समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) दिया है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, while ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the reverse of every non-diagonal ordered pair. चरण 1: सममित संबंध में यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 2: ((2,3)) मौजूद है, लेकिन ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। चरण 3: परीक्षा में हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा युग्म अवश्य जाँचें।
If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
For such questions, reverse the condition and check whether it remains true. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में शर्त को उल्टा करके देखें कि वही सत्य रहती है या नहीं।
B. नहीं, क्योंकि (a>b) से (b>a) नहीं होता/No, because (a>b) does not imply (b>a)
Step 1
Concept
(a-b>0) means (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then generally (b>a) is false, so the reversed pair does not satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
In inequality-based relations, the reverse direction often fails. चरण 1: (a-b>0) का अर्थ है (a>b)। चरण 2: यदि (a>b) है, तो सामान्यतः (b>a) नहीं हो सकता, इसलिए उल्टा युग्म शर्त पूरी नहीं करता। चरण 3: असमिका वाले संबंधों में उल्टी दिशा अक्सर गलत हो जाती है।
So every pair with difference (2) has its reverse pair satisfying the same condition.
Step 3
Exam Tip
Absolute value conditions usually remain unchanged under reversal. चरण 1: (|a-b|=2) होने पर (|b-a|=|-(a-b)|=2) होता है। चरण 2: इसलिए जिस युग्म में अंतर (2) है, उसका उल्टा युग्म भी यही अंतर देगा। चरण 3: परिमाण वाले संबंधों में उल्टा करने पर मान नहीं बदलता, इसे याद रखें।
The (3) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3) unordered off-diagonal pairs, and each pair must be selected together or omitted together, giving (3+3=6) independent choices.
Step 3
Exam Tip
The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: (3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 2: (3) गैर-विकर्ण जोड़े हैं और हर जोड़े को साथ-साथ चुनना या छोड़ना होगा, इसलिए कुल स्वतंत्र निर्णय (3+3=6) हैं। चरण 3: (n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है।
The number of symmetric relations on an (n)-element set is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=4), so the number of independent positions is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
For counting questions, substitute (n) carefully. चरण 1: (n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र स्थानों की संख्या \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) है। चरण 3: संख्या पूछे जाने पर सूत्र में (n) सावधानी से रखें।
B. नहीं, क्योंकि \(1\mid2\) है लेकिन \(2\nmid1\)/No, because \(1\mid2\) but \(2\nmid1\)
Step 1
Concept
Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\) is true, so ((1,2)) is in the relation, but \(2\mid1\) is false.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to prove a relation is not symmetric. चरण 1: सममितता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 2: \(1\mid2\) सत्य है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है, पर \(2\mid1\) असत्य है। चरण 3: केवल एक प्रतिवाद संबंध को सममित न मानने के लिए पर्याप्त है।
If (a-b) is divisible by (5), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
In divisibility or congruence relations, a negative sign usually preserves the condition. चरण 1: यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a=-(a-b)) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: मापांक या विभाज्यता में ऋण चिह्न सममितता को नहीं बिगाड़ता।
Since addition is commutative, the reversed pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
For sum-based conditions, reverse the order and check immediately. चरण 1: यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने पर योग वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। चरण 3: योग वाली शर्तों में क्रम बदलकर तुरंत जाँच करें।
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) से \(b^2=a^2\) भी सत्य है/Because \(a^2=b^2\) implies \(b^2=a^2\)
Step 1
Concept
In symmetry, an equality remains true when the two sides are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reversed pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
For equality-based relations, write the reversed equality carefully. चरण 1: सममितता में बराबरी की दिशा पलटने पर सत्यता बनी रहती है। चरण 2: \(a^2=b^2\) होने पर स्पष्ट रूप से \(b^2=a^2\) भी होगा, इसलिए उल्टा युग्म संबंध में है। चरण 3: बराबरी आधारित संबंधों में बराबरी का उल्टा रूप ध्यान से लिखें।
For symmetry, we only need to check reverse pairs of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
All diagonal pairs are not required for symmetry. चरण 1: सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्मों की जाँच करनी होती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। विकर्ण युग्म अपना उल्टा स्वयं होता है। चरण 3: सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्मों का होना आवश्यक नहीं है।
Its reverse ((2,1)) is not in the relation because \(2\le1\) is false.
