C. यह चेतावनी को अनुमानित खतरे के मार्ग पर अधिक केंद्रित करता है/It focuses the warning more on the expected hazard path
Step 1
Concept
A polygon area shows the likely direction and track of danger more precisely. In exams remember spatial precision in warning.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह चेतावनी को अनुमानित खतरे के मार्ग पर अधिक केंद्रित करता है / It focuses the warning more on the expected hazard path. A polygon area shows the likely direction and track of danger more precisely. In exams remember spatial precision in warning.
Step 3
Exam Tip
बहुभुज क्षेत्र खतरे की संभावित दिशा और पट्टी को अधिक सटीक दिखाता है। परीक्षा में चेतावनी में स्थानिक सटीकता याद रखें।
The interior angle of a regular polygon is (\frac{(n-2)\pi}{n}). From (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) we get (n=12).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). The interior angle of a regular polygon is (\frac{(n-2)\pi}{n}). From (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) we get (n=12).
Step 3
Exam Tip
समबहुभुज का आंतरिक कोण (\frac{(n-2)\pi}{n}) होता है। (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) से (n=12) मिलता है।
A. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं/Triangle with vertices ((2,5)), ((5,2)), ((5,5))
Step 1
Concept
Inside the square \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\), the part above (x+y=7) remains. Its vertices are ((2,5)), ((5,2)), and ((5,5)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं / Triangle with vertices ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)). Inside the square \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\), the part above (x+y=7) remains. Its vertices are ((2,5)), ((5,2)), and ((5,5)).
Step 3
Exam Tip
वर्ग \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\) में रेखा (x+y=7) के ऊपर का कोना बचता है। उसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं।
The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x+y\ge 5\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\). The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
Step 3
Exam Tip
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए।
If (p>0), the (x)-intercept \(\frac{6}{p}\) is finite. If \(p\leq 0\), the region is not bounded in the (x)-direction in the first quadrant.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (p>0). If (p>0), the (x)-intercept \(\frac{6}{p}\) is finite. If \(p\leq 0\), the region is not bounded in the (x)-direction in the first quadrant.
Step 3
Exam Tip
यदि (p>0), तो (x)-अवरोध \(\frac{6}{p}\) सीमित होता है। \(p\leq 0\) होने पर प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र (x) दिशा में सीमित नहीं रहता।
If \(a\geq 0\), at least ((0,0)) is in the solution and the region remains bounded. If (a<0), there is no solution in the first quadrant.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(a\geq 0\). If \(a\geq 0\), at least ((0,0)) is in the solution and the region remains bounded. If (a<0), there is no solution in the first quadrant.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\geq 0\) है तो कम से कम ((0,0)) हल में आता है और क्षेत्र सीमित रहता है। (a<0) होने पर प्रथम चतुर्थांश में कोई हल नहीं मिलेगा।
The width is (7-2=5) and height is (5-1=4), so it is a rectangle. Parallel axis-aligned lines form a rectangle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. आयत / Rectangle. The width is (7-2=5) and height is (5-1=4), so it is a rectangle. Parallel axis-aligned lines form a rectangle.
Step 3
Exam Tip
चौड़ाई (7-2=5) और ऊंचाई (5-1=4) है, इसलिए यह आयत है। समानांतर अक्षीय रेखाएं आयत बनाती हैं।
Lower and upper bounds on both (x) and (y) close the region on all sides. Four closed boundaries give a rectangular quadrilateral.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x \ge 1\), \(x \le 5\), \(y \ge 2\), \(y \le 6\). Lower and upper bounds on both (x) and (y) close the region on all sides. Four closed boundaries give a rectangular quadrilateral.
Step 3
Exam Tip
(x) और (y) दोनों पर निचली और ऊपरी सीमाएं क्षेत्र को चारों ओर से बंद करती हैं। चार बंद सीमाएं आयताकार चतुर्भुज देती हैं।
The region lies inside the square \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) and above (x+y=4). Draw the larger rectangle first in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सीमित बहुभुज / Bounded polygon. The region lies inside the square \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) and above (x+y=4). Draw the larger rectangle first in exams.
