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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
(A) में (16) तक के सम धन पूर्णांक हैं और (B) में (4) के गुणज हैं। इसलिए \(A\setminus B={2,6,10,14}\) है। / (A) has even natural numbers up to (16), and (B) has multiples of (4). Hence \(A\setminus B={2,6,10,14}\).
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। साझा अवयवों को ध्यान से छांटना चाहिए। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. Carefully pick the shared elements.
दोनों स्थितियां बताती हैं कि (B) के सभी अवयव (A) में हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / Both conditions show that every element of (B) is in (A). Therefore \(B\subseteq A\) is correct.
\(A\setminus B\) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। क्रम बदलने पर अंतर बदल सकता है। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in (B). The difference may change when the order changes.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। अतः (18+14+9=41)। / The union is made from three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Thus (18+14+9=41).
\(B\setminus A\) में (B) के ऐसे अवयव रहेंगे जो (A) में नहीं हैं। पहले लिखे समुच्चय पर विशेष ध्यान दें। / \(B\setminus A\) keeps elements of (B) that are not in (A). Pay special attention to the first set.
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) और \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\) है। इसलिए \(A\cup B=A\) है। / \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) and \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\). Therefore \(A\cup B=A\).
\(A\cup B={a,b,c,d,e,f}\) और \(A\cap B={c,d}\), इसलिए शेष (a,b,e,f) हैं। यह सममित अंतर जैसा पैटर्न है। / \(A\cup B={a,b,c,d,e,f}\) and \(A\cap B={c,d}\), so the remaining elements are (a,b,e,f). This is a symmetric-difference type pattern.
समुच्चय (A) में \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग आते हैं। इसलिए \(A=\{1,3,5,7\}\) है। / Set (A) contains both parts \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Hence \(A=\{1,3,5,7\}\).
\(B\setminus A\) में (B) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं, यानी ({6,7})। अंतर में क्रम बदलने से उत्तर बदलता है। / \(B\setminus A\) contains elements of (B) that are not in (A), namely ({6,7}). In difference, changing order changes the answer.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संघ लेने पर (A) नहीं बदलता। पहचान नियम \(A\cup \emptyset=A\) याद रखें। / The empty set has no element, so union with it does not change (A). Remember the identity law \(A\cup \emptyset=A\).
\(A\cap \emptyset\) में कोई सामान्य अवयव नहीं हो सकता। इसलिए उत्तर हमेशा \(\emptyset\) होता है। / There can be no common element in \(A\cap \emptyset\). Therefore the answer is always \(\emptyset\).
यह (n\(A\cup B\)) का प्रश्न है, इसलिए (28+22-10=40)। दोनों पढ़ने वालों को दो बार न गिनें। / This is a question of (n\(A\cup B\)), so (28+22-10=40). Do not count students studying both twice.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=35+27-50=12)। संघ ज्ञात हो तो सामान्य भाग घटाकर नहीं बल्कि सूत्र से निकालें। / By the formula, (n\(A\cap B\)=35+27-50=12). When union is given, find the common part using the formula.
(A) दो भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=20-13=7)। / (A) is divided into \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=20-13=7).
संघ में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव शामिल होते हैं। (U) केवल सार्वत्रिक सीमा बताता है। / The union contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only shows the universal boundary.
\(A\setminus B\) में (A) से (B) के समान अवयव हटाए जाते हैं। (2,4,8) हटाने पर (1) बचता है। / In \(A\setminus B\), common elements of (B) are removed from (A). Removing (2,4,8) leaves (1).
यदि दो समुच्चयों में कोई सामान्य अवयव नहीं है, तो वे असंबद्ध कहलाते हैं। प्रतीक \(\emptyset\) को शून्य अवयव समझें। / If two sets have no common element, they are called disjoint sets. Understand \(\emptyset\) as having no element.
दोनों अंतरालों में समान पूर्णांक (0,1,2,3) हैं। असमानताओं को पहले सूची रूप में बदलना उपयोगी है। / The common integers in both intervals are (0,1,2,3). It is useful to convert inequalities into roster form first.