Step 3
Exam Tip
To disprove symmetry, show a present pair whose reverse is absent. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le2\)। चरण 2: इसका उल्टा ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\le1\) असत्य है। चरण 3: सममित न होने के लिए मौजूद युग्म और उसके गायब उल्टे युग्म को दिखाना सबसे साफ तरीका है।
The definition of a symmetric relation says that ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((4,7)) is given, ((7,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not automatically force diagonal pairs. चरण 1: सममित संबंध की परिभाषा सीधे कहती है कि ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होगा। चरण 2: यहाँ ((4,7)) दिया है, इसलिए ((7,4)) अवश्य होगा। चरण 3: सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप नहीं मिलते।
For an (n)-element set, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
With (n=5), this becomes \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
The total number is \(2^{15}\), as each independent position can be chosen or omitted. चरण 1: (n) तत्वों पर स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 2: (n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) मिलता है। चरण 3: अंतिम संख्या \(2^{15}\) होगी, क्योंकि हर स्वतंत्र स्थान चुना या छोड़ा जा सकता है।
There are (6) independent choices for symmetric relations on a (3)-element set.
Step 2
Why this answer is correct
If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), so one off-diagonal block is fixed.
Step 3
Exam Tip
Therefore (4) independent choices remain, giving \(2^4\). चरण 1: कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं। चरण 2: ((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी अनिवार्य है, इसलिए यह एक गैर-विकर्ण जोड़ा निश्चित हो गया। चरण 3: शेष (5) स्वतंत्र चुनावों में से एक जोड़ा निश्चित होने के बाद (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है।
A symmetric relation on a (3)-element set has (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
Excluding ((1,1)) fixes one independent diagonal choice as absent.
Step 3
Exam Tip
Hence (5) choices remain, giving \(2^5\). चरण 1: तीन तत्वों के लिए सममित संबंध में (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। चरण 2: ((1,1)) को न रखने की शर्त से एक स्वतंत्र चुनाव निश्चित रूप से छोड़ा गया। चरण 3: अब (5) स्वतंत्र चुनाव बचे, इसलिए कुल संख्या \(2^5\) है।
\(a \equiv b \pmod{2}\) means (a-b) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2), so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Same-remainder relations are usually symmetric. चरण 1: \(a \equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a-b) (2) से विभाज्य है। चरण 2: तब (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। चरण 3: शेषफल समान होने वाले संबंध सामान्यतः सममित होते हैं।
Multiplication is commutative, so the reversed pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Commutativity of addition or multiplication is very useful in checking symmetry. चरण 1: (ab=0) होने पर (ba=0) भी होगा। चरण 2: गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी रहेगा। चरण 3: गुणा या जोड़ की क्रम-विनिमेयता सममितता जाँचने में बहुत उपयोगी होती है।
Its reverse ((1,2)) is not in the relation because (1-2=-1).
Step 3
Exam Tip
For fixed-difference relations, reversing changes the sign, so be careful. चरण 1: ((2,1)) संबंध में है क्योंकि (2-1=1)। चरण 2: इसका उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-2=-1)। चरण 3: निश्चित अंतर वाले संबंध में उल्टा करने पर चिन्ह बदल जाता है, इसलिए सावधानी रखें।
A. \(R \cap S\) सममित होगा/\(R \cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b) \in R \cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) is in both, so \((b,a) \in R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
Intersection preserves the reverse-pair condition. चरण 1: यदि \((a,b) \in R \cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, यानी \((b,a) \in R \cap S\)। चरण 3: प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ-साथ बची रहती हैं।
If \((a,b) \in R \cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) also belongs to that relation and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations is also symmetric. चरण 1: यदि \((a,b) \in R \cup S\), तो यह (R) या (S) में है। चरण 2: जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में और इसलिए संघ में होगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है।
\(R^{-1}\) contains the reverse of every ordered pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry means every reverse pair is already in (R), so the inverse relation equals (R).
