यदि \(A\cap B = B\) हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है?

Correct Answer: A. \(B\subseteq A\). Explanation: परिचय: \(A\cap B=\{x:\,x\in A\text{ और }x\in B\}\)। यदि \(A\cap B= B\), तो प्रत्येक \(x\in B\) के लिए \(x\in A\) भी होगा। इस कारण से हर तत्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी है, अर्थात् \(B\subseteq A\)। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(A\subseteq B\) (विकल्प B) उल्टा कथन है — इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि प्रत्येक \(A\) का तत्व \(B\) में है। \(B\subset A\) (विकल्प C) कहता है कि \(B\) सख्त उपसमुच्चय है; यह कभी-कभी सत्य हो सकता है लेकिन मूल समिकरण से ज़रूरी रूप से नहीं निकलेगा (यदि \(A=B\) हो तो भी नहीं)। \(A\cap B=A\) (विकल्प D) तभी सही होगा जब \(A\subseteq B\), जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: तत्व-आधारित तर्क अपनाएँ — किसी भी \(x\in B\) को लेकर दिखाएँ कि वह \(A\) में भी है; इससे \(B\subseteq A\) सहजता से सिद्ध होता है। / Core idea: \(A\cap B=\{x:\,x\in A\text{ and }x\in B\}\). If \(A\cap B=B\), then every \(x\in B\) must also satisfy \(x\in A\). Hence every element of \(B\) lies in \(A\), so \(B\subseteq A\). Why the distractors are wrong: \(A\subseteq B\) (option B) is the reverse statement and does not follow from \(A\cap B=B\). \(B\subset A\) (option C) asserts a proper subset; it may or may not hold (equality is allowed), so it is not guaranteed. \(A\cap B=A\) (option D) would require \(A\subseteq B\), which is not implied here. Exam tip: Use an element-wise argument — pick an arbitrary \(x\in B\) and show it belongs to \(A\); this directly proves \(B\subseteq A\).