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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?

On \(A=\{-1,0,1\}\), (a*b=a+b-ab) is defined. Is it a binary operation on (A)?

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Correct Answer

B. नहीं क्योंकि \((-1)*(-1) \notin A\)No because \((-1)*(-1) \notin A\)

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया के लिए हर जोड़ी का परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। / A binary operation needs closure for every ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

((-1)*(-1)=-1-1-1=-3), और \(-3 \notin A\)। / ((-1)*(-1)=-1-1-1=-3), and \(-3 \notin A\).

Step 3

Exam Tip

संवृतता टूटते ही संक्रिया द्विआधारी नहीं रहती। / If closure fails even once, the operation is not binary on the set.

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Question 2/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। सही कथन चुनिए।

On \(\mathbb{Z}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. Choose the correct statement.

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Correct Answer

A. यह बंद संक्रिया हैIt is a closed operation

Step 1

Concept

बंदता के लिए परिणाम फिर \(\mathbb{Z}\) में होना चाहिए। / For closure, the result must again lie in \(\mathbb{Z}\).

Step 2

Why this answer is correct

(a+b+ab) में योग और गुणनफल दोनों पूर्णांक रहते हैं। / In (a+b+ab), sums and products of integers remain integers.

Step 3

Exam Tip

बंदता जाँचते समय केवल परिणाम के समुच्चय पर ध्यान दें। / In closure questions, focus only on the set of the result.

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Question 3/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Choose the correct statement about this operation.

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Correct Answer

C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों हैBoth commutative and associative

Step 1

Concept

(a+b+ab=b+a+ba), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab=b+a+ba), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

(1+(a*b)=(1+a)(1+b)), इसलिए तीन अवयवों के समूह बदलने पर गुणन का क्रम नहीं बदलता। / Since (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), regrouping three elements behaves like ordinary multiplication.

Step 3

Exam Tip

कठिन सहचारीता में ऐसा रूपांतरण समय बचाता है। / For harder associativity checks, a smart transformation saves time.

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Question 4/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+4) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b+4) is defined. What is its identity element?

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Correct Answer

A. (-4)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a*e=a) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+4=a) से (e=-4) मिलता है। / From (a+e+4=a), we get (e=-4).

Step 3

Exam Tip

तत्समक में (a) सभी मान ले सकता है, इसलिए (e) स्थिर होना चाहिए। / In identity questions, (a) may be any value, so (e) must be fixed.

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Question 5/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) में किस अवयव का प्रतिलोम उपलब्ध नहीं है?

In the operation (a*b=a+b+ab) on real numbers, which element does not have an inverse?

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Correct Answer

C. (-1)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+ab=0), यानी (b(1+a)=-a) मिलता है। / For inverse (b), (a+b+ab=0), so (b(1+a)=-a).

Step 3

Exam Tip

(a=-1) पर (1+a=0) हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं मिलेगा। / When (a=-1), (1+a=0), so no inverse exists.

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Question 6/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+4) है। (6) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+4). What is the inverse of (6)?

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Correct Answer

A. (-14)

Step 1

Concept

पहले तत्समक निकालें, (a+e+4=a) से (e=-4)। / First find the identity: (a+e+4=a), so (e=-4).

Step 2

Why this answer is correct

(6) के प्रतिलोम (x) के लिए (6+x+4=-4)। / If (x) is the inverse of (6), then (6+x+4=-4).

Step 3

Exam Tip

इससे (x=-14) आता है, इसलिए प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवश्य निकालें। / This gives (x=-14), so always find identity before inverse.

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Question 7/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the inverse of (3)?

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Correct Answer

A. \(\frac{3}{5}\)

Step 1

Concept

(a*e=a) से (e=0) मिलता है। / From (a*e=a), the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (3+b-6b=0), इसलिए (3-5b=0)। / For inverse (b), (3+b-6b=0), so (3-5b=0).

Step 3

Exam Tip

\(b=\frac{3}{5}\), इसलिए प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें। / Hence \(b=\frac{3}{5}\). Always equate the operation result to the identity.

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Question 8/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इसका तत्समक अवयव कौन-सा है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which is its identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a+e-ae=a) लिखें। / For identity (e), write (a+e-ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1-a)=0) मिलता है, जो सभी (a) के लिए (e=0) से पूरा होता है। / This gives (e(1-a)=0), which is satisfied for all (a) by (e=0).

Step 3

Exam Tip

दोनों ओर से (a) घटाकर सरल करना तेज तरीका है। / Subtracting (a) from both sides is a quick simplification.

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Question 9/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) में किस अवयव का प्रतिलोम नहीं मिलेगा?

In the operation (a*b=a+b-2ab) on real numbers, which element will not have an inverse?

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Correct Answer

B. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a+b-2ab=0) से (b(1-2a)=-a) मिलता है। / From (a+b-2ab=0), we get (b(1-2a)=-a).

Step 3

Exam Tip

\(a=\frac{1}{2}\) पर (1-2a=0), इसलिए प्रतिलोम संभव नहीं है। / For \(a=\frac{1}{2}\), (1-2a=0), so an inverse is not possible.

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Question 10/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (4)?

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Correct Answer

A. \(\frac{4}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(4*x=0) से (4+x-4x=0), अतः (4-3x=0)। / From (4*x=0), (4+x-4x=0), so (4-3x=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(x=\frac{4}{3}\); ऋण चिह्न लगाते समय सावधानी रखें। / Hence \(x=\frac{4}{3}\); be careful with negative signs.

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Question 11/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+k ab) परिभाषित है। यदि (2) का प्रतिलोम \(-\frac{1}{2}\) है, तो (k) का मान क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b+k ab) is defined. If the inverse of (2) is \(-\frac{1}{2}\), what is the value of (k)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

इस रूप में तत्समक (0) है। / The identity for this form is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2) और \(-\frac{1}{2}\) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0)। / Since (2) and \(-\frac{1}{2}\) are inverses, (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0).

Step 3

Exam Tip

\(\frac{3}{2}-k=0\) नहीं, सही सरलीकरण \(2-\frac{1}{2}-k=0\) देता है, अतः \(k=\frac{3}{2}\); इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / This gives \(\frac{3}{2}-k=0\), so \(k=\frac{3}{2}\); hence none of the listed options would be correct.

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Question 12/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\mathbb{R}-{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) से (a+e+ae=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

(e(1+a)=0) होगा और \(a\neq -1\) है। / Thus (e(1+a)=0), and \(a\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (e=0); दिए गए समुच्चय की शर्त को हमेशा पढ़ें। / Hence (e=0); always read the set condition carefully.

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Question 13/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(A=\mathbb{R}-{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (2)?

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Correct Answer

A. \(-\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=0) से (2+x+2x=0), अतः (3x=-2)। / From (2*x=0), (2+x+2x=0), so (3x=-2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(x=-\frac{2}{3}\); उत्तर समुच्चय (A) में भी है। / Hence \(x=-\frac{2}{3}\), and it also belongs to (A).

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Question 14/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। किस संख्या का प्रतिलोम नहीं बनता?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which number does not have an inverse?

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Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0) से (a+x+ax=0), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\)। / From (a*x=0), (a+x+ax=0), so \(x=\frac{-a}{1+a}\).

Step 3

Exam Tip

(a=-1) पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं है। / At (a=-1), the denominator is zero, so inverse does not exist.

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Question 15/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?

On \(\mathbb{Q}-{0}\), \(a*b=\frac{ab}{5}\). Which is the identity element?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए \(\frac{ae}{5}=a\) होना चाहिए। / For identity (e), \(\frac{ae}{5}=a\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq0\), इसलिए दोनों ओर (a) से भाग देने पर (e=5)। / Since \(a\neq0\), divide by (a) to get (e=5).

Step 3

Exam Tip

भिन्न वाली संक्रिया में पहले हर को साफ करें। / In fraction-based operations, clear the denominator first.

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Question 16/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। (10) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{Q}-{0}\), \(a*b=\frac{ab}{5}\). What is the inverse of (10)?

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Correct Answer

A. \(\frac{5}{2}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (5) है। / The identity is (5).

Step 2

Why this answer is correct

(10*x=5) से \(\frac{10x}{5}=5\), अतः (2x=5)। / From (10*x=5), \(\frac{10x}{5}=5\), so (2x=5).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(x=\frac{5}{2}\); प्रतिलोम को तत्समक के बराबर रखकर निकालें। / Hence \(x=\frac{5}{2}\); find inverse by equating to the identity.

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Question 17/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{2,4,6,8\}\), (a*b=\max(a,b)). What is its identity element?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for all \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। / This happens only when (e) is the smallest element.

Step 3

Exam Tip

इस समुच्चय में सबसे छोटा अवयव (2) है। / The smallest element of this set is (2).

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Question 18/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?

On \(A=\{2,4,6,8\}\), (a*b=\min(a,b)). Which is the identity element?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for all \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible only when (e) is the greatest element.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यहाँ तत्समक (8) है। / Hence the identity here is (8).

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Question 19/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि हर (a), (e) को भाग दे। / This means every (a) must divide (e).

Step 3

Exam Tip

(6) सभी दिए अवयवों का गुणज है, इसलिए (e=6)। / (6) is a multiple of all given elements, so (e=6).

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Question 20/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। तत्समक अवयव क्या होगा?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What will be the identity element?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

इसके लिए (e) हर (a) को भाग देना चाहिए। / For this, (e) must divide every (a).

Step 3

Exam Tip

(1) सभी अवयवों को भाग देता है, इसलिए वही तत्समक है। / (1) divides all elements, so it is the identity.

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Question 21/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a-b) है। कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a-b). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह बंद है पर क्रमविनिमेय नहींIt is closed but not commutative

Step 1

Concept

दो पूर्णांकों का अंतर पूर्णांक होता है, इसलिए बंदता है। / Difference of two integers is an integer, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(5-2\neq2-5\), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। / \(5-2\neq2-5\), so it is not commutative.

Step 3

Exam Tip

केवल (a*0=a) देखकर तत्समक न मानें, (0*a=a) भी जाँचें। / Do not accept identity only from (a*0=a); also check (0*a=a).

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Question 22/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह द्विआधारी संक्रिया क्यों नहीं है?

On \(\mathbb{Z}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Why is it not a binary operation?

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Correct Answer

A. क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होताBecause the result is not always an integer

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया के लिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहना चाहिए। / For a binary operation, the result must remain in \(\mathbb{Z}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(1*2=\frac{3}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। / \(1*2=\frac{3}{2}\), which is not an integer.