Step 3
Exam Tip
Remember symmetry as \(R=R^{-1}\). चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। चरण 2: सममितता का अर्थ ही है कि हर मौजूद युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है, इसलिए उल्टा संबंध वही बनता है। चरण 3: सममितता को \(R=R^{-1}\) के रूप में याद करना बहुत उपयोगी है।
A. यदि \((a,b) \in R\), तो \((b,a) \in R\)/If \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\)
Step 1
Concept
Symmetry is about the reverse ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct definition is that ((b,a)) must be present whenever ((a,b)) is present.
Step 3
Exam Tip
Keep it separate from reflexive and transitive definitions. चरण 1: सममितता उल्टे क्रमित युग्म से जुड़ी होती है। चरण 2: सही परिभाषा है कि ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 3: परावर्तक और संक्रामी संबंधों की परिभाषा से इसे अलग रखें।
The symmetry condition applies only to pairs that are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so no pair violates the condition.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty relation is symmetric by vacuous truth. चरण 1: सममितता की शर्त केवल उन युग्मों पर लागू होती है जो संबंध में मौजूद हों। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन करने वाला कोई युग्म नहीं मिलता। चरण 3: रिक्त संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है।
A. क्योंकि हर संभव उल्टा युग्म भी \(A\times A\) में होता है/Because every possible reverse pair is also in \(A\times A\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is in it, then \(a,b \in A\), so ((b,a)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
The universal relation is always symmetric. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) उसमें है, तो \(a,b \in A\) हैं, इसलिए ((b,a)) भी \(A\times A\) में होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है।
((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)). ((2,2)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
A symmetric relation need not contain every ((a,a)) pair. चरण 1: गैर-विकर्ण युग्मों के उल्टे युग्म जाँचिए। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) मौजूद हैं। ((2,2)) अपना उल्टा स्वयं है। चरण 3: किसी संबंध के सममित होने के लिए सभी ((a,a)) युग्म जरूरी नहीं होते।
A. हाँ, क्योंकि (a+b=0) से (b+a=0) भी होता है/Yes, because (a+b=0) implies (b+a=0)
Step 1
Concept
If (a+b=0), then (b+a=0) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
Addition is commutative, so the reversed pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Symmetry is about the reverse pair, not necessarily equality of the two elements. चरण 1: (a+b=0) होने पर (b+a=0) भी होगा। चरण 2: जोड़ क्रम-विनिमेय है, इसलिए उल्टा युग्म भी शर्त पूरी करता है। चरण 3: सममितता में बराबरी नहीं, उल्टा युग्म देखना है।
So if the greatest common divisor of ((a,b)) is (2), the same is true for ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Quantities unchanged by swapping often define symmetric relations. चरण 1: (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)) होता है। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) में महत्तम समापवर्तक (2) है, तो ((b,a)) में भी वही रहेगा। चरण 3: जिन राशियों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, वे अक्सर सममित संबंध बनाती हैं।
Therefore, if a pair has least common multiple (6), its reverse also has least common multiple (6).
Step 3
Exam Tip
Both LCM and GCD remain unchanged when the order is swapped. चरण 1: (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)) होता है। चरण 2: इसलिए यदि किसी युग्म का लघुत्तम समापवर्त्य (6) है, तो उल्टे युग्म का भी (6) होगा। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता।
Symmetry only demands reverse pairs for pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
Having every ((a,a)) is the condition for reflexivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
Keeping definitions separate helps solve such trap questions. चरण 1: सममितता केवल मौजूद युग्मों के उल्टे युग्म की मांग करती है। चरण 2: हर ((a,a)) का होना परावर्तकता की शर्त है, सममितता की नहीं। चरण 3: परिभाषाओं को अलग-अलग रखने से ऐसे जाल वाले प्रश्न आसानी से हल होते हैं।
((1,3)) is present, but its reverse ((3,1)) is missing.
