Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: (p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। चरण 3: अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
Step 1
Concept
In the rational assumption, the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both numerator and denominator are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This inconsistency shows that the assumption was false. चरण 1: परिमेय मान्यता में भिन्न सरलतम रूप में होती है। चरण 2: प्रमाण दिखाता है कि अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 3: यह असंगति बताती है कि मान्यता गलत थी।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
This makes (5) common to both (p) and (q). चरण 1: (p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। चरण 2: इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। चरण 3: यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है/Because (p) and (q) get (2) as a common factor
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
So the form is no longer lowest, and the assumption fails. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: इसलिए वह रूप सरलतम नहीं रहता और मान्यता टूट जाती है।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This shows the common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/(m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है/It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: (p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs start with a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
After this, contradiction is written using common factor (5). चरण 1: प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 3: इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है।
From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Only then does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। चरण 3: तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is the correct final contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही सही अंतिम विरोधाभास है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the proof shows it is not in lowest form, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: यदि प्रमाण दिखा दे कि वह सरलतम रूप में नहीं है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption that (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह (p) और (q) के सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the clear and correct contradiction. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। चरण 2: प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: यही साफ और सही विरोधाभास है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
In the proof, the rational assumption leads to an impossible common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the assumption.
Step 3
Exam Tip
So the final line should clearly state contradiction and irrationality. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से असंभव साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 2: यह मान्यता के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों स्पष्ट लिखें।
A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime
Step 1
Concept
If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This final reason proves \(\sqrt{2}\) irrational. चरण 1: दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही अंतिम कारण \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
Both even contradict the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
In all three, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
So the final sentence should state both contradiction and irrationality. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों लिखें।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: (p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। चरण 3: यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the condition of being coprime. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए।
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (3)
This contradicts coprime condition, so \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
By the prime rule, (b) is also divisible by (3). चरण 1: (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है।
A. क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था/Because it proves (q) even and (p) was already even
Step 1
Concept
First (p) is proved even in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
If (q=2s), then (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Both even gives common factor (2) and creates a contradiction. चरण 1: प्रमाण में पहले (p) सम सिद्ध किया जाता है। चरण 2: यदि (q=2s) मिल गया, तो (q) भी सम है। चरण 3: दोनों सम होने से (2) साझा गुणनखंड मिलता है और विरोधाभास बनता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
In all three, the number is assumed rational and written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, numerator and denominator share (2), (3), or (5).
Step 3
Exam Tip
This is the common contradiction. चरण 1: तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में (2), (3), या (5) साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही सामान्य विरोधाभास है।
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
This is the final contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही अंतिम विरोधाभास है।
A. मान्यता में विरोधाभास आया, इसलिए संख्या अपरिमेय है/The assumption led to a contradiction, so the number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, this assumption contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
In the final line, clearly write the contradiction and the irrational conclusion. चरण 1: प्रमाण में शुरुआत परिमेय मान्यता से होती है। चरण 2: अंत में यह मान्यता सहअभाज्य शर्त से टकराती है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखें।
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to a contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
When the assumption is false, the given number is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write both the contradiction and the conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। चरण 2: जब मान्यता गलत निकलती है, तो दी गई संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में विरोधाभास और निष्कर्ष दोनों साफ लिखें।
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Hence \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational. चरण 1: शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है।
A. क्योंकि 64 और 3969 संयुक्त रूप हैं/Because 64 and 3969 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\) and \(3969=3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^6\times3^4\times7^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(64=2^6\) और \(3969=3^4\times7^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^6\times3^4\times7^2\) होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
32, 81, 25, 405, 35, and 160 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 32, 81, 25, 405, 35 और 160 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार रहने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The aim of prime factorisation is to write the number using prime bases only.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) or (121) remains, it is composite and must be broken further.
