Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
This decimal has no fixed block of digits repeating again and again.
Step 2
Why this answer is correct
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
While deciding the nature of a decimal, look for a clear repeating rule. चरण 1: इस दशमलव में कोई निश्चित अंकों का समूह बार-बार नहीं दोहरता। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: दशमलव की प्रकृति तय करते समय दोहराव का साफ नियम देखें।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
This decimal has no fixed block repeating again and again.
Step 2
Why this answer is correct
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking whether there is a fixed repeating pattern. चरण 1: इस दशमलव में कोई निश्चित समूह बार-बार नहीं दोहरता। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: दशमलव में दोहराव का निश्चित नियम देखकर ही निर्णय लें।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(4\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
It is non-terminating and non-recurring, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
In long decimals, always check for a fixed repeating pattern. चरण 1: इस दशमलव में कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं है। चरण 2: यह अनवसानी और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। चरण 3: लंबे दशमलव में दोहराव का निश्चित ढांचा जरूर जांचें।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(r\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां \(r\neq0\) शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं होता।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=5).
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। चरण 2: जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=5)। चरण 3: अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है।
A trailing zero is formed by a pair of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (6) and of (5) is (4), so (4) pairs are possible.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, always take the smaller exponent. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (6) और (5) की घात (4) है, इसलिए (4) जोड़े बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए हमेशा छोटी घात लें।
Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=2).
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। चरण 2: जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=2)। चरण 3: अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है।
A trailing zero is made by one pair of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (5) and of (5) is (3), so (3) pairs are possible.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, choose the smaller exponent. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के एक जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (5) और (5) की घात (3) है, इसलिए जोड़े (3) बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए छोटी घात चुनें।
A trailing zero is formed by a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (2), so (2) pairs can be formed.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (2) है, इसलिए जोड़े (2) बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए (2) और (5) की छोटी घात लें।
Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of pairs equals the smaller exponent of (a) and (b), so (\min(a,b)=4).
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, count the minimum exponent, not the sum. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़ों से बनते हैं। चरण 2: जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है, इसलिए (\min(a,b)=4)। चरण 3: अंतिम शून्य में योग नहीं, छोटी घात गिनी जाती है।
A trailing zero comes from a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (1), so there is (1) pair.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (1) है, इसलिए जोड़ों की संख्या (1) है। चरण 3: अंतिम शून्य के लिए (2) और (5) में छोटी घात लें।
One pair of (2) and (5) makes (10), giving a trailing zero.
Step 2
Why this answer is correct
Remove one (2) with the (5), leaving \(2^3 \times 3^2=72\), so the last non-zero digit is (2).
Step 3
Exam Tip
After removing trailing-zero pairs, check the last digit of the remaining product. चरण 1: (2) और (5) का एक जोड़ा (10) बनाता है, जो अंतिम शून्य देता है। चरण 2: एक (5) के साथ एक (2) हटाएं, बचता है \(2^3 \times 3^2=8 \times 9=72\), इसलिए शून्य से अलग अंतिम अंक (2) है। चरण 3: अंतिम शून्य हटाने के बाद बची संख्या का अंतिम अंक देखें।
A. कथन गलत है क्योंकि बहुत कम पीएच बहुत अधिक अम्लीयता दिखाता है/The statement is wrong because very low pH shows very high acidity
Step 1
Concept
pH below 7 indicates acidity.
Step 2
Why this answer is correct
The lower the pH, the stronger the acidity.
Step 3
Exam Tip
Therefore pH zero indicates very high acidity. चरण 1: पीएच सात से कम होने पर विलयन अम्लीय होता है। चरण 2: पीएच जितना कम होगा अम्लीयता उतनी अधिक होगी। चरण 3: इसलिए पीएच शून्य बहुत अधिक अम्लीयता का संकेत है।
A. विलयन अम्लीय है पर आवश्यक नहीं कि अत्यधिक दाहक हो/The solution is acidic but not necessarily highly corrosive
Step 1
Concept
A pH below 7 means the solution is acidic.
Step 2
Why this answer is correct
Lower pH means higher acidity.
Step 3
Exam Tip
A pH only slightly below 7 may indicate mild acidity. चरण 1: पीएच सात से कम होने पर विलयन अम्लीय होता है। चरण 2: पीएच जितना कम होगा अम्लता उतनी अधिक होगी। चरण 3: सात से थोड़ा कम पीएच हल्की अम्लीयता दिखा सकता है।
B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो/Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
Step 1
Concept
First assume \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Square and use the related prime (r) to show \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Finally write the contradiction with coprimality. चरण 1: पहले \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में मानें। चरण 2: वर्ग करके संबंधित अभाज्य (r) की विभाज्यता से \(r\mid p\) और \(r\mid q\) दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखें।
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they give a common factor against coprimality. चरण 1: (p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। चरण 2: (q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं।
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है/Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This property is used to create the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
Step 1
Concept
In the rational assumption, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives both \(3\mid p\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is impossible in lowest form, so the assumption is false. चरण 1: परिमेय मान्यता में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दोनों मिलते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में यह असंभव है, इसलिए मान्यता गलत है।
A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए/The square of an odd number should be odd
Step 1
Concept
The square of an odd integer is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) is proved even. चरण 1: विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Such a situation is impossible in lowest form. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति संभव नहीं होती।
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है/In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
The prime factor changes, but the contradiction structure is the same. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। चरण 3: दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है।
C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/Finding a common factor will not become a decisive contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Without stating lowest form, both being even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore mention lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास इस बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: सरलतम रूप न लिखने पर दोनों सम मिलना जरूरी विरोधाभास नहीं कहलाएगा। चरण 3: इसलिए शुरू में सरलतम रूप अवश्य लिखें।
A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा/Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
Step 1
Concept
The rational form \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
If the denominator is zero, the fraction is not defined.