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र वर्ग \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) के भीतर और (x+y=4) के ऊपर है। परीक्षा में पहले बड़ा rectangle बनाकर कटे भाग पहचानें।
The conditions \(x\le5\) and \(y\le4\) with the axes form a bounded rectangular region. A bounded region needs closing boundaries in all directions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x\le5\), \(y\le4\). The conditions \(x\le5\) and \(y\le4\) with the axes form a bounded rectangular region. A bounded region needs closing boundaries in all directions.
Step 3
Exam Tip
\(x\le5\) और \(y\le4\) अक्षों के साथ आयताकार सीमित क्षेत्र बनाते हैं। सीमित क्षेत्र के लिए सभी दिशाओं में बंद सीमा चाहिए।
In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,0)), ((7,0)), ((0,7)). In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
Step 3
Exam Tip
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=7) अक्षों को ((7,0)) और ((0,7)) पर काटती है। अक्षों और रेखा के प्रतिच्छेद ही शीर्ष देते हैं।
The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (105). The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
Step 3
Exam Tip
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)।
The total segments are \( \binom{10}{2} \), and subtracting (10) sides gives (35). For polygons, first count all vertex pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (35). The total segments are \( \binom{10}{2} \), and subtracting (10) sides gives (35). For polygons, first count all vertex pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल रेखाखंड \( \binom{10}{2} \) हैं और (10) भुजाएँ घटाने पर (35) बचते हैं। बहुभुज में पहले सभी शीर्ष-युग्म गिनें।
The point ((0,4)) lies on (2x+y=4), but checking the feasible polygon shows it is a valid corner, so this option set is inconsistent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,4)). The point ((0,4)) lies on (2x+y=4), but checking the feasible polygon shows it is a valid corner, so this option set is inconsistent.
Step 3
Exam Tip
((0,4)) रेखा (2x+y=4) पर है लेकिन क्षेत्र का कोना नहीं बनता। वास्तविक कोने ((0,5)), ((5,0)), ((2,0)), ((0,4)) में जांच से ((0,4)) भी वैध कोना है इसलिए विकल्पों में भ्रम है।
The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((0,0)), ((3,0)), ((2,2)), ((0,3)). The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
Step 3
Exam Tip
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें।
The upper violation is \(x_i\geq8\) and inclusion-exclusion is applied. In exams use shift (8) for upper bound (7).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(^{21}C_2-3{}^{13}C_2+3{}^{5}C_2\). The upper violation is \(x_i\geq8\) and inclusion-exclusion is applied. In exams use shift (8) for upper bound (7).
Step 3
Exam Tip
Upper violation \(x_i\geq8\) है और inclusion-exclusion applied होता है। परीक्षा में upper bound (7) के लिए shift (8) लें।
A violation starts at \(x_i\geq6\), so inclusion-exclusion applies. In exams use shift (6) for upper bound (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(^{20}C_3-4{}^{14}C_3+6{}^{8}C_3-4{}^{2}C_3\). A violation starts at \(x_i\geq6\), so inclusion-exclusion applies. In exams use shift (6) for upper bound (5).
Step 3
Exam Tip
Violation \(x_i\geq6\) से शुरू होती है और inclusion-exclusion लागू होता है। परीक्षा में upper bound (5) हो तो shift (6) लें।
Since the total is (24) and the maximum of each of the three variables is (8), only ((8,8,8)) is possible. In exams check extreme feasibility before inclusion-exclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1). Since the total is (24) and the maximum of each of the three variables is (8), only ((8,8,8)) is possible. In exams check extreme feasibility before inclusion-exclusion.
Step 3
Exam Tip
कुल (24) और तीन variables की maximum (8) होने से केवल ((8,8,8)) संभव है। परीक्षा में inclusion-exclusion से पहले extreme feasibility देखें।
A violation begins with \(x_i\geq5\), so inclusion-exclusion applies. In exams use a subtract shift of (5) for upper limit (4).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(^{13}C_3-4{}^{8}C_3+6{}^{3}C_3\). A violation begins with \(x_i\geq5\), so inclusion-exclusion applies. In exams use a subtract shift of (5) for upper limit (4).