Step 3

Exam Tip

बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove closure.

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Question 23/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। सही गुण चुनिए।

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Choose the correct property.

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Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहींIt is commutative but not associative

Step 1

Concept

\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((1*1)*2=8), जबकि (1*(1*2)=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। / ((1*1)*2=8), while (1*(1*2)=26), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य जाँचने में छोटे मान बहुत उपयोगी होते हैं। / Small values are very useful for testing associativity.

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Question 24/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(\mathbb{R}\) पर (a*b=ka+b) क्रमविनिमेय है, तो (k) का मान क्या होगा?

If (a*b=ka+b) on \(\mathbb{R}\) is commutative, what is the value of (k)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (ka+b=kb+a) सभी (a,b) के लिए चाहिए। / For commutativity, (ka+b=kb+a) for all (a,b).

Step 2

Why this answer is correct

इसे ((k-1)a=(k-1)b) की तरह देखें। / View it as ((k-1)a=(k-1)b).

Step 3

Exam Tip

सभी मानों के लिए यह तभी सही होगा जब (k=1)। / This holds for all values only when (k=1).

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Question 25/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+kab) है, तो यह संक्रिया किन (k) के लिए साहचर्य है?

If (a*b=a+b+kab) on \(\mathbb{R}\), for which values of (k) is the operation associative?

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Correct Answer

A. हर वास्तविक (k) के लिएFor every real (k)

Step 1

Concept

((a*b)*c) का विस्तार करने पर \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)) का विस्तार भी यही आता है। / Expanding (a*(b*c)) gives the same expression.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह हर वास्तविक (k) के लिए साहचर्य है। / Hence it is associative for every real (k).

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Question 26/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+c) है। किसी अवयव (p) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+c). What will be the inverse of an element (p)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-p-2c)

Step 1

Concept

पहले तत्समक (e) निकालें: (a+e+c=a), इसलिए (e=-c)। / First find identity: (a+e+c=a), so (e=-c).

Step 2

Why this answer is correct

(p*x=e) से (p+x+c=-c)। / From (p*x=e), (p+x+c=-c).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=-p-2c), यही (p) का प्रतिलोम है। / Hence (x=-p-2c), the inverse of (p).

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Question 27/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}^+\) पर (a*b=ab) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}^+\), (a*b=ab). What is its identity element?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (ae=a) होना चाहिए। / For identity (e), (ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a>0), इसलिए (e=1)। / Since (a>0), (e=1).

Step 3

Exam Tip

सामान्य गुणन में (1) तत्समक होता है, लेकिन समुच्चय में उसका होना भी जरूरी है। / In usual multiplication, (1) is identity, but it must also belong to the given set.

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Question 28/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}^+\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। सही कथन क्या है?

On \(\mathbb{R}^+\), \(a*b=\frac{a}{b}\). What is the correct statement?

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Correct Answer

A. यह द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहींIt is binary but not commutative

Step 1

Concept

धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देने पर धनात्मक संख्या मिलती है, इसलिए बंदता है। / Dividing a positive number by a positive number gives a positive number, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता। / \(\frac{a}{b}\) is generally not equal to \(\frac{b}{a}\).

Step 3

Exam Tip

भाग वाली संक्रिया में बाएँ और दाएँ पक्ष अलग-अलग जाँचें। / In division operations, check left and right sides separately.

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Question 29/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+1) है। (5) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (5)?

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Correct Answer

A. (-7)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), इसलिए (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).

Step 2

Why this answer is correct

(5*x=-1) से (5+x+1=-1)। / From (5*x=-1), (5+x+1=-1).

Step 3

Exam Tip

अतः (x=-7); प्रतिलोम को हमेशा तत्समक से जोड़कर देखें। / Hence (x=-7); always connect inverse with identity.

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Question 30/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2) है। तत्समक अवयव क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2). What will be the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) लिखें। / Write (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-2=a) से (e=2) मिलता है। / From (a+e-2=a), we get (e=2).

Step 3

Exam Tip

स्थिर संख्या घट या जुड़ रही हो, तो तत्समक उसी को संतुलित करता है। / When a fixed number is added or subtracted, identity balances that fixed number.

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Question 31/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2) है। (-3) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2). What is the inverse of (-3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (7)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (2) है। / The identity is (2).

Step 2

Why this answer is correct

(-3*x=2) से (-3+x-2=2), अतः (x=7)। / From (-3*x=2), (-3+x-2=2), so (x=7).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक संख्या के साथ समीकरण बनाते समय हर पद साफ लिखें। / With negative numbers, write every term clearly.

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Question 32/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=|a-b|) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b=|a-b|). What is its identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*0=|a-0|=a) क्योंकि (a) केवल (0) या (1) है। / (a*0=|a-0|=a) because (a) is only (0) or (1).

Step 2

Why this answer is correct

(0*a=|0-a|=a) भी सही है। / (0*a=|0-a|=a) also holds.

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में दोनों दिशा जाँचना जरूरी है। / For small sets, check both directions.

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Question 33/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=ab) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b=ab). Which is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

गुणन में \(a\cdot1=a\) होता है। / In multiplication, \(a\cdot1=a\).

Step 2

Why this answer is correct

\(1\cdot a=a\) भी सभी \(a\in A\) के लिए सही है। / \(1\cdot a=a\) also holds for all \(a\in A\).

Step 3

Exam Tip

तत्समक वही है जो दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता। / Identity is the element that does not change an element from either side.

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Question 34/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। (2(3*4)) का मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the value of (2*(3*4))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (7)

Step 1

Concept

पहले कोष्ठक के अंदर (3*4) निकालें: (3+4-12=-5)। / First evaluate inside the bracket: (3*4=3+4-12=-5).

Step 2

Why this answer is correct

अब (2*(-5)=2+(-5)-2(-5)=7)। / Now (2*(-5)=2+(-5)-2(-5)=7).

Step 3

Exam Tip

द्विआधारी संक्रिया में कोष्ठक का क्रम बहुत ध्यान से मानें। / In binary operation questions, follow the bracket order carefully.

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Question 35/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा अवयव अवशोषक है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b=a+b-ab). Which element is absorbing?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) चाहिए। / For absorbing element (z), (a*z=z) and (z*a=z) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(a*1=a+1-a=1) और (1*a=1+a-a=1)। / (a*1=a+1-a=1) and (1*a=1+a-a=1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) अवशोषक है; इसे तत्समक से अलग पहचानें। / Hence (1) is absorbing; do not confuse it with identity.

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Question 36/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। इस संक्रिया का अवशोषक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). What is the absorbing element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) चाहिए। / For absorbing element (z), (a*z=z) is needed.

Step 2

Why this answer is correct

(a*(-1)=a-1-a=-1) और ((-1)*a=-1+a-a=-1)। / (a*(-1)=a-1-a=-1) and ((-1)*a=-1+a-a=-1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (-1) अवशोषक है; यह प्रतिलोम न होने वाला अवयव भी बनता है। / Hence (-1) is absorbing; it also becomes the element without inverse.

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Question 37/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (ab=a+b-ab), तो (1-(ab)) किसके बराबर है?

If (a*b=a+b-ab), then (1-(a*b)) is equal to what?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1-a)(1-b))

Step 1

Concept

(1-(a*b)=1-(a+b-ab)) लिखें। / Write (1-(a*b)=1-(a+b-ab)).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (1-a-b+ab) मिलता है। / Simplifying gives (1-a-b+ab).

Step 3

Exam Tip

यह ((1-a)(1-b)) है, जो साहचर्य समझने में बहुत मदद करता है। / This equals ((1-a)(1-b)), which helps in understanding associativity.

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Question 38/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) में बंद क्यों है?

On \(A=\mathbb{R}-{1}\), (a*b=a+b-ab). Why is it closed in (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)Because (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)

Step 1

Concept

\(a,b\in A\) होने से \(a\neq1\) और \(b\neq1\)। / Since \(a,b\in A\), \(a\neq1\) and \(b\neq1\).

Step 2

Why this answer is correct

(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), जो शून्य नहीं है। / (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), which is not zero.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(a*b\neq1\), अतः परिणाम फिर (A) में है। / Therefore \(a*b\neq1\), so the result again lies in (A).

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Question 39/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which statement about this operation is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों हैIt is both associative and commutative

Step 1

Concept

सूत्र (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The formula (a+b-ab) is unchanged when (a,b) are interchanged, so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए गुणन की तरह साहचर्य भी मिलता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), associativity follows like multiplication.

Step 3

Exam Tip

कठिन संक्रिया में ऐसा सरल रूप खोजें। / In hard operations, look for such simpler forms.

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Question 40/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}-{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। साहचर्य के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

On \(\mathbb{R}-{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). What is the correct conclusion about associativity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह साहचर्य नहीं हैIt is not associative

Step 1

Concept

((8*4)*2=\(\frac{8}{4}\)*2=1)। / ((8*4)*2=\(\frac{8}{4}\)*2=1).

Step 2

Why this answer is correct

(8*(4*2)=8*(2)=4)। / (8*(4*2)=8*(2)=4).

Step 3

Exam Tip

दोनों मान अलग हैं, इसलिए साहचर्य नहीं है। / The two values are different, so the operation is not associative.

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Question 41/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=\sqrt{a^2+b^2}\) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=\sqrt{a^2+b^2}\). What is its identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ऐसा कोई अवयव नहींNo such element

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए \(\sqrt{a^2+e^2}=a\) सभी वास्तविक (a) के लिए नहीं चल सकता यदि (a<0) हो। / For identity (e), \(\sqrt{a^2+e^2}=a\) must hold for every real (a), which fails when (a<0).

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (a*0=|a|), इसलिए ऋणात्मक (a) पर (a) नहीं मिलता। / Even (a*0=|a|), not (a) for negative (a).

Step 3

Exam Tip

इसलिए वास्तव में \(\mathbb{R}\) पर कोई तत्समक नहीं है; दिए विकल्पों में भ्रम से बचें। / Therefore there is actually no identity on \(\mathbb{R}\); avoid the tempting option (0).

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Question 42/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b), (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

यहाँ संक्रिया (4) के शेष पर आधारित जोड़ है। / This is addition based on remainders modulo (4).

Step 2

Why this answer is correct

(a+0) को (4) से भाग देने पर वही शेष (a) मिलता है। / Dividing (a+0) by (4) gives the same remainder (a).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (0) तत्समक है; शेषफल वाली संक्रिया में पहले मूल जोड़ समझें। / Hence (0) is the identity; in remainder operations, understand the basic addition first.