Step 3
Exam Tip
This condition must be written at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\)। चरण 2: हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह शर्त लिखना जरूरी है।
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है/The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
The structure is the same; only the prime factor changes. चरण 1: तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। चरण 2: फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। चरण 3: ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है।
B. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), और परिमेय (2) को अपरिमेय \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है/\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), and multiplying irrational \(\sqrt{2}\) by nonzero rational (2) gives an irrational number
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is a nonzero rational number, so \(2\sqrt{2}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate perfect-square factors while simplifying roots. चरण 1: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) शून्येतर परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: सरलीकरण में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
Do not say only odd; mention primality for a complete proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। चरण 3: केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें।
A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
(p=2m) shows \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) shows \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they make (2) a common factor. चरण 1: (p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। चरण 2: (q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। चरण 3: दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं।
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है/(3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। चरण 2: फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। चरण 3: यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है।
The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
Without mentioning primality, this step looks incomplete. चरण 1: \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। चरण 3: बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है/It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। चरण 3: शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है।
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
That is why the contradiction proof is written. चरण 1: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। चरण 2: पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है।
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
A simplification error can spoil the proof. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। चरण 3: सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है।
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write these two small steps clearly. चरण 1: पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। चरण 3: प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें।
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
So write the fraction in lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। चरण 2: सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें।
A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\neq0\)/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the ratio should be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This complete opening sentence sets the proof correctly. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लेना चाहिए। चरण 3: यह पूरा प्रारंभिक वाक्य प्रमाण को सही दिशा देता है।
A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं/We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
Step 1
Concept
From \(3\mid a^2\), we get \(3\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
So (a=3k) is correct, where (k) is an integer; it is not necessary that (k=b).
Step 3
Exam Tip
Using a new helper variable is safer. चरण 1: \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (a=3k) लिखना सही है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है; (k) को (b) मानना जरूरी नहीं। चरण 3: नए सहायक चर का प्रयोग सुरक्षित रहता है।
A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता, फिर विरोधाभास/Rational assumption, squaring, prime divisibility, then contradiction
Step 1
Concept
In all three, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then squaring and prime divisibility give a common factor.
Step 3
Exam Tip
This common factor contradicts coprimality. चरण 1: तीनों में पहले वर्गमूल को परिमेय माना जाता है। चरण 2: फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य संख्या की विभाज्यता से साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही साझा गुणनखंड सहअभाज्यता से टकराता है।
Multiplying both sides by \(y^2\) gives \(x^2=5y^2\).
Step 3
Exam Tip
Remember the condition \(y\neq0\) while removing the denominator. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) को वर्ग करने पर \(5=\frac{x^2}{y^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करने पर \(x^2=5y^2\) बनता है। चरण 3: हर हटाते समय \(y\neq0\) की शर्त ध्यान में रखें।
A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
Step 1
Concept
In the rational assumption, the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both numerator and denominator are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This inconsistency shows that the assumption was false. चरण 1: परिमेय मान्यता में भिन्न सरलतम रूप में होती है। चरण 2: प्रमाण दिखाता है कि अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 3: यह असंगति बताती है कि मान्यता गलत थी।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, these break coprimality. चरण 1: (p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। चरण 2: (q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी/The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This directly contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है।
A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है/The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
The structure is the same; only the prime factor changes. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में समीकरण \(p^2=5q^2\) बनता है। चरण 3: दोनों का ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। चरण 2: इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Do not stop the proof midway; write until the final conflict. चरण 1: \(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। चरण 2: पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें।
A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं/\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप दो पूर्णांकों का अनुपात होता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह पूरा रूप लिखना चाहिए।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है/Because (p) and (q) get (2) as a common factor
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
So the form is no longer lowest, and the assumption fails. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: इसलिए वह रूप सरलतम नहीं रहता और मान्यता टूट जाती है।
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है।
This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof. चरण 1: विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। चरण 2: उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। चरण 3: यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है।
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता/Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
Be careful when removing squares in a proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। चरण 3: प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें।
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 3: प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें।
In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This is the final step against coprimality. चरण 1: \(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है।
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने/So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
Always mention coprime at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। चरण 3: शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है।
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/(m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot have such a common factor. चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता।
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। चरण 3: इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है।
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor gives contradiction and proves irrationality. चरण 1: पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। चरण 3: अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाकर अपरिमेयता सिद्ध करते हैं।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs start with a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
Both (3) and (5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
When these factors appear in \(p^2\), they also appear in (p).
Step 3
Exam Tip
This idea finally gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: (3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। चरण 2: \(p^2\) में ये गुणनखंड आने पर (p) में भी आते हैं। चरण 3: इसी विचार से अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
Divisibility and contradiction start from this equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्ग करने से \(\sqrt{n}\) हटता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है। चरण 3: इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास शुरू होता है।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)
Step 1
Concept
Assume \(\sqrt{5}\) rational and write it in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both numerator and denominator divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition, so \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: यह सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore (q=3r) is written. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs. चरण 1: परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है।
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor in numerator and denominator gives the contradiction. चरण 1: सबसे पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। चरण 3: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास प्राप्त करते हैं।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
All three proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final line should clearly state both contradiction and irrationality. चरण 1: तीनों सिद्धियों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें।
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction. चरण 1: \(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। चरण 3: बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है।
A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Both being even breaks the lowest-form condition. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है।