Step 3
Exam Tip
Violation \(x_i\geq5\) से शुरू होती है और inclusion-exclusion लागू होता है। परीक्षा में upper limit (4) हो तो (5) subtract shift लें।
Cases with \(x_i\geq7\) are subtracted and double violations are added. In exams shift by (7) for bounded solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(^{17}C_2-3{}^{10}C_2+3{}^{3}C_2\). Cases with \(x_i\geq7\) are subtracted and double violations are added. In exams shift by (7) for bounded solutions.
Step 3
Exam Tip
Upper bound तोड़ने पर \(x_i\geq7\) के cases घटते और double violations जुड़ते हैं। परीक्षा में bounded solutions में (7) shift करें।
Total distributions are \(^{11}C_{2}=55\). Subtract \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) cases where one box has at least (5) balls, giving (10).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (10). Total distributions are \(^{11}C_{2}=55\). Subtract \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) cases where one box has at least (5) balls, giving (10).
Step 3
Exam Tip
कुल \(^{11}C_{2}=55\) वितरण हैं। किसी एक डिब्बे में कम से कम (5) गेंदें होने वाले \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) घटाएं, उत्तर (10)।
The three strict inequalities form a bounded triangle, but no boundary is included. Therefore the region is open and bounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. खुला सीमित त्रिभुज / Open bounded triangle. The three strict inequalities form a bounded triangle, but no boundary is included. Therefore the region is open and bounded.
Step 3
Exam Tip
तीनों कठोर असमानताएं एक सीमित त्रिभुज बनाती हैं लेकिन कोई सीमा शामिल नहीं होती। इसलिए क्षेत्र खुला और सीमित है।
D. आंशिक रूप से खुला सीमित त्रिभुज/Partly open bounded triangle
Step 1
Concept
The region is a bounded triangle, but the boundary (x+y=6) is not included. In mixed inequalities, check each boundary separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. आंशिक रूप से खुला सीमित त्रिभुज / Partly open bounded triangle. The region is a bounded triangle, but the boundary (x+y=6) is not included. In mixed inequalities, check each boundary separately.
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र सीमित त्रिभुज है लेकिन (x+y=6) वाली सीमा शामिल नहीं है। मिश्रित असमानताओं में हर सीमा का अलग व्यवहार देखें।
The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सीमित / Bounded. The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा \(2x+3y\le 18\) और प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को सीमित करते हैं। निचली रेखा \(x+y\ge 4\) केवल अंदर का हिस्सा काटती है।
The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (16). The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
Step 3
Exam Tip
आयत की लंबाई (5-1=4) और चौड़ाई (6-2=4), इसलिए क्षेत्रफल (16) है। समानांतर सीमाओं में अंतर लेकर आयाम निकालें।
From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सीमित और बंद / Bounded and closed. From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-1\leq 3\) से \(x\leq 4\) मिलता है और सभी सीमाएँ शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: छिपी हुई ऊपरी सीमा तुलना से मिलती है।
The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सीमित लेकिन बंद नहीं / Bounded but not closed. The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
Step 3
Exam Tip
रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है।
The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. त्रिभुज / Triangle. The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
Step 3
Exam Tip
तीन सीमा रेखाएं तीन शीर्ष ((1,2)), ((6,2)), और ((1,7)) देती हैं। तीन रेखाओं से बंद क्षेत्र सामान्यतः त्रिभुज बनता है।
The small bounded region with axes is in the first quadrant and below the line. Use the origin test in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 0\), \(y\ge 0\), \(x+2y\le 4\). The small bounded region with axes is in the first quadrant and below the line. Use the origin test in exams.
Step 3
Exam Tip
axes के साथ छोटा bounded region पहले चतुर्थांश में और रेखा के नीचे होता है। परीक्षा में origin test करें।
Both (x) and (y) lie in bounded intervals, so a rectangle is formed. Use vertical and horizontal lines for such inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आयत / Rectangle. Both (x) and (y) lie in bounded intervals, so a rectangle is formed. Use vertical and horizontal lines for such inequalities.