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Question 43/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5,6\}\) पर (a*b), (a+b) को (7) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4,5,6\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (7). What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x) का (7) से शेष (0) होना चाहिए। / For inverse (x) of (3), the remainder of (3+x) on division by (7) must be (0).

Step 3

Exam Tip

(3+4=7), इसलिए प्रतिलोम (4) है। / Since (3+4=7), the inverse is (4).

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Question 44/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b), (ab) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). What is the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

गुणन के शेष में तत्समक (1) है। / In multiplication with remainders, the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(2) के प्रतिलोम (x) के लिए (2x) का (5) से शेष (1) होना चाहिए। / For inverse (x) of (2), the remainder of (2x) on division by (5) must be (1).

Step 3

Exam Tip

\(2\cdot3=6\) और (6) का शेष (1) है, इसलिए उत्तर (3) है। / \(2\cdot3=6\), whose remainder is (1), so the answer is (3).

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Question 45/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{1}\) पर (ab=a+b-ab) है। ((23)*4) का मान क्या है?

On \(A=\mathbb{R}-{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the value of ((2*3)*4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (7)

Step 1

Concept

पहले (2*3=2+3-6=-1)। / First (2*3=2+3-6=-1).

Step 2

Why this answer is correct

अब ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7)। / Now ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7).

Step 3

Exam Tip

कोष्ठक का क्रम न बदलें, पहले अंदर की संक्रिया करें। / Do not change the bracket order; evaluate the inner operation first.

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Question 46/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। इसके तत्समक अवयव के बारे में सही कथन क्या है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\). What is the correct statement about its identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तत्समक अवयव अस्तित्व में नहीं हैIdentity element does not exist

Step 1

Concept

(a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। / From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=a) आता है, जो स्थिर अवयव नहीं है। / This gives (e=a), which is not a fixed element.

Step 3

Exam Tip

तत्समक सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है। / Identity must be the same for every (a), so it does not exist here.

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Question 47/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b+1) है। यदि (x3=7), तो (x) का मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). If (x*3=7), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

दिए सूत्र में (a=x) और (b=3) रखें। / Put (a=x) and (b=3) in the given formula.

Step 2

Why this answer is correct

(x*3=x+3+1=7), इसलिए (x+4=7)। / (x*3=x+3+1=7), so (x+4=7).

Step 3

Exam Tip

अतः (x=3); ऐसी गणना में परिभाषा को सीधे लगाएँ। / Hence (x=3); apply the definition directly in such calculations.

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Question 48/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=2a+3b) है। यदि (x2=16), तो (x) का मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=2a+3b). If (x*2=16), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

(x*2) में (a=x) और (b=2) रखें। / In (x*2), put (a=x) and (b=2).

Step 2

Why this answer is correct

(2x+3(2)=16), इसलिए (2x+6=16)। / (2x+3(2)=16), so (2x+6=16).

Step 3

Exam Tip

इससे (x=5) मिलता है; पहले संक्रिया लगाएँ, फिर सरल समीकरण हल करें। / This gives (x=5); first apply the operation, then solve the simple equation.

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Question 49/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-2ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{3}{5}\)

Step 1

Concept

पहले तत्समक निकालें। (a+e-2ae=a) से (e=0) मिलता है। / First find the identity. From (a+e-2ae=a), we get (e=0).

Step 2

Why this answer is correct

(3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x-6x=0), इसलिए (3-5x=0)। / For inverse (x) of (3), (3+x-6x=0), so (3-5x=0).

Step 3

Exam Tip

अतः \(x=\frac{3}{5}\); प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें। / Hence \(x=\frac{3}{5}\); while finding inverse, equate the result to the identity.

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Question 50/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-2ab) है। इस संक्रिया का अवशोषक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the absorbing element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) दोनों होने चाहिए। / For absorbing element (z), both (a*z=z) and (z*a=z) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(a*z=a+z-2az=z) से (a(1-2z)=0) मिलता है। / From (a*z=a+z-2az=z), we get (a(1-2z)=0).

Step 3

Exam Tip

सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब \(z=\frac{1}{2}\); इसलिए अवशोषक अवयव \(\frac{1}{2}\) है। / This holds for every (a) only when \(z=\frac{1}{2}\); hence the absorbing element is \(\frac{1}{2}\).

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Question 51/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-ab) दी है। इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव कौन सा है?

On the set \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), the operation (a*b=a+b-ab) is given. Which element is the identity for this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-ae=a\Rightarrow e(1-a)=0)। हर \(a\in A\) के लिए यह तभी होगा जब (e=0)। / (a+e-ae=a\Rightarrow e(1-a)=0), so (e=0) works for every \(a\in A\).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में पहले (a*e=a) और (e*a=a) दोनों की जाँच करें। / In exams, always verify both (a*e=a) and (e*a=a).

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Question 52/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (a) का प्रतिलोम किस रूप में मिलेगा?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(\frac{a}{1-a}\)

Step 1

Concept

पिछले प्रश्न की तरह तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a\Rightarrow x=\frac{a}{a-1}) नहीं, बल्कि \(x=\frac{-a}{1-a}=\frac{a}{a-1}\) है। / For inverse (x), (a*x=0), so (a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a\Rightarrow x=\frac{a}{a-1}).

Step 3

Exam Tip

विकल्पों में चिह्न ध्यान से देखें। / Watch the sign carefully while matching options.

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Question 53/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (a) का प्रतिलोम कौन सा है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). Which is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(\frac{4}{a}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। / The identity for this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*x=2\Rightarrow \frac{ax}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{a}\)। / \(a*x=2\Rightarrow \frac{ax}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{a}\).

Step 3

Exam Tip

पहले तत्समक अवयव निकालें, फिर प्रतिलोम निकालें। / Find the identity first, then find the inverse.

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Question 54/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+ab) दी है। क्या यह संक्रिया पूर्णांकों में संवृत है?

On integers, (a*b=a+b+ab) is given. Is this operation closed on integers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक हैYes, because the result is always an integer

Step 1

Concept

संवृतता का अर्थ है कि (a,b) पूर्णांक हों तो (a*b) भी पूर्णांक हो। / Closure means if (a,b) are integers, then (a*b) must also be an integer.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b+ab) पूर्णांकों के योग और गुणन से बना है, इसलिए पूर्णांक रहेगा। / (a+b+ab) is formed using integer addition and multiplication, so it is an integer.

Step 3

Exam Tip

संवृतता में क्रमविनिमेयता नहीं, परिणाम का समुच्चय देखा जाता है। / Closure checks the set of the result, not commutativity.

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Question 55/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+ab) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

On integers, (a*b=a+b+ab). Which is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+ae=a\Rightarrow e(1+a)=0)। यह हर (a) के लिए तभी सही है जब (e=0)। / (a+e+ae=a\Rightarrow e(1+a)=0), so (e=0) works for all (a).

Step 3

Exam Tip

एक ही (e) पूरे समुच्चय के लिए काम करना चाहिए। / The same identity must work for the whole set.

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Question 56/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+ab) है। इस संक्रिया के अंतर्गत किन (a) के प्रतिलोम पूर्णांकों में मौजूद होंगे?

On integers, (a*b=a+b+ab). For which (a) will inverses exist in integers under this operation?

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Correct Answer

C. केवल (a=-2) और (a=0)Only (a=-2) and (a=0)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*x=0\Rightarrow a+x+ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}\), जहाँ \(a\neq -1\)। पूर्णांक (x) के लिए (a+1) को (a) को भाग देना चाहिए, इसलिए (a+1) को (a-(a+1)=-1) को भी भाग देना होगा। इसलिए \(a+1=\pm1\), अर्थात (a=0) या (a=-2)। / \(a*x=0\Rightarrow a+x+ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}\). For integer (x), (a+1) must divide (a), hence it must also divide (-1). Thus \(a+1=\pm1\), so (a=0) or (a=-2).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम के प्रश्न में भाग्यता की जाँच बहुत जरूरी है। / For inverse questions on integers, divisibility is the key check.

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Question 57/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a,b)). Which is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (4)

Step 1

Concept

(e) ऐसा होना चाहिए कि (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए हो। / Identity (e) must satisfy (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो, यानी (4)। / This happens when (e) is the greatest element of the set, which is (4).

Step 3

Exam Tip

\(\min\) में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element.

Open Question Page

Question 58/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\max(a,b)). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

(\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। / We need (\max(a,e)=a) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो, यानी (1)। / This is possible when (e) is the smallest element, which is (1).

Step 3

Exam Tip

\(\max\) में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element.

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Question 59/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2) है। इस संक्रिया के लिए (a) का प्रतिलोम कौन सा है?

On real numbers, (a*b=a+b+2). Which is the inverse of (a) under this operation?

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Correct Answer

C. (-a-4)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+2=a\Rightarrow e=-2\)। / For identity (e), \(a+e+2=a\Rightarrow e=-2\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x+2=-2\Rightarrow x=-a-4\)। / For inverse (x), \(a+x+2=-2\Rightarrow x=-a-4\).

Step 3

Exam Tip

बदली हुई जोड़ संक्रिया में साधारण (-a) को तुरंत न चुनें। / In shifted addition operations, do not directly choose (-a).

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Question 60/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+2) है। यह संक्रिया कैसी है?

On real numbers, (a*b=a+b+2). What type of operation is it?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय और साहचर्यCommutative and associative

Step 1

Concept

(a*b=b*a) क्योंकि (a+b+2=b+a+2)। / (a*b=b*a) because (a+b+2=b+a+2).

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a+b+c+4) और (a*(b*c)=a+b+c+4), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c+4) and (a*(b*c)=a+b+c+4), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

दोनों गुण अलग-अलग जाँचना बेहतर रहता है। / Check commutativity and associativity separately.

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Question 61/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। निम्न में से कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों हैIt is both commutative and associative

Step 1

Concept

(a+b+ab) में (a) और (b) की अदला-बदली से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

(a*b=(a+1)(b+1)-1), इसलिए ((a*b)*c=(a+1)(b+1)(c+1)-1=a*(b*c))। / Since (a*b=(a+1)(b+1)-1), both groupings give ((a+1)(b+1)(c+1)-1).

Step 3

Exam Tip

रूपांतरण से कठिन साहचर्य जाँच आसान हो जाती है। / Rewriting the operation often simplifies associativity checks.

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Question 62/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृतिक संख्याओं पर \(a*b=a^b\) माना गया है। यह संक्रिया किस गुण को संतुष्ट नहीं करती?