Step 3
Exam Tip
Before writing the final answer, check whether every base is prime. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का उद्देश्य संख्या को केवल अभाज्य आधारों में लिखना है। चरण 2: यदि (45) या (121) जैसा आधार बचा है, तो वह संयुक्त है और आगे टूटेगा। चरण 3: अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की अभाज्यता जांचें।
A. क्योंकि 8 और 27225 संयुक्त रूप हैं/Because 8 and 27225 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\) and \(27225=3^2\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^3\times3^2\times5^2\times11^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27225=3^2\times5^2\times11^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^3\times3^2\times5^2\times11^2\) होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 135, 49, 27, 245, and 216 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 135, 49, 27, 245 और 216 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार होने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The final form of prime factorisation is based only on prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) remains, it must be written as \(45=3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अंतिम रूप केवल अभाज्य संख्याओं पर आधारित होता है। चरण 2: यदि (45) जैसा आधार बचा है, तो \(45=3^2\times5\) लिखना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की जांच करें।
A. क्योंकि 600 और 49 संयुक्त रूप हैं/Because 600 and 49 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(600=2^3\times3\times5^2\) and \(49=7^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^3\times3\times5^2\times7^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(600=2^3\times3\times5^2\) और \(49=7^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^3\times3\times5^2\times7^2\) होगा।
In the first form, the bases 2, 3, 5, 7, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 9, 385, and 72 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले रूप में आधार 2, 3, 5, 7 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 9, 385 और 72 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि 18 संयुक्त संख्या है/Because 18 is composite
Step 1
Concept
In the final prime factorisation, bases must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), so \(18^2\) must be changed into \(2^2\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite base in the final answer. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: \(18=2\times3^2\), इसलिए \(18^2\) को \(2^2\times3^4\) में बदलना होगा। चरण 3: संयुक्त आधार को अंतिम उत्तर में न छोड़ें।
A. क्योंकि 8 और 3465 संयुक्त रूप हैं/Because 8 and 3465 are composite forms
Step 1
Concept
In prime factorisation, every final factor should be in prime-base form.
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\) and \(3465=3^2\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^3\times3^2\times5\times7\times11\). चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर अंतिम गुणनखंड अभाज्य आधार में होना चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\) और \(3465=3^2\times5\times7\times11\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^3\times3^2\times5\times7\times11\) होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
16, 45, 49, and 4410 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 हैं, जो अभाज्य हैं। चरण 3: 16, 45, 49 और 4410 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि 36 संयुक्त संख्या है/Because 36 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the bases should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), so \(36^2\) must be changed into \(2^4\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep a composite base like 36 in the final answer. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), इसलिए \(36^2\) को \(2^4\times3^4\) में बदलना होगा। चरण 3: अंतिम उत्तर में 36 जैसा संयुक्त आधार न रखें।
A. क्योंकि 25 संयुक्त संख्या है/Because 25 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
25 is composite and \(25=5^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(25^2\times7\) must be changed into \(5^4\times7\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 25 संयुक्त है और \(25=5^2\) होता है। चरण 3: इसलिए \(25^2\times7\) को \(5^4\times7\) में बदलना होगा।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
195 is composite and \(195=3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(2^4\times195\) is not final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 195 संयुक्त है और \(195=3\times5\times13\)। चरण 3: इसलिए \(2^4\times195\) अंतिम रूप नहीं है।
4, 81, 567, 12, and 189 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम अभाज्य रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में 2, 3 और 7 अभाज्य आधार हैं। चरण 3: 4, 81, 567, 12 और 189 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि 18 और 100 संयुक्त संख्याएं हैं/Because 18 and 100 are composite numbers
Step 1
Concept
In prime factorisation, every final factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\) and \(100=2^2\times5^2\), so both are composite.