\(A=\{2,3,5,7\}\) और \(B=\{1,3,5,7,9\}\), इसलिए \(A\setminus B={2}\)। (1) अभाज्य नहीं है। / \(A=\{2,3,5,7\}\) and \(B=\{1,3,5,7,9\}\), so \(A\setminus B={2}\). Remember that (1) is not prime.
\(A=\{3,6,9,12,15\}\) और \(B=\{5,10,15\}\), इसलिए संघ में सभी अलग-अलग अवयव हैं। (15) को एक बार लिखें। / \(A=\{3,6,9,12,15\}\) and \(B=\{5,10,15\}\), so the union has all distinct elements. Write (15) only once.
पहले \(B\cup C={r,s,t,u}\) लें, फिर (A) से सामान्य अवयव (r,s) मिलते हैं। कोष्ठक पहले हल करें। / First take \(B\cup C={r,s,t,u}\), then common elements with (A) are (r,s). Solve the bracket first.
\(B\cup C={1,2,4,6,7}\), इसलिए (A) से (1,2,4) हटाने पर (3,5) बचते हैं। अंतर में केवल पहले समुच्चय के अवयव बचते हैं। / \(B\cup C={1,2,4,6,7}\), so removing (1,2,4) from (A) leaves (3,5). In difference, only elements of the first set can remain.
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण है। नाम याद करने के लिए कोष्ठक खुलने जैसा पैटर्न देखें। / This is distribution of intersection over union. To remember the name, notice how the bracket opens.
\(A\cup B={1,2,3}\) और इसका (C) से सामान्य भाग (3) है। मिश्रित क्रियाओं में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / \(A\cup B={1,2,3}\) and its common part with (C) is (3). Order is very important in mixed operations.
\(A\cap B={3,5}\), और (C) से संघ लेने पर ( {3,4,5} ) मिलता है। पहले कोष्ठक का परिणाम निकालें। / \(A\cap B={3,5}\), and union with (C) gives ( {3,4,5} ). Find the bracket result first.
\(A\setminus B={1,2}\) और \(B\setminus A={5,6}\), इसलिए संघ ({1,2,5,6}) है। यह दोनों में असमान भागों को जोड़ता है। / \(A\setminus B={1,2}\) and \(B\setminus A={5,6}\), so the union is ({1,2,5,6}). It joins the non-common parts of both sets.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(B=\{5,6,7,8,9\}\), इसलिए \(A\setminus B={1,2,3,4}\)। सीमा चिन्हों को ध्यान से पढ़ें। / \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and \(B=\{5,6,7,8,9\}\), so \(A\setminus B={1,2,3,4}\). Read boundary signs carefully.
यदि (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, तो (B) के सभी अवयव (A) में हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / If adding (B) does not change (A), then all elements of (B) are in (A). Hence \(B\subseteq A\).
यदि सामान्य भाग पूरा (A) है, तो (A) का हर अवयव (B) में भी है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / If the common part is the whole set (A), every element of (A) is also in (B). Hence \(A\subseteq B\).
\(B\subseteq A\), इसलिए \(A\setminus B={1,3,5}\) और \(B\setminus A=\emptyset\)। उपसमुच्चय में छोटे से बड़े का अंतर रिक्त होता है। / Since \(B\subseteq A\), \(A\setminus B={1,3,5}\) and \(B\setminus A=\emptyset\). In a subset case, smaller minus larger is empty.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), इसलिए (B) से समान अवयव (-1,0,1) हैं। वर्ग वाली शर्त में ऋणात्मक पूर्णांक भी जांचें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the common elements from (B) are (-1,0,1). In square conditions, also check negative integers.
\(A\cap B={3,9}\), जबकि (5) संघ में है पर सामान्य भाग में नहीं है। ऐसे प्रश्न में पहले सामान्य अवयव हटाएं। / \(A\cap B={3,9}\), while (5) is in the union but not in the common part. In such questions, first remove common elements.
हर सामान्य अवयव दोनों समुच्चयों में होता है, इसलिए वह संघ में भी होता है। अतः \(A\cap B\subseteq A\cup B\) हमेशा सत्य है। / Every common element belongs to both sets, so it also belongs to the union. Hence \(A\cap B\subseteq A\cup B\) is always true.