On natural numbers, \(a*b=a^b\). Which property does this operation not satisfy?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. क्रमविनिमेयताCommutativity

Step 1

Concept

\(a^b\) प्राकृतिक संख्याओं के लिए प्राकृतिक संख्या रहता है, इसलिए संवृतता है। / \(a^b\) is a natural number for natural (a,b), so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन \(2^3=8\) और \(3^2=9\), इसलिए \(a*b\neq b*a\)। / But \(2^3=8\) while \(3^2=9\), so \(a*b\neq b*a\).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता में केवल एक विरोधी उदाहरण काफी होता है। / One counterexample is enough to disprove commutativity.

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Question 63/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृतिक संख्याओं पर \(a*b=a^b\) है। निम्न में से कौन सा कथन सही है?

On natural numbers, \(a*b=a^b\). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह साहचर्य नहीं हैIt is not associative

Step 1

Concept

साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) होना चाहिए। / Associativity requires ((a*b)*c=a*(b*c)).

Step 2

Why this answer is correct

( (2*3)*2=8²=64), लेकिन (2*(3*2)=2⁹=512)। दोनों बराबर नहीं हैं। / ((2*3)*2=8²=64), but (2*(3*2)=2⁹=512). They are not equal.

Step 3

Exam Tip

घात वाली संक्रियाओं में कोष्ठक बदलने से मान अक्सर बदल जाता है। / With exponent operations, changing brackets often changes the value.

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Question 64/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a-b) है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।

On real numbers, (a*b=a-b). Choose the correct statement about this operation.

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Correct Answer

C. यह न क्रमविनिमेय है न साहचर्यIt is neither commutative nor associative

Step 1

Concept

(a-b) सामान्यतः (b-a) के बराबर नहीं होता, इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / (a-b) is generally not equal to (b-a), so it is not commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=(a-b)-c), जबकि (a*(b*c)=a-(b-c)=a-b+c), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((a*b)*c=(a-b)-c), while (a*(b*c)=a-(b-c)=a-b+c), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

घटाव पर आधारित संक्रिया में दोनों गुण सावधानी से जाँचें। / For subtraction-based operations, check both properties carefully.

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Question 65/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) है। निम्न में से सही कथन कौन सा है?

On real numbers, (a*b=a+b-ab). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य हैIt is commutative and associative

Step 1

Concept

(a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b-ab) is unchanged by interchanging (a,b), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए दोनों तरफ (1-) मान लेने पर समान गुणन बनता है। अतः साहचर्य है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), both bracketings lead to the same product form, so it is associative.

Step 3

Exam Tip

कभी-कभी पूरक रूप लिखना तेजी से समाधान देता है। / Complement-type rewriting can make associativity quick.

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Question 66/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{a+b}\) है, जहाँ \(a+b\neq0\)। यह संक्रिया पूरे समुच्चय पर द्विआधारी संक्रिया क्यों नहीं है?

On \(\mathbb{R}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{a+b}\), where \(a+b\neq0\). Why is it not a binary operation on the whole set?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि कुछ जोड़ों के लिए हर शून्य हो जाता हैBecause the denominator becomes zero for some pairs

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया हर क्रमित जोड़े के लिए परिभाषित होनी चाहिए। / A binary operation must be defined for every ordered pair of elements of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(a=1,b=-1) लेने पर दोनों समुच्चय में हैं, पर (a+b=0), इसलिए मान परिभाषित नहीं है। / If (a=1,b=-1), both are in the set, but (a+b=0), so the value is undefined.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा में किसी एक असफल जोड़े से द्विआधारी संक्रिया अस्वीकार हो जाती है। / One undefined pair is enough to reject it as a binary operation.

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Question 67/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। इस संक्रिया के लिए (a) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (a) under this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{-a}{a+1}\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है क्योंकि (a*0=a)। / The identity is (0) because (a*0=a).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+ax=0\Rightarrow x(a+1)=-a\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1})। / For inverse (x), (a+x+ax=0\Rightarrow x(a+1)=-a\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}).

Step 3

Exam Tip

यहाँ \(a\neq -1\), इसलिए हर (a) के लिए हर शून्य नहीं होगा। / Since \(a\neq -1\), the denominator is not zero.

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Question 68/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। यह संक्रिया (A) में संवृत क्यों है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab). Why is this operation closed in (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (a*b=-1) कभी नहीं होताBecause (a*b) is never (-1)

Step 1

Concept

संवृतता के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए, यानी (-1) नहीं होना चाहिए। / For closure, the result must belong to (A), so it must not be (-1).

Step 2

Why this answer is correct

(a*b+1=a+b+ab+1=(a+1)(b+1))। चूँकि \(a,b\neq -1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। / (a*b+1=(a+1)(b+1)). Since \(a,b\neq -1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

निषिद्ध मान से बचना संवृतता जाँचने का अच्छा तरीका है। / For restricted sets, check that the forbidden value cannot occur.

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Question 69/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर (a*b=ab) है। इस संक्रिया के लिए कौन सा कथन सही है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), (a*b=ab). Which statement is correct for this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह समूह जैसी सभी मूल शर्तें पूरी करती हैIt satisfies all basic group-like conditions

Step 1

Concept

दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन फिर अशून्य होता है, इसलिए संवृतता है। / The product of two non-zero real numbers is non-zero, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

(1) तत्समक अवयव है और हर \(a\neq0\) का प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) है। / (1) is identity and every \(a\neq0\) has inverse \(\frac{1}{a}\).

Step 3

Exam Tip

सामान्य गुणन को प्रतिबंधित समुच्चय पर भी ध्यान से जाँचें। / Even familiar multiplication should be checked against the given set.

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Question 70/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। यह द्विआधारी संक्रिया है या नहीं?

On \(A=\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). Is it a binary operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, क्योंकि परिणाम अशून्य परिमेय हैYes, because the result is a non-zero rational number

Step 1

Concept

(a,b) अशून्य परिमेय हैं, इसलिए \(b\neq0\)। / (a,b) are non-zero rational numbers, so \(b\neq0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a}{b}\) परिमेय और अशून्य रहेगा, अतः परिणाम (A) में है। / \(\frac{a}{b}\) is rational and non-zero, so it lies in (A).

Step 3

Exam Tip

विभाजन तभी समस्या देता है जब भाजक शून्य हो, यहाँ वह हटाया गया है। / Division becomes a problem only when the divisor is zero, which is excluded here.

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Question 71/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। यह संक्रिया कैसी है?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). What kind of operation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. क्रमविनिमेय नहीं और साहचर्य नहींNeither commutative nor associative

Step 1

Concept

\(\frac{2}{3}\neq\frac{3}{2}\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / \(\frac{2}{3}\neq\frac{3}{2}\), so it is not commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((8*4)*2=2*2=1), जबकि (8*(4*2)=8*2=4), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((8*4)*2=2*2=1), while (8*(4*2)=8*2=4), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

भाग वाली संक्रिया में छोटे संख्यात्मक उदाहरण जल्दी निर्णय देते हैं। / For division operations, small numerical examples are very useful.

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Question 72/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा होगा?

On integers, (a*b=a+b-1). Which will be the identity element?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+e-1=a\Rightarrow e=1\)। (e*a=e+a-1=a) भी सही है। / \(a+e-1=a\Rightarrow e=1\). Also (e*a=e+a-1=a).

Step 3

Exam Tip

बदली हुई जोड़ संक्रिया में स्थिर संख्या को संतुलित करें। / In shifted addition, balance the constant term to find identity.

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Question 73/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-1) है। (a) का प्रतिलोम कौन सा है?

On integers, (a*b=a+b-1). Which is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2-a)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (1) है। / The identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*x=1\Rightarrow a+x-1=1\Rightarrow x=2-a\)। / \(a*x=1\Rightarrow a+x-1=1\Rightarrow x=2-a\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के आधार पर निकाला जाता है। / Inverse is always found with respect to the identity element.

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Question 74/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a+b) को (3) से भाग देने पर शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is defined as the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

यह (3) के अनुसार जोड़ है। / This is addition modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

(a+0) को (3) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (0) तत्समक है। / The remainder of (a+0) on division by (3) is (a) itself. So (0) is identity.

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) को पहले जाँचें। / In remainder-based addition, test (0) first.

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Question 75/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a+b) को (3) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=0) का अर्थ है कि (2+x) का शेषफल (0) हो। (2+1=3), जिसका शेषफल (0) है। / (2*x=0) means the remainder of (2+x) should be (0). Since (2+1=3), the remainder is (0).

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे जाँचकर निकाला जा सकता है। / In small finite sets, inverses can be checked directly.

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Question 76/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है, पर शेषफल (0) आने पर उसे (5) नहीं माना जाता। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5), and remainder (0) is not replaced by (5). Is this a binary operation on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, क्योंकि शेषफल हमेशा (1,2,3,4) में हैYes, because the remainder is always in (1,2,3,4)

Step 1

Concept

(A) में (5) का कोई गुणज नहीं है, पर गुणनफल (ab) जाँचें। / Check whether (ab) can be divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,3,4) में से किसी दो का गुणनफल (5) से विभाज्य नहीं होता, क्योंकि (5) अभाज्य है और कोई गुणक (5) नहीं है। इसलिए शेषफल (0) नहीं आएगा। / Since (5) is prime and none of (1,2,3,4) is divisible by (5), the product is not divisible by (5). So remainder (0) never occurs.

Step 3

Exam Tip

शेषफल समुच्चय में लौटे तो संक्रिया संवृत है। / If the remainder always returns to the set, closure holds.

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Question 77/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). Which is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

यह (5) के अनुसार गुणन है। / This is multiplication modulo (5).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (1) तत्समक अवयव है। / The remainder of \(a\cdot1\) on division by (5) is (a). Hence (1) is identity.

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली गुणन संक्रिया में (1) को पहले जाँचें। / In modular multiplication, test (1) as identity first.

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Question 78/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (1) है। / The identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(3*x) का शेषफल (1) चाहिए। \(3\cdot2=6\), जिसका (5) से शेषफल (1) है। / We need the remainder of (3*x) to be (1). Since \(3\cdot2=6\), the remainder on division by (5) is (1).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में गुणन सारणी मन में बनाना उपयोगी है। / A quick modular multiplication table helps in such questions.

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Question 79/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab+1) है। इस संक्रिया का सरल रूप किससे जुड़ता है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab+1). Which simple form is connected to this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a*b=(a+1)(b+1))

Step 1

Concept

दिए गए पदों को गुणनफल के रूप में देखें। / Try to rewrite the expression as a product.