Step 3
Exam Tip
\(18\times100\) must be changed further into \(2^3\times3^2\times5^2\). चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर अंतिम गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए दोनों संयुक्त हैं। चरण 3: \(18\times100\) को आगे \(2^3\times3^2\times5^2\) में बदलना होगा।
A final prime factorisation should not contain a composite factor like 25.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(25=5^2\), \(2^2\times25\times7\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 25 into \(5^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में 25 जैसा संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(2^2\times25\times7\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 25 को \(5^2\) में बदलें।
In the first option, bases 2, 3, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
16, 9, 99, and 18 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार केवल अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 16, 9, 99 और 18 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. गुणनखंडन पूरा नहीं माना जाता/The factorisation is not considered complete
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
If a composite base like 12 or 21 remains, it must be broken further.
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: यदि 12 या 21 जैसा संयुक्त आधार बचा है, तो उसे आगे तोड़ना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम रूप देने से पहले हर आधार की जांच करें।
A. क्योंकि 12 संयुक्त संख्या है/Because 12 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
12 is composite and \(12=2^2\times3\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(12^2\) must be changed further into \(2^4\times3^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 12 संयुक्त है और \(12=2^2\times3\) है। चरण 3: इसलिए \(12^2\) को आगे \(2^4\times3^2\) में बदलना होगा।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
21 is composite, so \(2^3\times21\times5\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 21 into \(3\times7\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 21 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(2^3\times21\times5\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 21 को \(3\times7\) में बदलें।
A. सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए/All factors must be prime
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If any composite factor remains, the form is not final.
Step 3
Exam Tip
In exams, write only prime bases and their powers in the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखा जाता है। चरण 2: यदि कोई संयुक्त गुणनखंड बचा है, तो रूप अंतिम नहीं माना जाएगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर में केवल अभाज्य आधार और उनकी घातें लिखें।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
10 is composite, so \(10\times3^2\times7\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 10 into \(2\times5\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 10 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(10\times3^2\times7\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 10 को \(2\times5\) में बदलें।
A. क्योंकि 1 अभाज्य संख्या नहीं है/Because 1 is not a prime number
Step 1
Concept
A prime number has exactly two factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 has only one factor, so 1 is not prime.
Step 3
Exam Tip
Do not write 1 as a final factor in prime factorisation. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं। चरण 2: 1 का केवल एक ही गुणनखंड है, इसलिए 1 अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में 1 को अंतिम गुणनखंड न लिखें।
Final prime factorisation must not contain a composite factor.
Step 2
Why this answer is correct
6 is composite, so \(6\times5^2\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 6 into \(2\times3\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: 6 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(6\times5^2\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 6 को \(2\times3\) में बदलें।
A final prime factorisation contains only prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
A composite factor must be broken further.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not leave factors like 6, 8, or 10 at the end. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं रहती हैं। चरण 2: संयुक्त गुणनखंड को आगे तोड़ना जरूरी होता है। चरण 3: परीक्षा में 6, 8, 10 जैसे गुणनखंडों को अंत में न छोड़ें।
A final prime factorisation must not contain a composite number.
Step 2
Why this answer is correct
4 is composite, so \(4\times3\times5\) is not final form.
Step 3
Exam Tip
Change 4 into \(2^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में संयुक्त संख्या नहीं होनी चाहिए। चरण 2: 4 संयुक्त संख्या है, इसलिए \(4\times3\times5\) अंतिम रूप नहीं है। चरण 3: 4 को \(2^2\) में बदलें।
A. सभी गुणनखंड अभाज्य संख्याएं हों/All factors should be prime numbers
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So the final form should contain only prime factors.
Step 3
Exam Tip
If any composite factor remains, factorise it further. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। चरण 2: इसलिए अंतिम रूप में केवल अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए। चरण 3: यदि कोई संयुक्त गुणनखंड बचा हो, तो उसे और तोड़ें।
A. उत्तर प्रतीक भावनाएँ इतिहास लोकसंस्कृति जनभागीदारी और सीमाओं को जोड़ता हो/The answer connects symbols emotions history folk culture public participation and limitations
Step 1
Concept
An excellent answer does not only write facts but also explains connections.
Step 2
Why this answer is correct
In this topic symbols history folk culture and public participation work together.