तीनों समुच्चयों में केवल (4) समान है। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में अवयव सभी में होना चाहिए। / Only (4) is common to all three sets. In intersection of three sets, the element must be in every set.
\(A\cup B={m,n,o,p,q}\), इससे (A) हटाने पर (p,q) बचते हैं। यह \(B\setminus A\) के बराबर है। / \(A\cup B={m,n,o,p,q}\), and removing (A) leaves (p,q). This equals \(B\setminus A\).
संघ से (B) के सभी अवयव हटाने पर केवल (A) के गैर-सामान्य अवयव बचते हैं। इसलिए उत्तर \(A\setminus B={1,2,3}\) है। / Removing all elements of (B) from the union leaves only the non-common elements of (A). So the answer is \(A\setminus B={1,2,3}\).
संघ तीन अलग-अलग भागों \(A\setminus B\), \(A\cap B\), और \(B\setminus A\) से बनता है। इसलिए (9+6+11=26)। / The union is made of three disjoint parts: \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Hence (9+6+11=26).
केवल फुटबॉल (=24-12=12) होगा। दोनों खेलने वालों को केवल फुटबॉल में शामिल नहीं किया जाता। / Only football is (24-12=12). Those who play both are not included in only football.
\(A\cup B\) में (A) और \(B\setminus A\) मिलकर (46+24=70) हैं। इसलिए (B) का (A) से साझा भाग (A) के अंदर है, पर दिए गए डाटा से अतिरिक्त साझा भाग (0) नहीं बल्कि (n\(A\cap B\)) निश्चित नहीं होता। / \(A\cup B\) is formed by (A) and \(B\setminus A\), giving (46+24=70). However (n\(A\cap B\)) is inside (A) and cannot be uniquely found from this data.
(B) दो भागों \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=35-24=11)। / (B) is divided into \(B\setminus A\) and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=35-24=11).
\(A\cap B={2,3}\), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय है। उपसमुच्चय में हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / \(A\cap B={2,3}\), so ({2}) is its subset. In a subset, every element must belong to the original set.
\(B\setminus C={2,7}\), फिर (A) से प्रतिच्छेद लेने पर (2) बचता है। पहले अंतर और फिर प्रतिच्छेद करें। / \(B\setminus C={2,7}\), then intersecting with (A) leaves (2). Do the difference first, then the intersection.
\(A\cup B={a,b,c,d,e}\) और \(B\cup C={b,d,e,f}\), इनका प्रतिच्छेद ({b,d,e}) है। दोनों संघ अलग-अलग निकालें। / \(A\cup B={a,b,c,d,e}\) and \(B\cup C={b,d,e,f}\); their intersection is ({b,d,e}). Find both unions separately.
\(A\cap B={2,4,8}\), इसमें से (C) के (4,8) हटाने पर (2) बचता है। मिश्रित प्रश्न में हर चरण लिखें। / \(A\cap B={2,4,8}\), and removing (4,8) from (C) leaves (2). Write every step in mixed questions.
\(B\cup C={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इन्हें (A) से हटाने पर (1,5,7,11) बचते हैं। पहले हटाए जाने वाले अवयव तय करें। / \(B\cup C={2,3,4,6,8,9,10,12}\); removing these from (A) leaves (1,5,7,11). First decide which elements must be removed.
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। दोहराए गए अवयव केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
यहां \(A\cap B={1,3,5,15}\) है, इसलिए संघ से सामान्य भाग हटता है। परीक्षा में पहले गुणनखंडों की पूरी सूची बनाएं। / Here \(A\cap B={1,3,5,15}\), so the common part is removed from the union. In exams, first list all factors completely.
\(A\cap B\) में केवल समान अवयव आते हैं। यहां समान अवयव (6) और (12) हैं। / \(A\cap B\) contains only common elements. Here the common elements are (6) and (12).
पहले \(A\cap B={2,4,6,8}\) मिलता है। इसमें से (C) के (4) और (8) हटाने पर ({2,6}) बचता है। / First \(A\cap B={2,4,6,8}\). Removing (4) and (8) from (C) leaves ({2,6}).