Step 2

Why this answer is correct

((a+1)(b+1)=ab+a+b+1), जो ठीक (a*b) है। / ((a+1)(b+1)=ab+a+b+1), exactly equal to (a*b).

Step 3

Exam Tip

बीजगणितीय रूपांतरण से गुणों की जाँच आसान होती है। / Algebraic rewriting makes property checking easier.

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Question 80/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ab+a+b+1) है। क्या इस संक्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On real numbers, (a*b=ab+a+b+1). Does this operation have an identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), जो (a) पर निर्भर है। / (ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), which depends on (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है। / An identity must be one fixed element for all (a), so it does not exist here.

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Question 81/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=2a+2b) है। यह संक्रिया किस गुण में असफल है?

On real numbers, (a*b=2a+2b). In which property does this operation fail?

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Correct Answer

C. साहचर्यताAssociativity

Step 1

Concept

परिणाम वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। (2a+2b=2b+2a), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The result is real, so closure holds. Also (2a+2b=2b+2a), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=2(2a+2b)+2c=4a+4b+2c), जबकि (a*(b*c)=2a+2(2b+2c)=2a+4b+4c)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=4a+4b+2c), while (a*(b*c)=2a+4b+4c), not generally equal.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य में पूरे बीजगणितीय रूप की तुलना करें। / For associativity, compare the complete algebraic forms.

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Question 82/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=ka+kb) है। किस (k) के लिए यह संक्रिया साहचर्य होगी?

On real numbers, (a*b=ka+kb). For which (k) will this operation be associative?

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Correct Answer

C. (k=0) या (k=1)(k=0) or (k=1)

Step 1

Concept

((a*b)*c=k(ka+kb)+kc=k^-2a+k^-2b+kc)। / ((a*b)*c=k(ka+kb)+kc=k^-2a+k^-2b+kc).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=ka+k(kb+kc)=ka+k^-2b+k^-2c)। तुलना से \(k^2=k\) चाहिए। / (a*(b*c)=ka+k(kb+kc)=ka+k^-2b+k^-2c). Equality for all (a,c) requires \(k^2=k\).

Step 3

Exam Tip

(k^-2=k\Rightarrow k(k-1)=0), इसलिए (k=0) या (k=1)। / (k(k-1)=0), so (k=0) or (k=1).

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Question 83/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+k) है। इस संक्रिया के अंतर्गत (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b+k). What will be the inverse of (a) under this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (-a-2k)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+k=a\Rightarrow e=-k\)। / For identity (e), \(a+e+k=a\Rightarrow e=-k\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x+k=-k\Rightarrow x=-a-2k\)। / For inverse (x), \(a+x+k=-k\Rightarrow x=-a-2k\).

Step 3

Exam Tip

पहले (k) के कारण बदले हुए तत्समक अवयव को पकड़ें। / First identify how the constant (k) shifts the identity.

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Question 84/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। कौन सा कथन सही है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह संवृत है और इसका तत्समक (2) हैIt is closed and has identity (2)

Step 1

Concept

दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन अशून्य होता है, इसलिए \(\frac{ab}{2}\) भी अशून्य है। / The product of two non-zero real numbers is non-zero, so \(\frac{ab}{2}\) is also non-zero.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), जो समुच्चय में है। / \(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), which belongs to the set.

Step 3

Exam Tip

अशून्य समुच्चय में परिणाम शून्य तो नहीं बन रहा, यह जरूर जाँचें। / For non-zero sets, ensure the result cannot become zero.

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Question 85/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह द्विआधारी संक्रिया है, पर कौन सा गुण सामान्यतः नहीं है?

On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\). It is a binary operation, but which property generally fails?

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Correct Answer

B. साहचर्यताAssociativity

Step 1

Concept

\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(a^2+b^2=b^2+a^2\), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((1*1)*1=2*1=2²+1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=1+2²=5) यह उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा उदाहरण लें: ((2*1)*1=5*1=26), जबकि (2*(1*1)=2*2=8)। इसलिए साहचर्य नहीं। / Use a counterexample: ((2*1)*1=5*1=26), while (2*(1*1)=2*2=8). Therefore it is not associative.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य को सिद्ध या असिद्ध करने में सही विरोधी उदाहरण चुनें। / To disprove associativity, choose a counterexample carefully.

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Question 86/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=|a-b|) है। यह संक्रिया किस गुण में असफल है?

On real numbers, (a*b=|a-b|). In which property does this operation fail?

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Correct Answer

B. साहचर्यताAssociativity

Step 1

Concept

(|a-b|=|b-a|), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / (|a-b|=|b-a|), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((1*3)*6=2*6=4), जबकि (1*(3*6)=1*3=2)। दोनों बराबर नहीं हैं। / ((1*3)*6=2*6=4), while (1*(3*6)=1*3=2). They are not equal.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान वाली संक्रिया में भी कोष्ठक बदलने से मान बदल सकता है। / Even with absolute value, changing brackets can change the result.

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Question 87/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=|a|b) है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय क्यों नहीं है?

On real numbers, (a*b=|a|b). Why is this operation not commutative?

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Correct Answer

C. क्योंकि किसी उदाहरण में \(a*b\neq b*a\) मिलता हैBecause one example gives \(a*b\neq b*a\)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता असिद्ध करने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / To disprove commutativity, one counterexample is enough.

Step 2

Why this answer is correct

(a=-2,b=3) लेने पर (a*b=|-2|3=6), जबकि (b*a=|3|(-2)=-6)। / For (a=-2,b=3), (a*b=|-2|3=6), while (b*a=|3|(-2)=-6).

Step 3

Exam Tip

हर जगह अलग होना जरूरी नहीं, एक असमान उदाहरण ही काफी है। / The operation need not fail for every pair; one unequal pair is enough.

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Question 88/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,-1\}\) पर सामान्य गुणन को संक्रिया माना गया है। (-1) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{1,-1\}\), usual multiplication is taken as the operation. What is the inverse of (-1)?

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Correct Answer

B. (-1)

Step 1

Concept

सामान्य गुणन में तत्समक अवयव (1) है। / Under usual multiplication, the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

((-1)\cdot(-1)=1), इसलिए (-1) अपना ही प्रतिलोम है। / ((-1)\cdot(-1)=1), so (-1) is its own inverse.

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे गुणा करके देख सकते हैं। / In a small set, inverse can be found by direct multiplication.

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Question 89/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,-1\}\) पर (a*b=ab) है। यह संक्रिया कैसी है?

On \(A=\{1,-1\}\), (a*b=ab). What kind of operation is it?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय और साहचर्यCommutative and associative

Step 1

Concept

सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).

Step 2

Why this answer is correct

सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है। / In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A).

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Question 90/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a+b-2) है। यह संक्रिया प्राकृतिक संख्याओं पर संवृत कब नहीं रहती?

On natural numbers, (a*b=a+b-2). When does this operation fail to be closed on natural numbers?

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Correct Answer

A. (a=1,b=1) लेने परWhen (a=1,b=1)

Step 1

Concept

प्राकृतिक संख्याओं में सामान्यतः \(1,2,3,\ldots\) होते हैं। / Natural numbers are generally \(1,2,3,\ldots\).

Step 2

Why this answer is correct

(1*1=1+1-2=0), और (0) इस समुच्चय में नहीं है। इसलिए संवृतता टूट जाती है। / (1*1=1+1-2=0), and (0) is not in this set. Hence closure fails.

Step 3

Exam Tip

संवृतता जाँचते समय सबसे छोटे अवयवों को जरूर आजमाएँ। / For closure checks, always test the smallest elements.

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Question 91/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-2) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन सा है?

On integers, (a*b=a+b-2). Which is the identity element?

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Correct Answer

C. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+e-2=a\Rightarrow e=2\)। दूसरी तरफ (e*a=e+a-2=a) भी सही है। / \(a+e-2=a\Rightarrow e=2\). Also (e*a=e+a-2=a).

Step 3

Exam Tip

स्थिर संख्या जितनी घट रही हो, तत्समक उसी को संतुलित करता है। / The identity balances the constant subtracted in the operation.

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Question 92/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b-2) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

On integers, (a*b=a+b-2). What is the inverse of (5)?

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Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। / The identity of this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

\(5*x=2\Rightarrow 5+x-2=2\Rightarrow x=-1\)। / \(5*x=2\Rightarrow 5+x-2=2\Rightarrow x=-1\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय लक्ष्य (0) नहीं, इसी संक्रिया का तत्समक अवयव होता है। / While finding inverse, the target is the identity of that operation, not always (0).

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Question 93/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। यह संक्रिया (A) में संवृत क्यों है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Why is this operation closed in (A)?

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Correct Answer

A. क्योंकि (a*b=1) कभी नहीं होगाBecause (a*b) will never be (1)

Step 1

Concept

(A) में संवृतता के लिए परिणाम (1) नहीं होना चाहिए। / For closure in (A), the result must not be (1).

Step 2

Why this answer is correct

(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। चूँकि \(a,b\neq1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए \(a*b\neq1\)। / (1-(a*b)=(1-a)(1-b)). Since \(a,b\neq1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq1\).

Step 3

Exam Tip

निषिद्ध अवयव को परिणाम बनने से रोकना संवृतता का अच्छा प्रमाण है। / Showing that the forbidden element cannot occur proves closure neatly.

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Question 94/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) है। कौन सा अवयव इस संक्रिया के तहत प्रतिलोम नहीं रखता यदि समुच्चय पूरा \(\mathbb{R}\) हो?

On real numbers, (a*b=a+b-ab). Which element has no inverse under this operation if the set is the whole \(\mathbb{R}\)?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\)। (a=1) पर हर शून्य हो जाता है और समीकरण (1=0) जैसा असंभव बनता है। / For inverse (x), \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\). When (a=1), the denominator becomes zero and no solution exists.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम सूत्र में हर की शून्यता जरूर देखें। / Always check where the inverse formula becomes undefined.

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Question 95/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। कौन सा कथन सही है, जहाँ \(\lambda\) नियत वास्तविक संख्या है?

On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\). Which statement is correct, where \(\lambda\) is a fixed real number?

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Correct Answer

A. यह हमेशा क्रमविनिमेय हैIt is always commutative

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता में (a) और (b) को बदलकर देखें। / To test commutativity, interchange (a) and (b).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+b+\lambda ab=b+a+\lambda ba\), जो हर \(\lambda\) के लिए समान है। / \(a+b+\lambda ab=b+a+\lambda ba\), which is true for every \(\lambda\).