Step 3
Exam Tip
To make a relation symmetric, add only the missing reverse pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से जोड़ी बनाते हैं। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है, लेकिन उसका उल्टा ((3,1)) नहीं है। चरण 3: सममित बनाने के लिए केवल गायब उल्टे युग्म जोड़ें, अनावश्यक युग्म नहीं।
((1,4)) with ((4,1)) is complete, and ((2,3)) with ((3,2)) is also complete.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)), namely ((2,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Adding just ((2,1)) makes the relation symmetric. चरण 1: ((1,4)) और ((4,1)) पूरे हैं, ((2,3)) और ((3,2)) भी पूरे हैं। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है। चरण 3: केवल एक युग्म ((2,1)) जोड़ने से संबंध सममित हो जाएगा।
If (|a|=|b|), then the reversed equality (|b|=|a|) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRb) implies (bRa).
Step 3
Exam Tip
Equality of absolute values gives symmetry directly. चरण 1: (|a|=|b|) होने पर बराबरी उलटकर (|b|=|a|) भी सत्य होगी। चरण 2: इसलिए (aRb) से (bRa) मिलता है। चरण 3: परिमाण की बराबरी वाले संबंधों में सममितता सीधे दिखती है।
Hence whenever ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
The not-equal condition does not change when the order is reversed. चरण 1: यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी सत्य है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) संबंध में होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबर न होने की शर्त दिशा बदलने पर नहीं बदलती।
Changing the order of addition does not change the sum or its parity.
Step 3
Exam Tip
Relations based on parity of a sum are usually easy symmetry checks. चरण 1: यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने से योग और उसकी विषमता नहीं बदलती। चरण 3: योग की समता या विषमता पर आधारित संबंध सममितता में आसान होते हैं।
The reverse ((2,1)) is not in the relation because (2<1) is false.
Step 3
Exam Tip
Order relations like less than or greater than are generally not symmetric. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1<2)। चरण 2: उल्टा युग्म ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि (2<1) असत्य है। चरण 3: छोटा या बड़ा जैसे क्रम संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते।
Diagonal pairs do not need a separate reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are complete, but ((1,3)) is missing its reverse ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
Identifying the missing reverse pair is the key in such questions. चरण 1: विकर्ण युग्मों के लिए अलग उल्टा युग्म नहीं चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) पूरे हैं, लेकिन ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) गायब है। चरण 3: गायब उल्टे युग्म को पहचानना ऐसे प्रश्नों की कुंजी है।
Off-diagonal pairs ((a,b)) and ((b,a)) are chosen together, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). चरण 1: (n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र होते हैं। चरण 2: गैर-विकर्ण युग्म ((a,b)) और ((b,a)) एक साथ चुने जाते हैं, ऐसे (\frac{n(n-1)}{2}) जोड़े होते हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं।
\(R^{-1}\) contains the reverse of all pairs of (R).
Step 2
Why this answer is correct
If \(R=R^{-1}\), then every pair has its reverse in the same relation, which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
Treat \(R=R^{-1}\) as an alternative test for symmetry. चरण 1: \(R^{-1}\) में सभी युग्म उल्टे रूप में होते हैं। चरण 2: यदि \(R=R^{-1}\), तो हर युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है। यही सममितता है। चरण 3: \(R=R^{-1}\) को सममितता की वैकल्पिक पहचान मानें।
If \(a^2+b^2=17\), then \(b^2+a^2=17\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Conditions involving sums of squares are often symmetric because order does not matter. चरण 1: यदि \(a^2+b^2=17\), तो \(b^2+a^2=17\) भी होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। चरण 3: वर्गों के योग जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं क्योंकि उनमें क्रम का प्रभाव नहीं होता।
A. क्योंकि \((2,1)\in R\) है पर \((1,2)\notin R\)/Because \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
((2,1)) is in the relation because \(2=2\cdot1\).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse ((1,2)) is not in the relation because \(1\ne2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