Step 3
Exam Tip
In exams give both examples and analysis. चरण 1: उत्कृष्ट उत्तर केवल तथ्य नहीं लिखता बल्कि संबंध भी समझाता है। चरण 2: इस विषय में प्रतीक इतिहास लोकसंस्कृति और जनभागीदारी साथ काम करते हैं। चरण 3: परीक्षा में उदाहरण और विश्लेषण दोनों दें।
Connect Dandi directly with the Salt Satyagraha. चरण 1: गांधीजी समुद्र तट पर स्थित दांडी पहुँचे। चरण 2: वहीं उन्होंने नमक बनाकर कानून तोड़ा। चरण 3: दांडी को नमक सत्याग्रह से सीधे जोड़कर याद करें।
Its final destination was the seashore at Dandi in Gujarat.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember Dandi as the place where the salt law was broken. चरण 1: दांडी यात्रा साबरमती से शुरू हुई। चरण 2: इसका अंतिम स्थान गुजरात का दांडी समुद्र तट था। चरण 3: परीक्षा में दांडी को नमक कानून तोड़ने की जगह के रूप में याद रखें।
There the salt law was broken to give the message of civil disobedience.
Step 3
Exam Tip
Remember Dandi as the final place of the Salt Satyagraha. चरण 1: गांधीजी साबरमती से पैदल चलकर दांडी पहुंचे। चरण 2: वहां नमक कानून तोड़कर सविनय अवज्ञा का संदेश दिया गया। चरण 3: दांडी को नमक सत्याग्रह के अंतिम स्थान के रूप में याद करें।
A. विकास शाखाओं वाला है और कोई जीव अंतिम सीढ़ी नहीं है/Evolution is branching and no organism is the final step
Step 1
Concept
Seeing evolution as a straight ladder is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
Different organisms change in different directions in different environments.
Step 3
Exam Tip
Therefore calling humans the final step is not scientific. चरण 1: विकास को सीधी सीढ़ी मानना गलत है। चरण 2: अलग जीव अलग वातावरण में अलग दिशाओं में बदलते हैं। चरण 3: इसलिए मनुष्य को अंतिम सीढ़ी कहना वैज्ञानिक नहीं है।
A. नहीं विकास में अंतिम स्थिर अवस्था नहीं मानी जाती/No evolution is not considered to have a final fixed stage
Step 1
Concept
Environment can change.
Step 2
Why this answer is correct
Useful traits can also change over time.
Step 3
Exam Tip
Therefore evolution is understood as a continuing process. चरण 1: वातावरण बदल सकता है। चरण 2: लाभकारी लक्षण भी समय के साथ बदल सकते हैं। चरण 3: इसलिए विकास को लगातार बदलती प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है।
A. क्योंकि समानताओं के साथ जीवाश्म संरचना और अन्य प्रमाण भी देखने पड़ते हैं/Because along with similarities fossils structure and other evidence must also be studied
Step 1
Concept
Classification arranges similarities among organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Similarity can suggest evolutionary relationship.
Step 3
Exam Tip
Correct conclusions require several types of evidence together. चरण 1: वर्गीकरण जीवों की समानताओं को व्यवस्थित करता है। चरण 2: समानता विकास संबंध का संकेत दे सकती है। चरण 3: सही निष्कर्ष के लिए कई प्रकार के प्रमाण साथ देखने चाहिए।
A. यह समानताओं को व्यवस्थित करता है पर जीवाश्म संरचना और अन्य प्रमाण भी चाहिए/It arranges similarities but fossils structure and other evidence are also needed
Step 1
Concept
Classification shows similarities among organisms.
Step 2
Why this answer is correct
Similarity helps infer relationships.
Step 3
Exam Tip
For a correct conclusion several evidences should be studied together. चरण 1: वर्गीकरण जीवों की समानता दिखाता है। चरण 2: समानता से संबंध का अनुमान मिलता है। चरण 3: सही निष्कर्ष के लिए अनेक प्रमाणों को साथ देखना चाहिए।