Step 3
Exam Tip
(x) और (y) दोनों सीमित intervals में हैं, इसलिए आयत बनता है। परीक्षा में ऐसी असमिकाओं को vertical और horizontal lines से बनाएं।
A. पहले चतुर्थांश में सीमित त्रिभुज/Bounded triangle in first quadrant
Step 1
Concept
The axes and the line (x+y=8) form a bounded triangle. Identifying vertices is useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले चतुर्थांश में सीमित त्रिभुज / Bounded triangle in first quadrant. The axes and the line (x+y=8) form a bounded triangle. Identifying vertices is useful in exams.
Step 3
Exam Tip
दोनों अक्षों और रेखा (x+y=8) से सीमित त्रिभुज बनता है। परीक्षा में vertices पहचानना उपयोगी है।
(x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. आयत / rectangle. (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
Step 3
Exam Tip
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है।
The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,0)), ((8,0)), ((0,6)). The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
Step 3
Exam Tip
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं।
The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. त्रिभुज / triangle. The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
Step 3
Exam Tip
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं।
The set contains natural numbers from (101) to (998).
Step 2
Why this answer is correct
Both the start and end are fixed, so the number of elements is limited.
Step 3
Exam Tip
Even with open bounds, a bounded integer set is finite. चरण 1: इस समुच्चय में (101) से (998) तक प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: शुरुआत और अंत दोनों तय हैं, इसलिए अवयवों की संख्या सीमित है। चरण 3: खुली सीमा होने पर भी यदि अंदर सीमित पूर्णांक हों तो समुच्चय परिमित है।
Natural numbers divisible by (5) up to (50) are \(5,10,15,\ldots,50\).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is limited, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
An upper bound makes a set of multiples finite. चरण 1: (50) तक (5) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ \(5,10,15,\ldots,50\) हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा होने पर गुणजों का समुच्चय परिमित हो जाता है।
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 1000 से छोटा अभाज्य है})/primes less than (1000)
Step 1
Concept
There are only finitely many natural numbers less than (1000).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the primes among them are also finite in number.
Step 3
Exam Tip
A large finite set is still finite. चरण 1: (1000) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हैं। चरण 2: उनमें अभाज्य संख्याएँ भी सीमित संख्या में ही होंगी। चरण 3: बड़ा परिमित समुच्चय भी परिमित ही रहता है।
The set contains natural numbers from (1) to (100).
Step 2
Why this answer is correct
There are (100) elements, so it is finite.
Step 3
Exam Tip
A given upper limit often makes a natural-number set finite. चरण 1: (A) में (1) से (100) तक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इनकी संख्या (100) है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा दी हो तो प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय प्रायः परिमित होता है।
So (K) has limited elements such as (4,7,10,13,16).
Step 3
Exam Tip
When the variable has an upper bound, the set becomes finite. चरण 1: (n) केवल (1) से (5) तक मान ले सकता है। चरण 2: इसलिए (K) में (4,7,10,13,16) जैसे सीमित अवयव होंगे। चरण 3: चल राशि पर ऊपरी सीमा हो तो समुच्चय परिमित हो जाता है।
Below (20), these are (6,12,18), so the count is limited.
Step 3
Exam Tip
Adding an upper bound often makes an otherwise infinite-looking set finite. चरण 1: दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज हैं। चरण 2: (20) से छोटी ऐसी संख्याएँ (6,12,18) हैं, इसलिए संख्या सीमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा जोड़ने से कई अपरिमित दिखने वाले समुच्चय परिमित हो जाते हैं।
For \(x\leq 5\), the natural numbers are (1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is limited and can be fully counted.
Step 3
Exam Tip
A bounded small list is a finite set. चरण 1: \(x\leq 5\) होने पर प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4,5) मिलती हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है और गिनती पूरी हो जाती है। चरण 3: सीमा वाली छोटी सूची को परिमित समुच्चय मानें।
Natural numbers less than (100) are from (1) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is fixed.
Step 3
Exam Tip
When an upper limit is given, the set is often finite. चरण 1: (100) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (99) तक हैं। चरण 2: इनकी संख्या निश्चित है। चरण 3: ऊपरी सीमा मिलने पर समुच्चय अक्सर परिमित होता है।
B. (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/(f) is not onto because very large negative numbers are not images
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.