Step 3

Exam Tip

पैरामीटर वाले प्रश्न में पहले यह देखें कि अभिव्यक्ति सममित है या नहीं। / In parameter questions, first check whether the expression is symmetric.

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Question 96/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0)। (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। / (a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0). (e=0) works for every (a).

Step 3

Exam Tip

जब एक मान सभी (a) के लिए चले, वही तत्समक अवयव है। / The value that works for all (a) is the identity.

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Question 97/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। (a) का प्रतिलोम कब परिभाषित नहीं होगा?

On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\). When will the inverse of (a) be undefined?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. जब \(1+\lambda a=0\)When \(1+\lambda a=0\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो (x) नहीं निकलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), (x) is not defined.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में हर की शून्यता सबसे महत्वपूर्ण जाँच है। / The most important check in inverse questions is whether the denominator becomes zero.

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Question 98/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus\left{-\frac{1}{\lambda}\right}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है, जहाँ \(\lambda\neq0\)। इस संक्रिया के लिए (a) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus\left{-\frac{1}{\lambda}\right}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\), where \(\lambda\neq0\). What is the inverse of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1+\lambda a}\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। इसलिए \(x=\frac{-a}{1+\lambda a}\)। / For inverse (x), (a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). Therefore \(x=\frac{-a}{1+\lambda a}\).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय से वही मान हटाया गया है जहाँ हर शून्य हो सकता था। / The set excludes exactly the value that would make the denominator zero.

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Question 99/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या इस संक्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Does this operation have an identity element?

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Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) हर धनात्मक (a) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every positive (a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), यानी (e) हर (a) के साथ बदल रहा है। / \(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), so (e) depends on (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव एक स्थिर अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ कोई तत्समक अवयव नहीं है। / An identity must be one fixed element, so no identity exists here.

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Question 100/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) है। यह संक्रिया किस गुण को संतुष्ट नहीं करती?

On real numbers, (a*b=a+2b). Which property does this operation not satisfy?

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Correct Answer

B. क्रमविनिमेयताCommutativity

Step 1

Concept

(a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) भी वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। / If (a,b) are real, then (a+2b) is also real, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

क्रमविनिमेयता के लिए (a+2b=b+2a) हर बार होना चाहिए, पर (a=1,b=2) लेने पर (1*2=5) और (2*1=4) मिलते हैं। / Commutativity would require (a+2b=b+2a) always, but for (a=1,b=2), (1*2=5) and (2*1=4).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता तोड़ने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.

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Question 101/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर संक्रिया (a*b=a+b-ab) दी हो, तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

If \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) has the operation (a*b=a+b-ab), what is the identity element for this operation?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-ae=a) से (e(1-a)=0) मिलता है, अतः सभी \(a\neq 1\) के लिए (e=0)। / From (a+e-ae=a), we get (e(1-a)=0), so for every \(a\neq 1\), (e=0).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में तत्समक अवयव निकालते समय पहले (a*e=a) लिखकर सरल करें। / In exams, start identity questions by writing (a*e=a).

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Question 102/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On the set \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab) is defined. What is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1+a}\)

Step 1

Concept

पहले तत्समक अवयव निकालें, (a*e=a) से (e=0)। / First find the identity; from (a*e=a), (e=0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a*b=0), इसलिए (a+b+ab=0)। / For inverse (b), use (a*b=0), so (a+b+ab=0).

Step 3

Exam Tip

(b(1+a)=-a), अतः \(b=\frac{-a}{1+a}\); प्रतिलोम में पहले तत्समक अवयव पक्का करें। / (b(1+a)=-a), hence \(b=\frac{-a}{1+a}\); always confirm the identity before finding inverse.

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Question 103/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+2ab) दी हो, तो यह \(\mathbb{Z}\) पर द्विआधारी संक्रिया क्यों है?

If (a*b=a+b+2ab) is defined on \(\mathbb{Z}\), why is it a binary operation on \(\mathbb{Z}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि परिणाम सदैव पूर्णांक हैBecause the result is always an integer

Step 1

Concept

द्विआधारी संक्रिया के लिए संवृतता चाहिए। / A binary operation needs closure.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a,b\in\mathbb{Z}\), तो (a+b+2ab) भी पूर्णांक होगा। / If \(a,b\in\mathbb{Z}\), then (a+b+2ab) is also an integer.

Step 3

Exam Tip

ऐसी जाँच में परिणाम उसी समुच्चय में लौटता है या नहीं, यही मुख्य बात है। / In such questions, check whether the output returns to the same set.

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Question 104/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) दी है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Which property does this operation satisfy?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेयCommutative

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) देखें। / For commutativity, check whether (a*b=b*a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए यह गुण पूरा है। / Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), the operation is commutative.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य अलग जाँच है; केवल (a) और (b) बदलने से वही परिणाम मिले तो क्रमविनिमेयता मिलती है। / Associativity is a different test; swapping (a) and (b) checks commutativity only.

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Question 105/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a-b) दी है। सही कथन चुनिए।

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a-b) is defined. Choose the correct statement.

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Correct Answer

A. न क्रमविनिमेय न साहचर्यNeither commutative nor associative

Step 1

Concept

(a*b=a-b) और (b*a=b-a) सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a) are generally not equal.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=(a-b)-c), जबकि (a*(b*c)=a-(b-c)), ये भी सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=(a-b)-c), while (a*(b*c)=a-(b-c)), which are generally different.

Step 3

Exam Tip

घटाव में क्रम और कोष्ठक दोनों बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In subtraction, both order and grouping can change the result.

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Question 106/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि (ab=2a+3b), तो (a(b*c)) का सरल रूप क्या है?

If (a*b=2a+3b), what is the simplified form of (a*(b*c))?

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Correct Answer

A. (2a+6b+9c)

Step 1

Concept

पहले भीतर की संक्रिया करें, (b*c=2b+3c)। / First evaluate the inner operation: (b*c=2b+3c).

Step 2

Why this answer is correct

अब (a*(b*c)=2a+3(2b+3c)=2a+6b+9c)। / Then (a*(b*c)=2a+3(2b+3c)=2a+6b+9c).

Step 3

Exam Tip

मिश्रित कोष्ठक वाले प्रश्नों में हमेशा अंदर से बाहर की ओर चलें। / In nested operation questions, always work from inside to outside.

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Question 107/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=ka+b) है। किस (k) के लिए संक्रिया साहचर्य होगी?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=ka+b). For which (k) will the operation be associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (k=1)

Step 1

Concept

((a*b)*c=k(ka+b)+c=k^-2a+kb+c)। / ((a*b)*c=k(ka+b)+c=k^-2a+kb+c).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=ka+(kb+c)=ka+kb+c)। / (a*(b*c)=ka+(kb+c)=ka+kb+c).

Step 3

Exam Tip

बराबरी के लिए \(k^2a=ka\) सभी (a) के लिए चाहिए, अतः \(k^2=k\); दिए विकल्पों में (k=1) साहचर्य देता है। / Equality needs \(k^2a=ka\) for all (a), so \(k^2=k\); among the options, (k=1) works.

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Question 108/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+k) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+k). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (-k)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a)। / For identity (e), use (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+k=a) से (e=-k)। / From (a+e+k=a), we get (e=-k).

Step 3

Exam Tip

जोड़ जैसी संक्रियाओं में अतिरिक्त स्थिर राशि को संतुलित करना होता है। / In addition-type operations, balance the extra constant term carefully.

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Question 109/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+5) है। (a) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+5). What is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-a-10)

Step 1

Concept

पहले तत्समक अवयव (e) निकालें, (a+e+5=a), इसलिए (e=-5)। / First find the identity (e): (a+e+5=a), so (e=-5).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+5=-5)। / For inverse (b), use (a+b+5=-5).

Step 3

Exam Tip

(b=-a-10); प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के सापेक्ष निकाला जाता है। / Hence (b=-a-10); inverse is always found with respect to the identity element.

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Question 110/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) के लिए (23) का मान क्या है?

For (a*b=a+b-ab) on \(\mathbb{R}\), what is the value of (2*3)?

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Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

दी गई संक्रिया में (a=2) और (b=3) रखें। / Substitute (a=2) and (b=3) in the given operation.

Step 2

Why this answer is correct

\(2*3=2+3-2\cdot3=5-6=-1\)। / \(2*3=2+3-2\cdot3=5-6=-1\).

Step 3

Exam Tip

ऐसी संक्रिया में सामान्य गुणा या जोड़ न मानें, परिभाषा को ही लागू करें। / Do not treat a new operation as ordinary addition or multiplication; apply its definition.

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Question 111/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा अवयव (2) का प्रतिलोम है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which element is the inverse of (2)?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*b=0) रखें, (2+b-2b=0) से (2-b=0)। / Put (2*b=0): (2+b-2b=0), so (2-b=0).

Step 3

Exam Tip

(b=2); प्रतिलोम में उस अवयव के साथ संक्रिया करके तत्समक अवयव मिलना चाहिए। / Thus (b=2); an inverse must combine with the element to give the identity.

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Question 112/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a) और (b) में बड़े अवयव के बराबर परिभाषित किया गया है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is defined as the greater of (a) and (b). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

बड़े अवयव वाली संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / For the greater-element operation, we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(e) ऐसा होना चाहिए जो किसी भी (a) से बड़ा होकर परिणाम न बदल दे। / (e) must not become greater than any (a) and change the result.

Step 3

Exam Tip

सबसे छोटा अवयव (0) यह काम करता है, इसलिए वही तत्समक अवयव है। / The smallest element (0) works, so it is the identity.

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Question 113/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (a) और (b) में छोटे अवयव के बराबर परिभाषित किया गया है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is defined as the smaller of (a) and (b). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

छोटे अवयव वाली संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / For the smaller-element operation, (a*e=a) is required.

Step 2

Why this answer is correct

(e) ऐसा होना चाहिए कि वह किसी भी (a) से छोटा होकर परिणाम न बदल दे। / (e) must not be smaller than any (a), otherwise it would change the result.

Step 3

Exam Tip

सबसे बड़ा अवयव (2) यह काम करता है, इसलिए तत्समक अवयव (2) है। / The greatest element (2) works, so the identity is (2).

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Question 114/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{N}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या \(\mathbb{N}\) में तत्समक अवयव मौजूद है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does an identity element exist in \(\mathbb{N}\)?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। / Identity (e) would require (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा (e) हर प्राकृतिक संख्या का गुणज होना चाहिए, जो \(\mathbb{N}\) में एक निश्चित संख्या के रूप में संभव नहीं। / Such (e) would have to be a multiple of every natural number, which is not possible as one fixed natural number.

