root) is an x‑value at which the polynomial evaluates to zero. So if \(p(3)=0\), then \(x=3\) is a zero of \(p(x)\). The other choices are wrong: \(p(0)=3\) checks the value at x=0, not at x=3; passing through \((0,3)\) is a y‑intercept, not an x‑intercept (root); and \(p(3)=3\) gives a nonzero value. Exam tip: to verify if \(x=a\) is a root compute \(p(a)\) and check if it equals 0.
हर गुणनखंड को शून्य मानने पर मिलते हैं: x-1=0 ⇨ x=1 और x+4=0 ⇨ x=-4। x-प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जिनका y-अंश 0 होता है, अतः (1,0) और (-4,0)। गुणांक 2 केवल ग्राफ की ऊर्ध्वाधर स्केल बदलता है, शून्यस्थल नहीं। निकटतम भ्रमक विकल्प C में (-4,0) सही है पर दूसरा बिंदु (2,0) गलत है क्योंकि (x-1)=0 से x=1 होना चाहिए न कि 2। परीक्षा टिप: फैक्टर्स को 0 पर रखें और प्राप्त शून्य को (root,0) के रूप में लिखें। / Set each factor to zero: x-1=0 gives x=1 and x+4=0 gives x=-4. x-intercepts are points with y=0, so (1,0) and (-4,0). The leading factor 2 only scales the graph vertically and does not change the zeros. Closest distractor C contains the correct (-4,0) but incorrectly lists (2,0) instead of (1,0); option B flips the signs. Exam tip: For factorised polynomials set each factor to zero and record each root as (root,0).
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((7,0)\) का y-समन्वय \(0\) है। इसलिए उस बिंदु पर \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 x-निर्देशांक है, परंतु फलन का मान नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर यदि ग्राफ x-अक्ष को काटे तो तुरंत लिखें \(p(a)=0\)। / Any point on the x-axis has y-coordinate zero, so at the point \((7,0)\) the function value is \(0\). Therefore \(p(7)=0\). Option B (7) confuses the x-coordinate with the function value; option C (−7) and D (1) are just incorrect numerical choices. Exam tip: For intersection \((a,0)\) with the x-axis always record \(p(a)=0\).
A. \(x=0\) बहुपद का शून्यक है/\(x=0\) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ बिंदु (0,0) पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद p(x) के लिए p(0)=0 होगा, अतः \(x=0\) निश्चित रूप से एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि डिग्री \(0\) होने का मतलब स्थिर (constant) बहुपद p(x)=c (जहाँ c≠0) है जो x-अक्ष को नहीं काटेगा; शून्य बहुपद p(x)=0 की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती। विकल्प C गलत है क्योंकि केवल यह सुनिश्चित होता है कि 0 एक शून्यक है, पर यह नहीं बताता कि अन्य सभी शून्यक भी 0 हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी बहुपद का ग्राफ फ़ंक्शन होता है और यह y-अक्ष के समानांतर (vertical line) नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) पर x-अक्ष को काटना हमेशा दर्शाता है कि \(p(a)=0\)। / If the graph meets the x-axis at (0,0) then for the polynomial p(x) we have p(0)=0, so \(x=0\) is certainly a root. Option B is false because degree 0 means a nonzero constant p(x)=c (c≠0), which cannot cross the x-axis; the zero polynomial is a special case whose degree is not regarded as 0. Option C is false because only one root (0) is guaranteed, not that every root equals 0. Option D is false because a graph parallel to the y-axis would not represent a function of x (and cannot be the graph of a polynomial). Exam tip: whenever the graph crosses x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(p(a)=0\).