\(A\setminus B\) में (A) के वे अवयव रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। इसलिए (c) और (g) हट जाते हैं। / \(A\setminus B\) keeps elements of (A) that are not in (B). So (c) and (g) are removed.
एक सर्वे में (58) विद्यार्थी ऑनलाइन कक्षा लेते हैं, (46) विद्यार्थी पुस्तकालय जाते हैं और (21) दोनों करते हैं। केवल एक ही गतिविधि करने वाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
केवल एक गतिविधि (=(58-21)+(46-21)=62) है। ऐसे प्रश्न में दोनों वाले भाग को दोनों समूहों से अलग-अलग घटाएं। / Exactly one activity is ((58-21)+(46-21)=62). In such questions, subtract the both part from each group separately.
\(B\setminus A\) में (B) से (A) के सामान्य अवयव हटते हैं। (4) और (16) हटाने पर (36) बचता है। / In \(B\setminus A\), common elements of (A) are removed from (B). Removing (4) and (16) leaves (36).
दोनों अंतरों के रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चयों में कोई अतिरिक्त अवयव नहीं है। इसलिए (A=B) होगा। / Both differences being empty means neither set has any extra element. Therefore (A=B).
\(A=\{1,3,5,7,9\}\) और \(B=\{2,3,5,7\}\), इसलिए समान अवयव (3,5,7) हैं। (1) अभाज्य नहीं है। / \(A=\{1,3,5,7,9\}\) and \(B=\{2,3,5,7\}\), so the common elements are (3,5,7). Remember that (1) is not prime.
\(यदि (A={x:x\in\mathbb{Z},-5<x<4}) और (B={x:x\in\mathbb{Z},x\) सम है\(}) हैं, तथा केवल (B) के वे अवयव लिए जाएं जो (-5<x<4) को संतुष्ट करते हैं, तो (A\setminus B) क्या है\)?
\(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है और सम अवयव हट जाते हैं। इसलिए विषम अवयव ({-3,-1,1,3}) बचते हैं। / \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), and the even elements are removed. Therefore the odd elements ({-3,-1,1,3}) remain.
दोनों पूर्णांक अंतरालों को मिलाने पर (-4) से (4) तक सभी पूर्णांक मिलते हैं। संघ में सभी उपलब्ध अवयव लिखें। / Combining both integer intervals gives all integers from (-4) to (4). In union, write every available element.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) है, इसमें से (2,4,6) हटते हैं। इसलिए \(A\setminus B={1,3,5,7}\)। / \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), and (2,4,6) are removed from it. Hence \(A\setminus B={1,3,5,7}\).
तीनों समुच्चयों में (3) और (6) दोनों हैं। तीन-समुच्चय प्रतिच्छेद में अवयव सभी समुच्चयों में होना चाहिए। / Both (3) and (6) are in all three sets. In a three-set intersection, an element must be in every set.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=31+28-46=13) है। संघ दिया हो तो सामान्य भाग इसी सूत्र से निकालें। / By the formula, (n\(A\cap B\)=31+28-46=13). When union is given, find the common part using this formula.
समुच्चय (A) दो भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n(A)=17+11=28)। / Set (A) is made of two parts, \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Therefore (n(A)=17+11=28).
(B) के दो भाग \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) हैं। इसलिए (n\(A\cap B\)=42-25=17)। / The two parts of (B) are \(B\setminus A\) and \(A\cap B\). Hence (n\(A\cap B\)=42-25=17).
केवल गणित (=40-18=22) है। केवल वाले प्रश्न में दोनों वाले भाग को घटाएं। / Only mathematics is (40-18=22). In only-type questions, subtract the both part.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\) और \(B\cap A=A\) होता है। उपसमुच्चय प्रश्न में बड़ा और छोटा समुच्चय पहचानें। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\) and \(B\cap A=A\). In subset questions, identify the larger and smaller sets.
यदि (B) का हर अवयव (A) में है, तो (B) में ऐसा कुछ नहीं बचता जो (A) में न हो। इसलिए \(B\setminus A=\emptyset\)। / If every element of (B) is in (A), nothing remains in (B) that is not in (A). Hence \(B\setminus A=\emptyset\).