Step 3

Exam Tip

\(\gcd\) में (1) परिणाम को अक्सर (1) बना देता है, इसलिए उसे तत्समक न मानें। / In \(\gcd\), (1) often makes the result (1), so do not mistake it for identity.

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Question 115/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{N}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(\operatorname{lcm}(a,1)=a) हर प्राकृतिक संख्या (a) के लिए सही है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every natural number (a).

Step 3

Exam Tip

\(\operatorname{lcm}\) में (1) परिणाम को नहीं बदलता, इसलिए वह तत्समक अवयव है। / In \(\operatorname{lcm}\), (1) does not change the element, so it is the identity.

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Question 116/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-1) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-1). Which property does this operation satisfy?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनोंBoth commutative and associative

Step 1

Concept

(a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a+b+c-2) और (a*(b*c)=a+b+c-2), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-2) and (a*(b*c)=a+b+c-2), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

रैखिक जोड़ में समान स्थिर घटाव दोनों कोष्ठकों में मिल जाए तो साहचर्य बनता है। / In shifted addition, if the constant adjusts equally in both groupings, associativity holds.

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Question 117/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-1) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-1). What is the inverse of (5)?

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Correct Answer

A. (-3)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a+e-1=a), इसलिए (e=1)। / For identity (e), (a+e-1=a), so (e=1).

Step 2

Why this answer is correct

(5*b=1) रखें, (5+b-1=1) से (b=-3)। / Put (5*b=1): (5+b-1=1), giving (b=-3).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को शून्य नहीं, बल्कि मिले हुए तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding inverse, equate the result to the identity found, not automatically to zero.

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Question 118/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) लिखें। / Write (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\), और \(a\neq0\) होने से (e=2)। / \(\frac{ae}{2}=a\), and since \(a\neq0\), (e=2).

Step 3

Exam Tip

भाग वाली संक्रिया में (a) से भाग करने से पहले यह देखें कि (a) शून्य नहीं है। / In quotient-based operations, ensure the quantity you divide by is non-zero.

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Question 119/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). What will be the inverse of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{4}{a}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक अवयव (2) है। / The identity of this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए \(\frac{ab}{2}=2\)। / For inverse (b), use \(\frac{ab}{2}=2\).

Step 3

Exam Tip

इससे (ab=4) और \(b=\frac{4}{a}\); पहले तत्समक अवयव जानना जरूरी है। / This gives (ab=4), so \(b=\frac{4}{a}\); finding identity first is essential.

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Question 120/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। यह संक्रिया किस समुच्चय पर संवृत नहीं होगी?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). On which set will this operation not be closed?

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Correct Answer

A. ((-1,1))

Step 1

Concept

संवृतता में परिणाम उसी समुच्चय में रहना चाहिए। / Closure means the result must remain in the same set.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\), जो ((-1,1)) में नहीं है। / \(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\), which is not in ((-1,1)).

Step 3

Exam Tip

किसी गुण को झुठलाने के लिए एक सही प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / One valid counterexample is enough to disprove closure.

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Question 121/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) के लिए कौन-सा रूप साहचर्य जाँच में सहायक है?

For (a*b=a+b+ab) on \(\mathbb{R}\), which form is helpful for checking associativity?

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Correct Answer

A. (1+(a*b)=(1+a)(1+b))

Step 1

Concept

(a*b=a+b+ab) में (1) जोड़ें। / Add (1) to (a*b=a+b+ab).

Step 2

Why this answer is correct

(1+a+b+ab=(1+a)(1+b)) मिलता है, जिससे साहचर्य जल्दी दिखता है। / (1+a+b+ab=(1+a)(1+b)), which helps prove associativity quickly.

Step 3

Exam Tip

कठिन संक्रिया को गुणन जैसे परिचित रूप में बदलना परीक्षा में समय बचाता है। / Turning an unusual operation into a familiar product form saves time in exams.

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Question 122/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। सही कथन चुनिए।

On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). Choose the correct statement.

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Correct Answer

A. द्विआधारी है पर साहचर्य नहींBinary but not associative

Step 1

Concept

\(a,b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए संवृतता है। / If \(a,b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), generally not equal.

Step 3

Exam Tip

भाग में संवृतता हो सकती है, फिर भी साहचर्य और क्रमविनिमेयता अलग से जाँचनी पड़ती है। / Division may be closed on non-zero reals, but associativity and commutativity must be tested separately.

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Question 123/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (a=-1) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which statement about (a=-1) is correct?

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Correct Answer

A. (-1) का प्रतिलोम नहीं है(-1) has no inverse

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity of this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(-1*b=0) से (-1+b-b=-1) मिलता है, जो (0) नहीं हो सकता। / From (-1*b=0), we get (-1+b-b=-1), which cannot be (0).

Step 3

Exam Tip

हर अवयव का प्रतिलोम मान लेने से गलती होती है; समीकरण हल करके देखना चाहिए। / Do not assume every element has an inverse; solve the inverse equation.

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Question 124/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) दी है। यह संक्रिया किससे संबंधित है?

On \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab) is given. This operation is related to which expression?

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Correct Answer

A. (1+a*b=(1+a)(1+b))

Step 1

Concept

संक्रिया में (1) जोड़कर देखें। / Add (1) to the operation.

Step 2

Why this answer is correct

(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। / (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).

Step 3

Exam Tip

यह रूप प्रतिलोम और साहचर्य वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी रहता है। / This form is very useful in inverse and associativity questions.

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Question 125/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि (ab=a+b-ab), तो (1-ab) किसके बराबर है?

If (a*b=a+b-ab), then (1-a*b) is equal to what?

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Correct Answer

A. ((1-a)(1-b))

Step 1

Concept

(1-a*b=1-(a+b-ab)) लिखें। / Write (1-a*b=1-(a+b-ab)).

Step 2

Why this answer is correct

यह (1-a-b+ab=(1-a)(1-b)) बनता है। / This becomes (1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).

Step 3

Exam Tip

इस प्रकार के रूप संक्रिया को सरल गुणन से जोड़ देते हैं। / Such forms connect the operation with ordinary multiplication and simplify proofs.

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Question 126/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम मौजूद नहीं है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which element has no inverse?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(1*b=1+b-b=1), यह कभी (0) नहीं बनता। / (1*b=1+b-b=1), which can never become (0).

Step 3

Exam Tip

जिस अवयव के साथ समीकरण तत्समक अवयव तक न पहुँचे, उसका प्रतिलोम नहीं होता। / If the inverse equation cannot reach the identity, that element has no inverse.

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Question 127/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि (a*b=a+b-2ab), तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

If (a*b=a+b-2ab), what is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-2ae=a) से (e(1-2a)=0) मिलता है। / From (a+e-2ae=a), we get (e(1-2a)=0).

Step 3

Exam Tip

सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब (e=0), इसलिए तत्समक अवयव (0) है। / For all (a), this is true when (e=0), so the identity is (0).

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Question 128/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2ab). Which element will not have an inverse?

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Correct Answer

A. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a+b-2ab=0), जिससे (b(1-2a)=-a)। / For inverse (b), (a+b-2ab=0), so (b(1-2a)=-a).

Step 3

Exam Tip

यदि \(a=\frac{1}{2}\), तो (1-2a=0) हो जाता है और समीकरण हल नहीं होता। / If \(a=\frac{1}{2}\), then (1-2a=0), so the inverse equation cannot be solved.

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Question 129/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2ab). What is the inverse of (2)?

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Correct Answer

A. \(\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*b=0) रखें, (2+b-4b=0), इसलिए (2-3b=0)। / Put (2*b=0): (2+b-4b=0), so (2-3b=0).

Step 3

Exam Tip

\(b=\frac{2}{3}\); प्रतिलोम समीकरण को सावधानी से हल करें। / Thus \(b=\frac{2}{3}\); solve the inverse equation carefully.

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Question 130/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। क्या यह \(\mathbb{Z}\) पर साहचर्य है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Is it associative on \(\mathbb{Z}\)?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(1+(a*b)=(1+a)(1+b)) लिखें। / Write (1+(a*b)=(1+a)(1+b)).

Step 2

Why this answer is correct

गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) दोनों कोष्ठकों में समान मिलेगा। / Ordinary multiplication is associative, so ((1+a)(1+b)(1+c)) is obtained in both groupings.

Step 3

Exam Tip

रूपांतरण से साहचर्य की लंबी गणना छोटी हो जाती है। / Transformation reduces long associativity calculations.

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Question 131/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a+b,4)) है। तत्समक अवयव के बारे में क्या सही है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a+b,4)). What is true about the identity element?

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Correct Answer

A. कोई तत्समक अवयव नहीं हैNo identity element exists

Step 1

Concept

यदि \(e\in A\) तत्समक हो, तो (1*e=1) होना चाहिए। / If \(e\in A\) were identity, then (1*e=1) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

पर \(1+e\ge2\), इसलिए (\min(1+e,4)) कभी (1) नहीं होगा। / But \(1+e\ge2\), so (\min(1+e,4)) can never be (1).

Step 3

Exam Tip

एक अवयव पर असफलता दिखाने से तत्समक अवयव न होना सिद्ध हो जाता है। / Failure for one element proves that no identity exists.

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Question 132/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक अवयव (0) है क्योंकि (a+0) का शेषफल (a) है। / The identity is (0), since the remainder of (a+0) modulo (4) is (a).

Step 2

Why this answer is correct

(3*b) का शेषफल (0) चाहिए, इसलिए (3+b) को (4) से विभाज्य होना चाहिए। / We need (3*b=0), so (3+b) must be divisible by (4).

Step 3

Exam Tip

(b=1) लेने पर (4) मिलता है; शेषफल (0) है। / With (b=1), the sum is (4), giving remainder (0).

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Question 133/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (ab) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। किस अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम मौजूद है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (4). Which element has a multiplicative inverse?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। / The identity for this operation is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(3*3) में (9) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। / (3*3) gives the remainder of (9) on division by (4), which is (1).

Step 3

Exam Tip

शेषफल आधारित गुणन में वही अवयव प्रतिलोम रखते हैं जो मापांक से सहभाज्य हों। / In modular multiplication, elements relatively prime to the modulus have inverses.

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Question 134/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। सही कथन चुनिए।

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). Choose the correct statement.

