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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Operations on Sets (Union, Intersection, Difference) Medium Level 18

यदि \(A=\{x:\ x\ \text{4 का गुणज},\ 1\le x\le 25\}\) और \(B=\{x:\ x\ \text{6 का गुणज},\ 1\le x\le 25\}\), तो \(A\cup B\) में कितने अवयव हैं?

If \(A=\{x:\ x\ \text{is a multiple of }4,\ 1\le x\le 25\}\) and \(B=\{x:\ x\ \text{is a multiple of }6,\ 1\le x\le 25\}\), how many elements are in \(A\cup B\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. 8

Explanation

Simple Explanation

पहले समुच्चयों को सूचीबद्ध करें: \(A=\{4,8,12,16,20,24\}\) अतः \(|A|=6\). \(B=\{6,12,18,24\}\) अतः \(|B|=4\). दोनों का परस्पर भाग LCM(4,6)=12 के गुणज होंगे: \(A\cap B=\{12,24\}\) इसलिए \(|A\cap B|=2\). Inclusion–Exclusion सिद्धांत लगाएँ: \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=6+4-2=8\). इसलिए संघ में 8 अवयव हैं। निकटतम ग़लत विकल्प 9 इसीलिए गलत है क्योंकि उसमें साझा अवयवों को एक बार घटाया नहीं गया (double counting हुआ)। परीक्षा टिप: छोटे सीमित श्रेणी में तत्व गिनकर या सामान्य रूप से \(\lfloor n/k\rfloor\) नियम से गुणजों की संख्या निकालें और फिर \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) प्रयोग करें। / List the sets: \(A=\{4,8,12,16,20,24\}\) so \(|A|=6\). \(B=\{6,12,18,24\}\) so \(|B|=4\). Their intersection is multiples of lcm(4,6)=12: \(A\cap B=\{12,24\}\) hence \(|A\cap B|=2\). By inclusion–exclusion, \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=6+4-2=8\). Thus the union has 8 elements. Option 9 is wrong because it fails to remove the elements counted twice. Exam tip: For 1 to n, number of multiples of k is \(\lfloor n/k\rfloor\); use that to get |A| and |B| quickly, then apply inclusion–exclusion to avoid double counting.

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Correct Answer: A. 8. Explanation: पहले समुच्चयों को सूचीबद्ध करें: \(A=\{4,8,12,16,20,24\}\) अतः \(|A|=6\). \(B=\{6,12,18,24\}\) अतः \(|B|=4\). दोनों का परस्पर भाग LCM(4,6)=12 के गुणज होंगे: \(A\cap B=\{12,24\}\) इसलिए \(|A\cap B|=2\). Inclusion–Exclusion सिद्धांत लगाएँ: \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=6+4-2=8\). इसलिए संघ में 8 अवयव हैं। निकटतम ग़लत विकल्प 9 इसीलिए गलत है क्योंकि उसमें साझा अवयवों को एक बार घटाया नहीं गया (double counting हुआ)। परीक्षा टिप: छोटे सीमित श्रेणी में तत्व गिनकर या सामान्य रूप से \(\lfloor n/k\rfloor\) नियम से गुणजों की संख्या निकालें और फिर \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) प्रयोग करें। / List the sets: \(A=\{4,8,12,16,20,24\}\) so \(|A|=6\). \(B=\{6,12,18,24\}\) so \(|B|=4\). Their intersection is multiples of lcm(4,6)=12: \(A\cap B=\{12,24\}\) hence \(|A\cap B|=2\). By inclusion–exclusion, \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=6+4-2=8\). Thus the union has 8 elements. Option 9 is wrong because it fails to remove the elements counted twice. Exam tip: For 1 to n, number of multiples of k is \(\lfloor n/k\rfloor\); use that to get |A| and |B| quickly, then apply inclusion–exclusion to avoid double counting.