असंबद्ध समुच्चयों में सामान्य भाग (0) होता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=15+18=33)। / For disjoint sets, the common part is (0). Therefore (n\(A\cup B\)=15+18=33).
(A) में सम संख्याएं और (B) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए कोई समान अवयव नहीं है। अतः प्रतिच्छेद रिक्त है। / (A) has even numbers and (B) has odd numbers, so there is no common element. Hence the intersection is empty.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। वितरण नियम में बाहर का समुच्चय दोनों भागों के साथ जुड़ता है। / This is distribution of union over intersection. In the distributive law, the outside set combines with both parts.
जब सामान्य भाग पूरा (B) है, तो (B) का हर अवयव (A) में है। अतः \(B\subseteq A\)। / When the common part is the whole set (B), every element of (B) is in (A). Thus \(B\subseteq A\).
संघ ( {1,3,5,7,9} ) और प्रतिच्छेद ( {3,7} ) है। प्रतिच्छेद हटाने पर ( {1,5,9} ) बचता है। / The union is ( {1,3,5,7,9} ) and the intersection is ( {3,7} ). Removing the intersection leaves ( {1,5,9} ).
\(A\setminus B={2,7}\) और \(B\setminus A={1,9}\) है। दोनों का संघ ({1,2,7,9}) है। / \(A\setminus B={2,7}\) and \(B\setminus A={1,9}\). Their union is ({1,2,7,9}).
(24) और (36) के सामान्य गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। गुणनखंड वाले प्रश्न में पहले दोनों सूचियां बनाएं। / The common factors of (24) and (36) are (1,2,3,4,6,12). In factor questions, first make both lists.
(A) में (3) के गुणज और (B) में (7) के गुणज हैं। संघ में (21) को दो बार नहीं लिखते। / (A) has multiples of (3), and (B) has multiples of (7). In the union, do not write (21) twice.
संघ में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) केवल सार्वत्रिक सीमा देता है। / The union contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only gives the universal boundary.
(A) और (B) दोनों में (c) और (e) हैं। प्रतिच्छेद में केवल साझा अवयव रखें। / Both (A) and (B) contain (c) and (e). Keep only shared elements in the intersection.
\(B\setminus A={5,6}\) है और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(B\setminus A={5,6}\), and it has no element of (A). Hence the intersection is empty.
\(B\setminus A={r,s}\) है। इसे (A) से मिलाने पर \(A\cup B\) जैसा पूरा समुच्चय मिलता है। / \(B\setminus A={r,s}\). Combining it with (A) gives the complete set same as \(A\cup B\).
क्योंकि \(B\subseteq A\), \(A\setminus B={1,3,5}\) है। इसे (B) से मिलाने पर पूरा (A) वापस मिलता है। / Since \(B\subseteq A\), \(A\setminus B={1,3,5}\). Union with (B) gives the whole set (A) back.
\(A\cap B={4,6}\) है, जबकि (5) संघ में है पर प्रतिच्छेद में नहीं। पहले साझा अवयव पहचानें। / \(A\cap B={4,6}\), while (5) is in the union but not in the intersection. Identify common elements first.
\(A\cup B\) सभी अलग-अलग अवयवों का समुच्चय होना चाहिए, केवल सामान्य भाग नहीं। सही संघ ({0,1,2,3,4,6}) है। / \(A\cup B\) should be the set of all distinct elements, not only the common part. The correct union is ({0,1,2,3,4,6}).
(B) के सभी अवयव (15) तक की संयुक्त संख्याएं हैं, इसलिए \(B\subseteq A\)। अतः \(B\setminus A=\emptyset\)। / All elements of (B) are composite numbers up to (15), so \(B\subseteq A\). Hence \(B\setminus A=\emptyset\).
(B) से (C) के सामान्य अवयव (2) और (4) हटते हैं। इसलिए \(B\setminus C={6,8}\)। / The common elements (2) and (4) of (C) are removed from (B). Hence \(B\setminus C={6,8}\).
\(B\cap C={s,u}\), लेकिन (A) में केवल (s) हटेगा। इसलिए (A\setminus\(B\cap C\)={p,q,r,t})। / \(B\cap C={s,u}\), but only (s) is removed from (A). Thus (A\setminus\(B\cap C\)={p,q,r,t}).