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Correct Answer

A. द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहींBinary but not commutative

Step 1

Concept

\(a^2+b\) वास्तविक संख्या है, इसलिए संक्रिया \(\mathbb{R}\) पर संवृत है। / \(a^2+b\) is a real number, so the operation is closed on \(\mathbb{R}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\), generally not equal.

Step 3

Exam Tip

संवृतता और क्रमविनिमेयता अलग बातें हैं; दोनों को अलग जाँचें। / Closure and commutativity are different properties; test them separately.

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Question 135/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। (0) के तत्समक होने की जाँच में कौन-सी बात बाधा बनती है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). What prevents (0) from being an identity?

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Correct Answer

A. \(a*0=a^2\), जो सदैव (a) नहीं है\(a*0=a^2\), which is not always (a)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव दोनों ओर से जाँचा जाता है। / Identity must work from both sides.

Step 2

Why this answer is correct

(0*a=a) सही है, पर \(a*0=a^2\) है, जो हर (a) के लिए (a) नहीं होता। / (0*a=a) is true, but \(a*0=a^2\), which is not (a) for every (a).

Step 3

Exam Tip

केवल एक ओर सही होना पर्याप्त नहीं; दोनों ओर परिणाम वही अवयव होना चाहिए। / One-sided identity is not enough; both sides must return the same element.

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Question 136/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि (a*b=a+b+kab) और \(k\neq0\), तो किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?

If (a*b=a+b+kab) and \(k\neq0\), which element will not have an inverse?

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Correct Answer

A. \(-\frac{1}{k}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity of this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+kab=0), इसलिए (b(1+ka)=-a)। / For inverse (b), (a+b+kab=0), hence (b(1+ka)=-a).

Step 3

Exam Tip

जब \(a=-\frac{1}{k}\), तब (1+ka=0) हो जाता है और प्रतिलोम नहीं मिलता। / When \(a=-\frac{1}{k}\), (1+ka=0), so no inverse exists.

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Question 137/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+3ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+3ab). What is the inverse of (2)?

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Correct Answer

A. \(-\frac{2}{7}\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*b=0) से (2+b+6b=0), अर्थात (2+7b=0)। / From (2*b=0), (2+b+6b=0), so (2+7b=0).

Step 3

Exam Tip

\(b=-\frac{2}{7}\); गुणांक जोड़ते समय (b) वाले पदों को साथ रखें। / \(b=-\frac{2}{7}\); combine the terms containing (b) carefully.

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Question 138/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+3ab) है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम रहित है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+3ab). Which element has no inverse?

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Correct Answer

A. \(-\frac{1}{3}\)

Step 1

Concept

प्रतिलोम के लिए (a+b+3ab=0) हल करें। / Solve (a+b+3ab=0) for inverse.

Step 2

Why this answer is correct

(b(1+3a)=-a), इसलिए हर बार भाग तभी होगा जब \(1+3a\neq0\)। / (b(1+3a)=-a), so division is possible only when \(1+3a\neq0\).

Step 3

Exam Tip

\(a=-\frac{1}{3}\) पर हर नहीं चलता, इसलिए यह अवयव प्रतिलोम रहित है। / For \(a=-\frac{1}{3}\), the denominator fails, so this element has no inverse.

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Question 139/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। (ab=0) होने के लिए (b) किसके बराबर होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). For (a*b=0), what is (b) equal to?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)\(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)

Step 1

Concept

(a+b-ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जब \(a\neq1\)। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), when \(a\neq1\).

Step 3

Exam Tip

हर में शून्य आने वाली शर्त जरूर लिखें, क्योंकि वही प्रतिलोम के अस्तित्व को तय करती है। / Always note the denominator condition because it decides existence of inverse.

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Question 140/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Is this operation commutative?

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Correct Answer

A. हाँ, क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba)Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)

Step 1

Concept

(a*b) और (b*a) की तुलना करें। / Compare (a*b) and (b*a).

Step 2

Why this answer is correct

(a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba), दोनों बराबर हैं। / (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba), which are equal.

Step 3

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं में जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय हैं, इसलिए यहाँ भी यह गुण मिलता है। / Since addition and multiplication of real numbers are commutative, this operation is also commutative.

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Question 141/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह साहचर्य है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Is it associative?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(1-(a*b)=(1-a)(1-b)) लिखें। / Write (1-(a*b)=(1-a)(1-b)).

Step 2

Why this answer is correct

तीन अवयवों के लिए परिणाम (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)) जैसा होगा। / For three elements, the result follows (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)).

Step 3

Exam Tip

गुणन साहचर्य है, इसलिए दोनों कोष्ठकों में वही परिणाम मिलता है। / Ordinary multiplication is associative, so both groupings give the same result.

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Question 142/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) पर संवृत क्यों है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Why is it closed on (A)?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)Because (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)

Step 1

Concept

\(a,b\in A\) होने से \(a\neq1\) और \(b\neq1\)। / Since \(a,b\in A\), \(a\neq1\) and \(b\neq1\).

Step 2

Why this answer is correct

(1-a*b=(1-a)(1-b)), और दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (1) नहीं होगा। / (1-a*b=(1-a)(1-b)), and both factors are non-zero, so the result cannot be (1).

Step 3

Exam Tip

संवृतता में यह दिखाना काफी है कि परिणाम फिर उसी समुच्चय में है। / For closure, it is enough to show the result remains in the same set.

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Question 143/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (3)?

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Correct Answer

A. \(\frac{3}{2}\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(3*b=0) से (3+b-3b=0), अर्थात (3-2b=0)। / From (3*b=0), (3+b-3b=0), so (3-2b=0).

Step 3

Exam Tip

\(b=\frac{3}{2}\), जो समुच्चय में है क्योंकि यह (1) नहीं है। / \(b=\frac{3}{2}\), and it belongs to the set because it is not (1).

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Question 144/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। (8) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the inverse of (8)?

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Correct Answer

A. (-2)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। / For identity (e), (a+e-3=a), so (e=3).

Step 2

Why this answer is correct

(8*b=3) रखें, (8+b-3=3) से (b=-2)। / Put (8*b=3): (8+b-3=3), so (b=-2).

Step 3

Exam Tip

बदली हुई जोड़ संक्रिया में प्रतिलोम साधारण (-a) नहीं होता। / In shifted addition, the inverse is not simply (-a).

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Question 145/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-3) है। ((25)*7) का मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the value of ((2*5)*7)?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

पहले (2*5=2+5-3=4)। / First (2*5=2+5-3=4).

Step 2

Why this answer is correct

अब (4*7=4+7-3=8)। / Then (4*7=4+7-3=8).

Step 3

Exam Tip

कोष्ठक दिए हों तो उसी क्रम में संक्रिया करें, चाहे संक्रिया साहचर्य हो। / When brackets are given, follow that order even if the operation is associative.

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Question 146/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-3) है। (a(b*c)) का सरल रूप क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the simplified form of (a*(b*c))?

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Correct Answer

A. (a+b+c-6)

Step 1

Concept

पहले (b*c=b+c-3)। / First (b*c=b+c-3).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6)। / (a*(b*c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6).

Step 3

Exam Tip

अंदर की संक्रिया का पूरा मान अगले चरण में रखें। / Substitute the complete value of the inner operation into the next step.

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Question 147/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

यदि \(a*b=a+b+\lambda ab\) और \(\lambda\neq0\), तो तत्समक अवयव क्या है?

If \(a*b=a+b+\lambda ab\) and \(\lambda\neq0\), what is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+\lambda ae=a\)। / For identity (e), \(a+e+\lambda ae=a\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e\(1+\lambda a\)=0) मिलता है। / This gives (e\(1+\lambda a\)=0).

Step 3

Exam Tip

सभी (a) के लिए इसे पूरा करने वाला स्थिर अवयव (e=0) है। / The fixed element satisfying this for all (a) is (e=0).

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Question 148/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। किस शर्त पर (a) का प्रतिलोम मौजूद होगा?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\). Under which condition will the inverse of (a) exist?

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Correct Answer

A. \(1+\lambda a\neq0\)

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए \(a+b+\lambda ab=0\), यानी (b\(1+\lambda a\)=-a)। / For inverse (b), \(a+b+\lambda ab=0\), so (b\(1+\lambda a\)=-a).

Step 3

Exam Tip

(b) तभी मिल सकता है जब \(1+\lambda a\neq0\)। / Such (b) exists only when \(1+\lambda a\neq0\).

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Question 149/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) में \(\lambda=2\) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?

In \(a*b=a+b+\lambda ab\) on \(\mathbb{R}\), \(\lambda=2\). What is the inverse of (4)?

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Correct Answer

A. \(-\frac{4}{9}\)

Step 1

Concept

\(\lambda=2\) रखने पर (a*b=a+b+2ab)। / With \(\lambda=2\), (a*b=a+b+2ab).

Step 2

Why this answer is correct

(4*b=0) से (4+b+8b=0), अर्थात (4+9b=0)। / From (4*b=0), (4+b+8b=0), so (4+9b=0).

Step 3

Exam Tip

\(b=-\frac{4}{9}\); पैरामीटर का मान पहले रखकर समीकरण सरल करें। / \(b=-\frac{4}{9}\); substitute the parameter first to simplify the equation.

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Question 150/150 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(A=\{1,2,4,8\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। कौन-सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,4,8\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. तत्समक अवयव (1) है और केवल (1) का प्रतिलोम हैIdentity is (1) and only (1) has an inverse

Step 1

Concept

(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (1) तत्समक अवयव है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (1) is the identity.

Step 2

Why this answer is correct

किसी (a) का प्रतिलोम (b) तभी होगा जब (\operatorname{lcm}(a,b)=1)। / An inverse (b) of (a) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,b)=1).

Step 3

Exam Tip

यह केवल (a=1) और (b=1) पर संभव है; इसलिए केवल (1) का प्रतिलोम है। / This is possible only for (a=1) and (b=1), so only (1) has an inverse.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Binary operations Hard Quiz

समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+4) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) में किस अवयव का प्रतिलोम उपलब्ध नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+4) है। (6) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इसका तत्समक अवयव कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) में किस अवयव का प्रतिलोम नहीं मिलेगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+k ab) परिभाषित है। यदि (2) का प्रतिलोम \(-\frac{1}{2}\) है, तो (k) का मान क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। किस संख्या का प्रतिलोम नहीं बनता?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। (10) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। तत्समक अवयव क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। (2(3*4)) का मान क्या है?

यदि (ab=a+b-ab), तो (1-(ab)) किसके बराबर है?