x-अक्ष से प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए x-प्रतिच्छेद के लिए \(p(x)=0\) रखना होगा। \(3x+6=0\) से \(x=-2\) मिलता है, अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((-2,0)\) है। विकल्प C \((0,6)\) y-प्रतिच्छेद है क्योंकि वह \(x=0\) पर \(p(0)=6\) देता है; विकल्प B और D संकेतों या अक्ष को उल्टा दिखाते हैं और इसलिए गलत हैं. परीक्षा-टिप: x-प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें; y-प्रतिच्छेद के लिए \(x=0\) पर फ़ंक्शन का मान लें। / An x-intercept has y-coordinate 0, so set the polynomial equal to zero. Solving \(3x+6=0\) gives \(x=-2\), hence the x-intercept is \((-2,0)\). Option C \((0,6)\) is the y-intercept since \(p(0)=6\). Options B and D mix up sign or axes and are therefore incorrect. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\); to find the y-intercept evaluate \(p(0)\).
A. ग्राफ \(x\)-अक्ष को \((2,0)\) पर छेदता है/The graph intersects the \(x\)-axis at \((2,0)\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(2)=0\) का अर्थ है कि \(x=2\) पर फलन का मान \(y=0\) है, अर्थात् बिंदु \((2,0)\) ग्राफ पर स्थित है। यह वही परिभाषा है जिससे यह पता चलता है कि \(2\) एक शून्य (zero) या x-इंटरसेप्ट है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर आने का अर्थ \(x=0\) होता है, न कि \(x=2\)। विकल्प C सिर्फ किसी क्वाड्राटिक के शीर्ष का दावा करता है; \(p(2)=0\) से शीर्ष का स्थान नहीं मिलता। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=2\) एक पूर्ण ऊर्ध्वाधर रेखा होगी जिसमें हर संभव \(y\) मान आएंगे, जबकि \(p(2)=0\) केवल एक बिंदु बताता है। परीक्षा टिप: सामान्य नियम — यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु \((a,0)\) ग्राफ का x-इंटरसेप्ट है; बहुलकता (multiplicity) से पता चलता है कि क्या ग्राफ उस बिंदु पर कटता है या छुकर लौटता है। / \(p(2)=0\) means that at \(x=2\) the function value is \(y=0\), so the point \((2,0)\) lies on the graph. Thus 2 is a zero of the function and corresponds to the x-intercept. Option B is wrong because the y-axis corresponds to \(x=0\), not \(x=2\). Option C is irrelevant: a single equation \(p(2)=0\) does not determine a vertex location. Option D is incorrect because \(x=2\) as a vertical line would contain all \(y\) values, whereas \(p(2)=0\) specifies only the single point \((2,0)\). Exam tip: remember that \(p(a)=0\) always gives the x-intercept \((a,0)\); multiplicity of the root tells you if the graph crosses or merely touches the axis.
\(p(x)=0\) पर रखें: \(x^2-9=0\) से \(x^2=9\) और इसलिए \(x=\pm3\). बहुपद के शून्य (zeroes) x-अक्ष पर बिंदु के रूप में होते हैं, यानी \((x,0)\)। अतः शून्य बिंदु \((-3,0)\) और \((3,0)\) होंगे। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=\pm9\) रखने पर \(x^2-9\) शून्य नहीं होगा; विकल्प B और D का पहला समन 0 है इसलिए वे y-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं और गलत हैं। परीक्षा टिप: हमेशा \(p(x)=0\) कर के x निकालें और उत्तर को (x,0) के रूप में लिखें। / Set \(p(x)=0\): \(x^2-9=0\) so \(x^2=9\) and \(x=\pm3\). Zeros of the polynomial are x-axis intercepts, i.e. points of the form \((x,0)\). Therefore the graph intersects the x-axis at \((-3,0)\) and \((3,0)\). Option C is incorrect because \(x=\pm9\) does not satisfy the equation; options B and D give points with x=0 (y-axis), so they are wrong. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\), solve for x, then report as (x,0).