Step 3
Exam Tip
Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property. चरण 1: \(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। चरण 3: पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है।
C. यह सतत है और (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)/It is continuous and (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) is bounded, but (x) is unbounded, so the function goes unbounded in both directions.
Step 3
Exam Tip
A bounded added term does not stop the unbounded linear behavior. चरण 1: \(x+\sin x\) सतत फलन है। चरण 2: \(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीमित है, इसलिए फलन दोनों दिशाओं में असीमित जाता है। चरण 3: सीमित जोड़ किसी रैखिक असीमित व्यवहार को नहीं रोकता।
A. क्योंकि (2) परास में नहीं आता/Because (2) is not in the range
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+x^2}\) is bounded and satisfies (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but (f(x)=2) is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational expressions, identify range bounds. चरण 1: \(\frac{x}{1+x^2}\) का मान सीमित रहता है और (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2})। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर (f(x)=2) संभव नहीं। चरण 3: भिन्नात्मक फलनों में परास की सीमा पहचानें।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ((-1,1)) है/Not onto because range is ((-1,1))
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) never reaches (1) or (-1).
Step 2
Why this answer is correct
Its range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For rational-type expressions, estimate bounds and possible values. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान कभी (1) या (-1) तक नहीं पहुँचता। चरण 2: इसका परास ((-1,1)) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में सीमा और संभावित मानों का अनुमान लगाएँ।
This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required. चरण 1: यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। चरण 3: खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती।
A. क्योंकि (-2) और (2) नहीं मिलते/Because (-2) and (2) are not obtained
Step 1
Concept
The function value remains between (-2) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
It is never equal to (-2) or (2), but both are included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
In a closed interval codomain, endpoints must also be obtained. चरण 1: फलन का मान (-2) और (2) के बीच रहता है। चरण 2: यह (-2) या (2) के बराबर कभी नहीं होता, पर सहप्रांत में दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल में सिरों का मिलना जरूरी होता है।
Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। चरण 2: (2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। चरण 3: सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है।
A. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
The function values stay between (-1) and (1), but never reach the endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([-1,1]) includes (-1) and (1).
Step 3
Exam Tip
Missing endpoints in a closed codomain prevents onto nature. चरण 1: इस फलन का मान (-1) और (1) के बीच रहता है, लेकिन सिरों तक नहीं पहुंचता। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में (-1) और (1) शामिल हैं। चरण 3: बंद सहप्रांत में सिरों का न मिलना आच्छादीपन रोकता है।
The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Every value in the open interval ((-1,1)) can be obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
In bounded ranges, check whether endpoints are included or excluded. चरण 1: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से प्राप्त किया जा सकता है। चरण 3: सीमित परास में सिरों के शामिल होने या न होने को ध्यान से देखें।
The codomain is also ((-1,1)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, endpoint values are not required. चरण 1: इस फलन का परास ((-1,1)) है। चरण 2: सहप्रांत भी ((-1,1)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिलता है। चरण 3: खुले अंतराल में सिरों के मानों की जरूरत नहीं होती।
A. क्योंकि (1) और (-1) नहीं मिलते/Because (1) and (-1) are not obtained
Step 1
Concept
The value of \(\frac{x}{1+|x|}\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
It can never be equal to (1) or (-1), so these codomain values are missed.
Step 3
Exam Tip
Always check endpoint values in bounded-range questions. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: यह (1) या (-1) के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए सहप्रांत के ये दो मान छूट जाते हैं। चरण 3: सीमा के किनारे वाले मान भी जांचें।
(0.8R0) is true because \(0.8^2+0^2=0.64\le 1\). Also (0R0.8) is true.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires (0.8R0.8), but \(0.8^2+0.8^2=1.28>1\).