In multiplier relations, reversing changes the ratio, so look for a counterexample. चरण 1: ((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2=2\cdot1\)। चरण 2: उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1\ne2\cdot2\)। चरण 3: गुणक संबंधों में उल्टा करने पर अनुपात बदल जाता है, इसलिए प्रतिवाद देखें।
On a (3)-element set, there are (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
Including ((1,2)) forces ((2,1)), and excluding ((2,3)) also excludes ((3,2)); two independent choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
Thus (4) independent choices remain, giving \(2^4\). चरण 1: तीन तत्वों पर कुल (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। चरण 2: ((1,2)) होने से ((2,1)) भी निश्चित हो गया, और ((2,3)) न होने से ((3,2)) भी नहीं होगा; ये दो स्वतंत्र चुनाव निश्चित हो गए। चरण 3: अब (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है।
The (4) diagonal pairs are compulsory, so their choices are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The number of independent off-diagonal unordered pairs is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
Each of these (6) pairs can be chosen or omitted, so the answer is \(2^6\). चरण 1: (4) विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए उनका चुनाव निश्चित है। चरण 2: गैर-विकर्ण स्वतंत्र जोड़ों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 3: केवल इन (6) जोड़ों को चुनना या छोड़ना है, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
Only the off-diagonal unordered pairs remain free, and their number is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
Each of these (6) blocks can be included or excluded. चरण 1: सभी (4) विकर्ण युग्म अनुपस्थित रखने हैं, इसलिए ये चुनाव निश्चित हो गए। चरण 2: केवल गैर-विकर्ण जोड़े स्वतंत्र हैं, जिनकी संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 3: इन (6) जोड़ों में हर एक को साथ-साथ चुना या छोड़ा जा सकता है।
Hence the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Squaring removes the effect of the negative sign, giving symmetry. चरण 1: यदि ((a-b)2=4), तो ((b-a)2=(-(a-b))2=4)। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: वर्ग करने पर ऋण चिन्ह का प्रभाव मिट जाता है, इसलिए सममितता मिलती है।
Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair is also included.
Step 3
Exam Tip
Even inequality conditions based on a sum can be symmetric. चरण 1: यदि \(a+b\le6\), तो \(b+a\le6\) भी होगा। चरण 2: जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। चरण 3: योग पर आधारित असमिका में भी सममितता बनी रह सकती है।
((4,1)) is in the relation because \(4+2\cdot1=6\).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse ((1,4)) is not in the relation because \(1+2\cdot4=9\).
Step 3
Exam Tip
When coefficients of (a) and (b) differ, reversal often changes the condition. चरण 1: ((4,1)) संबंध में है क्योंकि \(4+2\cdot1=6\)। चरण 2: उल्टा ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1+2\cdot4=9\)। चरण 3: जब (a) और (b) के गुणांक अलग हों, तो उल्टा करने पर शर्त अक्सर बदल जाती है।
A. नहीं, उपसंबंध में उल्टा युग्म हट सकता है/No, a subrelation may lose a reverse pair
Step 1
Concept
A symmetric larger relation may contain both a pair and its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
A subrelation can choose only one of them, breaking symmetry.
Step 3
Exam Tip
Symmetry of a subrelation must be checked separately. चरण 1: सममित बड़े संबंध में किसी युग्म और उसका उल्टा दोनों हो सकते हैं। चरण 2: उपसंबंध बनाते समय इनमें से केवल एक युग्म चुना जा सकता है, जिससे सममितता टूट सकती है। चरण 3: उपसंबंध के लिए सममितता अलग से जाँचनी पड़ती है।
(S) contains both ((2,3)) and ((3,2)), so the union keeps all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations remains symmetric. चरण 1: (R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वह भाग पूरा है। चरण 2: (S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, इसलिए संघ में भी हर उल्टा युग्म मौजूद रहेगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ सममित रहता है।
Every off-diagonal pair has its reverse already present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) reverses to itself, so the inverse relation contains the same pairs.
Step 3
Exam Tip
If \(R^{-1}=R\), the relation is symmetric. चरण 1: हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा संबंध में मौजूद है। चरण 2: ((3,3)) अपना उल्टा स्वयं है, इसलिए उल्टा संबंध वही युग्म देगा। चरण 3: यदि \(R^{-1}=R\) मिले, तो संबंध सममित है।