A. वह बिंदु बहुपद का शून्यक है और उसकी बहुगुण्यता सम (even multiplicity) है/That point is a zero of the polynomial with even multiplicity (touching root)
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को केवल छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान y = 0 होता है और आस-पास के x के लिए फलन का चिह्न नहीं बदलता। यह व्यवहार तभी होता है जब वह शून्यक की बहुगुण्यता सम (even) हो — उदाहरण के लिए बहुगुण्यता 2 पर ग्राफ स्पर्श करके लौटता है। विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है y=0 होना, केवल 'करीब' होना नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि विषम बहुगुण्यता पर ग्राफ अक्ष को काटकर पार कर जाएगा (चिह्न बदलता है)। विकल्प D भी गलत है — एक स्थिर बहुपद (degree 0) x-अक्ष को छू कर लौटने जैसा सामान्य व्यवहार नहीं देता सिवाय शून्य बहुपद के, जो विशेष स्थिति है। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर स्पर्श करते समय सबसे पहले शून्यक की बहुगुण्यता (multiplicity) देखें — सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर कटना। / If the curve merely touches the x-axis at a point, the function value there is y=0 and the sign of the polynomial does not change on either side of the point. That occurs when the root has even multiplicity (e.g. multiplicity 2), so the graph is tangent to the axis. Option B is wrong because touching means the value is exactly zero, not just near zero. Option C is wrong because an odd-multiplicity root causes a sign change and the graph crosses the axis. Option D is incorrect — a degree‑0 polynomial is constant and does not produce a typical touch‑and‑return x‑intercept except in the degenerate zero polynomial case. Exam tip: determine the multiplicity of the root — even multiplicity gives touch (tangent), odd multiplicity gives crossing.
\(p(x)=x^2-hx\) को गुणनखण्डित करने पर \(p(x)=x(x-h)\) प्राप्त होता है। x-अक्ष के कटान उन x मानों पर होते हैं जहाँ \(p(x)=0\), अर्थात् \(x=0\) और \(x=h\)। इसलिए कटान बिंदु (0,0) और (h,0) हैं। नज़दीकी विचलन (option B) गलत है क्योंकि वह \(x=-h\) को शून्य मानता है — ऐसा केवल तब होगा जब मूल बहुपद में साइन उल्टा होता। परीक्षा टिप: x-अक्ष कटान पाने के लिए बहुपद को शून्य के बराबर कर के सामान्य कारक निकालें (common factor)। / Factorising \(p(x)=x^2-hx\) gives \(p(x)=x(x-h)\). The x-intercepts are the x-values for which \(p(x)=0\), i.e. \(x=0\) and \(x=h\). Hence the intercepts are (0,0) and (h,0). The closest distractor (option B) is wrong because it presumes \(x=-h\) is a root, which would only occur if the sign of the linear term were reversed. Exam tip: set the polynomial equal to zero and factor out the common x to find roots quickly.
ग्राफ x-अक्ष को (11,0) और (-6,0) पर छूता/काटता है, अतः बहुपद के शून्य 11 और −6 हैं। इनका गुणनफल 11×(−6)=−66 होता है। ध्यान दें कि किसी बिंदु पर स्पर्श होना भी शून्य है (स्वरूप में सममल प्रमेय: स्पर्श पर शून्य की घात द्विक होगी), पर यह मान 11 को बदलता नहीं है; गुणनफल में चिह्न का ध्यान रखना आवश्यक है। निकटतम गलत विकल्प 66 है — यह केवल मानों का गुणा लेकर चिह्न की उपेक्षा करने का परिणाम है। टिप: दो चर बिंदुओं के x-निर्देशांक सीधे शून्य हैं; गुणनफल निकालते समय संकेत (sign) का ध्यान रखें। / The zeros are x=11 and x=−6, so the product is 11×(−6)=−66. Note: a touch point is still a root (typically of even multiplicity) and a crossing point is a root of odd multiplicity, but multiplicity does not change the numerical value of the root — only whether the graph crosses or bounces. The distractor 66 is wrong because it ignores the negative sign of −6. Exam tip: take the x-coordinates of intercepts as the zeros and multiply them, keeping their signs.