Step 3
Exam Tip
For region or bound-based relations, counterexamples are very useful. चरण 1: (0.8R0) सत्य है क्योंकि \(0.8^2+0^2=0.64\le 1\)। (0R0.8) भी सत्य है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (0.8R0.8) चाहिए, पर \(0.8^2+0.8^2=1.28>1\)। चरण 3: क्षेत्र या सीमा वाले संबंधों में प्रतिवाद बहुत उपयोगी होता है।
A. ((1,4)) और ((4,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/((1,4)) and ((4,5)) are present but ((1,5)) is absent
Step 1
Concept
((1,4)) is in the relation because \(1\le 4\) and (4-1=3). ((4,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,5)), (5-1=4), which is greater than the bound (3). So ((1,5)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In bounded relations, two valid steps can form an invalid longer step. चरण 1: ((1,4)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 4\) और (4-1=3)। ((4,5)) भी संबंध में है। चरण 2: ((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा (3) से अधिक है। इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं है। चरण 3: सीमा वाले संबंध में दो वैध कदम मिलकर अवैध लंबा कदम बना सकते हैं।
(9R5) is true because (9-5=4<5), and (5R1) is true because (5-1=4<5).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (9R1), but (9-1=8), which is not less than (5).
Step 3
Exam Tip
In bounded inequalities, two small differences can combine into a larger one. चरण 1: (9R5) सत्य है क्योंकि (9-5=4<5), और (5R1) सत्य है क्योंकि (5-1=4<5)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (9R1) चाहिए, पर (9-1=8), जो (5) से छोटा नहीं है। चरण 3: सीमा वाली असमानता में दो छोटे अंतर मिलकर बड़ा अंतर बना सकते हैं।
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
((1,3)) is in the relation because \(1\le 3\) and (3-1=2). ((3,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,5)), (5-1=4), which exceeds the limit, so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Two small jumps can form a larger jump, so check bounded conditions carefully. चरण 1: ((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 3\) और (3-1=2)। ((3,5)) भी संबंध में है। चरण 2: ((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा से बाहर है, इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: दो छोटी छलाँगें मिलकर बड़ी छलाँग बना सकती हैं, इसलिए सीमा वाली शर्त जाँचें।
((1,2)) is in the relation because \(1\le 2\) and (2-1=1). Also ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Relations with a closeness condition are often not transitive. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 2\) और (2-1=1)। ((2,3)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: निकटता की शर्त वाले संबंध अक्सर संक्रामक नहीं होते।
\((1,3)\in R\) because \(1\le3\) and (3-1=2). Also \((3,5)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \((1,5)\in R\), but (5-1=4), which is greater than (2).
Step 3
Exam Tip
With upper distance limits, two valid steps may combine into an invalid one. चरण 1: \((1,3)\in R\) क्योंकि \(1\le3\) और (3-1=2)। \((3,5)\in R\) भी है। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए \((1,5)\in R\) चाहिए, पर (5-1=4), जो (2) से अधिक है। चरण 3: दूरी की ऊपरी सीमा वाली शर्तों में दो वैध कदम मिलकर अमान्य हो सकते हैं।
\(|1-2|\le1\), so \((1,2)\in R\), and \(|2-3|\le1\), so \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
But (|1-3|=2), so \((1,3)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
In bounded-distance relations, two small steps may exceed the limit. चरण 1: \(|1-2|\le1\), इसलिए \((1,2)\in R\) और \(|2-3|\le1\), इसलिए \((2,3)\in R\)। चरण 2: पर (|1-3|=2), इसलिए \((1,3)\notin R\)। चरण 3: सीमित दूरी वाले संबंधों में दो छोटे कदम मिलकर सीमा से बाहर जा सकते हैं।
(0<3-1.5<2) and (0<1.5-0<2), but (3-0=3), which is not less than (2).
Step 3
Exam Tip
In bounded inequalities, two small gaps can cross the bound. चरण 1: (a=3), (b=1.5), (c=0) लें। चरण 2: (0<3-1.5<2) और (0<1.5-0<2), पर (3-0=3), जो (2) से कम नहीं है। चरण 3: सीमा वाली असमानताओं में दो छोटी दूरियां मिलकर सीमा पार कर सकती हैं।
Their sums are (2,4,6), all less than or equal to (6).
Step 3
Exam Tip
In bounded sum conditions, check the largest element with itself. चरण 1: (A) के विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 2: इनके योग क्रमशः (2,4,6) हैं और सभी (6) से कम या बराबर हैं। चरण 3: सीमा वाली शर्त में सबसे बड़े तत्व का स्वयं से योग जरूर जाँचें।
C. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so it is not transitive either. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है।