\(A\setminus B\) में केवल (A) के ही कुछ अवयव बचते हैं। इसलिए \(A\setminus B\subseteq A\) हमेशा सत्य है। / \(A\setminus B\) contains only some elements of (A). Therefore \(A\setminus B\subseteq A\) is always true.
\(यदि (A={x:x\in \mathbb{N}, 1\le x\le 30, x\) का गुणज 2 है\(}) और (B={x:x\in \mathbb{N}, 1\le x\le 30, x\) का गुणज 3 है\(}), तो (A\cap B) में कितने अवयव हैं\)?
\(A\cap B\) में (2) और (3) दोनों के गुणज, यानी (6) के गुणज आएंगे। (30) तक ऐसे अवयव ({6,12,18,24,30}) हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of both (2) and (3), that is, multiples of (6). Up to (30), these elements are ({6,12,18,24,30}).
\(P\cap Q\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। समान अवयव ढूंढना सबसे पहला कदम रखें। / \(P\cap Q\) contains only elements common to both sets. Finding common elements should be the first step.
(A-B) में (A) के वे अवयव रहेंगे जो (B) में नहीं हैं। इसलिए (15) तक की सम संख्याएं उत्तर हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). So the even numbers up to (15) are the answer.
पहले \(A\cap B={2,5}\) है। (U) में इसके बाहर के अवयव ({1,3,4,6,7,8,9,10}) हैं। / First \(A\cap B={2,5}\). The elements outside it in (U) are ({1,3,4,6,7,8,9,10}).
(B-A) में (B) से (A) के सामान्य अवयव हटा दिए जाते हैं। इसलिए (1) और (3) बचते हैं। / In (B-A), common elements with (A) are removed from (B). So (1) and (3) remain.
दोनों अंतरालों का सामान्य भाग (1) से (4) तक है। (1) शामिल नहीं और (4) शामिल है, इसलिए ((1,4]) सही है। / The common part of both intervals is from (1) to (4). Since (1) is not included and (4) is included, ((1,4]) is correct.
\(A=\{3,4\}\) और \(B=\{4,5\}\) है। संघ में दोहराया अवयव (4) केवल एक बार लिखा जाता है। / \(A=\{3,4\}\) and \(B=\{4,5\}\). In a union, the repeated element (4) is written only once.
एक कक्षा में (30) विद्यार्थी गणित, (22) विद्यार्थी भौतिकी और (12) विद्यार्थी दोनों पढ़ते हैं। कम से कम एक विषय पढ़ने वाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
(A) में (-2) से (4) तक के पूर्णांक हैं। इनमें विषम पूर्णांक (-1,1,3) हैं। / (A) contains integers from (-2) to (4). The odd integers among them are (-1,1,3).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (3) से (5) तक है। बंद सिरों को ध्यान से रखें। / The common part of both intervals is from (3) to (5). Keep closed endpoints carefully.
दोनों अंतराल (5) से (7) के बीच जुड़ते हैं। (2) शामिल नहीं और (9) शामिल है, इसलिए ((2,9]) सही है। / The intervals overlap between (5) and (7). Since (2) is not included and (9) is included, ((2,9]) is correct.
\(A=\{-3,3\}\) और \(B=\{-2,2\}\) है। संघ में दोनों के सभी अवयव आते हैं। / \(A=\{-3,3\}\) and \(B=\{-2,2\}\). The union contains all elements from both sets.
पहले \(A=\{2,3\}\) और \(B=\{1,2\}\) निकालें। दोनों में समान अवयव केवल (2) है। / First get \(A=\{2,3\}\) and \(B=\{1,2\}\). The only common element is (2).
\(A\cap B\) को (A) से हटाने पर (A) का केवल (B) से बाहर वाला भाग बचता है। यही (A-B) है। / Removing \(A\cap B\) from (A) leaves the part of (A) outside (B). This is (A-B).
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण नियम है। सूत्र याद रखने से मिश्रित क्रियाओं में गलती कम होती है। / This is the distributive law of intersection over union. Remembering the formula reduces mistakes in mixed operations.
\(A\cup B\) से (A) हटाने पर (B) का वह भाग बचता है जो (A) में नहीं है। इसलिए उत्तर (B-A) है। / Removing (A) from \(A\cup B\) leaves the part of (B) not in (A). Therefore the answer is (B-A).
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है। ऐसे समुच्चय असंयुक्त होते हैं और प्रतिच्छेद \(\varnothing\) होता है। / There is no common element in the two sets. Such sets are disjoint and their intersection is \(\varnothing\).
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) और \(A\cap B={2,4}\) है। अंतर लेने पर ({1,3,5,6}) मिलता है। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) and \(A\cap B={2,4}\). Taking the difference gives ({1,3,5,6}).
संघ में (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) के सभी भाग आते हैं। इन्हें मिलाने पर ({1,2,3,5,7}) मिलता है। / The union contains all parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). Combining them gives ({1,2,3,5,7}).
(A) दो अलग भागों (A-B) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n(A)=13+7=20)। / (A) is made of two disjoint parts (A-B) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=13+7=20).
अंग्रेजी स्वरों में (a,e,i,o,u) होते हैं। (B) में इनमें से (a) और (e) मौजूद हैं। / English vowels are (a,e,i,o,u). Among these, (a) and (e) are present in (B).
\(A=\{2,3,5,7,11,13\}\) है और (B) में विषम संख्याएं हैं। (A) में केवल (2) विषम नहीं है। / \(A=\{2,3,5,7,11,13\}\), and (B) contains odd numbers. Only (2) in (A) is not odd.
\(B\subseteq A\) है, इसलिए (A-B) में (A) के वे अवयव हैं जो (B) में नहीं हैं। वे ({1,3,5}) हैं। / Since \(B\subseteq A\), (A-B) contains elements of (A) not in (B). They are ({1,3,5}).
यदि \(A\cup B=A\), तो (B) का कोई नया अवयव (A) के बाहर नहीं है। इसलिए \(B\subseteq A\)। / If \(A\cup B=A\), (B) adds no new element outside (A). Therefore \(B\subseteq A\).
कोई अवयव एक साथ (A) और (A') दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / No element can be in both (A) and (A') at the same time. Therefore the intersection is \(\varnothing\).
(3) और (5) दोनों के गुणज में (15) ही (20) तक आता है। इसलिए प्रतिच्छेद ({15}) है। / Only (15) up to (20) is a multiple of both (3) and (5). Hence the intersection is ({15}).
\(A=\{4,8,12,16,20,24\}\) और \(B=\{6,12,18,24\}\) है। संघ में (9) अलग अवयव हैं। / \(A=\{4,8,12,16,20,24\}\) and \(B=\{6,12,18,24\}\). The union has (9) distinct elements.
(A) में (12) अवयव हैं और \(B=\{1,4,9\}\) है। इसलिए (A-B) में (12-3=9) अवयव होंगे। / (A) has (12) elements and \(B=\{1,4,9\}\). Thus (A-B) has (12-3=9) elements.
\(A\cap B\) में केवल (A) और (B) के सामान्य अवयव होते हैं, इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय है। हमेशा सत्य कथनों को उदाहरण से भी जांचें। / \(A\cap B\) contains only common elements of (A) and (B), so it is a subset of (A). Test always-true statements with examples too.
समुच्चय अंतर में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए (A-B) और (B-A) सामान्यतः समान नहीं होते। संघ और प्रतिच्छेद क्रमविनिमेय होते हैं। / Order matters in set difference, so (A-B) and (B-A) are generally not equal. Union and intersection are commutative.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संघ में कुछ नया नहीं जुड़ता। अतः \(A\cup \varnothing=A\)। / The empty set has no element, so it adds nothing to the union. Hence \(A\cup \varnothing=A\).
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई सामान्य अवयव नहीं मिलेगा। अतः प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / The empty set has no element, so there is no common element. Thus the intersection is \(\varnothing\).
\(A\cup B\) तीन अलग भागों (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=60-18-22=20)। / \(A\cup B\) is made of three disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). Thus (n\(A\cap B\)=60-18-22=20).
